{"id":"fizyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/3.2","paper_id":"fizyka-2017-maj-matura-rozszerzona","number":"3.2","points":1,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3.2. (0-1)\nOblicz kąt, o jaki należy obrócić ramkę wokół zaznaczonej osi, aby strumień indukcji\npola magnetycznego przechodzący przez ramkę zmalał dwukrotnie.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3.2. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli\nfizycznych i matematycznych do opisu\nzjawisk.\n9.8) Zdający oblicza strumień indukcji\nmagnetycznej przez powierzchnię.\nSchemat punktowania\n1 p. - prawidłowa metoda i prawidłowa wartość kąta.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPrzykładowe rozwiązanie\nOznaczamy przez Ф஻(ߙ) - strumień indukcji magnetycznej przechodzący przez ramkę\nobróconą o kąt ߙ oraz Ф஻(0°) - strumień indukcji magnetycznej przechodzący przez ramkę\nw położeniu początkowym. Mamy wtedy:\nФ஻(ߙ) = 1\n2 Ф஻(0°) → ܤ∙ܵ\n∙cos ߙ= 1\n2 ∙ܤ∙ܵ\n∙cos 0° → cos ߙ= 1\n2 →\nߙ= 60° lub ߙ= 300°\nRamkę należy obrócić o kąt 60° lub 300°. (Do poprawnych zaliczane są też odpowiedzi, że\nramkę należy obrócić o kąt 120° lub 240°, jako rozwiązania równania cos ߙ= -1/2. Miary\nkątów mogą być podane w radianach).","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nRamkę należy obrócić o **60°**.\n\n## Sposób 1 - Wzór na strumień i warunek dwukrotnego zmniejszenia\n\n**Punkt wyjścia:** Strumień indukcji magnetycznej przez płaską ramkę wyraża wzór:\n\n\\[\\Phi = B \\cdot A \\cdot \\cos\\alpha\\]\n\ngdzie \\(\\alpha\\) to kąt między wektorem **B** a normalną do powierzchni ramki.\n\n**Pozycja początkowa:** Ramka ustawiona tak, że strumień jest maksymalny - normalna do ramki równoległa do **B**, czyli \\(\\alpha_0 = 0°\\):\n\n\\[\\Phi_0 = B \\cdot A \\cdot \\cos 0° = B \\cdot A\\]\n\n**Warunek zadania** - strumień maleje dwukrotnie:\n\n\\[\\Phi = \\frac{\\Phi_0}{2}\\]\n\n\\[B \\cdot A \\cdot \\cos\\alpha = \\frac{B \\cdot A}{2}\\]\n\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{1}{2}\\]\n\n\\[\\alpha = 60°\\]\n\n**Wniosek:** Po obróceniu o **60°** strumień wynosi dokładnie połowę wartości początkowej.\n\n## Sposób 2 - Geometryczny (rzut normalnej na kierunek B)\n\nStrumień to iloczyn \\(B\\) i **rzutu powierzchni prostopadłej** do **B**:\n\n\\[\\Phi = B \\cdot A_{\\perp} = B \\cdot A \\cdot \\cos\\alpha\\]\n\nChcemy, by efektywna powierzchnia zmalała dwukrotnie:\n\n\\[A_{\\perp,\\text{nowe}} = \\frac{A}{2}\\]\n\n\\[A \\cdot \\cos\\alpha = \\frac{A}{2} \\implies \\cos\\alpha = 0{,}5\\]\n\nNa karcie trygonometrycznej (lub z pamięci): \\(\\cos 60° = 0{,}5\\), więc **kąt obrotu = 60°**.\n\nGeometrycznie: normalna do ramki odchyla się od **B** o 60° - rzut normalnej na **B** to \\(\\cos 60° = \\frac{1}{2}\\), a właśnie od tego rzutu zależy strumień.