{"id":"fizyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/16.2","paper_id":"fizyka-2017-maj-matura-rozszerzona","number":"16.2","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 16.2. (0-2)\nUdowodnij, że w układzie odniesienia, w którym jądro radu spoczywało, stosunek\nenergii kinetycznej uzyskanej przez jądro helu 4He do energii kinetycznej uzyskanej\nprzez jądro radonu jest równy około 55.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 16.2. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nIV. Budowa prostych modeli\nfizycznych i matematycznych do opisu\nzjawisk.\n1.10) Zdający wykorzystuje zasadę zachowania\npędu […].\n3.2) Zdający oblicza wartość energii kinetycznej\n[…].\n3.1) (P) Zdający posługuje się pojęciami\npierwiastek, jądro atomowe, izotop […] podaje\nskład jądra atomowego na podstawie liczby\nmasowej i atomowej.\n3.5) (P) Zdający opisuje reakcje jądrowe,\nstosując zasadę zachowania liczby nukleonów\n[…].\nSchemat punktowania\n2 p. - prawidłowa metoda i prawidłowa wartość stosunku energii kinetycznych jąder.\n1 p. - prawidłowe wyprowadzenie wzoru wyrażającego stosunek energii kinetycznych przez\nodwrotny stosunek mas oraz błędny wynik albo brak wyniku końcowego\nlub\n- zapisanie stosunku energii kinetycznych oraz prawidłowa identyfikacja stosunku mas\njąder atomowych\nlub\n- zapisanie zasady zachowania pędu łącznie z prawidłową identyfikacją mas obu jąder,\nna przykład zapisy równoważne: 220ݒோ௡= 4ݒு௘.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nKorzystamy z zasady zachowania pędu całkowitego dla układu ciał, którym jest jądro\natomowe przed rozpadem i po rozpadzie. Przyjmujemy układ odniesienia, w którym jądro\n224Ra spoczywa. Pęd początkowy jądra 224Ra wynosi zero (݌Ԧோ௔= 0), dlatego suma pędów\nproduktów rozpadu tego jądra też wynosi zero:\n݌Ԧோ௔= ݌Ԧோ௡,ு௘ → 0 =\nோ௡ݒோ௡-\nு௘ݒு௘ →\nோ௡ݒோ௡=\nு௘ݒு௘\nStosunek energii kinetycznych jądra helu i radonu wyrazimy poprzez odwrotny stosunek mas\ntych jąder, przy wykorzystaniu zasady zachowania pędu:\nܧ௞௜௡ ு௘\nܧ௞௜௡ ோ௡\nு௘ݒு௘\nଶ\nோ௡ݒோ௡\nଶ=\nு௘\nோ௡\nଶ\nோ௡\nு௘\nଶ\nோ௡\nு௘\n→ ܧ௞௜௡ ு௘\nܧ௞௜௡ ோ௡\nோ௡\nு௘\nalbo\nܧ௞௜௡ ு௘\nܧ௞௜௡ ோ௡\n݌ு௘\nଶ\n2\nு௘\n݌ோ௡\nଶ\n2\nோ௡\nோ௡\nு௘\nZatem\nܧ௞௜௡ ு௘\nܧ௞௜௡ ோ௡\n≈ 220 u\n4 u ≈55.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n\\[\\frac{E_{k(\\text{He})}}{E_{k(\\text{Rn})}} = \\frac{m_{\\text{Rn}}}{m_{\\text{He}}} = \\frac{220\\ \\text{u}}{4\\ \\text{u}} = 55\\]\n\n## Sposób 1 - Zasada zachowania pędu + energia kinetyczna przez pęd\n\n**Reakcja rozpadu radu (rozpad alfa):**\n\n\\[^{224}_{88}\\text{Ra} \\;\\longrightarrow\\; ^{220}_{86}\\text{Rn} \\;+\\; ^{4}_{2}\\text{He}\\]\n\n**Krok 1: Zasada zachowania pędu**\n\nJądro radu spoczywa → całkowity pęd układu przed rozpadem wynosi zero:\n\n\\[\\vec{p}_{\\text{He}} + \\vec{p}_{\\text{Rn}} = \\vec{0}\\]\n\nJądra lecą w przeciwnych kierunkach, ale **wartości pędów są równe**:\n\n\\[|\\vec{p}_{\\text{He}}| = |\\vec{p}_{\\text{Rn}}| = p\\]\n\n**Krok 2: Wyrażenie energii kinetycznej przez pęd**\n\nDla nierelaktywistycznego przypadku \\(\\left(v \\ll c\\right)\\):\n\n\\[E_k = \\frac{p^2}{2m}\\]\n\n**Krok 3: Obliczenie stosunku energii**\n\n\\[\\frac{E_{k(\\text{He})}}{E_{k(\\text{Rn})}} = \\frac{\\dfrac{p^2}{2m_{\\text{He}}}}{\\dfrac{p^2}{2m_{\\text{Rn}}}} = \\frac{m_{\\text{Rn}}}{m_{\\text{He}}}\\]\n\nPęd \\(p\\) jest taki sam dla obu jąder - upraszcza się całkowicie. Wynik zależy **wyłącznie od stosunku mas**.