{"id":"fizyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/9.1","paper_id":"fizyka-2017-maj-matura-rozszerzona","number":"9.1","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9.1. (0-2)\nW szklanej rurce o kształcie litery U, której przekrój jest jednakowy\nw obu ramionach, znajduje się woda. Przyjmij, że poziome\npowierzchnie cieczy są płaskie (pomiń tzw. menisk). Górny koniec\nrurki leży na wysokości 8 cm nad powierzchnią wody - patrz rysunek.\nOblicz maksymalną wysokość słupka oleju, który można wlać do\njednego z ramion rurki (tak aby poziom oleju pokrywał się z jej\ngórnym końcem).\nPrzyjmij gęstość wody równą 1,00\ng\ncm3, a gęstość oleju równą 0,82\ng\ncm3.\nP\npółcień\ncień\npółcień\nbrak cienia\nbrak cienia\n8 cm\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9.1. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli\nfizycznych i matematycznych do opisu\nzjawisk.\n3.6) (G) Zdający posługuje się pojęciem\nciśnienia (w tym ciśnienia hydrostatycznego\n[…]).\n3.7) (G) Zdający formułuje prawo Pascala\ni podaje przykłady jego zastosowania.\nSchemat punktowania\n2 p. - prawidłowa metoda obliczenia wysokości słupka oleju i prawidłowy wynik liczbowy\nz jednostką.\n1 p. - prawidłowy zapis równowagi ciśnień (zgodnie z prawem Pascala)\nlub\n- prawidłowe ustalenie relacji pomiędzy wysokościami słupów cieczy (prawidłowa\nrelacja musi wynikać z zapisów lub rysunku).\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nRysunek po lewej przedstawia sytuację przed dolaniem oleju, natomiast rysunek po prawej\nodpowiada sytuacji po dolaniu oleju.\nZgodnie z prawem Pascala przyrównujemy ciśnienia na oznaczonym poziomie A (granicy\noleju i wody):\n݌௔௧+ ݌஺ ௟௘௪௬= ݌௔௧+ ݌஺ ௣௥௔௪௬ → ݌஺ ௟௘௪௬= ݌஺ ௣௥௔௪௬\nZastosujemy wzór na ciśnienie słupa cieczy, zgodnie z oznaczeniami wprowadzonymi na\nrysunku:\nߩ௪∙\n∙݈\n= ߩ௢௟∙\n∙ܪ → ߩ௪∙\n∙2ݔ= ߩ௢௟∙\n∙(ݔ+ ℎ଴)\nZ ostatniego wzoru wyznaczamy ݔ i podstawiamy dane:\nݔ =\nߩ௢௟\n2ߩ௪-ߩ௢௟\nℎ଴ →ݔ= 5,56 cm → H = 8 cm + 5,56 cm = 13,56 cm ≈ 13,6 cm\n8 cm\nℎ଴= 8 cm\nݔ\nݔ\nܣ\nܪ݈","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n\\[h \\approx \\boxed{13{,}6 \\ \\text{cm}}\\]\n\n(dokładnie: \\(h = \\dfrac{16}{1{,}18} = \\dfrac{800}{59} \\approx 13{,}56 \\ \\text{cm}\\))\n\n## Sposób 1 - Równanie ciśnienia na dnie naczynia U (metoda fundamentalna)\n\n**Wprowadzenie oznaczeń:**\n\nNiech poziom wody przed wlaniem oleju = poziom odniesienia \\(h_0\\).\nPo wlaniu oleju o wysokości \\(h\\) do lewego ramienia:\n\n- Woda w lewym ramieniu **opada** o \\(x\\) (olej ją wypycha w dół).\n- Woda w prawym ramieniu **rośnie** o \\(x\\) (jednakowe przekroje → ta sama objętość wody przepływa do drugiego ramienia).\n- Olej stoi na wodzie, jego górna powierzchnia = wylot rurki = \\(8 \\ \\text{cm}\\) nad początkowym poziomem wody.\n\n**Równanie geometryczne** (olej sięga do góry rurki):\n\n\\[\nh - x = 8 \\ \\text{cm} \\quad \\Rightarrow \\quad h = 8 + x \\tag{1}\n\\]\n\n*(wysokość oleju to: 8 cm wolnego miejsca + opuszczenie wody o x)*\n\n**Równanie ciśnienia na dnie U** (ciśnienie musi być równe z obu stron - naczynia połączone):\n\n\\[\nP_0 + \\rho_{\\text{ol}} g h + \\rho_w g (H_0 - x) = P_0 + \\rho_w g (H_0 + x)\n\\]\n\nGdzie \\(H_0\\) = wysokość wody od dna do początkowego poziomu. \\(P_0\\) i \\(\\rho_w g H_0\\) odejmują się obustronnie:\n\n\\[\n\\rho_{\\text{ol}} \\cdot h = \\rho_w \\cdot 2x \\tag{2}\n\\]\n\n**Rozwiązanie układu równań (1) i (2):**\n\nZ (2): \\(\\quad x = \\dfrac{\\rho_{\\text{ol}} \\cdot h}{2\\rho_w}\\)\n\nPodstawiamy do (1):\n\n\\[\nh = 8 + \\frac{\\rho_{\\text{ol}} \\cdot h}{2\\rho_w}\n\\]\n\n\\[\nh\\left(1 - \\frac{\\rho_{\\text{ol}}}{2\\rho_w}\\right) = 8\n\\]\n\n\\[\nh \\cdot \\frac{2\\rho_w - \\rho_{\\text{ol}}}{2\\rho_w} = 8\n\\]\n\n\\[\n\\boxed{h = \\frac{16\\rho_w}{2\\rho_w - \\rho_{\\text{ol}}} = \\frac{16 \\times 1{,}00}{2 \\times 1{,}00 - 0{,}82} = \\frac{16}{1{,}18} \\approx 13{,}6 \\ \\text{cm}}\n\\]\n\n**Sprawdzenie:** \\(x = 0{,}41 \\times 13{,}56 \\approx 5{,}56 \\ \\text{cm}\\), więc \\(h - x = 13{,}56 - 5{,}56 = 8 \\ \\text{cm}\\) ✓\n\n## Sposób 2 - Ciśnienie na poziomie granicy olej-woda (zasada Pascala lokalnie)\n\nZamiast brać ciśnienie na dnie, stosujemy zasadę, że **ciśnienie na tej samej głębokości w cieczy połączonej jest równe**.