{"id":"fizyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/5.2","paper_id":"fizyka-2017-maj-matura-rozszerzona","number":"5.2","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5.2. (0-2)\nPrędkość końcową kuli można też obliczyć z zasady zachowania energii, jeżeli zmierzymy\npoczątkową wysokość h, z której kula zaczyna się toczyć. Załóżmy, że nie ma poślizgu ani\nstrat energii mechanicznej (np. związanych z oporem powietrza).\nOceń, czy przedstawione poniżej wyprowadzenie wzoru na prędkość końcową kuli jest\npoprawne. Pod proponowanym wyprowadzeniem tego wzoru podkreśl właściwą\nodpowiedź i podaj jej uzasadnienie.\nZasada zachowania energii wyraża się wzorem\nℎ =\nଵ\nଶ\nݒଶ, skąd otrzymujemy ݒ= ඥ2݃ℎ.\nPowyższe wyprowadzenie wzoru na prędkość końcową kuli jest (poprawne / niepoprawne).\nUzasadnienie","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5.2. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\n2.9) Zdający uwzględnia energię kinetyczną\nruchu obrotowego w bilansie energii.\nSchemat punktowania\n2 p. - prawidłowe podkreślenie oraz uzasadnienie.\n1 p. - prawidłowe podkreślenie bez uzasadnienia.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPoprawne rozwiązanie\nPowyższe wyprowadzenie wzoru na prędkość końcową kuli jest (poprawne / niepoprawne).\nW przedstawionym wyprowadzeniu wzoru na prędkość końcową kuli nie uwzględniono\nenergii kinetycznej ruchu obrotowego kuli.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nWyprowadzenie jest **niepoprawne**.\n\nBłąd polega na pominięciu rotacyjnej energii kinetycznej kuli toczącej się bez poślizgu. Energię potencjalną zamienia się nie tylko w translacyjną, ale też obrotową energię kinetyczną.\n\n## Sposób 1 - Pełny bilans energii dla toczenia bez poślizgu\n\nWarunek zadania: **brak poślizgu** (toczenie czyste). Oznacza to, że kula jednocześnie porusza się postępowo i obraca - musi obowiązywać związek kinematyczny:\n\\[v = \\omega r\\]\n\nCałkowita energia kinetyczna kuli toczącej się bez poślizgu składa się z **dwóch członów**:\n\n\\[E_k = \\underbrace{\\frac{1}{2}mv^2}_{\\text{translacyjna}} + \\underbrace{\\frac{1}{2}I\\omega^2}_{\\text{rotacyjna}}\\]\n\nDla jednorodnej **kuli** (bryła sferyczna): \\(I = \\frac{2}{5}mr^2\\)\n\nPodstawiamy \\(\\omega = \\frac{v}{r}\\):\n\\[\\frac{1}{2}I\\omega^2 = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{2}{5}mr^2 \\cdot \\frac{v^2}{r^2} = \\frac{1}{5}mv^2\\]\n\nPełna zasada zachowania energii:\n\\[mgh = \\frac{1}{2}mv^2 + \\frac{1}{5}mv^2 = \\frac{7}{10}mv^2\\]\n\nStąd:\n\\[\\boxed{v = \\sqrt{\\frac{10gh}{7}} \\approx \\sqrt{1{,}43\\,gh}}\\]\n\nWzór z treści zadania \\(v = \\sqrt{2gh}\\) odpowiada sytuacji, gdy **cała** energia potencjalna zamienia się wyłącznie w translacyjną energię kinetyczną (czyli dla **punktu materialnego lub suwającego się bloku bez tarcia**), nie dla toczącej się kuli.\n\n## Sposób 2 - Analiza ułamkowego podziału energii (ile % idzie na obrót)\n\nSprawdźmy, jak duży jest człon rotacyjny względem całości:\n\n\\[E_{k,\\text{rot}} = \\frac{1}{5}mv^2, \\quad E_{k,\\text{trans}} = \\frac{1}{2}mv^2\\]\n\n\\[\\frac{E_{k,\\text{rot}}}{E_{k,\\text{total}}} = \\frac{\\frac{1}{5}mv^2}{\\frac{7}{10}mv^2} = \\frac{2}{7} \\approx 28{,}6\\%\\]\n\nNiemal **29% energii potencjalnej** zamienianej jest na obrót kuli - to zbyt dużo, by pominąć.\n\nGdyby wzór \\(v = \\sqrt{2gh}\\) był poprawny, kula poruszałaby się **szybciej** niż w rzeczywistości. Przykład liczbowy dla \\(h = 1\\text{ m}\\):\n\n| Model | Wzór | \\(v\\) [m/s] |\n| Tylko translacja (błędny) | \\(\\sqrt{2 \\cdot 9{,}81 \\cdot 1}\\) | ≈ 4,43 |\n| Toczenie bez poślizgu (poprawny) | \\(\\sqrt{\\frac{10 \\cdot 9{,}81 \\cdot 1}{7}}\\) | ≈ 3,74 |\n\nRóżnica to ~15% - wykrywalna eksperymentalnie.\n\n## Sposób 3 - Argument z warunku „brak poślizgu\" i definicji toczenia\n\nTreść zadania wyraźnie mówi: **„nie ma poślizgu\"** - to kluczowe sformułowanie. Oznacza ono, że kula tworzy **toczenie czyste** (ang. *rolling without slipping*), a nie ślizganie.