Zadanie 1.2. (0-3)
Oblicz całkowitą drogę przebytą przez pierwszy samochód oraz maksymalną wartość
prędkości drugiego samochodu.
MFA_1R
Zadanie 1.2. (0-3)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Budowa prostych modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk.
Zdający: 1.4) wykorzystuje związki pomiędzy
położeniem, prędkością, i przyspieszeniem
w ruchu jednostajnym i jednostajnie zmiennym
do obliczania parametrów ruchu.
Wymagania ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Budowa prostych modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk.
Zdający:
1.5) rysuje i interpretuje wykresy zależności
parametrów ruchu od czasu,
12.2) samodzielnie wykonuje poprawne
wykresy (właściwe oznaczenie i opis osi, wybór
skali, oznaczenie niepewności punktów
pomiarowych).
v, m/s
t, s
0
0
1
2
8
10
1
10
Schemat punktowania
3 p. - prawidłowe obliczenie drogi obydwu samochodów i prędkości maksymalnej drugiego
samochodu, wyniki podane z jednostkami.
2 p. - prawidłowe obliczenie drogi pierwszego samochodu oraz prawidłowa metoda obliczenia
prędkości maksymalnej drugiego samochodu (np. zapisanie równań równoważnych jak
sposobie 1. lub 2. przedstawionego rozwiązania)
lub
oraz obliczenie prędkości maksymalnej drugiego samochodu wynikającej z obliczonej
drogi
lub
i prawidłowy wynik z jednostką
lub
1 p. - prawidłowa metoda obliczenia drogi przebytej przez pierwszy samochód i prawidłowy
wynik z jednostką
lub
obliczenia prędkości maksymalnej drugiego samochodu.
0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Przykładowe rozwiązania
Sposób 1. („metoda pola”)
Korzystamy z twierdzenia, że pole pod wykresem wartości prędkości od czasu jest równe
drodze przebytej przez ciało w danym czasie (przy odpowiednio wyskalowanych osiach).
Zapisujemy wzór na drogę dla pierwszego samochodu i wykonujemy obliczenia:
ݏଵ= 1
2 ∙ቀ10 m
s + 6 m
s ቁ∙10 s = 80 m
Maksymalną wartość prędkości drugiego samochodu obliczamy z warunku zadania oraz ze
wzoru na drogę wykorzystującego metodę pola.
ݏଵ= ݏଶ oraz ݏଶ= 1
2 ݒଶ୫ୟ୶∙(5 s + 5 s) → 80 m = 1
2 ݒଶ୫ୟ୶∙10 s → ݒଶ୫ୟ୶= 16 m
s
Sposób 2. (z równań ruchu)
Obliczamy drogę jaką przebył pierwszy samochód:
ݏଵ= 1
2 ∙2 s ∙10 m
s + 6 s ∙10 m
s + 1
2 ∙2 s ∙10 m
s = 80 m
Obliczamy przyspieszenie (oraz opóźnienie) drugiego samochodu, wiedząc, że ݏଶ= ݏଵ:
ቀݏଶ
2 ቁ= 1
2ܽ
൬ݐ
2൰
ଶ
→
= 4ݏଶ
ݐଶ →
= 320
10ଶ m
s2 = 3,2 m
s2
Obliczamy ݒଶ௫:
ݒଶ௫=
൬ݐ
2൰= 3,2 m
s2 ∙5 s = 16 m
s
Samochód 1 (ruch trójfazowy):
\nSamochód 2 (ruch dwufazowy, ten sam czas i ta sama droga co samochód 1):
\nDroga = pole pod wykresem \\(v(t)\\) (trapez). Liczymy fazami:
\nFaza 1 (rozpędzanie, trójkąt):
\\[s_{1a} = \\frac{1}{2} \\cdot v \\cdot t_1 = \\frac{1}{2} \\cdot 10 \\cdot 2 = 10 \\text{ m}\\]
Faza 2 (stała prędkość, prostokąt):
\\[s_{1b} = v \\cdot t_2 = 10 \\cdot 6 = 60 \\text{ m}\\]
Faza 3 (hamowanie, trójkąt):
\\[s_{1c} = \\frac{1}{2} \\cdot v \\cdot t_3 = \\frac{1}{2} \\cdot 10 \\cdot 2 = 10 \\text{ m}\\]
Całkowita droga:
\\[s_1 = 10 + 60 + 10 = \\boxed{80 \\text{ m}}\\]
(Sprawdzenie wzorem na pole trapezu: \\(s_1 = \\frac{(t_2 + t)}{2}\\cdot v = \\frac{(6 + 10)}{2}\\cdot 10 = 80 \\text{ m}\\).)
