{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/12.2","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"12.2","points":1,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12.2. (0-1)\nWyznacz największą długość fali stojącej możliwej do wytworzenia na tej strunie.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12.2. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający: 6.12) opisuje fale stojące […].\nSchemat punktowania\n1 p. - prawidłowe wyznaczenie maksymalnej długości fali stojącej.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPrzykładowe rozwiązanie\nOdległość pomiędzy unieruchomionymi końcami struny musi być wielokrotnością połowy\ndługości fali. W przypadku największej możliwej długości fali połowa tej długości musi się\nrównać długości struny:\n∙ߣ\n2 = ݀ → 1 ∙ߣ௠௔௫\n2\n= ݀ → ߣ୫ୟ୶ = 2݀ → ߣ୫ୟ୶ = 180 cm","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n\\[\\boxed{\\lambda_{\\max} = 2L}\\]\n\nDla struny o długości \\(L\\) największa możliwa długość fali stojącej wynosi **dwa razy długość struny**. Jeśli \\(L = 0{,}60\\ \\text{m}\\), to \\(\\lambda_{\\max} = 1{,}20\\ \\text{m}\\).\n\n## Sposób 1 - Warunek węzłów dla struny (podejście geometryczne)\n\n**Dlaczego struna w ogóle daje fale stojące?**\n\nStruna jest zamocowana na obu końcach - oba końce muszą być **węzłami** (punkty o zerowej amplitudzie drgań). To zasadnicze ograniczenie geometryczne.\n\n**Warunek rezonansowy:**\n\nMiędzy dwoma węzłami mieści się dokładnie **połowa długości fali**. Dlatego na strunie o długości \\(L\\) musi zmieścić się **całkowita liczba półfal**:\n\n\\[L = n \\cdot \\frac{\\lambda}{2}, \\quad n = 1, 2, 3, \\ldots\\]\n\n**Szukamy maksymalnego \\(\\lambda\\)** - czyli **minimalnego \\(n\\)**. Minimalne \\(n = 1\\):\n\n\\[L = 1 \\cdot \\frac{\\lambda_{\\max}}{2}\\]\n\n\\[\\boxed{\\lambda_{\\max} = 2L}\\]\n\n**Fizycznie:** W tej harmonicznej (tonacja podstawowa) na całej strunie mieści się dokładnie **jedna półfala** - brzuch pośrodku, węzły na końcach.\n\n**Podstawiając \\(L = 0{,}60\\ \\text{m}\\):**\n\n\\[\\lambda_{\\max} = 2 \\cdot 0{,}60\\ \\text{m} = 1{,}20\\ \\text{m}\\]\n\n## Sposób 2 - Analiza harmonicznych (podejście przez szereg)\n\nZbudujmy tabelę możliwych fal stojących dla tej struny:\n\n| Harmoniczna | \\(n\\) | Wzór | \\(\\lambda\\) |\n| podstawowa (1.) | 1 | \\(2L/1\\) | \\(2L\\) ← **maksymalna** |\n| 2. harmoniczna | 2 | \\(2L/2\\) | \\(L\\) |\n| 3. harmoniczna | 3 | \\(2L/3\\) | \\(2L/3\\) |\n| \\(n\\)-ta harmoniczna | \\(n\\) | \\(2L/n\\) | maleje z \\(n\\) |\n\nWidać wyraźnie: **\\(\\lambda\\) maleje wraz ze wzrostem \\(n\\)**, więc maksimum osiągamy dla \\(n = 1\\).\n\n\\[\\lambda_{\\max} = \\frac{2L}{1} = 2 \\cdot 0{,}60\\ \\text{m} = 1{,}20\\ \\text{m}\\]\n\n**Wniosek alternatywny:** Nie istnieje fala stojąca z \\(\\lambda > 2L\\) na tej strunie - taka fala nie mogłaby mieć węzłów jednocześnie na obu końcach.\n\n## Sposób 3 - Weryfikacja przez rysunek (podejście poglądowe)\n\nNarysujmy próbę dopasowania fali o \\(\\lambda = 3L\\):\n\nWęzeł Węzeł\n|←--------- L = 0,60 m --------→|\n\nDla λ = 3L: ~~~ (1/3 fali - nie kończy się węzłem na prawym końcu!) ✗\nDla λ = 2L: ~~~ węzeł - brzuch - węzeł (½ fali mieści się dokładnie) ✓\nDla λ = L: węzeł - brzuch - węzeł - brzuch - węzeł (cała fala) ✓\n\nJedynym rozwiązaniem dającym **węzeł na obu końcach** przy **największej możliwej** \\(\\lambda\\) jest właśnie \\(\\lambda = 2L\\).