{"id":"fizyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/9.2","paper_id":"fizyka-2017-maj-matura-rozszerzona","number":"9.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"fizyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9.2. (0-1)\nDo naczyń połączonych o kształcie litery U wlano ciecz 3, a następnie\ndo ramion rurki dolano ciecze 1 i 2 tak, że górny poziom cieczy 1 i 2 był\njednakowy (zob. rysunek). Ciecze nie mieszają się ze sobą, a ich\ngęstości\n1\nρ ,\n2\nρ i\n3\nρ są różne. Ciecze rozmieściły się tak, jak\nprzedstawiono na rysunku.\nZaznacz poprawną relację między gęstościami cieczy.\nPomiń efekty, jakie mogą być związane z napięciem powierzchniowym.\nA.\n1\n3\n2\nρ\nρ\nρ\n>\n>\nB.\n3\n2\n1\nρ\nρ\nρ\n>\n>\nC.\n2\n1\n3\nρ\nρ\nρ\n>\n>\nD.\n3\n1\n2\nρ\nρ\nρ\n>\n>","answer":"D","answer_text":"Zadanie 9.2. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\n3.6) (G) Zdający posługuje się pojęciem\nciśnienia (w tym ciśnienia hydrostatycznego\n[…]).\n3.7) (G) Zdający formułuje prawo Pascala\ni podaje przykłady jego zastosowania.\nSchemat punktowania\n1 p. - zaznaczenie poprawnej odpowiedzi.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n**D** - \\(\\rho_3 > \\rho_1 > \\rho_2\\), czyli równoważnie:\n\n$$\\boxed{\\rho_2 < \\rho_1 < \\rho_3}$$\n\n## Sposób 1 - Równanie ciśnień na dnie naczynia U\n\n**Ustawiamy układ współrzędnych.** Niech dno rurki U (punkt połączenia ramion) będzie poziomem odniesienia \\(h = 0\\).\n\n**Co jest w każdym ramieniu (z rysunku):**\n- Lewe ramię: **tylko ciecz 1** o wysokości \\(H\\)\n- Prawe ramię: **ciecz 2** u góry (wysokość \\(h_2\\)) + **ciecz 3** u dołu (wysokość \\(h_3\\))\n- Warunek zadania: górne poziomy równe → \\(H = h_2 + h_3\\)\n\n**Prawo Pascala - ciśnienia na poziomie dna muszą być równe:**\n\n$$\\rho_1 \\cdot g \\cdot H = \\rho_2 \\cdot g \\cdot h_2 + \\rho_3 \\cdot g \\cdot h_3$$\n\nPodstawiamy \\(H = h_2 + h_3\\):\n\n$$\\rho_1(h_2 + h_3) = \\rho_2 \\cdot h_2 + \\rho_3 \\cdot h_3$$\n\nPrzenosimy na jedną stronę:\n\n$$\\rho_1 h_2 - \\rho_2 h_2 = \\rho_3 h_3 - \\rho_1 h_3$$\n\n$$h_2(\\rho_1 - \\rho_2) = h_3(\\rho_3 - \\rho_1)$$\n\nPonieważ \\(h_2 > 0\\) i \\(h_3 > 0\\), **obie różnice muszą mieć ten sam znak.** Są dwie możliwości algebraiczne:\n\n| Przypadek | Wniosek |\n| Oba czynniki dodatnie | \\(\\rho_1 > \\rho_2\\) **i** \\(\\rho_3 > \\rho_1\\), czyli \\(\\rho_2 < \\rho_1 < \\rho_3\\) |\n| Oba czynniki ujemne | \\(\\rho_1 < \\rho_2\\) **i** \\(\\rho_3 < \\rho_1\\), czyli \\(\\rho_3 < \\rho_1\\) ale też \\(\\rho_3 < \\rho_1 < \\rho_2\\) |\n\nDrugi przypadek jest **fizycznie niemożliwy** - ciecz 3 leży pod cieczą 2 w prawym ramieniu, więc musi być cięższa: \\(\\rho_3 > \\rho_2\\). Gdyby było \\(\\rho_3 < \\rho_1\\), to ciecz 1 (gęstsza od cieczy 3) spłynęłaby na dno lewego ramienia, wypychając ciecz 3 w górę - niezgodne z rysunkiem.\n\n**Odpowiedź:** \\(\\rho_2 < \\rho_1 < \\rho_3\\)\n\n## Sposób 2 - Analiza fizyczna (rozmieszczenie warstw)\n\nZamiast liczyć, rozumujemy o warunkach równowagi warstw.\n\n**Krok 1: Ciecz 3 leży pod cieczą 2 w prawym ramieniu.**\nCiecze nie mieszają się → cięższa musi być na dole.\n$$\\rho_3 > \\rho_2$$\n\n**Krok 2: Lewe ramię zawiera wyłącznie ciecz 1 (brak cieczy 3).**\nCiecz 1 wypełnia lewe ramię od góry aż do samego dna. To znaczy, że granica cieczy 1 i cieczy 3 przebiega dokładnie na poziomie dna U. **Gdyby \\(\\rho_1 > \\rho_3\\)**, ciecz 1 (gęstsza) spłynęłaby pod ciecz 3 i ciecz 3 unosiłaby się w lewym ramieniu - sprzeczność z rysunkiem.\n$$\\rho_1 < \\rho_3$$\n\n**Krok 3: Górne poziomy obu ramion są równe, ale prawa strona ma dwie ciecze, lewa - jedną.**\nPrawa strona: \\(\\rho_2 h_2 + \\rho_3 h_3\\) na tej samej wysokości co lewa: \\(\\rho_1(h_2+h_3)\\).