{"id":"fizyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/2.1","paper_id":"fizyka-2017-maj-matura-rozszerzona","number":"2.1","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2.1. (0-2)\nNa podanym rysunku rozłóż wektor prędkości kuli K1 przed zderzeniem na składowe\nwzdłuż kierunków I i II. Narysuj linią ciągłą tory ruchu obu kul po zderzeniu.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 2.1. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów\ni rysunków.\n1.1) Zdający wykonuje działania na wektorach\n(dodawanie, […], rozkładanie na składowe).\nSchemat punktowania\n2 p. - prawidłowy rozkład prędkości na składowe oraz prawidłowe zaznaczenie na rysunku\ntorów obu kul liniami ciągłymi.\n1 p. - prawidłowy rozkład prędkości na składowe\nlub\n- prawidłowe zaznaczenia na rysunku liniami ciągłymi torów obu kul.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPoprawne rozwiązanie","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n**Rozkład wektora:** \\(\\vec{v}\\) rozkładamy na składową \\(\\vec{v}_I\\) wzdłuż osi I (ku środkowi K2) i \\(\\vec{v}_{II}\\) wzdłuż osi II (prostopadle). Rysunek = prostokąt z przekątną \\(\\vec{v}\\).\n\n**Tory po zderzeniu:**\n- **K1** porusza się wzdłuż osi **II** (z prędkością \\(v_{II}\\), zachowuje tylko składową poprzeczną)\n- **K2** porusza się wzdłuż osi **I** (z prędkością \\(v_I\\), przejęła składową centralną)\n- Kąt między torami obu kul po zderzeniu = **90°**\n\n## Sposób 1 - Fizyczny: dekompozycja na zderzenie centralne (oś I) + \"szyba\" (oś II)\n\n**Krok 1. Rozkład \\(\\vec{v}\\) kuli K1 przed zderzeniem**\n\nOś I: wzdłuż linii łączącej środki kul w chwili zetknięcia (kierunek \"centralny\").\nOś II: prostopadła do osi I.\n\nRysujemy prostokąt (lub trójkąt prostokątny):\n\n\\[\n\\vec{v} = \\vec{v}_I + \\vec{v}_{II}\n\\]\n\ngdzie \\(v_I = v\\cos\\alpha\\), \\(v_{II} = v\\sin\\alpha\\) (α = kąt między \\(\\vec{v}\\) a osią I).\n\nOba wektory składowe rysujemy z punktu, w którym K1 jest tuż przed zderzeniem.\n\n**Krok 2. Co dzieje się podczas zderzenia - oś I (jak zderzenie centralne)**\n\nZ treści zadania:\n> *„Ruch wzdłuż osi I przebiega tak jak w zderzeniu centralnym\"*\n\nW zderzeniu centralnym kul jednakowych:\n- kula uderzająca **zatrzymuje się** (traci \\(v_I\\))\n- kula uderzona **odskakuje z \\(v_I\\)**\n\nZatem:\n| Składowa I | Przed | Po |\n| K1 | \\(v_I\\) | **0** |\n| K2 | 0 | **\\(v_I\\)** |\n\n**Krok 3. Co dzieje się podczas zderzenia - oś II (składowe się nie zmieniają)**\n\nZ treści zadania:\n> *„Składowe prędkości każdej z kul wzdłuż osi II nie zmieniają się podczas zderzenia\"*\n\n| Składowa II | Przed | Po |\n| K1 | \\(v_{II}\\) | **\\(v_{II}\\)** |\n| K2 | 0 | **0** |\n\n**Krok 4. Prędkości wypadkowe po zderzeniu**\n\n- **K1** po zderzeniu: \\(v_I = 0\\), \\(v_{II} \\neq 0\\) → jedzie **wzdłuż osi II**\n- **K2** po zderzeniu: \\(v_I \\neq 0\\), \\(v_{II} = 0\\) → jedzie **wzdłuż osi I**\n\n**Kąt między torami K1 i K2 po zderzeniu = 90°** (bo oś I ⊥ oś II z definicji).\n\n## Sposób 2 - Algebraiczny: zasady zachowania pędu i energii (weryfikacja)\n\nOznaczmy: masa każdej kuli = \\(m\\), prędkość K1 przed zderzeniem = \\(\\vec{v}\\).\n\n**Zasada zachowania pędu** (wektorowo):\n\\[\nm\\vec{v} = m\\vec{v}_1' + m\\vec{v}_2'\n\\]\n\\[\n\\vec{v} = \\vec{v}_1' + \\vec{v}_2'\n\\]\n\n**Zasada zachowania energii kinetycznej** (zderzenie sprężyste):\n\\[\n\\frac{1}{2}mv^2 = \\frac{1}{2}mv_1'^2 + \\frac{1}{2}mv_2'^2\n\\]\n\\[\nv^2 = v_1'^2 + v_2'^2\n\\]\n\nZ równania pędowego: \\(\\vec{v} = \\vec{v}_1' + \\vec{v}_2'\\), skąd \\(|\\vec{v}|^2 = v_1'^2 + 2\\vec{v}_1'\\cdot\\vec{v}_2' + v_2'^2\\).