{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/12.3","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"12.3","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12.3. (0-2)\nDwie kolejne częstotliwości fal stojących, uzyskanych w tym doświadczeniu, to przykładowo\n450 Hz oraz 675 Hz.\nUdowodnij, że możliwe na tej strunie jest wytworzenie fali stojącej o częstotliwości\n1575 Hz.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n11.1. 11.2. 12.1. 12.2. 12.3.\nMaks. liczba pkt\n2\n1\n1\n1\n2\nUzyskana liczba pkt\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12.3. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n6.12) opisuje fale stojące i ich związek z falami\nbiegnącymi przeciwbieżnie,\n6.8) stosuje w obliczeniach związek pomiędzy\nparametrami fali: długością, częstotliwością,\nokresem, prędkością.\nSchemat punktowania\n2 p. - prawidłowe wykazanie, że możliwe jest wytworzenie drgania o częstotliwości 1575 Hz.\n1 p. - zastosowanie zależności pomiędzy n-tą częstotliwością drgania a częstotliwością\npodstawową\nlub\n- zapisanie związku pomiędzy częstotliwością i długością fali oraz warunku na długość\nfali stojącej na strunie.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązania\nSposób 1.\nKorzystamy ze wzoru na częstotliwość drgania n-tej składowej harmonicznej dla struny\nz unieruchomionymi końcami i zauważamy, że różnica kolejnych częstotliwości jest stała\ni równa częstotliwości pierwszej składowej harmonicznej:\n௡= ݊ ݂ଵ → ݂௡-\n௡ିଵ=\n݂ଵ-(\n-1) ݂ଵ=\nଵ → ݂ଵ= 675 Hz -450 Hz = 225 Hz\nSprawdzamy, czy możliwe jest wytworzenie drgania o częstotliwości 1575 Hz:\n1575 Hz =\n∙225 Hz → ݇\n= 7\nOdp.: Tak, możliwe jest wytworzenie drgań o częstotliwości 1575 Hz.\nSposób 2.\nWyprowadzamy wzór na częstotliwość drgania n-tej składowej harmonicznej dla struny\no długości d z unieruchomionymi końcami:\nݒ= ߣ݂ → ݒ= 2݀݊\n∙\n→ ݂௡=\n∙ݒ\n2݀ → ݂௡= ݊ ݂ଵ oraz ݂ଵ= ݒ\n2݀\nZauważamy, że różnica kolejnych częstotliwości jest stała i równa częstotliwości pierwszej\nskładowej harmonicznej:\n௡= ݊ ݂ଵ → ݂௡-\n௡ିଵ=\nଵ → ݂ଵ= 675 Hz -450 Hz = 225 Hz\nSprawdzamy, czy możliwe jest wytworzenie drgania o częstotliwości 1575 Hz:\n1575 Hz =\n∙225 Hz → ݇\n= 7\nOdp.: Tak, możliwe jest wytworzenie drgań o częstotliwości 1575 Hz.\nSposób 3.\nKorzystamy ze wzoru (lub wyprowadzamy ten wzór, jak powyżej) na częstotliwość drgania\nn-tej składowej harmonicznej dla struny z unieruchomionymi końcami:\n௡= ݊ ݂ଵ\nPodstawiamy dane i wyznaczamy ݂ଵ:\n675 Hz =\nଵ oraz 450 Hz = (\n-1)݂ଵ → ݂ଵ= 225 Hz\nSprawdzamy, czy możliwe jest wytworzenie drgania o częstotliwości 1575 Hz.\n1575 Hz =\n∙225 Hz → ݇\n= 7\nOdp.: Tak, możliwe jest wytworzenie drgań o częstotliwości 1575 Hz.