\n\nDla ślizgającego się bez tarcia obiektu (np. sanki na lodzie):\n\\[mgh = \\frac{1}{2}mv^2 \\quad \\Rightarrow \\quad v = \\sqrt{2gh} \\quad \\checkmark\\]\n\nDla toczącej się kuli (brak poślizgu ≠ brak tarcia!):\n\\[mgh = \\frac{1}{2}mv^2 + \\frac{1}{2}I\\omega^2 \\quad \\Rightarrow \\quad v = \\sqrt{\\frac{10gh}{7}} \\quad \\checkmark\\]\n\n> ⚡ Paradoks: **„brak poślizgu\" wymaga tarcia statycznego** - to tarcie wymusza obrót kuli, ale nie wykonuje pracy (punkt styku chwilowo spoczywa). Tarcie statyczne **nie odbiera energii**, ale **rozdziela** ją między translację a rotację.\n\nWyprowadzenie z zadania jest zatem niepoprawne, bo potraktowało toczącą się kulę jak ślizgający się punkt materialny.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 5.2, max 2 pkt):**\n> - **2 pkt** - uczeń zaznaczył „niepoprawne\" **ORAZ** podał poprawne uzasadnienie odwołujące się do pominięcia członu rotacyjnej energii kinetycznej \\(\\frac{1}{2}I\\omega^2\\)\n> - **1 pkt** - uczeń zaznaczył „niepoprawne\" **BEZ uzasadnienia** lub z uzasadnieniem niepełnym/błędnym\n> - **0 pkt** - uczeń zaznaczył „poprawne\" lub brak odpowiedzi\n>\n> ✅ **Akceptowane warianty uzasadnienia:**\n> - Wskazanie brakującego członu \\(\\frac{1}{2}I\\omega^2\\) lub \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{2}{5}mr^2\\omega^2\\)\n> - Stwierdzenie, że kula tocząca się ma również energię kinetyczną obrotową, którą pominięto\n> - Podanie poprawnego równania \\(mgh = \\frac{1}{2}mv^2 + \\frac{1}{2}I\\omega^2\\) lub \\(mgh = \\frac{7}{10}mv^2\\)\n>\n> ❌ **Nie uznaje się:** samego stwierdzenia „pominięto tarcie\" bez wskazania energii rotacyjnej\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (mechanika bryły sztywnej):**\n>\n> - **Moment bezwładności jednorodnej kuli:** \\(I = \\frac{2}{5}mr^2\\)\n> - **Energia kinetyczna obrotowa:** \\(E_k^{(\\text{rot})} = \\frac{1}{2}I\\omega^2\\)\n> - **Warunek toczenia bez poślizgu:** \\(v = \\omega r\\)\n> - **Zasada zachowania energii mechanicznej:** \\(E_p + E_k = \\text{const}\\)\n>\n> W tym zadaniu korzystamy ze wzoru na moment bezwładności kuli i energię kinetyczną obrotową. Bez tej wiedzy (lub karty) student może popełnić błąd identyczny jak w treści zadania.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - uznanie wyprowadzenia za poprawne, bo „zasada zachowania energii jest napisana słusznie\". Jest słusznie *tylko dla ślizgającego się ciała*, nie toczącej się kuli.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mylenie „brak poślizgu\" z „brak tarcia\". Brak poślizgu **wymaga** tarcia statycznego (inaczej kula by się ślizgała). Tarcie statyczne nie wykonuje pracy, ale determinuje kinematykę obrotu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pominięcie członu \\(\\frac{1}{2}I\\omega^2\\) zawyża obliczoną prędkość o ~15% - błąd pozornie mały, ale w zadaniu eksperymentalnym prowadzi do rozbieżności z pomiarami.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Na 2 punkty **nie wystarczy** samo zaznaczenie „niepoprawne\" - uzasadnienie musi **konkretnie nazwać** energię rotacyjną lub podać brakujący człon równania.","image":"img/fizyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad-5.2.webp","solution_image":null,"topics":"Bryła Sztywna","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 5.2. (0-2)
Prędkość końcową kuli można też obliczyć z zasady zachowania energii, jeżeli zmierzymy
początkową wysokość h, z której kula zaczyna się toczyć. Załóżmy, że nie ma poślizgu ani
strat energii mechanicznej (np. związanych z oporem powietrza).
Oceń, czy przedstawione poniżej wyprowadzenie wzoru na prędkość końcową kuli jest
poprawne. Pod proponowanym wyprowadzeniem tego wzoru podkreśl właściwą
odpowiedź i podaj jej uzasadnienie.
Zasada zachowania energii wyraża się wzorem
ℎ =
ଵ
ଶ
ݒଶ, skąd otrzymujemy ݒ= ඥ2݃ℎ.
Powyższe wyprowadzenie wzoru na prędkość końcową kuli jest (poprawne / niepoprawne).
Uzasadnienie