\n\nPodstawiamy \\(v^2 = v_1'^2 + v_2'^2\\):\n\\[\nv_1'^2 + v_2'^2 = v_1'^2 + 2\\vec{v}_1'\\cdot\\vec{v}_2' + v_2'^2\n\\]\n\\[\n0 = 2\\vec{v}_1'\\cdot\\vec{v}_2'\n\\]\n\\[\n\\vec{v}_1'\\cdot\\vec{v}_2' = 0\n\\]\n\n**Iloczyn skalarny = 0 ⟹ wektory prostopadłe ⟹ tory K1 i K2 po zderzeniu są do siebie PROSTOPADŁE.**\n\nTo potwierdza wynik z Metody 1: kąt 90° jest nieuchronnym wynikiem zachowania pędu i energii dla kul o równych masach, niezależnie od kąta uderzenia.\n\n## Sposób 3 - Geometryczny: twierdzenie Talesa (trójkąt na półokręgu)\n\nZ zasady zachowania pędu: \\(\\vec{v} = \\vec{v}_1' + \\vec{v}_2'\\) - trójkąt wektorów.\n\nZ zasady zachowania energii: \\(v^2 = v_1'^2 + v_2'^2\\) - twierdzenie Pitagorasa dla boków tego trójkąta.\n\nJeśli w trójkącie \\(c^2 = a^2 + b^2\\), to kąt przy wierzchołku naprzeciwległym do \\(c\\) wynosi **90°**. Wektor \\(\\vec{v}\\) jest w tej geometrii **średnicą półokręgu**, a końce \\(\\vec{v}_1', \\vec{v}_2'\\) leżą na tym półokręgu.\n\nZ **twierdzenia Talesa**: kąt wpisany oparty na średnicy = 90°.\n\nZatem cokolwiek się nie stanie (dowolny kąt α), prędkości K1 i K2 po zderzeniu **zawsze tworzą kąt prosty** - co narysować na rysunku.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 2.1, max 2 pkt):**\n>\n> - **1 pkt** - poprawny rozkład wektora prędkości \\(\\vec{v}\\) kuli K1 na dwie składowe wzdłuż osi I i osi II (na rysunku: prostokąt/trójkąt prostokątny z przekątną \\(\\vec{v}\\) i bokami wzdłuż I i II)\n> - **1 pkt** - narysowanie poprawnych torów ruchu obu kul po zderzeniu: K1 wzdłuż osi II, K2 wzdłuż osi I, zaznaczony kąt prosty między torami\n> - **0 pkt** - rozkład wektora na inne kierunki; tory niezgodne z mechaniką zderzenia; brak zaznaczenia prostopadłości\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - dział Mechanika (Fizyka):**\n>\n> - **Zasada zachowania pędu:** \\(\\vec{p} = m\\vec{v}\\), \\(\\sum \\vec{p} = \\text{const}\\)\n> - **Zasada zachowania energii mechanicznej** (zderzenie sprężyste): \\(E_k = \\frac{1}{2}mv^2 = \\text{const}\\)\n> - **Rozkład wektora:** geometria, dodawanie wektorów (reguła trójkąta / równoległoboku)\n>\n> W Sposobie 1 korzystamy z informacji z treści zadania (nie z karty - informacja podana wprost).\n> W Sposobie 2 korzystamy z zasad zachowania pędu i energii.\n> W Sposobie 3 - twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie Talesa (geometria).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Rozkład wektora \\(\\vec{v}\\) musi być **prostokątny** - składowe wzdłuż I i II są do siebie prostopadłe. Często uczniowie rysują składowe w innych kierunkach (np. poziomo/pionowo), zamiast wzdłuż **osi I zdefiniowanej przez linię środków kul**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kula K1 po zderzeniu **nie staje w miejscu** (jak w centralnym) - ma składową \\(v_{II}\\) i jedzie wzdłuż osi II. Typowy błąd: uczeń rysuje K1 zatrzymaną.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt 90° między torami po zderzeniu jest **zawsze prawdziwy** dla kul o równych masach i dowolnym kącie uderzenia (wynika z zasad zachowania) - nie zależy od konkretnego α. Nie trzeba znać α, żeby narysować prostopadłe tory.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wektor \\(\\vec{v}_{II}\\) kuli K1 pozostaje **niezmieniony** - nie zmienia ani zwrotu, ani wartości. Uczeń nie musi go „odbijać\" - K1 po prostu kontynuuje ruch wzdłuż II.","image":"img/fizyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad-2.1.webp","solution_image":null,"topics":"Pęd, energia mechaniczna","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 2.1. (0-2)
Na podanym rysunku rozłóż wektor prędkości kuli K1 przed zderzeniem na składowe
wzdłuż kierunków I i II. Narysuj linią ciągłą tory ruchu obu kul po zderzeniu.