\n\nGranica olej-woda w lewym ramieniu jest na wysokości \\(h_0 - x\\) (woda opadła o \\(x\\)).\nSprawdzamy ciśnienie na poziomie tej granicy:\n\n| Strona lewa | Strona prawa |\n| \\(P_0 + \\rho_{\\text{ol}} \\cdot g \\cdot h\\) | \\(P_0 + \\rho_w \\cdot g \\cdot \\Delta h_{\\text{wody}}\\) |\n\nGdzie \\(\\Delta h_{\\text{wody}}\\) to słupek wody po prawej stronie **powyżej poziomu granicy**:\n\n\\[\n\\Delta h_{\\text{wody}} = (h_0 + x) - (h_0 - x) = 2x\n\\]\n\nRównanie ciśnienia na granicy olej-woda:\n\n\\[\n\\rho_{\\text{ol}} \\cdot h = \\rho_w \\cdot 2x\n\\]\n\nTo jest dokładnie równanie (2) z Metody 1 - dalsze kroki identyczne. Wynik: \\(h \\approx 13{,}6 \\ \\text{cm}\\).\n\n> **Sens fizyczny:** Olej jest lżejszy niż woda. Słupek oleju o wysokości \\(h\\) musi być równoważony przez słupek wody o wysokości \\(2x\\) (bo woda podniosła się o \\(x\\) po prawej i opadła o \\(x\\) po lewej - różnica poziomów to \\(2x\\)).\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 9.1, max 2 pkt):**\n> - **2 pkt** - uczeń poprawnie zapisuje oba równania (ciśnienia + geometryczne) i otrzymuje wynik \\(h \\approx 13{,}6 \\ \\text{cm}\\) z jednostką\n> - **1 pkt** - uczeń poprawnie formułuje warunek równości ciśnień (naczynia połączone) lub poprawne równanie geometryczne, ale popełnia błąd rachunkowy / brakuje jednego z warunków\n> - **0 pkt** - odpowiedź niespełniająca wymagań lub brak istotnego kroku rozumowania\n> - **Akceptowane warianty:** \\(h = 13{,}5 \\ \\text{cm}\\), \\(h = 13{,}56 \\ \\text{cm}\\), \\(h \\approx 13{,}6 \\ \\text{cm}\\) - wszystkie poprawne z uwagi na zaokrąglenia\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-17):**\n> **Ciśnienie hydrostatyczne:** \\(p = p_0 + \\rho g h\\)\n> Zastosowanie: ciśnienie na dnie każdego ramienia jest sumą ciśnienia atmosferycznego + ciśnień wszystkich słupków cieczy nad tym punktem.\n>\n> **Zasada Pascala / naczynia połączone:** ciśnienie na tej samej głębokości w połączonej cieczy jest jednakowe.\n> Zastosowanie: na dnie rurki U ciśnienie z lewej = ciśnienie z prawej.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Pułapka nr 1 - Zapomnienie o opuszczeniu wody.**\nWielu uczniów pisze: \\(h = 8 \\ \\text{cm}\\), bo „olej sięga 8 cm ponad wodę\". To błąd! Gdy wlewamy olej, woda po lewej **opada** o \\(x\\), więc olej zajmuje więcej niż 8 cm.\n\n> ⚠️ **Pułapka nr 2 - Przekroje się upraszczają, ale tylko dlatego, że są równe.**\nGdyby przekroje były różne, objętość wody po lewej \\(= A_L \\cdot x\\) musiałaby równać się objętości po prawej \\(= A_R \\cdot x'\\). Tutaj \\(A_L = A_R\\), więc \\(x = x'\\). Nie zapominaj o tym założeniu.\n\n> ⚠️ **Pułapka nr 3 - Pomylenie gęstości.**\nOlej (0,82 g/cm³) jest **lżejszy** od wody (1,00 g/cm³) - to warunek, że olej pływa na wodzie. Gdybyś podstawił odwrotnie, wzór dałby absurdalny wynik \\(h < 0\\).\n\n> ⚠️ **Pułapka nr 4 - Brak jednostki w odpowiedzi.**\nCKE wymaga jednostki: **cm** lub **m** (z odpowiednim przeliczeniem). Samo 13,6 bez jednostki = brak pełnego uznania.","image":"img/fizyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad-9.1.webp","solution_image":null,"topics":"Hydrostatyka","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 9.1. (0-2)
W szklanej rurce o kształcie litery U, której przekrój jest jednakowy
w obu ramionach, znajduje się woda. Przyjmij, że poziome
powierzchnie cieczy są płaskie (pomiń tzw. menisk). Górny koniec
rurki leży na wysokości 8 cm nad powierzchnią wody - patrz rysunek.
Oblicz maksymalną wysokość słupka oleju, który można wlać do
jednego z ramion rurki (tak aby poziom oleju pokrywał się z jej
górnym końcem).
Przyjmij gęstość wody równą 1,00
g
cm3, a gęstość oleju równą 0,82
g
cm3.
P
półcień
cień
półcień
brak cienia
brak cienia
8 cm
MFA_1R

