{"id":"fizyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad/21.2","paper_id":"fizyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa","number":"21.2","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21.2. (2 pkt)\nPróbkę zawierającą izotop 224Ra zbadano po upływie 13 dni od dostarczenia do laboratorium\ni ustalono, że po tym czasie próbka zawierała 0,75 mg tego izotopu.\nOszacuj masę tego izotopu w chwili dostarczenia do laboratorium.\nPoziom podstawowy\nMFA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 21.2. (2 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nWiadomości i rozumienie.\nZastosowanie prawa rozpadu, z uwzględnieniem\nczasu połowicznego zaniku, do analizy przemian\njądrowych (I.1.6.11).\nSchemat punktowania\n2 p. - prawidłowa metoda i prawidłowy wynik mieszczący się w przedziale od 8 mg do 9 mg\nlub\n- prawidłowa metoda obliczenia obu krańców przedziału, do którego może należeć\nwynik, oraz stwierdzenie, że masa początkowa izotopu radu należy do przedziału\n଴∈(6 mg; 12 mg).\n1 p. - wykorzystanie\npojęcia\nczasu\npołowicznego\nrozpadu\noraz\nzauważenie,\nże\n3\n൏ݐ൏4ܶ.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nSposób 1\nZauważamy, że czas 13 dni stanowi 3,5 czasów połowicznego rozpadu:\nݐܶ= 13 dni\n3,7 dni ≈3,5\nKorzystamy z pojęcia czasu połowicznego rozpadu lub równoważnie ze wzoru\nprzedstawiającego zależność liczby jąder pozostających w próbce od czasu. Zamiast liczby\njąder radu pozostających w próbce zapiszemy\n(ݐ) - łączną masę jąder izotopu radu\npozostających w próbce (\n଴ oznacza początkową masę izotopu radu w próbce):\n(ݐ) =݉\n଴∙൬1\n2൰\n௧்\n→\n଴=\n(ݐ) ∙2\n௧்\nDla ݐ= 3,5ܶ mamy:\n଴=\n(3,5ܶ) ∙2ଷ,ହ= 0,75 mg ∙ 2ଷ∙2\nଵ\nଶ= 8,5 mg.\nPoczątkowa masa izotopu radu wynosiła około 8,5 mg.\nSposób 2\nZauważamy, że 3\n൏ݐ൏4ܶ. Następnie obliczamy, jakie byłyby masy początkowe,\ngdybyśmy do rachunków przyjęli ݐ= 3ܶ, a następnie ݐ= 4ܶ:\n0,75 mg =\n଴∙൬1\n2൰\nଷ\n→\n଴= 6 mg\n0,75 mg =\n଴∙൬1\n2൰\nସ\n→\n଴= 12 mg\nPoczątkowa masa izotopu należy do przedziału otwartego\n଴∈(6 mg; 12 mg) lub masa\npoczątkowa izotopu radu jest równa około:\n଴≈1\n2 (6 mg + 12 mg) ≈ 9 mg.\nSposób 3\nZauważamy, że w czwartym okresie czasu połowicznego rozpadu (tj. od 3ܶ do 4ܶ) fragment\nkrzywej rozpadu można przybliżyć odcinkiem prostym. Dlatego wartość funkcji\n(ݐ) na\nśrodku odcinka od 3ܶ do 4ܶ można szacować ze średniej arytmetycznej wartości funkcji\n(ݐ) na krańcach tego odcinka:\n(3,5ܶ) ≈1\n2 ൫݉\n(3ܶ) +݉\n(4ܶ)൯\nKorzystamy z pojęcia czasu połowicznego rozpadu:\n(3,5ܶ) ≈1\n2 ቆ൬1\n2൰\nଷ\n଴+ ൬1\n2൰\nସ\n଴ቇ= 1\n2 ൬1\n2൰\nଷ\n൬1 + 1\n2൰݉\n଴= 3\n32\n଴\nPodstawiamy dane:\n(3,5ܶ) ≈3\n32݉\n଴ →\n଴≈32\n3 ∙0,75 mg ≈ 8 mg\nPoczątkowa masa izotopu radu wynosiła około 8 mg.\nUwaga,\ndo\nwzoru\n(3,5ܶ) ≈\nଷ\nଷଶ\n଴\nmożna\ndojść\nrównoważnymi\nsposobami,\nwykorzystującymi pojęcie czasu połowicznego rozpadu:\n(3,5ܶ) = 1\n2 ∙1\n2 ∙1\n2 ∙3\n4\n଴\nCzynnik ¾ pojawia się tutaj jako wynik następującego szacowania: jeśli w ciągu jednego\nczasu połowicznego rozpadu rozpadnie się połowa jąder, to w połowie tego czasu rozpadnie\nsię ¼ jąder, czyli pozostanie ¾ jąder. Powyższy wzór to szacowanie liczby jąder\npozostających w próbce po trzech (trzy czynniki 1/2) i pół (czynnik 3/4) czasach\npołowicznego rozpadu.","solution":"$m_0 \\approx 8,5 \\text{ mg}$","image":"img/fizyka-2017-maj-matura-stara-podstawowa/zad-21.2.webp","solution_image":null,"topics":"Fizyka współczesna","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 21.2. (2 pkt)
Próbkę zawierającą izotop 224Ra zbadano po upływie 13 dni od dostarczenia do laboratorium
i ustalono, że po tym czasie próbka zawierała 0,75 mg tego izotopu.
Oszacuj masę tego izotopu w chwili dostarczenia do laboratorium.
Poziom podstawowy
MFA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 21.2. (2 pkt)
Obszar standardów
Opis wymagań
Wiadomości i rozumienie.
Zastosowanie prawa rozpadu, z uwzględnieniem
czasu połowicznego zaniku, do analizy przemian
jądrowych (I.1.6.11).
Schemat punktowania
2 p. - prawidłowa metoda i prawidłowy wynik mieszczący się w przedziale od 8 mg do 9 mg
lub