","answer_text_html":"

Zadanie 2.1. (0-2)
Wymagania ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i przetwarzanie
informacji zapisanych w postaci tekstu,
tabel, wykresów, schematów
i rysunków.
1.1) Zdający wykonuje działania na wektorach
(dodawanie, […], rozkładanie na składowe).
Schemat punktowania
2 p. - prawidłowy rozkład prędkości na składowe oraz prawidłowe zaznaczenie na rysunku
torów obu kul liniami ciągłymi.
1 p. - prawidłowy rozkład prędkości na składowe
lub

\n\n

0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Poprawne rozwiązanie

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

Rozkład wektora: v→ rozkładamy na składową v→I wzdłuż osi I (ku środkowi K2) i v→II wzdłuż osi II (prostopadle). Rysunek = prostokąt z przekątną v→.

\n

Tory po zderzeniu:

\n\n

Sposób 1 - Fizyczny: dekompozycja na zderzenie centralne (oś I) + "szyba" (oś II)

\n

Krok 1. Rozkład v→ kuli K1 przed zderzeniem

\n

Oś I: wzdłuż linii łączącej środki kul w chwili zetknięcia (kierunek "centralny").
Oś II: prostopadła do osi I.

\n

Rysujemy prostokąt (lub trójkąt prostokątny):

\n
v→=v→I+v→II
\n

gdzie vI=vcosα, vII=vsinα (α = kąt między v→ a osią I).

\n

Oba wektory składowe rysujemy z punktu, w którym K1 jest tuż przed zderzeniem.

\n

Krok 2. Co dzieje się podczas zderzenia - oś I (jak zderzenie centralne)

\n

Z treści zadania:

\n
„Ruch wzdłuż osi I przebiega tak jak w zderzeniu centralnym"
\n

W zderzeniu centralnym kul jednakowych:

\n\n

Zatem:
| Składowa I | Przed | Po |
| K1 | vI | 0 |
| K2 | 0 | vI |

\n

Krok 3. Co dzieje się podczas zderzenia - oś II (składowe się nie zmieniają)

\n

Z treści zadania:

\n
„Składowe prędkości każdej z kul wzdłuż osi II nie zmieniają się podczas zderzenia"
\n

| Składowa II | Przed | Po |
| K1 | vII | vII |
| K2 | 0 | 0 |

\n

Krok 4. Prędkości wypadkowe po zderzeniu

\n\n

Kąt między torami K1 i K2 po zderzeniu = 90° (bo oś I ⊥ oś II z definicji).

\n

Sposób 2 - Algebraiczny: zasady zachowania pędu i energii (weryfikacja)

\n

Oznaczmy: masa każdej kuli = m, prędkość K1 przed zderzeniem = v→.