\n\n## Sposób 3 - Weryfikacja przez wartości graniczne (rozumowanie kontrolne)\n\n| Kąt obrotu \\(\\alpha\\) | \\(\\cos\\alpha\\) | Strumień \\(\\Phi / \\Phi_0\\) |\n| 0° | 1 | 100% (max) |\n| 30° | \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\approx 0{,}87\\) | 87% |\n| **60°** | **0,5** | **50% ✓** |\n| 90° | 0 | 0% (ramka równoległa do **B**) |\n\nWidać, że 60° jest jedynym kątem dającym dokładnie połowę strumienia. Sprawdzenie granic daje pewność, że nie pomyliliśmy kąta z normalną z kątem między płaszczyzną ramki a **B**.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 3.2, max 1 pkt):**\n> - **1 pkt** - uczeń zapisał poprawny wzór na strumień \\(\\Phi = B \\cdot A \\cdot \\cos\\alpha\\) i na podstawie warunku \\(\\cos\\alpha = \\frac{1}{2}\\) wyznaczył kąt **60°**\n> - **0 pkt** - brak uzasadnienia lub podanie samej liczby bez wyprowadzenia; podanie kąta 30° (typowa pomyłka - patrz pułapki); błąd w warunku (np. \\(\\cos\\alpha = 2\\))\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja Fizyka (strumień magnetyczny):**\n>\n> \\[\\Phi = B \\cdot A \\cdot \\cos\\alpha\\]\n>\n> gdzie:\n> - \\(B\\) - indukcja magnetyczna \\([\\text{T}]\\)\n> - \\(A\\) - pole powierzchni ramki \\([\\text{m}^2]\\)\n> - \\(\\alpha\\) - kąt między wektorem **B** a normalną do powierzchni ramki\n>\n> Użyta wprost w Sposobach 1 i 2 do ustawienia równania \\(\\cos\\alpha = \\frac{1}{2}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Pułapka 1 - kąt 30° zamiast 60°:** Uczniowie mylą kąt między **B** a normalną do ramki z kątem między **B** a *płaszczyzną* ramki. Te dwa kąty sumują się do 90°. Wzór \\(\\Phi = B A \\cos\\alpha\\) używa kąta z **normalną** - stąd 60°, nie 30°.\n\n> ⚠️ **Pułapka 2 - warunek \"zmalał dwukrotnie\":** \"Zmalał dwukrotnie\" znaczy \\(\\Phi = \\frac{\\Phi_0}{2}\\), nie \\(\\Phi = \\Phi_0 - 2\\). Zawsze tłumacz to na mnożnik: \\(\\cos\\alpha = \\frac{1}{2}\\).\n\n> ⚠️ **Pułapka 3 - pozycja startowa:** Wzór działa tylko jeśli wiesz, od jakiej pozycji liczymy kąt. Standardowo (i w tym zadaniu) startujemy od pozycji maksymalnego strumienia, czyli \\(\\alpha_0 = 0°\\). Gdyby ramka startowała pod innym kątem, obliczenia byłyby inne.\n\n> ⚠️ **Akceptowane warianty CKE:** poza 60° klucz uznaje też 300° (oba spelniaja cos(alpha)=1/2), a takze 120° lub 240° (jako rozwiazania rownania cos(alpha) = -1/2). Miary katow moga byc podane w radianach.","image":"img/fizyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad-3.2.webp","solution_image":null,"topics":"Indukcja elektromagnetyczna","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 3.2. (0-1)
Oblicz kąt, o jaki należy obrócić ramkę wokół zaznaczonej osi, aby strumień indukcji
pola magnetycznego przechodzący przez ramkę zmalał dwukrotnie.

