{"id":"fizyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/4.1","paper_id":"fizyka-2017-maj-matura-rozszerzona","number":"4.1","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4.1. (0-3)\nWykaż, że jeżeli przyjmiemy model zjawiska, w którym na kamień działa stała siła oporu\npowietrza o wartości 0,148 N, to obliczony w takim modelu czas spadania t jest zgodny\nz pomiarem, w którym otrzymano t = 2,05 ± 0,01 s.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 4.1. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli\nfizycznych i matematycznych do opisu\nzjawisk.\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\n1.12) (G) Zdający opisuje wpływ oporów ruchu\nna poruszające się ciała.\n12.7) Zdający szacuje wartość spodziewanego\nwyniku obliczeń, krytycznie analizuje realność\notrzymanego wyniku.\n1.8) Zdający wyjaśnia ruch ciał na podstawie\ndrugiej zasady dynamiki Newtona.\nSchemat punktowania\n3 p. - prawidłowa metoda rozwiązania i prawidłowy wynik.\n2 p. - zapisanie wzoru na czas w ruchu jednostajnie przyśpieszonym dla tego przypadku\noraz zapisanie drugiej zasady dynamiki z prawidłowym określeniem siły wypadkowej\nlub\n- zapisanie wzoru na czas w ruchu jednostajnie przyśpieszonym (z prędkością) dla tego\nprzypadku oraz zapisanie związku pomiędzy energiami i pracą siły oporu.\n1 p. - zapisanie wzoru na czas w ruchu jednostajnie przyśpieszonym dla tego przypadku\nlub\n- zapisanie drugiej zasady dynamiki oraz prawidłowe określenie siły wypadkowej\nlub\n- zapisanie poprawnego związku pomiędzy energiami i pracą siły oporu.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązania\nSposób 1\nCzas spadania kamienia obliczamy ze wzoru na drogę (równą wysokości z jakiej spada\nkamień) w ruchu jednostajnie przyśpieszonym prostoliniowym bez prędkości początkowej:\nℎ=\nݐଶ\n2 → ݐ= ඨ2ℎܽ\nRuch ze stałym przyśpieszeniem wynika z przyjętego modelu zjawiska, w którym\nwypadkowa siła działająca na kamień jest stała i wynosi:\nܨ௪=\n-ܨ௢௣\nPrzyśpieszenie w tym ruchu obliczamy z drugiej zasady dynamiki Newtona:\n=݉݃\n-ܨ௢௣ →\n=݃\n-ܨ௢௣݉ →\n= 9,81 m\ns2 -0,148 N\n0,255 kg = 9,23 m\ns2\nZ powyższych zapisów wyznaczamy czas spadania:\nݐ= ඨ2ℎܽ → ݐ= 2,05 s lub równoważnie ݐ= ඨ\n2ℎ݉݉݃\n-ܨ௢௣\n→ ݐ= 2,05 s\nSposób 2 (wykorzystujący związek pomiędzy energią i pracą)\nKorzystamy ze związku pomiędzy pracą i energią (zmiana energii mechanicznej kamienia\npodczas spadania jest równa pracy sił oporu):\nܧଶ-ܧଵ=\n௢௣ → 1\n2\nݒଶ-\nℎ= -ܨ௢௣∙ℎ\ngdzie ܧଶ jest energią mechaniczną kamienia tuż przed uderzeniem w ziemię, ܧଵ jest energią\nmechaniczną kamienia na samym początku spadania, natomiast\n௢௣ jest pracą wykonaną\nprzez siły oporu. Z ostatniego równania wyznaczamy wartość prędkości