{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/12.1","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"12.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12.1. (0-1)\nZaznacz poprawne dokończenie zdania.\nJeżeli ߣ oznacza długość fali stojącej, to najmniejsza odległość pomiędzy węzłem a strzałką\nfali stojącej na strunie jest zawsze równa\nA. 4\nλ\nB. 3\nλ\nC. 2\nλ\nD. λ","answer":"A","answer_text":"Zadanie 12.1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający: 6.12) opisuje fale stojące […].\nSchemat punktowania\n1 p. - zaznaczenie poprawnej odpowiedzi.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n\\[\\boxed{\\dfrac{\\lambda}{4}}\\]\n\nNajmniejsza odległość pomiędzy węzłem a strzałką fali stojącej wynosi zawsze **ćwierć długości fali** \\(\\dfrac{\\lambda}{4}\\).\n\n## Sposób 1 - Geometria fali stojącej (rozkład węzłów i strzałek)\n\nFala stojąca powstaje z superpozycji dwóch fal biegnących w przeciwnych kierunkach. Jej opis matematyczny:\n\n\\[\ny(x, t) = 2A\\sin(kx)\\cos(\\omega t)\n\\]\n\ngdzie \\(k = \\dfrac{2\\pi}{\\lambda}\\).\n\n**Węzły** (\\(y = 0\\) dla każdego \\(t\\)) - gdy \\(\\sin(kx) = 0\\):\n\n\\[\nkx = n\\pi \\quad \\Rightarrow \\quad x_n = n\\dfrac{\\lambda}{2}, \\quad n = 0, 1, 2, \\ldots\n\\]\n\n**Strzałki/antywęzły** (maksymalna amplituda) - gdy \\(|\\sin(kx)| = 1\\):\n\n\\[\nkx = \\dfrac{\\pi}{2} + n\\pi \\quad \\Rightarrow \\quad x_a = \\dfrac{\\lambda}{4} + n\\dfrac{\\lambda}{2}, \\quad n = 0, 1, 2, \\ldots\n\\]\n\n**Odległość między sąsiednim węzłem a strzałką:**\n\n\\[\n\\Delta x = x_a - x_n = \\dfrac{\\lambda}{4} + n\\dfrac{\\lambda}{2} - n\\dfrac{\\lambda}{2} = \\dfrac{\\lambda}{4}\n\\]\n\nWęzły i strzałki **przeplatają się naprzemiennie** co \\(\\dfrac{\\lambda}{4}\\) - każda strzałka leży dokładnie w połowie odcinka między dwoma sąsiednimi węzłami.\n\n## Sposób 2 - Rysunek / intuicja geometryczna\n\nNarysujmy jeden pełny okres fali stojącej:\n\nW S W S W\n0 λ/4 λ/2 3λ/4 λ\n\n- **W** = węzeł (brak drgań)\n- **S** = strzałka (maksymalne drgania)\n\nWidać wprost: odległość W→S = \\(\\dfrac{\\lambda}{4}\\), odległość W→W = \\(\\dfrac{\\lambda}{2}\\), odległość S→S = \\(\\dfrac{\\lambda}{2}\\).\n\n**Najmniejsza możliwa** odległość między węzłem a strzałką = sąsiedni węzeł i strzałka = \\(\\dfrac{\\lambda}{4}\\).\n\nNie istnieje węzeł i strzałka bliżej siebie - wynikałoby to wprost ze wzoru na superpozycję fal.\n\n## Sposób 3 - Analogia z falą stojącą na strunie o długości \\(L\\)\n\nDla struny zapiętej na obu końcach warunek rezonansowy:\n\n\\[\nL = n \\cdot \\dfrac{\\lambda}{2} \\quad \\Rightarrow \\quad \\lambda = \\dfrac{2L}{n}\n\\]\n\nDla \\(L = 90\\text{ cm}\\):\n\n| \\(n\\) | \\(\\lambda\\) | węzły | strzałki | odl. W→S |\n| 1 | 180 cm | 0, 90 cm | 45 cm | **45 cm = \\(\\frac{\\lambda}{4}\\)** |\n| 2 | 90 cm | 0, 45, 90 cm | 22,5; 67,5 cm | **22,5 cm = \\(\\frac{\\lambda}{4}\\)** |\n| 3 | 60 cm | 0, 30, 60, 90 cm | 15; 45; 75 cm | **15 cm = \\(\\frac{\\lambda}{4}\\)** |\n\nWe **wszystkich** harmonicznych najmniejsza odległość W→S = \\(\\dfrac{\\lambda}{4}\\). Reguła jest **uniwersalna** - niezależna od \\(n\\) i wartości \\(\\lambda\\).\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 12.1, max 1 pkt):**\n> - **1 pkt** - uczeń zaznaczył odpowiedź \\(\\dfrac{\\lambda}{4}\\)\n> - **0 pkt** - zaznaczono inną odpowiedź lub nie zaznaczono żadnej\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, fale mechaniczne:**\n> Karta zawiera zapis fali stojącej i warunek rezonansu struny:\n> \\[L = n\\dfrac{\\lambda}{2}\\]\n> oraz ogólny zapis \\(k = \\dfrac{2\\pi}{\\lambda}\\).\n> Znając rozkład węzłów i strzałek ze wzoru fali stojącej, odległość \\(\\dfrac{\\lambda}{4}\\) wynika bezpośrednio.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Wariant | Typowy błąd prowadzący ucznia |\n| \\(\\dfrac{\\lambda}{2}\\) | Uczeń myli odległość **węzeł→węzeł** (lub strzałka→strzałka) z odległością węzeł→strzałka. Odległość między sąsiednimi węzłami to \\(\\dfrac{\\lambda}{2}\\), ale pytanie dotyczy W→S, nie W→W. |\n| \\(\\lambda\\) | Uczeń utożsamia \\(\\lambda\\) z całym „cyklem\" fali stojącej i nie dostrzega, że jeden cykl zawiera **dwa** odcinki W→S. |\n| \\(\\dfrac{\\lambda}{8}\\) | Błąd obliczeniowy - połowienie \\(\\dfrac{\\lambda}{4}\\) bez podstawy fizycznej. Żaden szczególny punkt fali nie leży w \\(\\dfrac{\\lambda}{8}\\) od węzła. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - myląca nazwa „odległość między węzłem a strzałką\" z „odległością między dwoma węzłami\". Węzeł→węzeł = \\(\\dfrac{\\lambda}{2}\\), węzeł→strzałka = \\(\\dfrac{\\lambda}{4}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pytanie mówi o **fali stojącej o długości \\(\\lambda\\)** - tj. \\(\\lambda\\) jest tutaj parametrem tej konkretnej fali, nie rozmiary struny. Odpowiedź \\(\\dfrac{\\lambda}{4}\\) jest słuszna dla **każdej** fali stojącej, niezależnie od częstotliwości harmonicznej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dane o długości struny \\(L = 90\\text{ cm}\\) są **zbędne** do tego podpunktu - służą do zadania 12.2 (wyznaczanie konkretnych częstotliwości). Nie daj się zmylić i nie podstawiaj \\(L\\) tam, gdzie mowa o \\(\\lambda\\).","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-12.1.webp","solution_image":null,"topics":"Fale mechaniczne","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12.1. (0-1)
Zaznacz poprawne dokończenie zdania.
Jeżeli ߣ oznacza długość fali stojącej, to najmniejsza odległość pomiędzy węzłem a strzałką
fali stojącej na strunie jest zawsze równa
A. 4
λ
B. 3
λ
C. 2
λ
D. λ

