{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/13.1","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"13.1","points":1,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13.1. (0-1)\nNa rysunku poniżej zaznaczono dwie cząstki α (z różnych chwil czasu) zbliżające się do jądra\nzłota z początkowo jednakowymi prędkościami. Przyjmujemy, że cząstki α przelatują obok\njądra złota jedna po drugiej w takim odstępie czasu, że nie dochodzi do wzajemnego\noddziaływania między tymi cząstkami. Zakładamy, że każda z cząstek α, gdy przechodzi\nw pobliżu jądra, oddziałuje tylko z tym jednym jądrem złota, a ponadto jądro złota pozostaje\nnieruchome.\nNa rysunku poniżej naszkicuj przybliżone tory ruchu obu cząstek α.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13.1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów\ni rysunków.\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n3.1) (P) posługuje się pojęciami […] jądro\natomowe,\n3.3) (P) wymienia właściwości promieniowania\njądrowego α,\n7.1) wykorzystuje prawo Coulomba,\n1.8) wyjaśnia ruch ciał na podstawie drugiej\nzasady dynamiki Newtona.\nSchemat punktowania\n1 p. - prawidłowo narysowane tory obu cząstek: oba tory odchylają się od jądra, a krzywizna\ntoru cząstki poruszającej się bliżej jądra jest większa.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawne rozwiązanie\nNarysowanie dwóch zakrzywionych torów, jak na rysunku poniżej, uwzględniających:\n1) odchylanie się każdego z nich do góry (cząstka α i jądro złota odpychają się),\n2) większe zakrzywienia toru cząstki poruszającej się bliżej jądra (cząstka α bliżej jądra podlega\nwiększej sile, co skutkuje większymi zmianami wektora pędu cząstki w ustalonych odstępach\nczasu).\nα\nα\nAu","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nObie cząstki α poruszają się po **torach hiperbolicznych**, odgiętych **od jądra złota** (odpychanie kulombowskie). Cząstka bliższa osi (mniejszy parametr zderzenia \\(b_1\\)) zostaje odchylona pod **kątem większym**, cząstka dalsza (większy \\(b_2\\)) - pod **kątem mniejszym**.\n\n## Sposób 1 - Analiza siły Coulomba i parametru zderzenia\n\n**Krok 1 - Rodzaj oddziaływania**\n\nCząstka α ma ładunek \\(q_\\alpha = +2e\\). Jądro złota ma ładunek \\(q_{Au} = +79e\\).\nOba ładunki są **dodatnie** → siła Coulomba jest **odpychająca**:\n\n\\[\nF = k \\frac{q_\\alpha \\cdot q_{Au}}{r^2}\n\\]\n\nCząstka α jest odchylana **od** jądra, nie w jego stronę.\n\n**Krok 2 - Parametr zderzenia \\(b\\)**\n\nParametr zderzenia \\(b\\) to prostopadła odległość między osią ruchu cząstki α (daleko od jądra, gdzie siła jest pomijalna) a środkiem jądra złota.\n\n←b₁→ • cząstka 1 (bliższa osi)\n--------Au--------- ←b₂→ • cząstka 2 (dalsza osi)\n\nIm **mniejsze \\(b\\)**, tym silniejsze odpychanie (cząstka przechodzi bliżej jądra) → **większy kąt odchylenia** \\(\\theta\\).\n\nZależność (Rutherford):\n\n\\[\n\\cot\\frac{\\theta}{2} = \\frac{2E \\cdot b}{k \\cdot q_\\alpha \\cdot q_{Au}}\n\\]\n\ngdzie \\(E = \\frac{1}{2}mv^2\\) - energia kinetyczna cząstki.