{"id":"fizyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/16.3","paper_id":"fizyka-2017-maj-matura-rozszerzona","number":"16.3","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 16.3. (0-2)\nPróbkę zawierającą izotop 224Ra zbadano po upływie 13 dni od dostarczenia do laboratorium\ni ustalono, że po tym czasie próbka zawierała 0,75 mg tego izotopu.\nOszacuj masę tego izotopu w chwili dostarczenia do laboratorium.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n15.\n16.1. 16.2. 16.3.\nMaks. liczba pkt\n2\n1\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 16.3. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\n3.4) (P) Zdający opisuje rozpad izotopu\npromieniotwórczego, posługując się pojęciem\nczasu połowicznego rozpadu; rysuje wykres\nzależności liczby jąder, które uległy rozpadowi\nod czasu […].\n12.4) Zdający interpoluje, ocenia orientacyjnie\nwartość pośrednią (interpolowaną) między\ndanymi […] także za pomocą wykresu.\nSchemat punktowania\n2 p. - prawidłowa metoda i prawidłowy wynik mieszczący się w przedziale od 8 mg do 9 mg\nlub\n- prawidłowa metoda obliczenia obu krańców przedziału, do którego może należeć\nwynik, oraz stwierdzenie, że masa początkowa izotopu radu należy do przedziału\n଴∈(6 mg; 12 mg).\n1 p. - wykorzystanie\npojęcia\nczasu\npołowicznego\nrozpadu\noraz\nzauważenie,\nże\n3\n< ݐ< 4ܶ.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązania\nSposób 1\nZauważamy, że czas 13 dni stanowi 3,5 czasów połowicznego rozpadu:\nݐܶ= 13 dni\n3,7 dni ≈3,5\nKorzystamy z pojęcia czasu połowicznego rozpadu lub równoważnie ze wzoru\nprzedstawiającego zależność liczby jąder pozostających w próbce od czasu. Zamiast liczby\njąder radu pozostających w próbce zapiszemy\n(ݐ) - łączną masę jąder izotopu radu\npozostających w próbce (\n଴ oznacza początkową masę izotopu radu w próbce):\n(ݐ) =݉\n଴∙൬1\n2൰\n௧்\n→\n଴=\n(ݐ) ∙2\n௧்\nDla ݐ= 3,5ܶ mamy:\n଴=\n(3,5ܶ) ∙2ଷ,ହ= 0,75 mg ∙ 2ଷ∙2\nଵ\nଶ= 8,5 mg.\nPoczątkowa masa izotopu radu wynosiła około 8,5 mg.\nSposób 2\nZauważamy, że 3\n< ݐ< 4ܶ. Następnie obliczamy, jakie byłyby masy początkowe,\ngdybyśmy do rachunków przyjęli ݐ= 3ܶ, a następnie ݐ= 4ܶ:\n0,75 mg =\n଴∙൬1\n2൰\nଷ\n→\n଴= 6 mg\n0,75 mg =\n଴∙൬1\n2൰\nସ\n→\n଴= 12 mg\nPoczątkowa masa izotopu należy do przedziału otwartego\n଴∈(6 mg; 12 mg) lub masa\npoczątkowa izotopu radu jest równa około:\n଴≈1\n2 (6 mg + 12 mg) ≈ 9 mg.\nSposób 3\nZauważamy, że w czwartym okresie czasu połowicznego rozpadu (tj. od 3ܶ do 4ܶ) fragment\nkrzywej rozpadu można przybliżyć odcinkiem prostym. Dlatego wartość funkcji\n(ݐ) na\nśrodku odcinka od 3ܶ do 4ܶ można szacować ze średniej arytmetycznej wartości funkcji\n(ݐ) na krańcach tego odcinka:\n(3,5ܶ) ≈1\n2 ൫݉\n(3ܶ) +݉\n(4ܶ)൯\nKorzystamy z pojęcia czasu połowicznego rozpadu:\n(3,5ܶ) ≈1\n2 ቆ൬1\n2൰\nଷ\n଴+ ൬1\n2൰\nସ\n଴ቇ= 1\n2 ൬1\n2൰\nଷ\n൬1 + 1\n2൰݉\n଴= 3\n32\n଴\nPodstawiamy dane:\n(3,5ܶ) ≈3\n32݉\n଴ →\n଴≈32\n3 ∙0,75 mg ≈ 8 mg\nPoczątkowa masa izotopu radu wynosiła około 8 mg.