{"id":"fizyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/5.1","paper_id":"fizyka-2017-maj-matura-rozszerzona","number":"5.1","points":1,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5.1. (0-1)\nWyprowadź wzór pozwalający obliczyć wartość końcowej prędkości kuli, jeśli znane są tylko\ns i t.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5.1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli\nfizycznych i matematycznych do opisu\nzjawisk.\n1.4) Zdający wykorzystuje związki pomiędzy\npołożeniem, prędkością i przyśpieszeniem\nw ruchu […] jednostajnie zmiennym\ndo obliczania parametrów ruchu.\nSchemat punktowania\n1 p. - prawidłowa metoda wyprowadzenia wzoru i prawidłowy wzór na prędkość końcową.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPrzykładowe rozwiązanie\nZapisujemy równania ruchu jednostajnie przyśpieszonego prostoliniowego z prędkością\npoczątkową równą zero, następnie z układu równań wyznaczamy prędkość końcową:\nݏ=ܽ\nݐଶ\n2 oraz ݒ௞=\nݐ → ݒ௞= 2ݏ\nݐଶ∙ݐ → ݒ௞= 2ݏ\nݐ","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n$$\\boxed{v = \\frac{2s}{t}}$$\n\n## Sposób 1 - Kinematyka: eliminacja przyspieszenia z dwóch równań\n\nRuch kuli po równi to **jednostajnie przyspieszony ruch prostoliniowy** z \\(v_0 = 0\\).\n\n**Krok 1.** Droga przy ruchu jednostajnie przyspieszonym (z \\(v_0 = 0\\)):\n\\[\ns = \\frac{1}{2}a t^2 \\tag{1}\n\\]\n\n**Krok 2.** Prędkość końcowa:\n\\[\nv = v_0 + at = at \\tag{2}\n\\]\n\n**Krok 3.** Z równania (2) wyznaczam przyspieszenie:\n\\[\na = \\frac{v}{t}\n\\]\n\n**Krok 4.** Podstawiam do równania (1):\n\\[\ns = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{v}{t} \\cdot t^2 = \\frac{1}{2} v t\n\\]\n\n**Krok 5.** Wyznaczam \\(v\\):\n\\[\n\\boxed{v = \\frac{2s}{t}}\n\\]\n\nWynik ma sens: większa droga lub krótszy czas → większa prędkość końcowa. ✓\n\n## Sposób 2 - Definicja prędkości średniej dla ruchu jednostajnie przyspieszonego\n\nDla ruchu jednostajnie przyspieszonego z \\(v_0 = 0\\) prędkość rośnie liniowo od \\(0\\) do \\(v\\), więc **prędkość średnia** wynosi:\n\\[\n\\bar{v} = \\frac{v_0 + v}{2} = \\frac{0 + v}{2} = \\frac{v}{2}\n\\]\n\nZ definicji prędkości średniej:\n\\[\n\\bar{v} = \\frac{s}{t}\n\\]\n\nPrzyrównuję:\n\\[\n\\frac{v}{2} = \\frac{s}{t}\n\\]\n\\[\n\\boxed{v = \\frac{2s}{t}}\n\\]\n\n> Ten sposób jest elegantszy - omija wprost przyspieszenie i korzysta tylko z geometrycznej własności trapez→trójkąt na wykresie \\(v(t)\\).\n\n## Sposób 3 - Wykres \\(v(t)\\): pole pod wykresem = droga\n\nWykres \\(v(t)\\) przy ruchu jednostajnie przyspieszonym z \\(v_0 = 0\\) to **odcinek liniowy** od punktu \\((0, 0)\\) do \\((t, v)\\).\n\nDroga \\(s\\) = pole trójkąta pod wykresem:\n\\[\ns = \\frac{1}{2} \\cdot t \\cdot v\n\\]\n\nStąd bezpośrednio:\n\\[\n\\boxed{v = \\frac{2s}{t}}\n\\]\n\n> Ten sposób jest graficzny - uczeń \"widzi\" wzór, a nie tylko go liczy.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 5.1, max 1 pkt):**\n> - **1 pkt** - uczeń wyprowadza poprawny wzór \\(v = \\frac{2s}{t}\\), przy czym wyprowadzenie musi być widoczne (nie wystarczy samo podanie wyniku)\n> - **0 pkt** - brak wyprowadzenia lub wzór błędny (np. \\(v = \\frac{s}{t}\\) bez uzasadnienia, że to prędkość końcowa, a nie średnia)\n> - **Akceptowane warianty:** każda poprawna ścieżka algebraiczna prowadząca do \\(v = \\frac{2s}{t}\\)\n> - **Uwagi:** ✅ Dopuszcza się różną kolejność kroków; ❌ Nie uznaje się samego wzoru bez pokazania toku rozumowania\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - Kinematyka:**\n> - \\(s = v_0 t + \\frac{1}{2}at^2\\) - droga w ruchu jednostajnie przyspieszonym\n> - \\(v = v_0 + at\\) - prędkość w ruchu jednostajnie przyspieszonym\n>\n> Oba wzory są na karcie wzorów. W wyprowadzeniu korzystasz z obu i **eliminujesz \\(a\\)** - zmienna nieznana, której nie mamy z pomiaru.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd: \\(v = \\frac{s}{t}\\) - to jest **prędkość średnia**, nie końcowa! Przy ruchu z \\(v_0 = 0\\) prędkość końcowa jest **dwa razy większa** niż średnia.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Podanie samego wzoru \\(v = \\frac{2s}{t}\\) bez wyprowadzenia = **0 punktów** - zadanie brzmi \"wyprowadź\", więc muszą być widoczne kroki algebraiczne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \\(s\\) (droga po równi) z przesunięciem poziomym - tutaj \\(s\\) to długość równi pochyłej, ale do wzorów kinematycznych to nie ma znaczenia, bo obie składowe przyspieszenia są uwzględnione w wartości \\(a\\).","image":"img/fizyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad-5.1.webp","solution_image":null,"topics":"Kinematyka","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 5.1. (0-1)
Wyprowadź wzór pozwalający obliczyć wartość końcowej prędkości kuli, jeśli znane są tylko
s i t.