kamienia:\nݒ= ඨ2(݉݃\nℎ-ܨ௢௣ℎ)݉\nNastępnie skorzystamy ze związku między czasem a prędkością końcową w ruchu\njednostajnie przyśpieszonym prostoliniowym bez prędkości początkowej:\nℎ= 1\n2 ݒݐ → ݐ= 2ℎ\nݒ=\n2ℎ\nට2(݉݃\nℎ-ܨ௢௣ℎ)\n= ඨ\n2ℎ݉݉݃\n-ܨ௢௣\n→ ݐ= 2,05 s","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nObliczony czas spadania wynosi **t ≈ 2,05 s**, co mieści się w przedziale pomiarowym **2,04 s ÷ 2,06 s** - model jest zgodny z pomiarem.\n\n## Sposób 1 - Dynamika (II zasada Newtona) + kinematyka swobodnego spadku\n\n**Krok 1: Siły działające na kamień**\n\nKamień spada - dwie siły pionowe:\n- ciężar (w dół): \\(F_g = mg\\)\n- stała siła oporu (w górę): \\(F_r = 0{,}148\\ \\text{N}\\)\n\n**Krok 2: Wypadkowa siła i przyspieszenie (II zasada Newtona)**\n\n\\[\nF_\\text{wyp} = mg - F_r\n\\]\n\n\\[\nF_g = mg = 0{,}255\\ \\text{kg} \\times 9{,}81\\ \\text{m/s}^2 = 2{,}502\\ \\text{N}\n\\]\n\n\\[\nF_\\text{wyp} = 2{,}502\\ \\text{N} - 0{,}148\\ \\text{N} = 2{,}354\\ \\text{N}\n\\]\n\n\\[\nma = F_\\text{wyp} \\implies a = \\frac{F_\\text{wyp}}{m} = \\frac{2{,}354\\ \\text{N}}{0{,}255\\ \\text{kg}} \\approx 9{,}23\\ \\text{m/s}^2\n\\]\n\n**Krok 3: Czas spadania ze spoczynku (v₀ = 0)**\n\nKamień upuszczono - ruch jednostajnie przyspieszony ze spoczynku:\n\n\\[\nh = \\frac{1}{2}at^2 \\implies t = \\sqrt{\\frac{2h}{a}}\n\\]\n\n\\[\nt = \\sqrt{\\frac{2 \\times 19{,}4\\ \\text{m}}{9{,}23\\ \\text{m/s}^2}} = \\sqrt{\\frac{38{,}8}{9{,}23}} = \\sqrt{4{,}204} \\approx \\mathbf{2{,}050\\ \\text{s}}\n\\]\n\n**Krok 4: Weryfikacja zgodności z pomiarem**\n\nPrzedział pomiarowy: \\(t_\\text{pom} = 2{,}05 \\pm 0{,}01\\ \\text{s}\\), czyli \\(2{,}04\\ \\text{s} \\le t \\le 2{,}06\\ \\text{s}\\).\n\n\\[\nt_\\text{obl} = 2{,}050\\ \\text{s} \\in [2{,}04\\ \\text{s};\\ 2{,}06\\ \\text{s}] \\quad \\checkmark\n\\]\n\n**Model jest zgodny z pomiarem.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja odwrotna (z pomiaru → do siły oporu)\n\nZamiast liczyć czas z modelu, pytamy: **jaka siła oporu byłaby potrzebna, żeby kamień spadał dokładnie t = 2,05 s?** Jeśli wyjdzie 0,148 N - model potwierdzony.\n\n**Krok 1: Wymagane przyspieszenie dla t = 2,05 s**\n\n\\[\nh = \\frac{1}{2}a t^2 \\implies a = \\frac{2h}{t^2} = \\frac{2 \\times 19{,}4}{(2{,}05)^2} = \\frac{38{,}8}{4{,}2025} \\approx 9{,}233\\ \\text{m/s}^2\n\\]\n\n**Krok 2: Wynikająca siła wypadkowa**\n\n\\[\nF_\\text{wyp} = ma = 0{,}255 \\times 9{,}233 = 2{,}354\\ \\text{N}\n\\]\n\n**Krok 3: Wymagana siła oporu**\n\n\\[\nF_r = mg - F_\\text{wyp} = 2{,}502\\ \\text{N} - 2{,}354\\ \\text{N} = 0{,}148\\ \\text{N} \\quad \\checkmark\n\\]\n\nSiła oporu wynikająca z pomiaru czasu pokrywa się dokładnie z podaną wartością 0,148 N - model jest spójny.