\n\n**Krok 4: Podstawienie mas**\n\nLiczby masowe (użycie mas atomowych wyrażonych w u): \\(m_{\\text{He}} \\approx 4\\ \\text{u}\\), \\(m_{\\text{Rn}} \\approx 220\\ \\text{u}\\):\n\n\\[\\frac{E_{k(\\text{He})}}{E_{k(\\text{Rn})}} = \\frac{220\\ \\text{u}}{4\\ \\text{u}} = \\boxed{55}\\]\n\nCo należało udowodnić. ✓\n\n## Sposób 2 - Zasada zachowania pędu + prędkości, podstawienie do \\(\\frac{1}{2}mv^2\\)\n\n**Krok 1: Wyznaczenie stosunku prędkości**\n\nZ zasady zachowania pędu (\\(\\vec{p}_{\\text{He}} = -\\vec{p}_{\\text{Rn}}\\), wartości równe):\n\n\\[m_{\\text{He}} \\cdot v_{\\text{He}} = m_{\\text{Rn}} \\cdot v_{\\text{Rn}}\\]\n\n\\[\\frac{v_{\\text{He}}}{v_{\\text{Rn}}} = \\frac{m_{\\text{Rn}}}{m_{\\text{He}}}\\]\n\nJądro helu jest \\(\\frac{220}{4} = 55\\) razy **lżejsze**, więc leci ~55 razy **szybciej** niż radon.\n\n**Krok 2: Stosunek energii kinetycznych**\n\n\\[\\frac{E_{k(\\text{He})}}{E_{k(\\text{Rn})}} = \\frac{\\tfrac{1}{2}\\, m_{\\text{He}}\\, v_{\\text{He}}^2}{\\tfrac{1}{2}\\, m_{\\text{Rn}}\\, v_{\\text{Rn}}^2} = \\frac{m_{\\text{He}}}{m_{\\text{Rn}}} \\cdot \\left(\\frac{v_{\\text{He}}}{v_{\\text{Rn}}}\\right)^2\\]\n\nPodstawiamy stosunek prędkości z Kroku 1:\n\n\\[\\frac{E_{k(\\text{He})}}{E_{k(\\text{Rn})}} = \\frac{m_{\\text{He}}}{m_{\\text{Rn}}} \\cdot \\left(\\frac{m_{\\text{Rn}}}{m_{\\text{He}}}\\right)^2 = \\frac{m_{\\text{Rn}}}{m_{\\text{He}}} = \\frac{220\\ \\text{u}}{4\\ \\text{u}} = \\boxed{55}\\]\n\nTen sposób wyraźnie pokazuje **dlaczego**: mniejsza masa helu i tak dominuje przez kwadrat prędkości - czynnik \\(v^2\\) przeważa nad mniejszą masą, i finalnie \\(E_k \\propto \\frac{1}{m}\\) (przy stałym pędzie).\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 16.2, max 2 pkt):**\n>\n> - **2 pkt** - uczeń zapisał zasadę zachowania pędu dla układu w postaci \\(m_{\\text{He}}\\,v_{\\text{He}} = m_{\\text{Rn}}\\,v_{\\text{Rn}}\\) **ORAZ** wyznaczył stosunek energii kinetycznych poprawnie, uzyskując wynik \\(\\approx 55\\)\n> - **1 pkt** - uczeń zapisał poprawnie zasadę zachowania pędu (lub poprawnie wyznaczył stosunek prędkości), ale nie dokończył obliczeń / popełnił błąd arytmetyczny prowadzący do złego wyniku końcowego\n> - **0 pkt** - brak zasady zachowania pędu, błędne rozumowanie fizyczne, lub samo stwierdzenie wyniku bez dowodu\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów EM2023, str. 16-17 - sekcja Mechanika / Dynamika:**\n>\n> - Pęd: \\(p = mv\\)\n> - Energia kinetyczna: \\(E_k = \\frac{1}{2}mv^2\\) oraz \\(E_k = \\frac{p^2}{2m}\\) (ta druga forma jest KLUCZEM do Sposobu 1)\n> - Zasada zachowania pędu: \\(\\sum \\vec{p} = \\text{const}\\)\n>\n> Wzór \\(E_k = \\frac{p^2}{2m}\\) nie zawsze jest jawnie podany na karcie jako oddzielny wzór - ale wynika z podstawienia \\(v = p/m\\) do wzoru na \\(E_k\\). Warto umieć go wyprowadzić w 1 linijce.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - przyjęcie, że energie kinetyczne są równe (bo \"rozpad symetryczny\"). **Nieprawda.** Równe są PĘDY, nie energie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Użycie mas atomowych \\(m_{\\text{He}} = 4\\ \\text{u}\\) i \\(m_{\\text{Rn}} = 220\\ \\text{u}\\) jest prawidłowe (w u), bo stosunek \\(\\frac{m_{\\text{Rn}}}{m_{\\text{He}}}\\) jest taki sam niezależnie od jednostki.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Słowo \"udowodnij\" wymaga pokazania **kroku pośredniego** (zasada zachowania pędu). Samo napisanie \\(\\frac{220}{4} = 55\\) bez wywodu to **0 punktów** - to obliczenie, nie dowód.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie ma potrzeby sprawdzać, czy ruch jest relatywistyczny, ale warto wiedzieć: prędkość cząstki alfa przy rozpadzie to ~\\(10^7\\) m/s, czyli ~3% \\(c\\) - podejście klasyczne jest tu w pełni uzasadnione.","image":"img/fizyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad-16.2.webp","solution_image":null,"topics":"Fizyka współczesna","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 16.2. (0-2)
Udowodnij, że w układzie odniesienia, w którym jądro radu spoczywało, stosunek
energii kinetycznej uzyskanej przez jądro helu 4He do energii kinetycznej uzyskanej
przez jądro radonu jest równy około 55.