\nUwaga,\ndo\nwzoru\n(3,5ܶ) ≈\nଷ\nଷଶ\n଴\nmożna\ndojść\nrównoważnymi\nsposobami,\nwykorzystującymi pojęcie czasu połowicznego rozpadu, na przykład:\n(3,5ܶ) = 1\n2 ∙1\n2 ∙1\n2 ∙3\n4\n଴\nCzynnik ¾ pojawia się tutaj jako wynik następującego szacowania: jeśli w ciągu jednego\nczasu połowicznego rozpadu rozpadnie się połowa jąder, to w połowie tego czasu rozpadnie\nsię około ¼ jąder, czyli pozostanie około ¾ jąder. Powyższy wzór to szacowanie liczby jąder\npozostających w próbce po trzech (trzy czynniki 1/2) i pół (czynnik 3/4) czasach\npołowicznego rozpadu.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nMasa izotopu ²²⁴Ra w chwili dostarczenia do laboratorium wynosiła **m₀ ≈ 8,8 mg** (ok. 9 mg).\n\n## Sposób 1 - Prawo rozpadu promieniotwórczego (wzór z połówkowym)\n\n**Dane:**\n- czas pomiaru: \\(t = 13\\) dni\n- masa po czasie \\(t\\): \\(m(t) = 0{,}75\\ \\text{mg}\\)\n- okres połowicznego rozpadu ²²⁴Ra: \\(T_{1/2} = 3{,}66\\ \\text{dni}\\)\n\n**Prawo rozpadu promieniotwórczego:**\n\n\\[\nm(t) = m_0 \\cdot \\left(\\frac{1}{2}\\right)^{\\!\\frac{t}{T_{1/2}}}\n\\]\n\n**Wyznaczamy \\(m_0\\):**\n\n\\[\nm_0 = \\frac{m(t)}{\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{\\!\\frac{t}{T_{1/2}}}} = m(t) \\cdot 2^{\\frac{t}{T_{1/2}}}\n\\]\n\n**Obliczamy wykładnik:**\n\n\\[\n\\frac{t}{T_{1/2}} = \\frac{13}{3{,}66} \\approx 3{,}55\n\\]\n\n**Obliczamy masę początkową:**\n\n\\[\nm_0 = 0{,}75\\ \\text{mg} \\cdot 2^{3{,}55}\n\\]\n\n\\[\n2^{3{,}55} = 2^3 \\cdot 2^{0{,}55} = 8 \\cdot 1{,}464 \\approx 11{,}7\n\\]\n\n\\[\n\\boxed{m_0 = 0{,}75 \\cdot 11{,}7 \\approx 8{,}8\\ \\text{mg}}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Prawo rozpadu przez funkcję eksponencjalną \\(e^{-\\lambda t}\\)\n\nKorzystamy z równoważnej formy prawa rozpadu:\n\n\\[\nm(t) = m_0 \\cdot e^{-\\lambda t}\n\\]\n\ngdzie stała rozpadu:\n\n\\[\n\\lambda = \\frac{\\ln 2}{T_{1/2}} = \\frac{0{,}693}{3{,}66} \\approx 0{,}1893\\ \\text{dni}^{-1}\n\\]\n\n**Wyznaczamy \\(m_0\\):**\n\n\\[\nm_0 = m(t) \\cdot e^{\\lambda t} = 0{,}75 \\cdot e^{0{,}1893 \\cdot 13} = 0{,}75 \\cdot e^{2{,}461}\n\\]\n\n\\[\ne^{2{,}461} \\approx 11{,}7\n\\]\n\n\\[\n\\boxed{m_0 \\approx 0{,}75 \\cdot 11{,}7 \\approx 8{,}8\\ \\text{mg}}\n\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1 ✓\n\n## Sposób 3 - Szacowanie przez liczenie połówek (metoda przybliżona)\n\nZadanie prosi o **oszacowanie**, więc można zaokrąglić:\n\n\\[\n\\frac{13}{3{,}66} \\approx 3{,}5 \\approx 4\\ \\text{okresy połowiczne}\n\\]\n\nPrzy założeniu **4 połówek**:\n\n\\[\nm_0 = 0{,}75 \\cdot 2^4 = 0{,}75 \\cdot 16 = 12\\ \\text{mg}\n\\]\n\nPrzy założeniu **3,5 połówki** (dokładniejsze):\n\n\\[\nm_0 = 0{,}75 \\cdot 2^{3{,}5} = 0{,}75 \\cdot 8\\sqrt{2} = 0{,}75 \\cdot 11{,}31 \\approx 8{,}5\\ \\text{mg}\n\\]\n\n**Wniosek z metody szacunkowej:** masa w chwili dostarczenia wynosiła ok. **8,5-9 mg** - co jest spójne z dokładnym wynikiem Sposobu 1.