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 4.1, max 3 pkt):**\n>\n> - **1 pkt** - poprawne zastosowanie II zasady Newtona: zapisanie wypadkowej siły \\(F = mg - F_r\\) i wyznaczenie przyspieszenia \\(a = (mg - F_r)/m\\)\n> - **1 pkt** - poprawne zastosowanie równania kinematycznego \\(h = \\frac{1}{2}at^2\\) i obliczenie czasu \\(t = \\sqrt{2h/a}\\)\n> - **1 pkt** - uzyskanie wyniku mieszczącego się w przedziale \\(2{,}04\\ \\text{s} \\le t \\le 2{,}06\\ \\text{s}\\) **oraz sformułowanie wniosku** o zgodności z pomiarem\n>\n> ⚠️ **Uwaga klucza:** Sam wynik liczbowy bez **wniosku słownego o zgodności** może nie dać pełnych punktów za ostatni krok - formuła \"wykaż\" wymaga explicite napisania, że wynik mieści się w przedziale pomiarowym.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA:**\n>\n> - **II zasada Newtona:** \\(\\vec{F} = m\\vec{a}\\) - podstawa wyznaczenia przyspieszenia wypadkowego\n> - **Kinematyka ruchu jednostajnie przyspieszonego:** \\(s = v_0 t + \\frac{1}{2}at^2\\); tu \\(v_0 = 0\\), więc \\(h = \\frac{1}{2}at^2\\)\n> - **Ciężar:** \\(F_g = mg\\), gdzie \\(g = 9{,}81\\ \\text{m/s}^2\\)\n>\n> Wszystkie trzy wzory są dostępne na karcie - na egzaminie nie trzeba ich pamiętać, wystarczy umieć je połączyć.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Pułapka 1: Pominięcie siły oporu.** Obliczenie \\(t = \\sqrt{2h/g}\\) daje \\(t = \\sqrt{2 \\times 19{,}4/9{,}81} \\approx 1{,}99\\ \\text{s}\\) - to **poza** przedziałem \\([2{,}04;\\ 2{,}06]\\). Właśnie ten błąd pokazuje, że opór MUSI być uwzględniony - i to jest sedno zadania.\n\n> ⚠️ **Pułapka 2: Zły kierunek siły oporu.** Opór działa **przeciw ruchowi** - czyli ku górze, gdy kamień spada. Mylne dodanie zamiast odjęcia daje \\(a > g\\) i \\(t < 1{,}99\\ \\text{s}\\) - wynik fizycznie absurdalny.\n\n> ⚠️ **Pułapka 3: Brak wniosku.** Zadanie brzmi \"**wykaż**, że czas jest zgodny z pomiarem\" - sama liczba 2,05 s bez zdania \"wartość mieści się w przedziale 2,04-2,06 s, zatem model jest zgodny z pomiarem\" to niepełna odpowiedź. CKE oczekuje explicite sformułowanego wniosku.\n\n> ⚠️ **Pułapka 4: Gramowy kamień.** Masa kamienia to 255 g = **0,255 kg** - częsty błąd to wstawienie 255 do wzoru, co daje ciężar ~2500 N (masa niemal dorosłego człowieka).","image":"img/fizyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad-4.1.webp","solution_image":null,"topics":"Dynamika","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 4.1. (0-3)
Wykaż, że jeżeli przyjmiemy model zjawiska, w którym na kamień działa stała siła oporu
powietrza o wartości 0,148 N, to obliczony w takim modelu czas spadania t jest zgodny
z pomiarem, w którym otrzymano t = 2,05 ± 0,01 s.

