{"id":"fizyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/17.5","paper_id":"fizyka-2017-maj-matura-rozszerzona","number":"17.5","points":1,"ptype":"closed","subject":"fizyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 17.5. (0-1)\nZaznacz poprawne dokończenie zdania wybrane spośród podanych w nawiasach.\nDla elektronu w atomie suma energii kinetycznej i energii oddziaływania z jądrem jest\n(dodatnia / ujemna).\nEnergia elektronu w atomie (może mieć tylko wartość należącą do pewnego ściśle\nokreślonego zbioru / może być dowolna).\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n17.1. 17.2. 17.3. 17.4. 17.5.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nUzyskana liczba pkt\nMFA_1R\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)","answer":null,"answer_text":"Zadanie 17.5. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\n2.3) (P) Zdający opisuje budowę atomu wodoru,\nstan podstawowy i stany wzbudzone.\nSchemat punktowania\n1 p. - prawidłowe podkreślenia w obu zdaniach.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\nDla elektronu w atomie suma energii kinetycznej i energii oddziaływania z jądrem jest\n(dodatnia / ujemna).\nEnergia elektronu w atomie (może mieć tylko wartość należącą do pewnego ściśle\nokreślonego zbioru / może być dowolna).","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n1. Suma energii kinetycznej i energii oddziaływania z jądrem jest **ujemna**.\n2. Energia elektronu w atomie **może mieć tylko wartość należącą do pewnego ściśle określonego zbioru**.\n\n## Sposób 1 - Argument z twierdzenia wirialnego i warunków związania\n\n**Część 1 - znak energii całkowitej:**\n\nElektron w atomie porusza się w polu kulombowskim jądra. Przyjmujemy konwencję: energia potencjalna elektronu w odległości nieskończonej od jądra wynosi zero:\n\n\\[\nE_p(\\infty) = 0\n\\]\n\nDla elektronu znajdującego się bliżej jądra oddziaływanie jest **przyciągające**, więc energia potencjalna jest **ujemna**:\n\n\\[\nE_p = -\\frac{ke^2}{r} < 0\n\\]\n\nZ **twierdzenia wirialnego** (dla oddziaływania kulombowskiego \\(\\sim 1/r\\)):\n\n\\[\n\\langle E_k \\rangle = -\\frac{1}{2}\\langle E_p \\rangle\n\\]\n\nEnergia całkowita:\n\n\\[\nE = E_k + E_p = -\\frac{1}{2}E_p + E_p = \\frac{1}{2}E_p < 0\n\\]\n\nPonieważ \\(E_p < 0\\), to \\(E < 0\\). **Energia całkowita elektronu związanego jest ujemna.**\n\n> **Fizyczna interpretacja:** Elektron jest *uwięziony* przy jądrze - żeby go oderwać (jonizacja), trzeba mu dostarczyć energię. To właśnie oznacza ujemna energia całkowita: elektron ma mniej energii niż elektron swobodny w nieskończoności.\n\n**Część 2 - kwantyzacja energii:**\n\nMechanika kwantowa nakłada warunek brzegowy: funkcja falowa elektronu musi być **skończona i ciągła** wszędzie, w tym zanikać dla \\(r \\to \\infty\\). Ten warunek jest spełniony **tylko dla ściśle określonych wartości energii** \\(E_n\\). Dla atomu wodoru:\n\n\\[\nE_n = -\\frac{13{,}6\\ \\text{eV}}{n^2}, \\quad n = 1, 2, 3, \\ldots\n\\]\n\nEnergie tworzą **dyskretny zbiór** - elektron nie może mieć energii między poziomami.\n\n## Sposób 2 - Argument z modelu Bohra i obserwacji widm atomowych\n\n**Część 1 - znak energii:**\n\nBohr postulował, że elektron w atomie wodoru krąży po orbicie, na której siła kulombowska dostarcza siły dośrodkowej:\n\n\\[\n\\frac{ke^2}{r^2} = \\frac{m_e v^2}{r}\n\\]\n\nStąd energia kinetyczna:\n\n\\[\nE_k = \\frac{1}{2}m_e v^2 = \\frac{ke^2}{2r}\n\\]\n\nEnergia potencjalna (kulombowska, ze znakiem):\n\n\\[\nE_p = -\\frac{ke^2}{r}\n\\]\n\nEnergia całkowita:\n\n\\[\nE = E_k + E_p = \\frac{ke^2}{2r} - \\frac{ke^2}{r} = -\\frac{ke^2}{2r} < 0\n\\]\n\nWynik **zawsze ujemny** dla każdego \\(r > 0\\). ✔\n\n**Część 2 - dyskretność energii:**\n\nObserwacyjnie: widmo emisyjne atomu wodoru (serie Balmera, Lymana, Paschena) zawiera **ostre linie spektralne** o ściśle określonych częstotliwościach \\(\\nu\\). Gdyby energia elektronu mogła być dowolna, widmo byłoby ciągłe. Każda linia odpowiada przejściu:\n\n\\[\nh\\nu = E_{n_2} - E_{n_1}\n\\]\n\nDyskretność linii widmowych **bezpośrednio dowodzi** dyskretności poziomów energii.