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nTak, 1575 Hz jest możliwe - to **7. harmoniczna** tej struny. Częstotliwość podstawowa struny wynosi \\(f_1 = 225\\ \\text{Hz}\\), a \\(1575 = 7 \\cdot 225\\).\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie częstotliwości podstawowej z różnicy kolejnych harmonicznych\n\n**Krok 1. Własność harmonicznych struny.**\n\nDla struny napiętej (obu końców zamocowanych) możliwe częstotliwości fal stojących tworzą szereg harmoniczny:\n\n\\[\nf_n = n \\cdot f_1, \\quad n = 1, 2, 3, \\ldots\n\\]\n\nDwie **kolejne** (sąsiednie) harmoniczne to \\(f_n\\) i \\(f_{n+1}\\). Ich różnica:\n\n\\[\nf_{n+1} - f_n = (n+1)\\cdot f_1 - n \\cdot f_1 = f_1\n\\]\n\n**Różnica dwóch kolejnych częstotliwości jest zawsze równa częstotliwości podstawowej \\(f_1\\).**\n\n**Krok 2. Wyznaczam \\(f_1\\).**\n\n\\[\nf_1 = 675\\ \\text{Hz} - 450\\ \\text{Hz} = 225\\ \\text{Hz}\n\\]\n\nWeryfikacja: \\(450 = 2 \\cdot 225\\) (2. harmoniczna) i \\(675 = 3 \\cdot 225\\) (3. harmoniczna) - rzeczywiście kolejne. ✓\n\n**Krok 3. Sprawdzam 1575 Hz.**\n\n\\[\n\\frac{1575\\ \\text{Hz}}{225\\ \\text{Hz}} = 7\n\\]\n\nWynik jest **liczbą całkowitą dodatnią**, zatem:\n\n\\[\n1575\\ \\text{Hz} = 7 \\cdot f_1\n\\]\n\nCzęstotliwość 1575 Hz odpowiada **7. harmonicznej**, co jest fizykalnie możliwe na tej strunie. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - wyznaczenie \\(f_1\\) z ilorazu i weryfikacja przez rozkład\n\n**Krok 1. Sprawdzam iloraz danych częstotliwości.**\n\n\\[\n\\frac{675}{450} = \\frac{3}{2}\n\\]\n\nIloraz \\(\\frac{3}{2}\\) wskazuje, że dane harmoniczne to \\(n\\)-ta i \\((n+1)\\)-ta dla \\(n = 2\\), czyli:\n\n\\[\nf_n = 2 f_1 = 450\\ \\text{Hz} \\implies f_1 = 225\\ \\text{Hz}\n\\]\n\n\\[\nf_{n+1} = 3 f_1 = 675\\ \\text{Hz} \\implies f_1 = 225\\ \\text{Hz} \\quad \\checkmark\n\\]\n\n**Krok 2. Rozkład 1575 Hz.**\n\n\\[\n1575 = 225 \\cdot 7 = f_1 \\cdot 7\n\\]\n\nLiczba 7 jest dodatnią liczbą całkowitą → **7. harmoniczna istnieje** dla każdej struny. ✓\n\n## Sposób 3 - NWD (największy wspólny dzielnik) jako częstotliwość podstawowa\n\nDla dowolnego zestawu harmonicznych struny, **częstotliwość podstawowa \\(f_1\\) jest największym wspólnym dzielnikiem** wszystkich obserwowanych częstotliwości.\n\n\\[\n\\text{NWD}(450,\\ 675) = ?\n\\]\n\n\\[\n450 = 2 \\cdot 225, \\quad 675 = 3 \\cdot 225 \\implies \\text{NWD}(450, 675) = 225\\ \\text{Hz}\n\\]\n\nZatem \\(f_1 = 225\\ \\text{Hz}\\). Teraz:\n\n\\[\n1575 = 225 \\cdot k \\implies k = \\frac{1575}{225} = 7 \\in \\mathbb{Z}^+\n\\]\n\nPonieważ \\(k = 7\\) jest dodatnią liczbą całkowitą, 1575 Hz **należy do dozwolonego szeregu harmonicznego** tej struny. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 12.3, max 2 pkt):**\n>\n> - **1 pkt** - uczeń wyznacza częstotliwość podstawową struny: \\(f_1 = 675 - 450 = 225\\ \\text{Hz}\\) (lub równoważnie przez iloraz / NWD)\n> - **1 pkt** - uczeń wykazuje, że \\(1575\\ \\text{Hz} = 7 \\cdot 225\\ \\text{Hz}\\), czyli jest całkowitą wielokrotnością \\(f_1\\), i formułuje wniosek\n> - **0 pkt** - brak wyznaczenia \\(f_1\\) lub brak jednoznacznego wniosku o całkowitości \\(k\\)\n>\n> ✅ **Dopuszcza się:** wyznaczenie \\(f_1\\) metodą ilorazu lub NWD zamiast różnicy.\n> ❌ **Nie uznaje się:** samego podania \\(1575 = 7 \\cdot 225\\) bez wyjaśnienia skąd pochodzi 225 Hz.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (fale mechaniczne):**\n> Warunek fali stojącej na strunie obustronnie zamocowanej:\n> \\[\n> l = n \\cdot \\frac{\\lambda}{2}, \\quad n = 1, 2, 3, \\ldots\n> \\]\n> Ponieważ \\(f = \\frac{v}{\\lambda}\\), stąd:\n> \\[\n> f_n = n \\cdot \\frac{v}{2l} = n \\cdot f_1\n\\]\n> To jest bezpośrednie uzasadnienie, dlaczego **tylko całkowite wielokrotności \\(f_1\\)** są możliwe.\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 (własność szeregu harmonicznego) i Sposobie 3 (NWD).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - uczeń sprawdza *tylko*, że \\(1575 / 450 = 3{,}5\\) (niecałkowite!) i wyciąga błędny wniosek, że 1575 Hz jest niemożliwe. Błąd: sprawdza stosunek do *jednej* z harmonicznych, zamiast do **podstawowej \\(f_1\\)**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy napisać „1575 = 7 × 225\". Trzeba **uzasadnić skąd pochodzi 225 Hz** (różnica kolejnych harmonicznych = \\(f_1\\)) - bez tego klucz CKE odejmuje 1 punkt.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dwie „kolejne\" częstotliwości fal stojących - słowo **kolejne** jest kluczowe! Gdyby to były dowolne dwie harmoniczne (nie sąsiednie), różnica NIE musiałaby być \\(f_1\\). W tym zadaniu warunek „kolejne\" gwarantuje \\(f_1 = \\Delta f\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić struny z rurą: rura otwarta ma harmoniczne \\(1, 2, 3, \\ldots\\) jak struna; rura zamknięta ma **tylko nieparzyste** \\(1, 3, 5, \\ldots\\) - ale to inne zadanie!","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-12.3.webp","solution_image":null,"topics":"Fale mechaniczne","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12.3. (0-2)
Dwie kolejne częstotliwości fal stojących, uzyskanych w tym doświadczeniu, to przykładowo
450 Hz oraz 675 Hz.
Udowodnij, że możliwe na tej strunie jest wytworzenie fali stojącej o częstotliwości
1575 Hz.
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
11.1. 11.2. 12.1. 12.2. 12.3.
Maks. liczba pkt
2
1
1
1
2
Uzyskana liczba pkt
MFA_1R