\n\nPrawa strona to ważona średnia gęstości \\(\\rho_2\\) i \\(\\rho_3\\), z wagami \\(h_2\\) i \\(h_3\\). Skoro \\(\\rho_3 > \\rho_1\\), aby ciśnienia się równoważyły, musi zachodzić \\(\\rho_1 > \\rho_2\\) (ciecz 1 „kompensuje\" brak ciężkiej cieczy 3 w lewym ramieniu, będąc gęstsza niż ciecz 2).\n$$\\rho_1 > \\rho_2$$\n\n**Wniosek:**\n\n$$\\rho_2 < \\rho_1 < \\rho_3$$\n\n## Sposób 3 - Weryfikacja graniczna (myślowy eksperyment)\n\n**Co by się stało, gdyby \\(\\rho_1 = \\rho_2\\)?**\nWtedy równanie \\(h_2(\\rho_1 - \\rho_2) = h_3(\\rho_3 - \\rho_1)\\) daje \\(0 = h_3(\\rho_3 - \\rho_1)\\). Skoro \\(h_3 > 0\\) i \\(\\rho_3 \\neq \\rho_1\\) → sprzeczność. Więc \\(\\rho_1 \\neq \\rho_2\\).\n\n**Co by się stało, gdyby \\(\\rho_1 = \\rho_3\\)?**\nWtedy \\(h_2(\\rho_1 - \\rho_2) = 0\\), czyli \\(\\rho_1 = \\rho_2\\) (sprzeczność) lub \\(h_2 = 0\\) (brak cieczy 2 - sprzeczność z treścią). Więc \\(\\rho_1 \\neq \\rho_3\\).\n\n**Kombinacja wszystkich warunków:** jedyną logicznie spójną relacją jest:\n\n$$\\rho_2 < \\rho_1 < \\rho_3$$\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 9.2, max 1 pkt):**\n> - **1 pkt** - uczeń zaznacza poprawną relację: \\(\\rho_2 < \\rho_1 < \\rho_3\\)\n> - **0 pkt** - odpowiedź niespełniająca wymagań lub brak odpowiedzi\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, hydrostatyka:**\n> Ciśnienie hydrostatyczne: \\(p = \\rho g h\\)\n> Prawo Pascala dla naczyń połączonych: ciśnienie na danym poziomie jest jednakowe w obu ramionach.\n>\n> Użyte w Sposobie 1: \\(p_{\\text{lewe}} = p_{\\text{prawe}}\\) na poziomie dna → \\(\\rho_1 g H = \\rho_2 g h_2 + \\rho_3 g h_3\\)\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Wariant | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| \\(\\rho_1 < \\rho_2 < \\rho_3\\) | Uczeń patrzy tylko na prawą stronę (ciecz 2 nad cieczą 3) i „analogicznie\" wpisuje ciecz 1 jako najlżejszą - ignoruje, że lewa strona to TYLKO ciecz 1, więc musi być cięższa niż ciecz 2 |\n| \\(\\rho_1 < \\rho_2 = \\rho_3\\) | Błędna intuicja: „oba ramiona są na tym samym poziomie, więc gęstości są równe\" - nie uwzględnia, że wysokości kolumn cieczy w prawym ramieniu są różne |\n| \\(\\rho_3 < \\rho_1 < \\rho_2\\) | Odwrócenie - uczeń myli, która ciecz leży na górze w prawym ramieniu (bierze ciecz 2 za cięższą od cieczy 3) |\n| \\(\\rho_1 = \\rho_2 < \\rho_3\\) | Błąd: „lewe ramię jest wyżej niż warstwa cieczy 2, więc ciecz 1 musi mieć taką samą gęstość jak ciecz 2\" - pomija, że te górne poziomy są RÓWNE i tylko to wiadomo z zadania |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Pułapka 1:** Mylenie „równego poziomu\" z „równą gęstością\" - w naczyniach połączonych równy poziom *przy różnych cieczach* oznacza kompensację gęstości przez wysokości, NIE równość gęstości.\n\n> ⚠️ **Pułapka 2:** Zapomnienie o warunku fizycznym - samo równanie algebraiczne daje dwa matematyczne rozwiązania, ale **fizyczne rozmieszczenie warstw** eliminuje jedno z nich. Zawsze sprawdzaj, czy rozwiązanie jest zgodne z rysunkiem.\n\n> ⚠️ **Pułapka 3:** Nieuwzględnienie, że ciecz 3 **nie wchodzi** do lewego ramienia - to kluczowy wniosek ikonograficzny z rysunku. Prawidłowe odczytanie rysunku jest połową sukcesu w tym zadaniu.","image":"img/fizyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad-9.2.webp","solution_image":null,"topics":"Hydrostatyka","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 9.2. (0-1)
Do naczyń połączonych o kształcie litery U wlano ciecz 3, a następnie
do ramion rurki dolano ciecze 1 i 2 tak, że górny poziom cieczy 1 i 2 był
jednakowy (zob. rysunek). Ciecze nie mieszają się ze sobą, a ich
gęstości
1
ρ ,
2
ρ i
3
ρ są różne. Ciecze rozmieściły się tak, jak
przedstawiono na rysunku.
Zaznacz poprawną relację między gęstościami cieczy.
Pomiń efekty, jakie mogą być związane z napięciem powierzchniowym.
A.
1
3
2
ρ
ρ
ρ