\n\n> 💡 Słowo \"oszacuj\" w poleceniu CKE oznacza, że akceptowane są wyniki przybliżone - ważny jest **poprawny tok rozumowania**, a nie dokładność obliczeń do 4 cyfr znaczących.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 16.3, max 2 pkt):**\n> - **2 pkt** - uczeń poprawnie zastosował wzór prawa rozpadu promieniotwórczego **i** otrzymał wynik w przedziale akceptowanym (ok. 8-9 mg)\n> - **1 pkt** - uczeń poprawnie zapisał wzór lub poprawnie wyznaczył liczbę okresów połowicznych, ale popełnił błąd rachunkowy (wynik nieprawidłowy)\n> - **0 pkt** - odpowiedź niespełniająca powyższych wymagań lub błędna metoda\n> - **Akceptowane warianty:** obie formy wzoru (\\((1/2)^{t/T_{1/2}}\\) lub \\(e^{-\\lambda t}\\)); wynik między ok. 8,5 a 9 mg; możliwe \"oszacowanie\" z zaokrągleniem liczby połówek\n> - **Uwagi (orientacyjne):** ✅ Dopuszcza się wyniki zaokrąglone wynikające z przyjęcia przybliżonej liczby połówek\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-20):**\n> **Prawo rozpadu promieniotwórczego:**\n> \\[N(t) = N_0 \\cdot \\left(\\frac{1}{2}\\right)^{\\!\\frac{t}{T_{1/2}}} \\qquad \\text{lub} \\qquad N(t) = N_0 \\cdot e^{-\\lambda t}\\]\n> gdzie \\(\\lambda = \\dfrac{\\ln 2}{T_{1/2}}\\)\n>\n> W zadaniu zamiast \\(N\\) (liczba jąder) używamy \\(m\\) (masa próbki) - wzór działa identycznie, bo masa jest proporcjonalna do liczby jąder: \\(m = N \\cdot m_{\\text{jądra}}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - odwrócenie wzoru i obliczenie **m(t) zamiast m₀**. Pamiętaj: szukamy masy **PRZED** rozpadem - musi być **większa** niż 0,75 mg!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(m(t) = m_0 \\cdot (1/2)^{t/T_{1/2}}\\) wymaga \\(t\\) i \\(T_{1/2}\\) w **tych samych jednostkach** (obydwa w dniach). Nie przeliczaj na sekundy - to niepotrzebne i może wprowadzić błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(2^{3{,}55}\\) nie jest \"okrągłe\" - użyj kalkulatora lub rozłóż: \\(2^{3{,}55} = 2^3 \\cdot 2^{0{,}55}\\). Pamiętaj, że \\(2^{0{,}5} = \\sqrt{2} \\approx 1{,}414\\), więc \\(2^{0{,}55} \\approx 1{,}46\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Słowo **\"oszacuj\"** w poleceniu daje Ci wolność zaokrąglania liczby połówek do 3,5 lub 4 - ale **nie zwalnia z pokazania wzoru i obliczeń**. Samo napisanie \"ok. 9 mg\" bez rachunku = 0 punktów.","image":"img/fizyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad-16.3.webp","solution_image":null,"topics":"Fizyka współczesna","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 16.3. (0-2)
Próbkę zawierającą izotop 224Ra zbadano po upływie 13 dni od dostarczenia do laboratorium
i ustalono, że po tym czasie próbka zawierała 0,75 mg tego izotopu.
Oszacuj masę tego izotopu w chwili dostarczenia do laboratorium.
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
15.
16.1. 16.2. 16.3.
Maks. liczba pkt
2
1
2
2
Uzyskana liczba pkt
MFA_1R