","answer_text_html":"

Zadanie 12.3. (0-2)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
I. Znajomość i umiejętność
wykorzystania pojęć i praw fizyki
do wyjaśniania procesów i zjawisk
w przyrodzie.
Zdający:
6.12) opisuje fale stojące i ich związek z falami
biegnącymi przeciwbieżnie,
6.8) stosuje w obliczeniach związek pomiędzy
parametrami fali: długością, częstotliwością,
okresem, prędkością.
Schemat punktowania
2 p. - prawidłowe wykazanie, że możliwe jest wytworzenie drgania o częstotliwości 1575 Hz.
1 p. - zastosowanie zależności pomiędzy n-tą częstotliwością drgania a częstotliwością
podstawową
lub

\n\n

fali stojącej na strunie.
0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Przykładowe rozwiązania
Sposób 1.
Korzystamy ze wzoru na częstotliwość drgania n-tej składowej harmonicznej dla struny
z unieruchomionymi końcami i zauważamy, że różnica kolejnych częstotliwości jest stała
i równa częstotliwości pierwszej składowej harmonicznej:
௡= ݊ ݂ଵ → ݂௡-
௡ିଵ=
݂ଵ-(
-1) ݂ଵ=
ଵ → ݂ଵ= 675 Hz -450 Hz = 225 Hz
Sprawdzamy, czy możliwe jest wytworzenie drgania o częstotliwości 1575 Hz:
1575 Hz =
∙225 Hz → ݇
= 7
Odp.: Tak, możliwe jest wytworzenie drgań o częstotliwości 1575 Hz.
Sposób 2.
Wyprowadzamy wzór na częstotliwość drgania n-tej składowej harmonicznej dla struny
o długości d z unieruchomionymi końcami:
ݒ= ߣ݂ → ݒ= 2݀݊
∙
→ ݂௡=
∙ݒ
2݀ → ݂௡= ݊ ݂ଵ oraz ݂ଵ= ݒ
2݀
Zauważamy, że różnica kolejnych częstotliwości jest stała i równa częstotliwości pierwszej
składowej harmonicznej:
௡= ݊ ݂ଵ → ݂௡-
௡ିଵ=
ଵ → ݂ଵ= 675 Hz -450 Hz = 225 Hz
Sprawdzamy, czy możliwe jest wytworzenie drgania o częstotliwości 1575 Hz:
1575 Hz =
∙225 Hz → ݇
= 7
Odp.: Tak, możliwe jest wytworzenie drgań o częstotliwości 1575 Hz.
Sposób 3.
Korzystamy ze wzoru (lub wyprowadzamy ten wzór, jak powyżej) na częstotliwość drgania
n-tej składowej harmonicznej dla struny z unieruchomionymi końcami:
௡= ݊ ݂ଵ
Podstawiamy dane i wyznaczamy ݂ଵ:
675 Hz =
ଵ oraz 450 Hz = (
-1)݂ଵ → ݂ଵ= 225 Hz
Sprawdzamy, czy możliwe jest wytworzenie drgania o częstotliwości 1575 Hz.
1575 Hz =
∙225 Hz → ݇
= 7
Odp.: Tak, możliwe jest wytworzenie drgań o częstotliwości 1575 Hz.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

Tak, 1575 Hz jest możliwe - to 7. harmoniczna tej struny. Częstotliwość podstawowa struny wynosi \\(f_1 = 225\\ \\text{Hz}\\), a \\(1575 = 7 \\cdot 225\\).

\n

Sposób 1 - wyznaczenie częstotliwości podstawowej z różnicy kolejnych harmonicznych

\n

Krok 1. Własność harmonicznych struny.

\n

Dla struny napiętej (obu końców zamocowanych) możliwe częstotliwości fal stojących tworzą szereg harmoniczny:

\n

\\[
f_n = n \\cdot f_1, \\quad n = 1, 2, 3, \\ldots
\\]

\n

Dwie kolejne (sąsiednie) harmoniczne to \\(f_n\\) i \\(f_{n+1}\\). Ich różnica:

\n

\\[
f_{n+1} - f_n = (n+1)\\cdot f_1 - n \\cdot f_1 = f_1
\\]

\n

Różnica dwóch kolejnych częstotliwości jest zawsze równa częstotliwości podstawowej \\(f_1\\).

\n

Krok 2. Wyznaczam \\(f_1\\).

\n

\\[
f_1 = 675\\ \\text{Hz} - 450\\ \\text{Hz} = 225\\ \\text{Hz}
\\]

\n

Weryfikacja: \\(450 = 2 \\cdot 225\\) (2. harmoniczna) i \\(675 = 3 \\cdot 225\\) (3. harmoniczna) - rzeczywiście kolejne. ✓

\n

Krok 3. Sprawdzam 1575 Hz.

\n

\\[
\\frac{1575\\ \\text{Hz}}{225\\ \\text{Hz}} = 7
\\]

\n

Wynik jest liczbą całkowitą dodatnią, zatem:

\n

\\[
1575\\ \\text{Hz} = 7 \\cdot f_1
\\]

\n

Częstotliwość 1575 Hz odpowiada 7. harmonicznej, co jest fizykalnie możliwe na tej strunie. \\(\\blacksquare\\)

\n

Sposób 2 - wyznaczenie \\(f_1\\) z ilorazu i weryfikacja przez rozkład

\n

Krok 1. Sprawdzam iloraz danych częstotliwości.

\n

\\[
\\frac{675}{450} = \\frac{3}{2}
\\]

\n

Iloraz \\(\\frac{3}{2}\\) wskazuje, że dane harmoniczne to \\(n\\)-ta i \\((n+1)\\)-ta dla \\(n = 2\\), czyli:

\n

\\[
f_n = 2 f_1 = 450\\ \\text{Hz} \\implies f_1 = 225\\ \\text{Hz}
\\]

\n

\\[
f_{n+1} = 3 f_1 = 675\\ \\text{Hz} \\implies f_1 = 225\\ \\text{Hz} \\quad \\checkmark
\\]

\n

Krok 2. Rozkład 1575 Hz.