\n

\n

B.
3
2
1
ρ
ρ
ρ

\n

\n

C.
2
1
3
ρ
ρ
ρ

\n

\n

D.
3
1
2
ρ
ρ
ρ

\n

","answer_text_html":"

Zadanie 9.2. (0-1)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
I. Znajomość i umiejętność
wykorzystania pojęć i praw fizyki
do wyjaśniania procesów i zjawisk
w przyrodzie.
3.6) (G) Zdający posługuje się pojęciem
ciśnienia (w tym ciśnienia hydrostatycznego
[…]).
3.7) (G) Zdający formułuje prawo Pascala
i podaje przykłady jego zastosowania.
Schemat punktowania
1 p. - zaznaczenie poprawnej odpowiedzi.
0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.
Poprawna odpowiedź
D

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

D - ρ3>ρ1>ρ2, czyli równoważnie:

\n
ρ2<ρ1<ρ3
\n

Sposób 1 - Równanie ciśnień na dnie naczynia U

\n

Ustawiamy układ współrzędnych. Niech dno rurki U (punkt połączenia ramion) będzie poziomem odniesienia h=0.

\n

Co jest w każdym ramieniu (z rysunku):

\n\n

Prawo Pascala - ciśnienia na poziomie dna muszą być równe:

\n
ρ1·g·H=ρ2·g·h2+ρ3·g·h3
\n

Podstawiamy H=h2+h3:

\n
ρ1(h2+h3)=ρ2·h2+ρ3·h3
\n

Przenosimy na jedną stronę:

\n
ρ1h2−ρ2h2=ρ3h3−ρ1h3
\n
h2(ρ1−ρ2)=h3(ρ3−ρ1)
\n

Ponieważ h2>0 i h3>0, obie różnice muszą mieć ten sam znak. Są dwie możliwości algebraiczne:

\n

| Przypadek | Wniosek |
| Oba czynniki dodatnie | ρ1>ρ2 i ρ3>ρ1, czyli ρ2<ρ1<ρ3 |
| Oba czynniki ujemne | ρ1<ρ2 i ρ3<ρ1, czyli ρ3<ρ1 ale też ρ3<ρ1<ρ2 |

\n

Drugi przypadek jest fizycznie niemożliwy - ciecz 3 leży pod cieczą 2 w prawym ramieniu, więc musi być cięższa: ρ3>ρ2. Gdyby było ρ3<ρ1, to ciecz 1 (gęstsza od cieczy 3) spłynęłaby na dno lewego ramienia, wypychając ciecz 3 w górę - niezgodne z rysunkiem.

\n

Odpowiedź: ρ2<ρ1<ρ3

\n

Sposób 2 - Analiza fizyczna (rozmieszczenie warstw)

\n

Zamiast liczyć, rozumujemy o warunkach równowagi warstw.