","answer_text_html":"

Zadanie 9.1. (0-2)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Budowa prostych modeli
fizycznych i matematycznych do opisu
zjawisk.
3.6) (G) Zdający posługuje się pojęciem
ciśnienia (w tym ciśnienia hydrostatycznego
[…]).
3.7) (G) Zdający formułuje prawo Pascala
i podaje przykłady jego zastosowania.
Schemat punktowania
2 p. - prawidłowa metoda obliczenia wysokości słupka oleju i prawidłowy wynik liczbowy
z jednostką.
1 p. - prawidłowy zapis równowagi ciśnień (zgodnie z prawem Pascala)
lub

\n\n

relacja musi wynikać z zapisów lub rysunku).
0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Przykładowe rozwiązanie
Rysunek po lewej przedstawia sytuację przed dolaniem oleju, natomiast rysunek po prawej
odpowiada sytuacji po dolaniu oleju.
Zgodnie z prawem Pascala przyrównujemy ciśnienia na oznaczonym poziomie A (granicy
oleju i wody):
݌௔௧+ ݌஺ ௟௘௪௬= ݌௔௧+ ݌஺ ௣௥௔௪௬ → ݌஺ ௟௘௪௬= ݌஺ ௣௥௔௪௬
Zastosujemy wzór na ciśnienie słupa cieczy, zgodnie z oznaczeniami wprowadzonymi na
rysunku:
ߩ௪∙
∙݈
= ߩ௢௟∙
∙ܪ → ߩ௪∙
∙2ݔ= ߩ௢௟∙
∙(ݔ+ ℎ଴)
Z ostatniego wzoru wyznaczamy ݔ i podstawiamy dane:
ݔ =
ߩ௢௟
2ߩ௪-ߩ௢௟
ℎ଴ →ݔ= 5,56 cm → H = 8 cm + 5,56 cm = 13,56 cm ≈ 13,6 cm
8 cm
ℎ଴= 8 cm
ݔ
ݔ
ܣ
ܪ݈

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n
h≈13,6 cm
\n

(dokładnie: h=161,18=80059≈13,56 cm)

\n

Sposób 1 - Równanie ciśnienia na dnie naczynia U (metoda fundamentalna)

\n

Wprowadzenie oznaczeń:

\n

Niech poziom wody przed wlaniem oleju = poziom odniesienia h0.
Po wlaniu oleju o wysokości h do lewego ramienia:

\n\n

Równanie geometryczne (olej sięga do góry rurki):