\n

\\[
1575 = 225 \\cdot 7 = f_1 \\cdot 7
\\]

\n

Liczba 7 jest dodatnią liczbą całkowitą → 7. harmoniczna istnieje dla każdej struny. ✓

\n

Sposób 3 - NWD (największy wspólny dzielnik) jako częstotliwość podstawowa

\n

Dla dowolnego zestawu harmonicznych struny, częstotliwość podstawowa \\(f_1\\) jest największym wspólnym dzielnikiem wszystkich obserwowanych częstotliwości.

\n

\\[
\\text{NWD}(450,\\ 675) = ?
\\]

\n

\\[
450 = 2 \\cdot 225, \\quad 675 = 3 \\cdot 225 \\implies \\text{NWD}(450, 675) = 225\\ \\text{Hz}
\\]

\n

Zatem \\(f_1 = 225\\ \\text{Hz}\\). Teraz:

\n

\\[
1575 = 225 \\cdot k \\implies k = \\frac{1575}{225} = 7 \\in \\mathbb{Z}^+
\\]

\n

Ponieważ \\(k = 7\\) jest dodatnią liczbą całkowitą, 1575 Hz należy do dozwolonego szeregu harmonicznego tej struny. \\(\\blacksquare\\)

\n

Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)

\n
📋 Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 12.3, max 2 pkt):

- 1 pkt - uczeń wyznacza częstotliwość podstawową struny: \\(f_1 = 675 - 450 = 225\\ \\text{Hz}\\) (lub równoważnie przez iloraz / NWD)
- 1 pkt - uczeń wykazuje, że \\(1575\\ \\text{Hz} = 7 \\cdot 225\\ \\text{Hz}\\), czyli jest całkowitą wielokrotnością \\(f_1\\), i formułuje wniosek
- 0 pkt - brak wyznaczenia \\(f_1\\) lub brak jednoznacznego wniosku o całkowitości \\(k\\)

✅ Dopuszcza się: wyznaczenie \\(f_1\\) metodą ilorazu lub NWD zamiast różnicy.
❌ Nie uznaje się: samego podania \\(1575 = 7 \\cdot 225\\) bez wyjaśnienia skąd pochodzi 225 Hz.
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (fale mechaniczne):
Warunek fali stojącej na strunie obustronnie zamocowanej:
\\[
l = n \\cdot \\frac{\\lambda}{2}, \\quad n = 1, 2, 3, \\ldots
\\]
Ponieważ \\(f = \\frac{v}{\\lambda}\\), stąd:
\\[
f_n = n \\cdot \\frac{v}{2l} = n \\cdot f_1
\n

\\]

\n
To jest bezpośrednie uzasadnienie, dlaczego tylko całkowite wielokrotności \\(f_1\\) są możliwe.
\n

Użyliśmy tego w Sposobie 1 (własność szeregu harmonicznego) i Sposobie 3 (NWD).

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd - uczeń sprawdza tylko, że \\(1575 / 450 = 3{,}5\\) (niecałkowite!) i wyciąga błędny wniosek, że 1575 Hz jest niemożliwe. Błąd: sprawdza stosunek do jednej z harmonicznych, zamiast do podstawowej \\(f_1\\).
\n
⚠️ Uwaga: Nie wystarczy napisać „1575 = 7 × 225". Trzeba uzasadnić skąd pochodzi 225 Hz (różnica kolejnych harmonicznych = \\(f_1\\)) - bez tego klucz CKE odejmuje 1 punkt.
\n
⚠️ Uwaga: Dwie „kolejne" częstotliwości fal stojących - słowo kolejne jest kluczowe! Gdyby to były dowolne dwie harmoniczne (nie sąsiednie), różnica NIE musiałaby być \\(f_1\\). W tym zadaniu warunek „kolejne" gwarantuje \\(f_1 = \\Delta f\\).
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić struny z rurą: rura otwarta ma harmoniczne \\(1, 2, 3, \\ldots\\) jak struna; rura zamknięta ma tylko nieparzyste \\(1, 3, 5, \\ldots\\) - ale to inne zadanie!
"}]}