","answer_text_html":"

Zadanie 12.1. (0-1)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
I. Znajomość i umiejętność
wykorzystania pojęć i praw fizyki
do wyjaśniania procesów i zjawisk
w przyrodzie.
Zdający: 6.12) opisuje fale stojące […].
Schemat punktowania
1 p. - zaznaczenie poprawnej odpowiedzi.
0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.
Poprawna odpowiedź
A

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

\\[\\boxed{\\dfrac{\\lambda}{4}}\\]

\n

Najmniejsza odległość pomiędzy węzłem a strzałką fali stojącej wynosi zawsze ćwierć długości fali \\(\\dfrac{\\lambda}{4}\\).

\n

Sposób 1 - Geometria fali stojącej (rozkład węzłów i strzałek)

\n

Fala stojąca powstaje z superpozycji dwóch fal biegnących w przeciwnych kierunkach. Jej opis matematyczny:

\n

\\[
y(x, t) = 2A\\sin(kx)\\cos(\\omega t)
\\]

\n

gdzie \\(k = \\dfrac{2\\pi}{\\lambda}\\).

\n

Węzły (\\(y = 0\\) dla każdego \\(t\\)) - gdy \\(\\sin(kx) = 0\\):

\n

\\[
kx = n\\pi \\quad \\Rightarrow \\quad x_n = n\\dfrac{\\lambda}{2}, \\quad n = 0, 1, 2, \\ldots
\\]

\n

Strzałki/antywęzły (maksymalna amplituda) - gdy \\(|\\sin(kx)| = 1\\):

\n

\\[
kx = \\dfrac{\\pi}{2} + n\\pi \\quad \\Rightarrow \\quad x_a = \\dfrac{\\lambda}{4} + n\\dfrac{\\lambda}{2}, \\quad n = 0, 1, 2, \\ldots
\\]

\n

Odległość między sąsiednim węzłem a strzałką:

\n

\\[
\\Delta x = x_a - x_n = \\dfrac{\\lambda}{4} + n\\dfrac{\\lambda}{2} - n\\dfrac{\\lambda}{2} = \\dfrac{\\lambda}{4}
\\]

\n

Węzły i strzałki przeplatają się naprzemiennie co \\(\\dfrac{\\lambda}{4}\\) - każda strzałka leży dokładnie w połowie odcinka między dwoma sąsiednimi węzłami.