\n\n## Sposób 3 - Argument przez analogię: studnia potencjału i warunek normalizacji\n\n**Część 1:** Elektron przy jądrze to elektron w *studni potencjałowej* (analogia do cząstki uwięzionej). Energia stanu związanego w studni jest zawsze **poniżej zera** (dna studni = poziom odniesienia w nieskończoności).\n\n**Część 2 - kwantyzacja jako rezonans fali de Broglie'a:**\n\nElektron w atomie opisuje fala de Broglie'a o długości:\n\n\\[\n\\lambda = \\frac{h}{m_e v}\n\\]\n\nWarunek Bohra dla orbity stabilnej: na obwodzie orbity musi zmieścić się **całkowita liczba fal**:\n\n\\[\n2\\pi r = n\\lambda, \\quad n \\in \\mathbb{Z}^+\n\\]\n\nTen warunek rezonansu jest spełniony **tylko dla dyskretnych wartości \\(r\\)**, co przekłada się na **dyskretne wartości energii**. Fizyka zabrania energii \"między\" dozwolonymi poziomami - fala de Broglie'a by się destruktywnie interefrowała.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 17.5, max 1 pkt):**\n> - **1 pkt** - uczeń zaznacza OBYDWA poprawne dokończenia:\n> - „ujemna\"\n> - „może mieć tylko wartość należącą do pewnego ściśle określonego zbioru\"\n> - **0 pkt** - zaznaczono tylko jedno poprawne dokończenie lub co najmniej jedno błędne\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, str. 16-20:**\n> - **Atom wodoru / model Bohra:** \\(E_n = -\\frac{E_0}{n^2}\\), gdzie \\(E_0 = 13{,}6\\ \\text{eV}\\) - widać wprost, że \\(E_n < 0\\) dla każdego \\(n\\)\n> - **Fotoelektryczny / linie emisji:** \\(h\\nu = E_2 - E_1\\) - równanie przejścia między poziomami potwierdza dyskretność\n>\n> Twierdzenie wiriale i wzór \\(E = -ke^2/(2r)\\) wyprowadza się z zasad dynamiki - na karcie wzorów są potrzebne stałe: ładunek elektronu \\(e\\), masa \\(m_e\\), stała Coulomba \\(k\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Wariant | Typowy błąd ucznia |\n| **„dodatnia\"** (dla energii całkowitej) | Uczeń myśli tylko o energii **kinetycznej** elektronu, która jest faktycznie dodatnia. Zapomina, że energia potencjalna (ujemna, kulombowska) ma większy moduł niż kinetyczna - suma wychodzi ujemna. |\n| **„może być dowolna\"** | Uczeń myli elektron **swobodny** (nad jądrem, nieatomowy) z elektronem **związanym w atomie**. Elektron swobodny rzeczywiście może mieć dowolną energię - ale elektron uwięziony przy jądrze ma energię skwantowaną. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Energię kinetyczną elektronu mylimy z energią całkowitą - kinetyczna jest **zawsze dodatnia**, ale **całkowita (kin + pot) jest ujemna** dla stanu związanego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pytanie dotyczy **sumy** energii kinetycznej i **energii oddziaływania** (= potencjalnej), a nie samej energii kinetycznej. Słowo \"suma\" jest kluczowe.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kwantyzacja dotyczy elektronu **w atomie** (stan związany). Elektron **po wyrwaniu z atomu** (jonoizacja, pasmo przewodnictwa) może mieć dowolną energię kinetyczną - ten wyjątek często myli uczniów.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Oba dokończenia oceniane są łącznie za **1 punkt** - zaznaczenie tylko jednego poprawnego nie daje punktu! Upewnij się, że zaznaczasz obydwa.","image":"img/fizyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad-17.5.webp","solution_image":null,"topics":"Fizyka współczesna","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 17.5. (0-1)
Zaznacz poprawne dokończenie zdania wybrane spośród podanych w nawiasach.
Dla elektronu w atomie suma energii kinetycznej i energii oddziaływania z jądrem jest
(dodatnia / ujemna).
Energia elektronu w atomie (może mieć tylko wartość należącą do pewnego ściśle
określonego zbioru / może być dowolna).
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
17.1. 17.2. 17.3. 17.4. 17.5.
Maks. liczba pkt
1
1
1
1
1
Uzyskana liczba pkt
MFA_1R
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