\n

Zasada zachowania pędu (wektorowo):

\n
mv→=mv→1′+mv→2′
\n
v→=v→1′+v→2′
\n

Zasada zachowania energii kinetycznej (zderzenie sprężyste):

\n
12mv2=12mv1′2+12mv2′2
\n
v2=v1′2+v2′2
\n

Z równania pędowego: v→=v→1′+v→2′, skąd |v→|2=v1′2+2v→1′·v→2′+v2′2.

\n

Podstawiamy v2=v1′2+v2′2:

\n
v1′2+v2′2=v1′2+2v→1′·v→2′+v2′2
\n
0=2v→1′·v→2′
\n
v→1′·v→2′=0
\n

Iloczyn skalarny = 0 ⟹ wektory prostopadłe ⟹ tory K1 i K2 po zderzeniu są do siebie PROSTOPADŁE.

\n

To potwierdza wynik z Metody 1: kąt 90° jest nieuchronnym wynikiem zachowania pędu i energii dla kul o równych masach, niezależnie od kąta uderzenia.

\n

Sposób 3 - Geometryczny: twierdzenie Talesa (trójkąt na półokręgu)

\n

Z zasady zachowania pędu: v→=v→1′+v→2′ - trójkąt wektorów.

\n

Z zasady zachowania energii: v2=v1′2+v2′2 - twierdzenie Pitagorasa dla boków tego trójkąta.

\n

Jeśli w trójkącie c2=a2+b2, to kąt przy wierzchołku naprzeciwległym do c wynosi 90°. Wektor v→ jest w tej geometrii średnicą półokręgu, a końce v→1′,v→2′ leżą na tym półokręgu.

\n

Z twierdzenia Talesa: kąt wpisany oparty na średnicy = 90°.

\n

Zatem cokolwiek się nie stanie (dowolny kąt α), prędkości K1 i K2 po zderzeniu zawsze tworzą kąt prosty - co narysować na rysunku.

\n

Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)

\n
📋 Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 2.1, max 2 pkt):

- 1 pkt - poprawny rozkład wektora prędkości v→ kuli K1 na dwie składowe wzdłuż osi I i osi II (na rysunku: prostokąt/trójkąt prostokątny z przekątną v→ i bokami wzdłuż I i II)
- 1 pkt - narysowanie poprawnych torów ruchu obu kul po zderzeniu: K1 wzdłuż osi II, K2 wzdłuż osi I, zaznaczony kąt prosty między torami
- 0 pkt - rozkład wektora na inne kierunki; tory niezgodne z mechaniką zderzenia; brak zaznaczenia prostopadłości
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - dział Mechanika (Fizyka):

- Zasada zachowania pędu: p→=mv→, ∑p→=const
- Zasada zachowania energii mechanicznej (zderzenie sprężyste): Ek=12mv2=const
- Rozkład wektora: geometria, dodawanie wektorów (reguła trójkąta / równoległoboku)

W Sposobie 1 korzystamy z informacji z treści zadania (nie z karty - informacja podana wprost).
W Sposobie 2 korzystamy z zasad zachowania pędu i energii.
W Sposobie 3 - twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie Talesa (geometria).
\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Rozkład wektora v→ musi być prostokątny - składowe wzdłuż I i II są do siebie prostopadłe. Często uczniowie rysują składowe w innych kierunkach (np. poziomo/pionowo), zamiast wzdłuż osi I zdefiniowanej przez linię środków kul.
\n
⚠️ Uwaga: Kula K1 po zderzeniu nie staje w miejscu (jak w centralnym) - ma składową vII i jedzie wzdłuż osi II. Typowy błąd: uczeń rysuje K1 zatrzymaną.
\n
⚠️ Uwaga: Kąt 90° między torami po zderzeniu jest zawsze prawdziwy dla kul o równych masach i dowolnym kącie uderzenia (wynika z zasad zachowania) - nie zależy od konkretnego α. Nie trzeba znać α, żeby narysować prostopadłe tory.
\n
⚠️ Uwaga: Wektor v→II kuli K1 pozostaje niezmieniony - nie zmienia ani zwrotu, ani wartości. Uczeń nie musi go „odbijać" - K1 po prostu kontynuuje ruch wzdłuż II.
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

[OBRAZEK]

"}]}