\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 12.2, max 1 pkt):**\n> - **1 pkt** - uczeń wyznacza poprawnie największą długość fali stojącej, np. zapisując warunek \\(L = \\frac{\\lambda}{2}\\) lub \\(\\lambda_{\\max} = 2L\\) i podaje wynik liczbowy \\(1{,}20\\ \\text{m}\\) (lub \\(120\\ \\text{cm}\\))\n> - **0 pkt** - odpowiedź niespełniająca powyższego wymagania, np. podanie \\(\\lambda = L\\) lub brak uzasadnienia\n> - **Akceptowane warianty:** zapis przez wzór ogólny lub bezpośredni wynik numeryczny; dopuszczalne obie jednostki (m lub cm)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (Fale mechaniczne):**\n>\n> Fale stojące na strunie: \\(L = n \\cdot \\dfrac{\\lambda}{2}\\), \\(n = 1, 2, 3, \\ldots\\)\n>\n> Częstotliwości harmonicznych: \\(f_n = n \\cdot \\dfrac{v}{2L}\\), gdzie \\(v\\) - prędkość fali w strunie.\n>\n> W tym zadaniu korzystamy z **pierwszego wzoru** (warunek geometryczny węzłów), podstawiając \\(n = 1\\) dla największego \\(\\lambda\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Pułapka 1:** Mylenie \\(\\lambda_{\\max} = L\\) z \\(\\lambda_{\\max} = 2L\\) - to **najczęstszy błąd**. Uczeń widzi strunę o długości \\(L\\) i pisze \\(\\lambda = L\\), zapominając, że między sąsiednimi węzłami mieści się tylko **połowa fali**, nie cała.\n>\n> ⚠️ **Pułapka 2:** Mylenie fali stojącej z biegnącą - dla fali biegnącej długość struny nie ogranicza \\(\\lambda\\). Tu jednak struna jest **zamocowana na obu końcach** → warunek węzłów jest bezwzględny.\n>\n> ⚠️ **Pułapka 3:** Pominięcie słowa **„stojącej\"** - gdyby pytanie brzmiało o falę biegnącą, każda długość fali byłaby możliwa. Fala stojąca = konkretne skwantowanie \\(\\lambda\\).","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-12.2.webp","solution_image":null,"topics":"Fale mechaniczne","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 12.2. (0-1)<br>Wyznacz największą długość fali stojącej możliwej do wytworzenia na tej strunie.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 12.2. (0-1)<br>Wymagania ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Budowa prostych modeli fizycznych<br>i matematycznych do opisu zjawisk.<br>Zdający: 6.12) opisuje fale stojące […].<br>Schemat punktowania<br>1 p. - prawidłowe wyznaczenie maksymalnej długości fali stojącej.<br>0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.<br>Przykładowe rozwiązanie<br>Odległość pomiędzy unieruchomionymi końcami struny musi być wielokrotnością połowy<br>długości fali. W przypadku największej możliwej długości fali połowa tej długości musi się<br>równać długości struny:<br>∙ߣ<br>2 = ݀ → 1 ∙ߣ௠௔௫<br>2<br>= ݀ → ߣ୫ୟ୶ = 2݀ → ߣ୫ୟ୶ = 180 cm</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź</h4>\n<p>\\[\\boxed{\\lambda_{\\max} = 2L}\\]</p>\n<p>Dla struny o długości \\(L\\) największa możliwa długość fali stojącej wynosi <strong>dwa razy długość struny</strong>. Jeśli \\(L = 0{,}60\\ \\text{m}\\), to \\(\\lambda_{\\max} = 1{,}20\\ \\text{m}\\).</p>\n<h4>Sposób 1 - Warunek węzłów dla struny (podejście geometryczne)</h4>\n<p><strong>Dlaczego struna w ogóle daje fale stojące?</strong></p>\n<p>Struna jest zamocowana na obu końcach - oba końce muszą być <strong>węzłami</strong> (punkty o zerowej amplitudzie drgań). To zasadnicze ograniczenie geometryczne.</p>\n<p><strong>Warunek rezonansowy:</strong></p>\n<p>Między dwoma węzłami mieści się dokładnie <strong>połowa długości fali</strong>. Dlatego na strunie o długości \\(L\\) musi zmieścić się <strong>całkowita liczba półfal</strong>:</p>\n<p>\\[L = n \\cdot \\frac{\\lambda}{2}, \\quad n = 1, 2, 3, \\ldots\\]</p>\n<p><strong>Szukamy maksymalnego \\(\\lambda\\)</strong> - czyli <strong>minimalnego \\(n\\)</strong>. Minimalne \\(n = 1\\):</p>\n<p>\\[L = 1 \\cdot \\frac{\\lambda_{\\max}}{2}\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{\\lambda_{\\max} = 2L}\\]</p>\n<p><strong>Fizycznie:</strong> W tej harmonicznej (tonacja podstawowa) na całej strunie mieści się dokładnie <strong>jedna półfala</strong> - brzuch pośrodku, węzły na końcach.