","answer_text_html":"

Zadanie 16.3. (0-2)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Budowa prostych modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk.
I. Znajomość i umiejętność
wykorzystania pojęć i praw fizyki
do wyjaśniania procesów i zjawisk
w przyrodzie.
3.4) (P) Zdający opisuje rozpad izotopu
promieniotwórczego, posługując się pojęciem
czasu połowicznego rozpadu; rysuje wykres
zależności liczby jąder, które uległy rozpadowi
od czasu […].
12.4) Zdający interpoluje, ocenia orientacyjnie
wartość pośrednią (interpolowaną) między
danymi […] także za pomocą wykresu.
Schemat punktowania
2 p. - prawidłowa metoda i prawidłowy wynik mieszczący się w przedziale od 8 mg do 9 mg
lub

\n\n

wynik, oraz stwierdzenie, że masa początkowa izotopu radu należy do przedziału
଴∈(6 mg; 12 mg).
1 p. - wykorzystanie
pojęcia
czasu
połowicznego
rozpadu
oraz
zauważenie,
że
3
< ݐ< 4ܶ.
0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Przykładowe rozwiązania
Sposób 1
Zauważamy, że czas 13 dni stanowi 3,5 czasów połowicznego rozpadu:
ݐܶ= 13 dni
3,7 dni ≈3,5
Korzystamy z pojęcia czasu połowicznego rozpadu lub równoważnie ze wzoru
przedstawiającego zależność liczby jąder pozostających w próbce od czasu. Zamiast liczby
jąder radu pozostających w próbce zapiszemy
(ݐ) - łączną masę jąder izotopu radu
pozostających w próbce (
଴ oznacza początkową masę izotopu radu w próbce):
(ݐ) =݉
଴∙൬1
2൰
௧்
→
଴=
(ݐ) ∙2
௧்
Dla ݐ= 3,5ܶ mamy:
଴=
(3,5ܶ) ∙2ଷ,ହ= 0,75 mg ∙ 2ଷ∙2
ଵ
ଶ= 8,5 mg.
Początkowa masa izotopu radu wynosiła około 8,5 mg.
Sposób 2
Zauważamy, że 3
< ݐ< 4ܶ. Następnie obliczamy, jakie byłyby masy początkowe,
gdybyśmy do rachunków przyjęli ݐ= 3ܶ, a następnie ݐ= 4ܶ:
0,75 mg =
଴∙൬1
2൰
ଷ
→
଴= 6 mg
0,75 mg =
଴∙൬1
2൰
ସ
→
଴= 12 mg
Początkowa masa izotopu należy do przedziału otwartego
଴∈(6 mg; 12 mg) lub masa
początkowa izotopu radu jest równa około:
଴≈1
2 (6 mg + 12 mg) ≈ 9 mg.
Sposób 3
Zauważamy, że w czwartym okresie czasu połowicznego rozpadu (tj. od 3ܶ do 4ܶ) fragment
krzywej rozpadu można przybliżyć odcinkiem prostym. Dlatego wartość funkcji
(ݐ) na
środku odcinka od 3ܶ do 4ܶ można szacować ze średniej arytmetycznej wartości funkcji
(ݐ) na krańcach tego odcinka:
(3,5ܶ) ≈1
2 ൫݉
(3ܶ) +݉
(4ܶ)൯
Korzystamy z pojęcia czasu połowicznego rozpadu:
(3,5ܶ) ≈1
2 ቆ൬1
2൰
ଷ
଴+ ൬1
2൰
ସ
଴ቇ= 1
2 ൬1
2൰
ଷ
൬1 + 1
2൰݉
଴= 3
32
଴
Podstawiamy dane:
(3,5ܶ) ≈3
32݉
଴ →
଴≈32
3 ∙0,75 mg ≈ 8 mg
Początkowa masa izotopu radu wynosiła około 8 mg.
Uwaga,
do
wzoru
(3,5ܶ) ≈
ଷ
ଷଶ
଴
można
dojść
równoważnymi
sposobami,
wykorzystującymi pojęcie czasu połowicznego rozpadu, na przykład:
(3,5ܶ) = 1
2 ∙1
2 ∙1
2 ∙3
4
଴
Czynnik ¾ pojawia się tutaj jako wynik następującego szacowania: jeśli w ciągu jednego
czasu połowicznego rozpadu rozpadnie się połowa jąder, to w połowie tego czasu rozpadnie
się około ¼ jąder, czyli pozostanie około ¾ jąder. Powyższy wzór to szacowanie liczby jąder
pozostających w próbce po trzech (trzy czynniki 1/2) i pół (czynnik 3/4) czasach
połowicznego rozpadu.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

Masa izotopu ²²⁴Ra w chwili dostarczenia do laboratorium wynosiła m₀ ≈ 8,8 mg (ok. 9 mg).