","answer_text_html":"

Zadanie 3.2. (0-1)
Wymagania ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Budowa prostych modeli
fizycznych i matematycznych do opisu
zjawisk.
9.8) Zdający oblicza strumień indukcji
magnetycznej przez powierzchnię.
Schemat punktowania
1 p. - prawidłowa metoda i prawidłowa wartość kąta.
0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.
Przykładowe rozwiązanie
Oznaczamy przez Ф஻(ߙ) - strumień indukcji magnetycznej przechodzący przez ramkę
obróconą o kąt ߙ oraz Ф஻(0°) - strumień indukcji magnetycznej przechodzący przez ramkę
w położeniu początkowym. Mamy wtedy:
Ф஻(ߙ) = 1
2 Ф஻(0°) → ܤ∙ܵ
∙cos ߙ= 1
2 ∙ܤ∙ܵ
∙cos 0° → cos ߙ= 1
2 →
ߙ= 60° lub ߙ= 300°
Ramkę należy obrócić o kąt 60° lub 300°. (Do poprawnych zaliczane są też odpowiedzi, że
ramkę należy obrócić o kąt 120° lub 240°, jako rozwiązania równania cos ߙ= -1/2. Miary
kątów mogą być podane w radianach).

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

Ramkę należy obrócić o 60°.

\n

Sposób 1 - Wzór na strumień i warunek dwukrotnego zmniejszenia

\n

Punkt wyjścia: Strumień indukcji magnetycznej przez płaską ramkę wyraża wzór:

\n
Φ=B·A·cosα
\n

gdzie α to kąt między wektorem B a normalną do powierzchni ramki.

\n

Pozycja początkowa: Ramka ustawiona tak, że strumień jest maksymalny - normalna do ramki równoległa do B, czyli α0=0°:

\n
Φ0=B·A·cos0°=B·A
\n

Warunek zadania - strumień maleje dwukrotnie:

\n
Φ=Φ02
\n
B·A·cosα=B·A2
\n
cosα=12
\n
α=60°
\n

Wniosek: Po obróceniu o 60° strumień wynosi dokładnie połowę wartości początkowej.

\n

Sposób 2 - Geometryczny (rzut normalnej na kierunek B)

\n

Strumień to iloczyn B i rzutu powierzchni prostopadłej do B:

\n
Φ=B·A⟂=B·A·cosα
\n

Chcemy, by efektywna powierzchnia zmalała dwukrotnie:

\n
A⟂,nowe=A2
\n
A·cosα=A2⟹cosα=0,5
\n

Na karcie trygonometrycznej (lub z pamięci): cos60°=0,5, więc kąt obrotu = 60°.

\n

Geometrycznie: normalna do ramki odchyla się od B o 60° - rzut normalnej na B to cos60°=12, a właśnie od tego rzutu zależy strumień.

\n

Sposób 3 - Weryfikacja przez wartości graniczne (rozumowanie kontrolne)

\n

| Kąt obrotu α | cosα | Strumień Φ/Φ0 |
| 0° | 1 | 100% (max) |
| 30° | 32≈0,87 | 87% |
| 60° | 0,5 | 50% ✓ |
| 90° | 0 | 0% (ramka równoległa do B) |

\n

Widać, że 60° jest jedynym kątem dającym dokładnie połowę strumienia. Sprawdzenie granic daje pewność, że nie pomyliliśmy kąta z normalną z kątem między płaszczyzną ramki a B.

\n

Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)

\n
📋 Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 3.2, max 1 pkt):
- 1 pkt - uczeń zapisał poprawny wzór na strumień Φ=B·A·cosα i na podstawie warunku cosα=12 wyznaczył kąt 60°
- 0 pkt - brak uzasadnienia lub podanie samej liczby bez wyprowadzenia; podanie kąta 30° (typowa pomyłka - patrz pułapki); błąd w warunku (np. cosα=2)
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja Fizyka (strumień magnetyczny):

Φ=B·A·cosα

gdzie:
- B - indukcja magnetyczna [T]
- A - pole powierzchni ramki [m2]
- α - kąt między wektorem B a normalną do powierzchni ramki

Użyta wprost w Sposobach 1 i 2 do ustawienia równania cosα=12.
\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Pułapka 1 - kąt 30° zamiast 60°: Uczniowie mylą kąt między B a normalną do ramki z kątem między B a płaszczyzną ramki. Te dwa kąty sumują się do 90°. Wzór Φ=BAcosα używa kąta z normalną - stąd 60°, nie 30°.
\n
⚠️ Pułapka 2 - warunek "zmalał dwukrotnie": "Zmalał dwukrotnie" znaczy Φ=Φ02, nie Φ=Φ0−2. Zawsze tłumacz to na mnożnik: cosα=12.
\n
⚠️ Pułapka 3 - pozycja startowa: Wzór działa tylko jeśli wiesz, od jakiej pozycji liczymy kąt. Standardowo (i w tym zadaniu) startujemy od pozycji maksymalnego strumienia, czyli α0=0°. Gdyby ramka startowała pod innym kątem, obliczenia byłyby inne.
\n
⚠️ Akceptowane warianty CKE: poza 60° klucz uznaje też 300° (oba spelniaja cos(alpha)=1/2), a takze 120° lub 240° (jako rozwiazania rownania cos(alpha) = -1/2). Miary katow moga byc podane w radianach.
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

α=60∘ lub α=300∘

"}]}