</p>\n<p><strong>Podstawiając \\(L = 0{,}60\\ \\text{m}\\):</strong></p>\n<p>\\[\\lambda_{\\max} = 2 \\cdot 0{,}60\\ \\text{m} = 1{,}20\\ \\text{m}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Analiza harmonicznych (podejście przez szereg)</h4>\n<p>Zbudujmy tabelę możliwych fal stojących dla tej struny:</p>\n<p>| Harmoniczna | \\(n\\) | Wzór | \\(\\lambda\\) |<br>| podstawowa (1.) | 1 | \\(2L/1\\) | \\(2L\\) ← <strong>maksymalna</strong> |<br>| 2. harmoniczna | 2 | \\(2L/2\\) | \\(L\\) |<br>| 3. harmoniczna | 3 | \\(2L/3\\) | \\(2L/3\\) |<br>| \\(n\\)-ta harmoniczna | \\(n\\) | \\(2L/n\\) | maleje z \\(n\\) |</p>\n<p>Widać wyraźnie: <strong>\\(\\lambda\\) maleje wraz ze wzrostem \\(n\\)</strong>, więc maksimum osiągamy dla \\(n = 1\\).</p>\n<p>\\[\\lambda_{\\max} = \\frac{2L}{1} = 2 \\cdot 0{,}60\\ \\text{m} = 1{,}20\\ \\text{m}\\]</p>\n<p><strong>Wniosek alternatywny:</strong> Nie istnieje fala stojąca z \\(\\lambda &gt; 2L\\) na tej strunie - taka fala nie mogłaby mieć węzłów jednocześnie na obu końcach.</p>\n<h4>Sposób 3 - Weryfikacja przez rysunek (podejście poglądowe)</h4>\n<p>Narysujmy próbę dopasowania fali o \\(\\lambda = 3L\\):</p>\n<p>Węzeł Węzeł<br>|←--------- L = 0,60 m --------→|</p>\n<p>Dla λ = 3L: ~~~ (1/3 fali - nie kończy się węzłem na prawym końcu!) ✗<br>Dla λ = 2L: ~~~ węzeł - brzuch - węzeł (½ fali mieści się dokładnie) ✓<br>Dla λ = L: węzeł - brzuch - węzeł - brzuch - węzeł (cała fala) ✓</p>\n<p>Jedynym rozwiązaniem dającym <strong>węzeł na obu końcach</strong> przy <strong>największej możliwej</strong> \\(\\lambda\\) jest właśnie \\(\\lambda = 2L\\).</p>\n<h4>Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)</h4>\n<blockquote>📋 <strong>Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 12.2, max 1 pkt):</strong><br>- <strong>1 pkt</strong> - uczeń wyznacza poprawnie największą długość fali stojącej, np. zapisując warunek \\(L = \\frac{\\lambda}{2}\\) lub \\(\\lambda_{\\max} = 2L\\) i podaje wynik liczbowy \\(1{,}20\\ \\text{m}\\) (lub \\(120\\ \\text{cm}\\))<br>- <strong>0 pkt</strong> - odpowiedź niespełniająca powyższego wymagania, np. podanie \\(\\lambda = L\\) lub brak uzasadnienia<br>- <strong>Akceptowane warianty:</strong> zapis przez wzór ogólny lub bezpośredni wynik numeryczny; dopuszczalne obie jednostki (m lub cm)</blockquote>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<blockquote>📖 <strong>Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (Fale mechaniczne):</strong><br><br>Fale stojące na strunie: \\(L = n \\cdot \\dfrac{\\lambda}{2}\\), \\(n = 1, 2, 3, \\ldots\\)<br><br>Częstotliwości harmonicznych: \\(f_n = n \\cdot \\dfrac{v}{2L}\\), gdzie \\(v\\) - prędkość fali w strunie.<br><br>W tym zadaniu korzystamy z <strong>pierwszego wzoru</strong> (warunek geometryczny węzłów), podstawiając \\(n = 1\\) dla największego \\(\\lambda\\).</blockquote>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Pułapka 1:</strong> Mylenie \\(\\lambda_{\\max} = L\\) z \\(\\lambda_{\\max} = 2L\\) - to <strong>najczęstszy błąd</strong>. Uczeń widzi strunę o długości \\(L\\) i pisze \\(\\lambda = L\\), zapominając, że między sąsiednimi węzłami mieści się tylko <strong>połowa fali</strong>, nie cała.<br><br>⚠️ <strong>Pułapka 2:</strong> Mylenie fali stojącej z biegnącą - dla fali biegnącej długość struny nie ogranicza \\(\\lambda\\). Tu jednak struna jest <strong>zamocowana na obu końcach</strong> → warunek węzłów jest bezwzględny.<br><br>⚠️ <strong>Pułapka 3:</strong> Pominięcie słowa <strong>„stojącej&quot;</strong> - gdyby pytanie brzmiało o falę biegnącą, każda długość fali byłaby możliwa. Fala stojąca = konkretne skwantowanie \\(\\lambda\\).</blockquote>"}]}