\n

Sposób 2 - Rysunek / intuicja geometryczna

\n

Narysujmy jeden pełny okres fali stojącej:

\n

W S W S W
0 λ/4 λ/2 3λ/4 λ

\n\n

Widać wprost: odległość W→S = \\(\\dfrac{\\lambda}{4}\\), odległość W→W = \\(\\dfrac{\\lambda}{2}\\), odległość S→S = \\(\\dfrac{\\lambda}{2}\\).

\n

Najmniejsza możliwa odległość między węzłem a strzałką = sąsiedni węzeł i strzałka = \\(\\dfrac{\\lambda}{4}\\).

\n

Nie istnieje węzeł i strzałka bliżej siebie - wynikałoby to wprost ze wzoru na superpozycję fal.

\n

Sposób 3 - Analogia z falą stojącą na strunie o długości \\(L\\)

\n

Dla struny zapiętej na obu końcach warunek rezonansowy:

\n

\\[
L = n \\cdot \\dfrac{\\lambda}{2} \\quad \\Rightarrow \\quad \\lambda = \\dfrac{2L}{n}
\\]

\n

Dla \\(L = 90\\text{ cm}\\):

\n

| \\(n\\) | \\(\\lambda\\) | węzły | strzałki | odl. W→S |
| 1 | 180 cm | 0, 90 cm | 45 cm | 45 cm = \\(\\frac{\\lambda}{4}\\) |
| 2 | 90 cm | 0, 45, 90 cm | 22,5; 67,5 cm | 22,5 cm = \\(\\frac{\\lambda}{4}\\) |
| 3 | 60 cm | 0, 30, 60, 90 cm | 15; 45; 75 cm | 15 cm = \\(\\frac{\\lambda}{4}\\) |

\n

We wszystkich harmonicznych najmniejsza odległość W→S = \\(\\dfrac{\\lambda}{4}\\). Reguła jest uniwersalna - niezależna od \\(n\\) i wartości \\(\\lambda\\).

\n

Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)

\n
📋 Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 12.1, max 1 pkt):
- 1 pkt - uczeń zaznaczył odpowiedź \\(\\dfrac{\\lambda}{4}\\)
- 0 pkt - zaznaczono inną odpowiedź lub nie zaznaczono żadnej
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, fale mechaniczne:
Karta zawiera zapis fali stojącej i warunek rezonansu struny:
\\[L = n\\dfrac{\\lambda}{2}\\]
oraz ogólny zapis \\(k = \\dfrac{2\\pi}{\\lambda}\\).
Znając rozkład węzłów i strzałek ze wzoru fali stojącej, odległość \\(\\dfrac{\\lambda}{4}\\) wynika bezpośrednio.
\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Wariant | Typowy błąd prowadzący ucznia |
| \\(\\dfrac{\\lambda}{2}\\) | Uczeń myli odległość węzeł→węzeł (lub strzałka→strzałka) z odległością węzeł→strzałka. Odległość między sąsiednimi węzłami to \\(\\dfrac{\\lambda}{2}\\), ale pytanie dotyczy W→S, nie W→W. |
| \\(\\lambda\\) | Uczeń utożsamia \\(\\lambda\\) z całym „cyklem" fali stojącej i nie dostrzega, że jeden cykl zawiera dwa odcinki W→S. |
| \\(\\dfrac{\\lambda}{8}\\) | Błąd obliczeniowy - połowienie \\(\\dfrac{\\lambda}{4}\\) bez podstawy fizycznej. Żaden szczególny punkt fali nie leży w \\(\\dfrac{\\lambda}{8}\\) od węzła. |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd - myląca nazwa „odległość między węzłem a strzałką" z „odległością między dwoma węzłami". Węzeł→węzeł = \\(\\dfrac{\\lambda}{2}\\), węzeł→strzałka = \\(\\dfrac{\\lambda}{4}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Pytanie mówi o fali stojącej o długości \\(\\lambda\\) - tj. \\(\\lambda\\) jest tutaj parametrem tej konkretnej fali, nie rozmiary struny. Odpowiedź \\(\\dfrac{\\lambda}{4}\\) jest słuszna dla każdej fali stojącej, niezależnie od częstotliwości harmonicznej.
\n
⚠️ Uwaga: Dane o długości struny \\(L = 90\\text{ cm}\\) są zbędne do tego podpunktu - służą do zadania 12.2 (wyznaczanie konkretnych częstotliwości). Nie daj się zmylić i nie podstawiaj \\(L\\) tam, gdzie mowa o \\(\\lambda\\).
"}]}