","answer_text_html":"

Zadanie 4.1. (0-3)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Budowa prostych modeli
fizycznych i matematycznych do opisu
zjawisk.
I. Znajomość i umiejętność
wykorzystania pojęć i praw fizyki
do wyjaśniania procesów i zjawisk
w przyrodzie.
1.12) (G) Zdający opisuje wpływ oporów ruchu
na poruszające się ciała.
12.7) Zdający szacuje wartość spodziewanego
wyniku obliczeń, krytycznie analizuje realność
otrzymanego wyniku.
1.8) Zdający wyjaśnia ruch ciał na podstawie
drugiej zasady dynamiki Newtona.
Schemat punktowania
3 p. - prawidłowa metoda rozwiązania i prawidłowy wynik.
2 p. - zapisanie wzoru na czas w ruchu jednostajnie przyśpieszonym dla tego przypadku
oraz zapisanie drugiej zasady dynamiki z prawidłowym określeniem siły wypadkowej
lub

\n\n

przypadku oraz zapisanie związku pomiędzy energiami i pracą siły oporu.
1 p. - zapisanie wzoru na czas w ruchu jednostajnie przyśpieszonym dla tego przypadku
lub

\n\n

lub

\n\n

0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Przykładowe rozwiązania
Sposób 1
Czas spadania kamienia obliczamy ze wzoru na drogę (równą wysokości z jakiej spada
kamień) w ruchu jednostajnie przyśpieszonym prostoliniowym bez prędkości początkowej:
ℎ=
ݐଶ
2 → ݐ= ඨ2ℎܽ
Ruch ze stałym przyśpieszeniem wynika z przyjętego modelu zjawiska, w którym
wypadkowa siła działająca na kamień jest stała i wynosi:
ܨ௪=
-ܨ௢௣
Przyśpieszenie w tym ruchu obliczamy z drugiej zasady dynamiki Newtona:
=݉݃
-ܨ௢௣ →
=݃
-ܨ௢௣݉ →
= 9,81 m
s2 -0,148 N
0,255 kg = 9,23 m
s2
Z powyższych zapisów wyznaczamy czas spadania:
ݐ= ඨ2ℎܽ → ݐ= 2,05 s lub równoważnie ݐ= ඨ
2ℎ݉݉݃
-ܨ௢௣
→ ݐ= 2,05 s
Sposób 2 (wykorzystujący związek pomiędzy energią i pracą)
Korzystamy ze związku pomiędzy pracą i energią (zmiana energii mechanicznej kamienia
podczas spadania jest równa pracy sił oporu):
ܧଶ-ܧଵ=
௢௣ → 1
2
ݒଶ-
ℎ= -ܨ௢௣∙ℎ
gdzie ܧଶ jest energią mechaniczną kamienia tuż przed uderzeniem w ziemię, ܧଵ jest energią
mechaniczną kamienia na samym początku spadania, natomiast
௢௣ jest pracą wykonaną
przez siły oporu. Z ostatniego równania wyznaczamy wartość prędkości kamienia:
ݒ= ඨ2(݉݃
ℎ-ܨ௢௣ℎ)݉
Następnie skorzystamy ze związku między czasem a prędkością końcową w ruchu
jednostajnie przyśpieszonym prostoliniowym bez prędkości początkowej:
ℎ= 1
2 ݒݐ → ݐ= 2ℎ
ݒ=
2ℎ
ට2(݉݃
ℎ-ܨ௢௣ℎ)
= ඨ
2ℎ݉݉݃
-ܨ௢௣
→ ݐ= 2,05 s

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

Obliczony czas spadania wynosi t ≈ 2,05 s, co mieści się w przedziale pomiarowym 2,04 s ÷ 2,06 s - model jest zgodny z pomiarem.

\n

Sposób 1 - Dynamika (II zasada Newtona) + kinematyka swobodnego spadku

\n

Krok 1: Siły działające na kamień

\n

Kamień spada - dwie siły pionowe:

\n\n

Krok 2: Wypadkowa siła i przyspieszenie (II zasada Newtona)

\n
Fwyp=mg−Fr
\n
Fg=mg=0,255 kg×9,81 m/s2=2,502 N
\n
Fwyp=2,502 N−0,148 N=2,354 N
\n
ma=Fwyp⟹a=Fwypm=2,354 N0,255 kg≈9,23 m/s2
\n

Krok 3: Czas spadania ze spoczynku (v₀ = 0)

\n

Kamień upuszczono - ruch jednostajnie przyspieszony ze spoczynku:

\n
h=12at2⟹t=2ha
\n
t=2×19,4 m9,23 m/s2=38,89,23=4,204≈2,050 s
\n

Krok 4: Weryfikacja zgodności z pomiarem

\n

Przedział pomiarowy: tpom=2,05±0,01 s, czyli 2,04 s≤t≤2,06 s.