\n

Sposób 1 - Prawo rozpadu promieniotwórczego (wzór z połówkowym)

\n

Dane:

\n\n

Prawo rozpadu promieniotwórczego:

\n
m(t)=m0·(12)tT1/2
\n

Wyznaczamy m0:

\n
m0=m(t)(12)tT1/2=m(t)·2tT1/2
\n

Obliczamy wykładnik:

\n
tT1/2=133,66≈3,55
\n

Obliczamy masę początkową:

\n
m0=0,75 mg·23,55
\n
23,55=23·20,55=8·1,464≈11,7
\n
m0=0,75·11,7≈8,8 mg
\n

Sposób 2 - Prawo rozpadu przez funkcję eksponencjalną e−λt

\n

Korzystamy z równoważnej formy prawa rozpadu:

\n
m(t)=m0·e−λt
\n

gdzie stała rozpadu:

\n
λ=ln2T1/2=0,6933,66≈0,1893 dni−1
\n

Wyznaczamy m0:

\n
m0=m(t)·eλt=0,75·e0,1893·13=0,75·e2,461
\n
e2,461≈11,7
\n
m0≈0,75·11,7≈8,8 mg
\n

Wynik zgodny ze Sposobem 1 ✓

\n

Sposób 3 - Szacowanie przez liczenie połówek (metoda przybliżona)

\n

Zadanie prosi o oszacowanie, więc można zaokrąglić:

\n
133,66≈3,5≈4 okresy połowiczne
\n

Przy założeniu 4 połówek:

\n
m0=0,75·24=0,75·16=12 mg
\n

Przy założeniu 3,5 połówki (dokładniejsze):

\n
m0=0,75·23,5=0,75·82=0,75·11,31≈8,5 mg
\n

Wniosek z metody szacunkowej: masa w chwili dostarczenia wynosiła ok. 8,5-9 mg - co jest spójne z dokładnym wynikiem Sposobu 1.

\n
💡 Słowo "oszacuj" w poleceniu CKE oznacza, że akceptowane są wyniki przybliżone - ważny jest poprawny tok rozumowania, a nie dokładność obliczeń do 4 cyfr znaczących.
\n

Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)

\n
📋 Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 16.3, max 2 pkt):
- 2 pkt - uczeń poprawnie zastosował wzór prawa rozpadu promieniotwórczego i otrzymał wynik w przedziale akceptowanym (ok. 8-9 mg)
- 1 pkt - uczeń poprawnie zapisał wzór lub poprawnie wyznaczył liczbę okresów połowicznych, ale popełnił błąd rachunkowy (wynik nieprawidłowy)
- 0 pkt - odpowiedź niespełniająca powyższych wymagań lub błędna metoda
- Akceptowane warianty: obie formy wzoru ((1/2)t/T1/2 lub e−λt); wynik między ok. 8,5 a 9 mg; możliwe "oszacowanie" z zaokrągleniem liczby połówek
- Uwagi (orientacyjne): ✅ Dopuszcza się wyniki zaokrąglone wynikające z przyjęcia przybliżonej liczby połówek
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-20):
Prawo rozpadu promieniotwórczego:
N(t)=N0·(12)tT1/2lubN(t)=N0·e−λt
gdzie λ=ln2T1/2

W zadaniu zamiast N (liczba jąder) używamy m (masa próbki) - wzór działa identycznie, bo masa jest proporcjonalna do liczby jąder: m=N·mjądra.
\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd - odwrócenie wzoru i obliczenie m(t) zamiast m₀. Pamiętaj: szukamy masy PRZED rozpadem - musi być większa niż 0,75 mg!
\n
⚠️ Uwaga: Wzór m(t)=m0·(1/2)t/T1/2 wymaga t i T1/2 w tych samych jednostkach (obydwa w dniach). Nie przeliczaj na sekundy - to niepotrzebne i może wprowadzić błąd.
\n
⚠️ Uwaga: 23,55 nie jest "okrągłe" - użyj kalkulatora lub rozłóż: 23,55=23·20,55. Pamiętaj, że 20,5=2≈1,414, więc 20,55≈1,46.
\n
⚠️ Uwaga: Słowo "oszacuj" w poleceniu daje Ci wolność zaokrąglania liczby połówek do 3,5 lub 4 - ale nie zwalnia z pokazania wzoru i obliczeń. Samo napisanie "ok. 9 mg" bez rachunku = 0 punktów.
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

m0≈8,5 mg

"}]}