\n

Krok 1: Ciecz 3 leży pod cieczą 2 w prawym ramieniu.
Ciecze nie mieszają się → cięższa musi być na dole.

\n
ρ3>ρ2
\n

Krok 2: Lewe ramię zawiera wyłącznie ciecz 1 (brak cieczy 3).
Ciecz 1 wypełnia lewe ramię od góry aż do samego dna. To znaczy, że granica cieczy 1 i cieczy 3 przebiega dokładnie na poziomie dna U. Gdyby ρ1>ρ3, ciecz 1 (gęstsza) spłynęłaby pod ciecz 3 i ciecz 3 unosiłaby się w lewym ramieniu - sprzeczność z rysunkiem.

\n
ρ1<ρ3
\n

Krok 3: Górne poziomy obu ramion są równe, ale prawa strona ma dwie ciecze, lewa - jedną.
Prawa strona: ρ2h2+ρ3h3 na tej samej wysokości co lewa: ρ1(h2+h3).

\n

Prawa strona to ważona średnia gęstości ρ2 i ρ3, z wagami h2 i h3. Skoro ρ3>ρ1, aby ciśnienia się równoważyły, musi zachodzić ρ1>ρ2 (ciecz 1 „kompensuje" brak ciężkiej cieczy 3 w lewym ramieniu, będąc gęstsza niż ciecz 2).

\n
ρ1>ρ2
\n

Wniosek:

\n
ρ2<ρ1<ρ3
\n

Sposób 3 - Weryfikacja graniczna (myślowy eksperyment)

\n

Co by się stało, gdyby ρ1=ρ2?
Wtedy równanie h2(ρ1−ρ2)=h3(ρ3−ρ1) daje 0=h3(ρ3−ρ1). Skoro h3>0 i ρ3≠ρ1 → sprzeczność. Więc ρ1≠ρ2.

\n

Co by się stało, gdyby ρ1=ρ3?
Wtedy h2(ρ1−ρ2)=0, czyli ρ1=ρ2 (sprzeczność) lub h2=0 (brak cieczy 2 - sprzeczność z treścią). Więc ρ1≠ρ3.

\n

Kombinacja wszystkich warunków: jedyną logicznie spójną relacją jest:

\n
ρ2<ρ1<ρ3
\n

Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)

\n
📋 Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 9.2, max 1 pkt):
- 1 pkt - uczeń zaznacza poprawną relację: ρ2<ρ1<ρ3
- 0 pkt - odpowiedź niespełniająca wymagań lub brak odpowiedzi
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, hydrostatyka:
Ciśnienie hydrostatyczne: p=ρgh
Prawo Pascala dla naczyń połączonych: ciśnienie na danym poziomie jest jednakowe w obu ramionach.

Użyte w Sposobie 1: plewe=pprawe na poziomie dna → ρ1gH=ρ2gh2+ρ3gh3
\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Wariant | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| ρ1<ρ2<ρ3 | Uczeń patrzy tylko na prawą stronę (ciecz 2 nad cieczą 3) i „analogicznie" wpisuje ciecz 1 jako najlżejszą - ignoruje, że lewa strona to TYLKO ciecz 1, więc musi być cięższa niż ciecz 2 |
| ρ1<ρ2=ρ3 | Błędna intuicja: „oba ramiona są na tym samym poziomie, więc gęstości są równe" - nie uwzględnia, że wysokości kolumn cieczy w prawym ramieniu są różne |
| ρ3<ρ1<ρ2 | Odwrócenie - uczeń myli, która ciecz leży na górze w prawym ramieniu (bierze ciecz 2 za cięższą od cieczy 3) |
| ρ1=ρ2<ρ3 | Błąd: „lewe ramię jest wyżej niż warstwa cieczy 2, więc ciecz 1 musi mieć taką samą gęstość jak ciecz 2" - pomija, że te górne poziomy są RÓWNE i tylko to wiadomo z zadania |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Pułapka 1: Mylenie „równego poziomu" z „równą gęstością" - w naczyniach połączonych równy poziom przy różnych cieczach oznacza kompensację gęstości przez wysokości, NIE równość gęstości.
\n
⚠️ Pułapka 2: Zapomnienie o warunku fizycznym - samo równanie algebraiczne daje dwa matematyczne rozwiązania, ale fizyczne rozmieszczenie warstw eliminuje jedno z nich. Zawsze sprawdzaj, czy rozwiązanie jest zgodne z rysunkiem.
\n
⚠️ Pułapka 3: Nieuwzględnienie, że ciecz 3 nie wchodzi do lewego ramienia - to kluczowy wniosek ikonograficzny z rysunku. Prawidłowe odczytanie rysunku jest połową sukcesu w tym zadaniu.
"}]}