","answer_text_html":"

Zadanie 5.2. (0-2)
Wymagania ogólne
Wymaganie szczegółowe
I. Znajomość i umiejętność
wykorzystania pojęć i praw fizyki
do wyjaśniania procesów i zjawisk
w przyrodzie.
2.9) Zdający uwzględnia energię kinetyczną
ruchu obrotowego w bilansie energii.
Schemat punktowania
2 p. - prawidłowe podkreślenie oraz uzasadnienie.
1 p. - prawidłowe podkreślenie bez uzasadnienia.
0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Poprawne rozwiązanie
Powyższe wyprowadzenie wzoru na prędkość końcową kuli jest (poprawne / niepoprawne).
W przedstawionym wyprowadzeniu wzoru na prędkość końcową kuli nie uwzględniono
energii kinetycznej ruchu obrotowego kuli.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

Wyprowadzenie jest niepoprawne.

\n

Błąd polega na pominięciu rotacyjnej energii kinetycznej kuli toczącej się bez poślizgu. Energię potencjalną zamienia się nie tylko w translacyjną, ale też obrotową energię kinetyczną.

\n

Sposób 1 - Pełny bilans energii dla toczenia bez poślizgu

\n

Warunek zadania: brak poślizgu (toczenie czyste). Oznacza to, że kula jednocześnie porusza się postępowo i obraca - musi obowiązywać związek kinematyczny:

\n
v=ωr
\n

Całkowita energia kinetyczna kuli toczącej się bez poślizgu składa się z dwóch członów:

\n
Ek=12mv2⏟translacyjna+12Iω2⏟rotacyjna
\n

Dla jednorodnej kuli (bryła sferyczna): I=25mr2

\n

Podstawiamy ω=vr:

\n
12Iω2=12·25mr2·v2r2=15mv2
\n

Pełna zasada zachowania energii:

\n
mgh=12mv2+15mv2=710mv2
\n

Stąd:

\n
v=10gh7≈1,43gh
\n

Wzór z treści zadania v=2gh odpowiada sytuacji, gdy cała energia potencjalna zamienia się wyłącznie w translacyjną energię kinetyczną (czyli dla punktu materialnego lub suwającego się bloku bez tarcia), nie dla toczącej się kuli.