","answer_text_html":"

Zadanie 17.5. (0-1)
Wymagania ogólne
Wymaganie szczegółowe
I. Znajomość i umiejętność
wykorzystania pojęć i praw fizyki
do wyjaśniania procesów i zjawisk
w przyrodzie.
2.3) (P) Zdający opisuje budowę atomu wodoru,
stan podstawowy i stany wzbudzone.
Schemat punktowania
1 p. - prawidłowe podkreślenia w obu zdaniach.
0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.
Poprawna odpowiedź
Dla elektronu w atomie suma energii kinetycznej i energii oddziaływania z jądrem jest
(dodatnia / ujemna).
Energia elektronu w atomie (może mieć tylko wartość należącą do pewnego ściśle
określonego zbioru / może być dowolna).

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n
  1. Suma energii kinetycznej i energii oddziaływania z jądrem jest ujemna.
  2. Energia elektronu w atomie może mieć tylko wartość należącą do pewnego ściśle określonego zbioru.
\n

Sposób 1 - Argument z twierdzenia wirialnego i warunków związania

\n

Część 1 - znak energii całkowitej:

\n

Elektron w atomie porusza się w polu kulombowskim jądra. Przyjmujemy konwencję: energia potencjalna elektronu w odległości nieskończonej od jądra wynosi zero:

\n
Ep(∞)=0
\n

Dla elektronu znajdującego się bliżej jądra oddziaływanie jest przyciągające, więc energia potencjalna jest ujemna:

\n
Ep=−ke2r<0
\n

Z twierdzenia wirialnego (dla oddziaływania kulombowskiego ~1/r):

\n
⟨Ek⟩=−12⟨Ep⟩
\n

Energia całkowita:

\n
E=Ek+Ep=−12Ep+Ep=12Ep<0
\n

Ponieważ Ep<0, to E<0. Energia całkowita elektronu związanego jest ujemna.

\n
Fizyczna interpretacja: Elektron jest uwięziony przy jądrze - żeby go oderwać (jonizacja), trzeba mu dostarczyć energię. To właśnie oznacza ujemna energia całkowita: elektron ma mniej energii niż elektron swobodny w nieskończoności.
\n

Część 2 - kwantyzacja energii:

\n

Mechanika kwantowa nakłada warunek brzegowy: funkcja falowa elektronu musi być skończona i ciągła wszędzie, w tym zanikać dla r→∞. Ten warunek jest spełniony tylko dla ściśle określonych wartości energii En. Dla atomu wodoru:

\n
En=−13,6 eVn2,n=1,2,3,…
\n

Energie tworzą dyskretny zbiór - elektron nie może mieć energii między poziomami.