\n\n

wynik, oraz stwierdzenie, że masa początkowa izotopu radu należy do przedziału
଴∈(6 mg; 12 mg).
1 p. - wykorzystanie
pojęcia
czasu
połowicznego
rozpadu
oraz
zauważenie,
że
3
൏ݐ൏4ܶ.
0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Przykładowe rozwiązanie
Sposób 1
Zauważamy, że czas 13 dni stanowi 3,5 czasów połowicznego rozpadu:
ݐܶ= 13 dni
3,7 dni ≈3,5
Korzystamy z pojęcia czasu połowicznego rozpadu lub równoważnie ze wzoru
przedstawiającego zależność liczby jąder pozostających w próbce od czasu. Zamiast liczby
jąder radu pozostających w próbce zapiszemy
(ݐ) - łączną masę jąder izotopu radu
pozostających w próbce (
଴ oznacza początkową masę izotopu radu w próbce):
(ݐ) =݉
଴∙൬1
2൰
௧்
→
଴=
(ݐ) ∙2
௧்
Dla ݐ= 3,5ܶ mamy:
଴=
(3,5ܶ) ∙2ଷ,ହ= 0,75 mg ∙ 2ଷ∙2
ଵ
ଶ= 8,5 mg.
Początkowa masa izotopu radu wynosiła około 8,5 mg.
Sposób 2
Zauważamy, że 3
൏ݐ൏4ܶ. Następnie obliczamy, jakie byłyby masy początkowe,
gdybyśmy do rachunków przyjęli ݐ= 3ܶ, a następnie ݐ= 4ܶ:
0,75 mg =
଴∙൬1
2൰
ଷ
→
଴= 6 mg
0,75 mg =
଴∙൬1
2൰
ସ
→
଴= 12 mg
Początkowa masa izotopu należy do przedziału otwartego
଴∈(6 mg; 12 mg) lub masa
początkowa izotopu radu jest równa około:
଴≈1
2 (6 mg + 12 mg) ≈ 9 mg.
Sposób 3
Zauważamy, że w czwartym okresie czasu połowicznego rozpadu (tj. od 3ܶ do 4ܶ) fragment
krzywej rozpadu można przybliżyć odcinkiem prostym. Dlatego wartość funkcji
(ݐ) na
środku odcinka od 3ܶ do 4ܶ można szacować ze średniej arytmetycznej wartości funkcji
(ݐ) na krańcach tego odcinka:
(3,5ܶ) ≈1
2 ൫݉
(3ܶ) +݉
(4ܶ)൯
Korzystamy z pojęcia czasu połowicznego rozpadu:
(3,5ܶ) ≈1
2 ቆ൬1
2൰
ଷ
଴+ ൬1
2൰
ସ
଴ቇ= 1
2 ൬1
2൰
ଷ
൬1 + 1
2൰݉
଴= 3
32
଴
Podstawiamy dane:
(3,5ܶ) ≈3
32݉
଴ →
଴≈32
3 ∙0,75 mg ≈ 8 mg
Początkowa masa izotopu radu wynosiła około 8 mg.
Uwaga,
do
wzoru
(3,5ܶ) ≈
ଷ
ଷଶ
଴
można
dojść
równoważnymi
sposobami,
wykorzystującymi pojęcie czasu połowicznego rozpadu:
(3,5ܶ) = 1
2 ∙1
2 ∙1
2 ∙3
4
଴
Czynnik ¾ pojawia się tutaj jako wynik następującego szacowania: jeśli w ciągu jednego
czasu połowicznego rozpadu rozpadnie się połowa jąder, to w połowie tego czasu rozpadnie
się ¼ jąder, czyli pozostanie ¾ jąder. Powyższy wzór to szacowanie liczby jąder
pozostających w próbce po trzech (trzy czynniki 1/2) i pół (czynnik 3/4) czasach
połowicznego rozpadu.

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$m_0 \\approx 8,5 \\text{ mg}$

"}]}