","answer_text_html":"

Zadanie 5.1. (0-1)
Wymagania ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Budowa prostych modeli
fizycznych i matematycznych do opisu
zjawisk.
1.4) Zdający wykorzystuje związki pomiędzy
położeniem, prędkością i przyśpieszeniem
w ruchu […] jednostajnie zmiennym
do obliczania parametrów ruchu.
Schemat punktowania
1 p. - prawidłowa metoda wyprowadzenia wzoru i prawidłowy wzór na prędkość końcową.
0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.
Przykładowe rozwiązanie
Zapisujemy równania ruchu jednostajnie przyśpieszonego prostoliniowego z prędkością
początkową równą zero, następnie z układu równań wyznaczamy prędkość końcową:
ݏ=ܽ
ݐଶ
2 oraz ݒ௞=
ݐ → ݒ௞= 2ݏ
ݐଶ∙ݐ → ݒ௞= 2ݏ
ݐ

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n
v=2st
\n

Sposób 1 - Kinematyka: eliminacja przyspieszenia z dwóch równań

\n

Ruch kuli po równi to jednostajnie przyspieszony ruch prostoliniowy z v0=0.

\n

Krok 1. Droga przy ruchu jednostajnie przyspieszonym (z v0=0):

\n
s=12at2(1)
\n

Krok 2. Prędkość końcowa:

\n
v=v0+at=at(2)
\n

Krok 3. Z równania (2) wyznaczam przyspieszenie:

\n
a=vt
\n

Krok 4. Podstawiam do równania (1):

\n
s=12·vt·t2=12vt
\n

Krok 5. Wyznaczam v:

\n
v=2st
\n

Wynik ma sens: większa droga lub krótszy czas → większa prędkość końcowa. ✓

\n

Sposób 2 - Definicja prędkości średniej dla ruchu jednostajnie przyspieszonego

\n

Dla ruchu jednostajnie przyspieszonego z v0=0 prędkość rośnie liniowo od 0 do v, więc prędkość średnia wynosi:

\n
v¯=v0+v2=0+v2=v2
\n

Z definicji prędkości średniej:

\n
v¯=st
\n

Przyrównuję:

\n
v2=st
\n
v=2st
\n
Ten sposób jest elegantszy - omija wprost przyspieszenie i korzysta tylko z geometrycznej własności trapez→trójkąt na wykresie v(t).
\n

Sposób 3 - Wykres v(t): pole pod wykresem = droga

\n

Wykres v(t) przy ruchu jednostajnie przyspieszonym z v0=0 to odcinek liniowy od punktu (0,0) do (t,v).

\n

Droga s = pole trójkąta pod wykresem:

\n
s=12·t·v
\n

Stąd bezpośrednio:

\n
v=2st
\n
Ten sposób jest graficzny - uczeń "widzi" wzór, a nie tylko go liczy.
\n

Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)

\n
📋 Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 5.1, max 1 pkt):
- 1 pkt - uczeń wyprowadza poprawny wzór v=2st, przy czym wyprowadzenie musi być widoczne (nie wystarczy samo podanie wyniku)
- 0 pkt - brak wyprowadzenia lub wzór błędny (np. v=st bez uzasadnienia, że to prędkość końcowa, a nie średnia)
- Akceptowane warianty: każda poprawna ścieżka algebraiczna prowadząca do v=2st
- Uwagi: ✅ Dopuszcza się różną kolejność kroków; ❌ Nie uznaje się samego wzoru bez pokazania toku rozumowania
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - Kinematyka:
- s=v0t+12at2 - droga w ruchu jednostajnie przyspieszonym
- v=v0+at - prędkość w ruchu jednostajnie przyspieszonym

Oba wzory są na karcie wzorów. W wyprowadzeniu korzystasz z obu i eliminujesz a - zmienna nieznana, której nie mamy z pomiaru.
\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd: v=st - to jest prędkość średnia, nie końcowa! Przy ruchu z v0=0 prędkość końcowa jest dwa razy większa niż średnia.
\n
⚠️ Uwaga: Podanie samego wzoru v=2st bez wyprowadzenia = 0 punktów - zadanie brzmi "wyprowadź", więc muszą być widoczne kroki algebraiczne.
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić s (droga po równi) z przesunięciem poziomym - tutaj s to długość równi pochyłej, ale do wzorów kinematycznych to nie ma znaczenia, bo obie składowe przyspieszenia są uwzględnione w wartości a.
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

vk=2st

"}]}