\n\n**Krok 3 - Kształt torów**\n\nTor każdej cząstki α w polu Coulomba to **hiperbola** z jądrem złota w ognisku. Asymptoty hiperboli to:\n- kierunek wlotu (daleko przed jądrem)\n- kierunek wylotu (daleko za jądrem)\n\n**Szkic poprawnych torów:**\n\n↑ (mniejsze b) cząstka 1: silnie odgięta\n\\ /← tor 1 (duże θ)\n·Au·\n/ \\← tor 2 (małe θ)\n↑ (większe b) cząstka 2: słabo odgięta\n\nObie krzywe są **symetryczne** względem linii łączącej punkt wlotu z jądrem (oś symetrii hiperboli) i odginają się **od** jądra.\n\n## Sposób 2 - Zasada zachowania energii i pędu (wnioskowanie jakościowe)\n\n**Zachowanie energii:**\n\n\\[\n\\frac{1}{2}mv_0^2 = \\frac{1}{2}mv^2 + k\\frac{q_\\alpha q_{Au}}{r}\n\\]\n\nW najwyższym punkcie zbliżenia prędkość cząstki maleje (energia kinetyczna zamienia się w potencjalną). Po oddaleniu od jądra energia kinetyczna wraca do wartości początkowej - **prędkość skalarna cząstki jest taka sama jak na wlocie**, ale zmienił się **kierunek**.\n\n**Zachowanie momentu pędu względem jądra:**\n\n\\[\nL = m v_0 b = mvr \\sin\\phi = \\text{const}\n\\]\n\nCząstka z \\(b_1 < b_2\\) ma **mniejszy moment pędu** → bliżej jądra → silniejsze odpychanie → większy kąt odchylenia.\n\n**Wniosek rysunkowy:**\n- Cząstka 1 (\\(b_1\\) mały): tor ostro zagięty w górę/dół (zależnie od strony)\n- Cząstka 2 (\\(b_2\\) duży): tor lekko zagięty, prawie prosty\n\n## Sposób 3 - Graniczne przypadki (rozumowanie ekstremalnych wartości b)\n\nGraniczne przypadki pomagają ocenić poprawność szkicu:\n\n| Graniczny przypadek | Parametr \\(b\\) | Kąt \\(\\theta\\) | Tor |\n| Centralne zderzenie (czołowe) | \\(b = 0\\) | \\(\\theta = 180°\\) | odbicie wprost z powrotem |\n| Bardzo daleko od jądra | \\(b \\to \\infty\\) | \\(\\theta \\to 0°\\) | prosta (brak odchylenia) |\n| Przypadek z zadania - bliżej | \\(b_1\\) małe | \\(\\theta_1\\) duże | mocno zagięta hiperbola |\n| Przypadek z zadania - dalej | \\(b_2\\) duże | \\(\\theta_2\\) małe | lekko zagięta hiperbola |\n\nOba tory z zadania leżą **między** tymi granicznymi przypadkami, co potwierdza poprawność kierunku odgięcia i jego wielkości.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 13.1, max 1 pkt):**\n> - **1 pkt** - uczeń naszkicował oba tory cząstek α jako krzywe odgięte od jądra złota, przy czym cząstka bliższa jądra jest odchylona pod większym kątem niż cząstka dalsza.\n> - **0 pkt** - tory narysowane w stronę jądra (przyciąganie), oba odgięte pod równym kątem, lub brak uwzględnienia różnicy odchylenia.\n> - **Akceptowane warianty:** przybliżone tory (nie muszą być idealną hiperbolą); kąty odchylenia nie muszą być dokładne - ważne, że tor 1 (bliższy) odchylony bardziej niż tor 2.\n> - **Uwagi (orientacyjne):** ✅ Dopuszcza się zaznaczenie torów jako łuków (nie muszą być hiperbolami); ❌ Nie uznaje się torów prostych (bez zakrzywienia) ani torów ku jądru.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA:**\n> - Prawo Coulomba: \\(F = k\\frac{q_1 q_2}{r^2}\\) - do uzasadnienia odpychania\n> - Energia potencjalna układu dwóch ładunków: \\(E_p = k\\frac{q_1 q_2}{r}\\)\n> - Zasada zachowania energii mechanicznej\n>\n> Wzór Rutherforda na kąt rozpraszania \\(\\cot\\frac{\\theta}{2} = \\frac{2Eb}{kq_\\alpha q_{Au}}\\) **nie jest na karcie CKE** - ale nie jest potrzebny do narysowania szkicu. Wystarczy rozumowanie: **im bliżej jądra, tym większe odpychanie, tym większy kąt odchylenia.