\n
h−x=8 cm⇒h=8+x(1)
\n

(wysokość oleju to: 8 cm wolnego miejsca + opuszczenie wody o x)

\n

Równanie ciśnienia na dnie U (ciśnienie musi być równe z obu stron - naczynia połączone):

\n
P0+ρolgh+ρwg(H0−x)=P0+ρwg(H0+x)
\n

Gdzie H0 = wysokość wody od dna do początkowego poziomu. P0 i ρwgH0 odejmują się obustronnie:

\n
ρol·h=ρw·2x(2)
\n

Rozwiązanie układu równań (1) i (2):

\n

Z (2): x=ρol·h2ρw

\n

Podstawiamy do (1):

\n
h=8+ρol·h2ρw
\n
h(1−ρol2ρw)=8
\n
h·2ρw−ρol2ρw=8
\n
h=16ρw2ρw−ρol=16×1,002×1,00−0,82=161,18≈13,6 cm
\n

Sprawdzenie: x=0,41×13,56≈5,56 cm, więc h−x=13,56−5,56=8 cm ✓

\n

Sposób 2 - Ciśnienie na poziomie granicy olej-woda (zasada Pascala lokalnie)

\n

Zamiast brać ciśnienie na dnie, stosujemy zasadę, że ciśnienie na tej samej głębokości w cieczy połączonej jest równe.

\n

Granica olej-woda w lewym ramieniu jest na wysokości h0−x (woda opadła o x).
Sprawdzamy ciśnienie na poziomie tej granicy:

\n

| Strona lewa | Strona prawa |
| P0+ρol·g·h | P0+ρw·g·Δhwody |

\n

Gdzie Δhwody to słupek wody po prawej stronie powyżej poziomu granicy:

\n
Δhwody=(h0+x)−(h0−x)=2x
\n

Równanie ciśnienia na granicy olej-woda:

\n
ρol·h=ρw·2x
\n

To jest dokładnie równanie (2) z Metody 1 - dalsze kroki identyczne. Wynik: h≈13,6 cm.

\n
Sens fizyczny: Olej jest lżejszy niż woda. Słupek oleju o wysokości h musi być równoważony przez słupek wody o wysokości 2x (bo woda podniosła się o x po prawej i opadła o x po lewej - różnica poziomów to 2x).
\n

Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)

\n
📋 Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 9.1, max 2 pkt):
- 2 pkt - uczeń poprawnie zapisuje oba równania (ciśnienia + geometryczne) i otrzymuje wynik h≈13,6 cm z jednostką
- 1 pkt - uczeń poprawnie formułuje warunek równości ciśnień (naczynia połączone) lub poprawne równanie geometryczne, ale popełnia błąd rachunkowy / brakuje jednego z warunków
- 0 pkt - odpowiedź niespełniająca wymagań lub brak istotnego kroku rozumowania
- Akceptowane warianty: h=13,5 cm, h=13,56 cm, h≈13,6 cm - wszystkie poprawne z uwagi na zaokrąglenia
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-17):
Ciśnienie hydrostatyczne: p=p0+ρgh
Zastosowanie: ciśnienie na dnie każdego ramienia jest sumą ciśnienia atmosferycznego + ciśnień wszystkich słupków cieczy nad tym punktem.

Zasada Pascala / naczynia połączone: ciśnienie na tej samej głębokości w połączonej cieczy jest jednakowe.
Zastosowanie: na dnie rurki U ciśnienie z lewej = ciśnienie z prawej.
\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Pułapka nr 1 - Zapomnienie o opuszczeniu wody.
\n

Wielu uczniów pisze: h=8 cm, bo „olej sięga 8 cm ponad wodę". To błąd! Gdy wlewamy olej, woda po lewej opada o x, więc olej zajmuje więcej niż 8 cm.

\n
⚠️ Pułapka nr 2 - Przekroje się upraszczają, ale tylko dlatego, że są równe.
\n

Gdyby przekroje były różne, objętość wody po lewej =AL·x musiałaby równać się objętości po prawej =AR·x′. Tutaj AL=AR, więc x=x′. Nie zapominaj o tym założeniu.

\n
⚠️ Pułapka nr 3 - Pomylenie gęstości.
\n

Olej (0,82 g/cm³) jest lżejszy od wody (1,00 g/cm³) - to warunek, że olej pływa na wodzie. Gdybyś podstawił odwrotnie, wzór dałby absurdalny wynik h<0.

\n
⚠️ Pułapka nr 4 - Brak jednostki w odpowiedzi.
\n

CKE wymaga jednostki: cm lub m (z odpowiednim przeliczeniem). Samo 13,6 bez jednostki = brak pełnego uznania.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

H≈13,6 cm

"}]}