\nKrok 1 - wykorzystaj warunki zadania.
\nSamochód 2 przebył tę samą drogę (\\(s_2 = s_1 = 80 \\text{ m}\\)) w tym samym czasie (\\(t = 10 \\text{ s}\\)).
\nKrok 2 - kształt wykresu \\(v(t)\\) samochodu 2.
\nRozpędzanie przez 5 s, potem hamowanie przez 5 s do zera - wykres \\(v(t)\\) to trójkąt o podstawie \\(t = 10 \\text{ s}\\) i wysokości \\(v_{2,max}\\) (osiąganej w połowie czasu, po 5 s).
\nKrok 3 - droga = pole trójkąta.
\n\\[s_2 = \\frac{1}{2} \\cdot t \\cdot v_{2,max}\\]
\nKrok 4 - wstaw \\(s_2 = 80 \\text{ m}\\), \\(t = 10 \\text{ s}\\):
\n\\[80 = \\frac{1}{2} \\cdot 10 \\cdot v_{2,max} = 5 \\cdot v_{2,max}\\]
\n\\[v_{2,max} = \\frac{80}{5} = \\boxed{16 \\text{ m/s}}\\]
\nDla obu samochodów prędkość średnia jest taka sama (ta sama droga, ten sam czas):
\n\\[v_{śr} = \\frac{s}{t} = \\frac{80}{10} = 8 \\text{ m/s}\\]
\nDla samochodu 2 (ruch jednostajnie przyspieszony, a potem jednostajnie opóźniony, symetryczny względem połowy czasu) prędkość zmienia się liniowo od 0 do \\(v_{max}\\) i z powrotem do 0, więc prędkość średnia to:
\n\\[v_{śr} = \\frac{0 + v_{2,max}}{2} = \\frac{v_{2,max}}{2}\\]
\nStąd:
\\[v_{2,max} = 2 \\cdot v_{śr} = 2 \\cdot 8 = 16 \\text{ m/s} \\checkmark\\]
Wynik zgodny ze Sposobem 1.
\n📖 Karta wzorów CKE - Kinematyka (Fizyka):\n
- Droga jako pole pod wykresem \\(v(t)\\) (pole trapezu / trójkąta).
- Prędkość średnia: \\(v_{śr} = \\dfrac{s}{t}\\).
- Dla ruchu jednostajnie zmiennego: \\(v_{śr} = \\dfrac{v_0 + v}{2}\\).
W tym zadaniu nie potrzebujemy nawet jawnie liczyć przyspieszeń - wystarczy interpretacja pola pod wykresem \\(v(t)\\) i warunek równości dróg i czasów obu samochodów.
⚠️ Uwaga 1: Maksymalna prędkość samochodu 2 (16 m/s) jest większa niż prędkość samochodu 1 (10 m/s) - to nie błąd. Samochód 2 nie ma fazy jazdy ze stałą prędkością, więc żeby pokonać tę samą drogę w tym samym czasie, musi rozpędzić się wyżej.\n
⚠️ Uwaga 2: Druga połowa czasu samochodu 2 to dokładnie 5 s (połowa z 10 s) - łatwo pomylić się, biorąc 5 s tylko dla jednej fazy. Szczyt trójkąta wypada w \\(t = 5 \\text{ s}\\).\n
⚠️ Uwaga 3: Pole pod wykresem \\(v(t)\\) (a nie \\(a(t)\\) czy \\(x(t)\\)) daje drogę. Dla samochodu 2 to trójkąt: \\(\\frac{1}{2}\\cdot\\text{podstawa}\\cdot\\text{wysokość}\\), gdzie podstawą jest CAŁY czas 10 s, nie połowa.\n
⚠️ Uwaga 4: Sprawdź, czy droga samochodu 1 z zadania 1.1 (80 m) jest poprawnie przeniesiona - to ona jest punktem wyjścia do wyznaczenia \\(v_{2,max}\\)."},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"
$s_{1} = 80 \\text{ m}$, $v_{2\\text{max}} = 16 \\dfrac{\\text{m}}{\\text{s}}$
"}]}