**\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - narysowanie torów **ku jądru** (jakby było przyciąganie grawitacyjne). Pamiętaj: α i Au to **oba ładunki dodatnie** → **odpychanie**, tory odginają się **od** jądra!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równy kąt odchylenia dla obu cząstek - błąd! Mają **tę samą prędkość początkową**, ale **różne parametry zderzenia** \\(b\\). Bliższa = mocniej odgięta.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prosta linia zamiast krzywej - tor musi być **zakrzywiony** (siła działa przez cały czas zbliżania i oddalania, nie punktowo).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Tor symetrii - każdy tor jest symetryczny względem **swojej** osi (linii łączącej punkt najwyższego zbliżenia z centrum jądra), nie względem wspólnej osi cząstki 2.","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-13.1.webp","solution_image":null,"topics":"Fizyka współczesna","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 13.1. (0-1)<br>Na rysunku poniżej zaznaczono dwie cząstki α (z różnych chwil czasu) zbliżające się do jądra<br>złota z początkowo jednakowymi prędkościami. Przyjmujemy, że cząstki α przelatują obok<br>jądra złota jedna po drugiej w takim odstępie czasu, że nie dochodzi do wzajemnego<br>oddziaływania między tymi cząstkami. Zakładamy, że każda z cząstek α, gdy przechodzi<br>w pobliżu jądra, oddziałuje tylko z tym jednym jądrem złota, a ponadto jądro złota pozostaje<br>nieruchome.<br>Na rysunku poniżej naszkicuj przybliżone tory ruchu obu cząstek α.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 13.1. (0-1)<br>Wymagania ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i przetwarzanie<br>informacji zapisanych w postaci tekstu,<br>tabel, wykresów, schematów<br>i rysunków.<br>IV. Budowa prostych modeli fizycznych<br>i matematycznych do opisu zjawisk.<br>Zdający:<br>3.1) (P) posługuje się pojęciami […] jądro<br>atomowe,<br>3.3) (P) wymienia właściwości promieniowania<br>jądrowego α,<br>7.1) wykorzystuje prawo Coulomba,<br>1.8) wyjaśnia ruch ciał na podstawie drugiej<br>zasady dynamiki Newtona.<br>Schemat punktowania<br>1 p. - prawidłowo narysowane tory obu cząstek: oba tory odchylają się od jądra, a krzywizna<br>toru cząstki poruszającej się bliżej jądra jest większa.<br>0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.<br>Poprawne rozwiązanie<br>Narysowanie dwóch zakrzywionych torów, jak na rysunku poniżej, uwzględniających:</p>\n<ol><li>odchylanie się każdego z nich do góry (cząstka α i jądro złota odpychają się),</li><li>większe zakrzywienia toru cząstki poruszającej się bliżej jądra (cząstka α bliżej jądra podlega</li></ol>\n<p>większej sile, co skutkuje większymi zmianami wektora pędu cząstki w ustalonych odstępach<br>czasu).<br>α<br>α<br>Au</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź</h4>\n<p>Obie cząstki α poruszają się po <strong>torach hiperbolicznych</strong>, odgiętych <strong>od jądra złota</strong> (odpychanie kulombowskie). Cząstka bliższa osi (mniejszy parametr zderzenia \\(b_1\\)) zostaje odchylona pod <strong>kątem większym</strong>, cząstka dalsza (większy \\(b_2\\)) - pod <strong>kątem mniejszym</strong>.