\n

Sposób 2 - Argument z modelu Bohra i obserwacji widm atomowych

\n

Część 1 - znak energii:

\n

Bohr postulował, że elektron w atomie wodoru krąży po orbicie, na której siła kulombowska dostarcza siły dośrodkowej:

\n
ke2r2=mev2r
\n

Stąd energia kinetyczna:

\n
Ek=12mev2=ke22r
\n

Energia potencjalna (kulombowska, ze znakiem):

\n
Ep=−ke2r
\n

Energia całkowita:

\n
E=Ek+Ep=ke22r−ke2r=−ke22r<0
\n

Wynik zawsze ujemny dla każdego r>0. ✔

\n

Część 2 - dyskretność energii:

\n

Obserwacyjnie: widmo emisyjne atomu wodoru (serie Balmera, Lymana, Paschena) zawiera ostre linie spektralne o ściśle określonych częstotliwościach ν. Gdyby energia elektronu mogła być dowolna, widmo byłoby ciągłe. Każda linia odpowiada przejściu:

\n
hν=En2−En1
\n

Dyskretność linii widmowych bezpośrednio dowodzi dyskretności poziomów energii.

\n

Sposób 3 - Argument przez analogię: studnia potencjału i warunek normalizacji

\n

Część 1: Elektron przy jądrze to elektron w studni potencjałowej (analogia do cząstki uwięzionej). Energia stanu związanego w studni jest zawsze poniżej zera (dna studni = poziom odniesienia w nieskończoności).

\n

Część 2 - kwantyzacja jako rezonans fali de Broglie'a:

\n

Elektron w atomie opisuje fala de Broglie'a o długości:

\n
λ=hmev
\n

Warunek Bohra dla orbity stabilnej: na obwodzie orbity musi zmieścić się całkowita liczba fal:

\n
2πr=nλ,n∈ℤ+
\n

Ten warunek rezonansu jest spełniony tylko dla dyskretnych wartości r, co przekłada się na dyskretne wartości energii. Fizyka zabrania energii "między" dozwolonymi poziomami - fala de Broglie'a by się destruktywnie interefrowała.

\n

Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)

\n
📋 Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 17.5, max 1 pkt):
- 1 pkt - uczeń zaznacza OBYDWA poprawne dokończenia:
- „ujemna"
- „może mieć tylko wartość należącą do pewnego ściśle określonego zbioru"
- 0 pkt - zaznaczono tylko jedno poprawne dokończenie lub co najmniej jedno błędne
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, str. 16-20:
- Atom wodoru / model Bohra: En=−E0n2, gdzie E0=13,6 eV - widać wprost, że En<0 dla każdego n
- Fotoelektryczny / linie emisji: hν=E2−E1 - równanie przejścia między poziomami potwierdza dyskretność

Twierdzenie wiriale i wzór E=−ke2/(2r) wyprowadza się z zasad dynamiki - na karcie wzorów są potrzebne stałe: ładunek elektronu e, masa me, stała Coulomba k.
\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Wariant | Typowy błąd ucznia |
| „dodatnia" (dla energii całkowitej) | Uczeń myśli tylko o energii kinetycznej elektronu, która jest faktycznie dodatnia. Zapomina, że energia potencjalna (ujemna, kulombowska) ma większy moduł niż kinetyczna - suma wychodzi ujemna. |
| „może być dowolna" | Uczeń myli elektron swobodny (nad jądrem, nieatomowy) z elektronem związanym w atomie. Elektron swobodny rzeczywiście może mieć dowolną energię - ale elektron uwięziony przy jądrze ma energię skwantowaną. |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Energię kinetyczną elektronu mylimy z energią całkowitą - kinetyczna jest zawsze dodatnia, ale całkowita (kin + pot) jest ujemna dla stanu związanego.
\n
⚠️ Uwaga: Pytanie dotyczy sumy energii kinetycznej i energii oddziaływania (= potencjalnej), a nie samej energii kinetycznej. Słowo "suma" jest kluczowe.
\n
⚠️ Uwaga: Kwantyzacja dotyczy elektronu w atomie (stan związany). Elektron po wyrwaniu z atomu (jonoizacja, pasmo przewodnictwa) może mieć dowolną energię kinetyczną - ten wyjątek często myli uczniów.
\n
⚠️ Uwaga: Oba dokończenia oceniane są łącznie za 1 punkt - zaznaczenie tylko jednego poprawnego nie daje punktu! Upewnij się, że zaznaczasz obydwa.
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

ujemna, może mieć tylko wartość należącą do pewnego ściśle określonego zbioru

"}]}