\n

Sposób 2 - Analiza ułamkowego podziału energii (ile % idzie na obrót)

\n

Sprawdźmy, jak duży jest człon rotacyjny względem całości:

\n
Ek,rot=15mv2,Ek,trans=12mv2
\n
Ek,rotEk,total=15mv2710mv2=27≈28,6%
\n

Niemal 29% energii potencjalnej zamienianej jest na obrót kuli - to zbyt dużo, by pominąć.

\n

Gdyby wzór v=2gh był poprawny, kula poruszałaby się szybciej niż w rzeczywistości. Przykład liczbowy dla h=1 m:

\n

| Model | Wzór | v [m/s] |
| Tylko translacja (błędny) | 2·9,81·1 | ≈ 4,43 |
| Toczenie bez poślizgu (poprawny) | 10·9,81·17 | ≈ 3,74 |

\n

Różnica to ~15% - wykrywalna eksperymentalnie.

\n

Sposób 3 - Argument z warunku „brak poślizgu" i definicji toczenia

\n

Treść zadania wyraźnie mówi: „nie ma poślizgu" - to kluczowe sformułowanie. Oznacza ono, że kula tworzy toczenie czyste (ang. rolling without slipping), a nie ślizganie.

\n

Dla ślizgającego się bez tarcia obiektu (np. sanki na lodzie):

\n
mgh=12mv2⇒v=2gh✓
\n

Dla toczącej się kuli (brak poślizgu ≠ brak tarcia!):

\n
mgh=12mv2+12Iω2⇒v=10gh7✓
\n
⚡ Paradoks: „brak poślizgu" wymaga tarcia statycznego - to tarcie wymusza obrót kuli, ale nie wykonuje pracy (punkt styku chwilowo spoczywa). Tarcie statyczne nie odbiera energii, ale rozdziela ją między translację a rotację.
\n

Wyprowadzenie z zadania jest zatem niepoprawne, bo potraktowało toczącą się kulę jak ślizgający się punkt materialny.

\n

Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)

\n
📋 Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 5.2, max 2 pkt):
- 2 pkt - uczeń zaznaczył „niepoprawne" ORAZ podał poprawne uzasadnienie odwołujące się do pominięcia członu rotacyjnej energii kinetycznej 12Iω2
- 1 pkt - uczeń zaznaczył „niepoprawne" BEZ uzasadnienia lub z uzasadnieniem niepełnym/błędnym
- 0 pkt - uczeń zaznaczył „poprawne" lub brak odpowiedzi

✅ Akceptowane warianty uzasadnienia:
- Wskazanie brakującego członu 12Iω2 lub 12·25mr2ω2
- Stwierdzenie, że kula tocząca się ma również energię kinetyczną obrotową, którą pominięto
- Podanie poprawnego równania mgh=12mv2+12Iω2 lub mgh=710mv2

❌ Nie uznaje się: samego stwierdzenia „pominięto tarcie" bez wskazania energii rotacyjnej
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (mechanika bryły sztywnej):

- Moment bezwładności jednorodnej kuli: I=25mr2
- Energia kinetyczna obrotowa: Ek(rot)=12Iω2
- Warunek toczenia bez poślizgu: v=ωr
- Zasada zachowania energii mechanicznej: Ep+Ek=const

W tym zadaniu korzystamy ze wzoru na moment bezwładności kuli i energię kinetyczną obrotową. Bez tej wiedzy (lub karty) student może popełnić błąd identyczny jak w treści zadania.
\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd - uznanie wyprowadzenia za poprawne, bo „zasada zachowania energii jest napisana słusznie". Jest słusznie tylko dla ślizgającego się ciała, nie toczącej się kuli.
\n
⚠️ Uwaga: Mylenie „brak poślizgu" z „brak tarcia". Brak poślizgu wymaga tarcia statycznego (inaczej kula by się ślizgała). Tarcie statyczne nie wykonuje pracy, ale determinuje kinematykę obrotu.
\n
⚠️ Uwaga: Pominięcie członu 12Iω2 zawyża obliczoną prędkość o ~15% - błąd pozornie mały, ale w zadaniu eksperymentalnym prowadzi do rozbieżności z pomiarami.
\n
⚠️ Uwaga: Na 2 punkty nie wystarczy samo zaznaczenie „niepoprawne" - uzasadnienie musi konkretnie nazwać energię rotacyjną lub podać brakujący człon równania.
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

niepoprawne

"}]}