","answer_text_html":"

Zadanie 16.2. (0-2)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
I. Znajomość i umiejętność
wykorzystania pojęć i praw fizyki
do wyjaśniania procesów i zjawisk
w przyrodzie.
IV. Budowa prostych modeli
fizycznych i matematycznych do opisu
zjawisk.
1.10) Zdający wykorzystuje zasadę zachowania
pędu […].
3.2) Zdający oblicza wartość energii kinetycznej
[…].
3.1) (P) Zdający posługuje się pojęciami
pierwiastek, jądro atomowe, izotop […] podaje
skład jądra atomowego na podstawie liczby
masowej i atomowej.
3.5) (P) Zdający opisuje reakcje jądrowe,
stosując zasadę zachowania liczby nukleonów
[…].
Schemat punktowania
2 p. - prawidłowa metoda i prawidłowa wartość stosunku energii kinetycznych jąder.
1 p. - prawidłowe wyprowadzenie wzoru wyrażającego stosunek energii kinetycznych przez
odwrotny stosunek mas oraz błędny wynik albo brak wyniku końcowego
lub

\n\n

jąder atomowych
lub

\n\n

na przykład zapisy równoważne: 220ݒோ௡= 4ݒு௘.
0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Przykładowe rozwiązanie
Korzystamy z zasady zachowania pędu całkowitego dla układu ciał, którym jest jądro
atomowe przed rozpadem i po rozpadzie. Przyjmujemy układ odniesienia, w którym jądro
224Ra spoczywa. Pęd początkowy jądra 224Ra wynosi zero (݌Ԧோ௔= 0), dlatego suma pędów
produktów rozpadu tego jądra też wynosi zero:
݌Ԧோ௔= ݌Ԧோ௡,ு௘ → 0 =
ோ௡ݒோ௡-
ு௘ݒு௘ →
ோ௡ݒோ௡=
ு௘ݒு௘
Stosunek energii kinetycznych jądra helu i radonu wyrazimy poprzez odwrotny stosunek mas
tych jąder, przy wykorzystaniu zasady zachowania pędu:
ܧ௞௜௡ ு௘
ܧ௞௜௡ ோ௡
ு௘ݒு௘
ଶ
ோ௡ݒோ௡
ଶ=
ு௘
ோ௡
ଶ
ோ௡
ு௘
ଶ
ோ௡
ு௘
→ ܧ௞௜௡ ு௘
ܧ௞௜௡ ோ௡
ோ௡
ு௘
albo
ܧ௞௜௡ ு௘
ܧ௞௜௡ ோ௡
݌ு௘
ଶ
2
ு௘
݌ோ௡
ଶ
2
ோ௡
ோ௡
ு௘
Zatem
ܧ௞௜௡ ு௘
ܧ௞௜௡ ோ௡
≈ 220 u
4 u ≈55.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n
Ek(He)Ek(Rn)=mRnmHe=220 u4 u=55
\n