\n
tobl=2,050 s∈[2,04 s; 2,06 s]✓
\n

Model jest zgodny z pomiarem.

\n

Sposób 2 - Weryfikacja odwrotna (z pomiaru → do siły oporu)

\n

Zamiast liczyć czas z modelu, pytamy: jaka siła oporu byłaby potrzebna, żeby kamień spadał dokładnie t = 2,05 s? Jeśli wyjdzie 0,148 N - model potwierdzony.

\n

Krok 1: Wymagane przyspieszenie dla t = 2,05 s

\n
h=12at2⟹a=2ht2=2×19,4(2,05)2=38,84,2025≈9,233 m/s2
\n

Krok 2: Wynikająca siła wypadkowa

\n
Fwyp=ma=0,255×9,233=2,354 N
\n

Krok 3: Wymagana siła oporu

\n
Fr=mg−Fwyp=2,502 N−2,354 N=0,148 N✓
\n

Siła oporu wynikająca z pomiaru czasu pokrywa się dokładnie z podaną wartością 0,148 N - model jest spójny.

\n

Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)

\n
📋 Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 4.1, max 3 pkt):

- 1 pkt - poprawne zastosowanie II zasady Newtona: zapisanie wypadkowej siły F=mg−Fr i wyznaczenie przyspieszenia a=(mg−Fr)/m
- 1 pkt - poprawne zastosowanie równania kinematycznego h=12at2 i obliczenie czasu t=2h/a
- 1 pkt - uzyskanie wyniku mieszczącego się w przedziale 2,04 s≤t≤2,06 s oraz sformułowanie wniosku o zgodności z pomiarem

⚠️ Uwaga klucza: Sam wynik liczbowy bez wniosku słownego o zgodności może nie dać pełnych punktów za ostatni krok - formuła "wykaż" wymaga explicite napisania, że wynik mieści się w przedziale pomiarowym.
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA:

- II zasada Newtona: F→=ma→ - podstawa wyznaczenia przyspieszenia wypadkowego
- Kinematyka ruchu jednostajnie przyspieszonego: s=v0t+12at2; tu v0=0, więc h=12at2
- Ciężar: Fg=mg, gdzie g=9,81 m/s2

Wszystkie trzy wzory są dostępne na karcie - na egzaminie nie trzeba ich pamiętać, wystarczy umieć je połączyć.
\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Pułapka 1: Pominięcie siły oporu. Obliczenie t=2h/g daje t=2×19,4/9,81≈1,99 s - to poza przedziałem [2,04; 2,06]. Właśnie ten błąd pokazuje, że opór MUSI być uwzględniony - i to jest sedno zadania.
\n
⚠️ Pułapka 2: Zły kierunek siły oporu. Opór działa przeciw ruchowi - czyli ku górze, gdy kamień spada. Mylne dodanie zamiast odjęcia daje a>g i t<1,99 s - wynik fizycznie absurdalny.
\n
⚠️ Pułapka 3: Brak wniosku. Zadanie brzmi "wykaż, że czas jest zgodny z pomiarem" - sama liczba 2,05 s bez zdania "wartość mieści się w przedziale 2,04-2,06 s, zatem model jest zgodny z pomiarem" to niepełna odpowiedź. CKE oczekuje explicite sformułowanego wniosku.
\n
⚠️ Pułapka 4: Gramowy kamień. Masa kamienia to 255 g = 0,255 kg - częsty błąd to wstawienie 255 do wzoru, co daje ciężar ~2500 N (masa niemal dorosłego człowieka).
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

t=2,05 s

"}]}