Sposób 1 - Zasada zachowania pędu + energia kinetyczna przez pęd

\n

Reakcja rozpadu radu (rozpad alfa):

\n
88224Ra⟶86220Rn+24He
\n

Krok 1: Zasada zachowania pędu

\n

Jądro radu spoczywa → całkowity pęd układu przed rozpadem wynosi zero:

\n
p→He+p→Rn=0→
\n

Jądra lecą w przeciwnych kierunkach, ale wartości pędów są równe:

\n
|p→He|=|p→Rn|=p
\n

Krok 2: Wyrażenie energii kinetycznej przez pęd

\n

Dla nierelaktywistycznego przypadku (v≪c):

\n
Ek=p22m
\n

Krok 3: Obliczenie stosunku energii

\n
Ek(He)Ek(Rn)=p22mHep22mRn=mRnmHe
\n

Pęd p jest taki sam dla obu jąder - upraszcza się całkowicie. Wynik zależy wyłącznie od stosunku mas.

\n

Krok 4: Podstawienie mas

\n

Liczby masowe (użycie mas atomowych wyrażonych w u): mHe≈4 u, mRn≈220 u:

\n
Ek(He)Ek(Rn)=220 u4 u=55
\n

Co należało udowodnić. ✓

\n

Sposób 2 - Zasada zachowania pędu + prędkości, podstawienie do 12mv2

\n

Krok 1: Wyznaczenie stosunku prędkości

\n

Z zasady zachowania pędu (p→He=−p→Rn, wartości równe):

\n
mHe·vHe=mRn·vRn
\n
vHevRn=mRnmHe
\n

Jądro helu jest 2204=55 razy lżejsze, więc leci ~55 razy szybciej niż radon.

\n

Krok 2: Stosunek energii kinetycznych

\n
Ek(He)Ek(Rn)=12mHevHe212mRnvRn2=mHemRn·(vHevRn)2
\n

Podstawiamy stosunek prędkości z Kroku 1:

\n
Ek(He)Ek(Rn)=mHemRn·(mRnmHe)2=mRnmHe=220 u4 u=55
\n

Ten sposób wyraźnie pokazuje dlaczego: mniejsza masa helu i tak dominuje przez kwadrat prędkości - czynnik v2 przeważa nad mniejszą masą, i finalnie Ek∝1m (przy stałym pędzie).

\n

Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)

\n
📋 Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 16.2, max 2 pkt):

- 2 pkt - uczeń zapisał zasadę zachowania pędu dla układu w postaci mHevHe=mRnvRn ORAZ wyznaczył stosunek energii kinetycznych poprawnie, uzyskując wynik ≈55
- 1 pkt - uczeń zapisał poprawnie zasadę zachowania pędu (lub poprawnie wyznaczył stosunek prędkości), ale nie dokończył obliczeń / popełnił błąd arytmetyczny prowadzący do złego wyniku końcowego
- 0 pkt - brak zasady zachowania pędu, błędne rozumowanie fizyczne, lub samo stwierdzenie wyniku bez dowodu
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów EM2023, str. 16-17 - sekcja Mechanika / Dynamika:

- Pęd: p=mv
- Energia kinetyczna: Ek=12mv2 oraz Ek=p22m (ta druga forma jest KLUCZEM do Sposobu 1)
- Zasada zachowania pędu: ∑p→=const

Wzór Ek=p22m nie zawsze jest jawnie podany na karcie jako oddzielny wzór - ale wynika z podstawienia v=p/m do wzoru na Ek. Warto umieć go wyprowadzić w 1 linijce.
\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd - przyjęcie, że energie kinetyczne są równe (bo "rozpad symetryczny"). Nieprawda. Równe są PĘDY, nie energie.
\n
⚠️ Uwaga: Użycie mas atomowych mHe=4 u i mRn=220 u jest prawidłowe (w u), bo stosunek mRnmHe jest taki sam niezależnie od jednostki.
\n
⚠️ Uwaga: Słowo "udowodnij" wymaga pokazania kroku pośredniego (zasada zachowania pędu). Samo napisanie 2204=55 bez wywodu to 0 punktów - to obliczenie, nie dowód.
\n
⚠️ Uwaga: Nie ma potrzeby sprawdzać, czy ruch jest relatywistyczny, ale warto wiedzieć: prędkość cząstki alfa przy rozpadzie to ~107 m/s, czyli ~3% c - podejście klasyczne jest tu w pełni uzasadnione.
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Ekin HeEkin Rn≈55

"}]}