</p>\n<h4>Sposób 1 - Analiza siły Coulomba i parametru zderzenia</h4>\n<p><strong>Krok 1 - Rodzaj oddziaływania</strong></p>\n<p>Cząstka α ma ładunek \\(q_\\alpha = +2e\\). Jądro złota ma ładunek \\(q_{Au} = +79e\\).<br>Oba ładunki są <strong>dodatnie</strong> → siła Coulomba jest <strong>odpychająca</strong>:</p>\n<p>\\[<br>F = k \\frac{q_\\alpha \\cdot q_{Au}}{r^2}<br>\\]</p>\n<p>Cząstka α jest odchylana <strong>od</strong> jądra, nie w jego stronę.</p>\n<p><strong>Krok 2 - Parametr zderzenia \\(b\\)</strong></p>\n<p>Parametr zderzenia \\(b\\) to prostopadła odległość między osią ruchu cząstki α (daleko od jądra, gdzie siła jest pomijalna) a środkiem jądra złota.</p>\n<p>←b₁→ • cząstka 1 (bliższa osi)<br>--------Au--------- ←b₂→ • cząstka 2 (dalsza osi)</p>\n<p>Im <strong>mniejsze \\(b\\)</strong>, tym silniejsze odpychanie (cząstka przechodzi bliżej jądra) → <strong>większy kąt odchylenia</strong> \\(\\theta\\).</p>\n<p>Zależność (Rutherford):</p>\n<p>\\[<br>\\cot\\frac{\\theta}{2} = \\frac{2E \\cdot b}{k \\cdot q_\\alpha \\cdot q_{Au}}<br>\\]</p>\n<p>gdzie \\(E = \\frac{1}{2}mv^2\\) - energia kinetyczna cząstki.</p>\n<p><strong>Krok 3 - Kształt torów</strong></p>\n<p>Tor każdej cząstki α w polu Coulomba to <strong>hiperbola</strong> z jądrem złota w ognisku. Asymptoty hiperboli to:</p>\n<ul><li>kierunek wlotu (daleko przed jądrem)</li><li>kierunek wylotu (daleko za jądrem)</li></ul>\n<p><strong>Szkic poprawnych torów:</strong></p>\n<p>↑ (mniejsze b) cząstka 1: silnie odgięta<br>\\ /← tor 1 (duże θ)<br>·Au·<br>/ \\← tor 2 (małe θ)<br>↑ (większe b) cząstka 2: słabo odgięta</p>\n<p>Obie krzywe są <strong>symetryczne</strong> względem linii łączącej punkt wlotu z jądrem (oś symetrii hiperboli) i odginają się <strong>od</strong> jądra.</p>\n<h4>Sposób 2 - Zasada zachowania energii i pędu (wnioskowanie jakościowe)</h4>\n<p><strong>Zachowanie energii:</strong></p>\n<p>\\[<br>\\frac{1}{2}mv_0^2 = \\frac{1}{2}mv^2 + k\\frac{q_\\alpha q_{Au}}{r}<br>\\]</p>\n<p>W najwyższym punkcie zbliżenia prędkość cząstki maleje (energia kinetyczna zamienia się w potencjalną). Po oddaleniu od jądra energia kinetyczna wraca do wartości początkowej - <strong>prędkość skalarna cząstki jest taka sama jak na wlocie</strong>, ale zmienił się <strong>kierunek</strong>.</p>\n<p><strong>Zachowanie momentu pędu względem jądra:</strong></p>\n<p>\\[<br>L = m v_0 b = mvr \\sin\\phi = \\text{const}<br>\\]</p>\n<p>Cząstka z \\(b_1 &lt; b_2\\) ma <strong>mniejszy moment pędu</strong> → bliżej jądra → silniejsze odpychanie → większy kąt odchylenia.</p>\n<p><strong>Wniosek rysunkowy:</strong></p>\n<ul><li>Cząstka 1 (\\(b_1\\) mały): tor ostro zagięty w górę/dół (zależnie od strony)</li><li>Cząstka 2 (\\(b_2\\) duży): tor lekko zagięty, prawie prosty</li></ul>\n<h4>Sposób 3 - Graniczne przypadki (rozumowanie ekstremalnych wartości b)</h4>\n<p>Graniczne przypadki pomagają ocenić poprawność szkicu:</p>\n<p>| Graniczny przypadek | Parametr \\(b\\) | Kąt \\(\\theta\\) | Tor |<br>| Centralne zderzenie (czołowe) | \\(b = 0\\) | \\(\\theta = 180°\\) | odbicie wprost z powrotem |<br>| Bardzo daleko od jądra | \\(b \\to \\infty\\) | \\(\\theta \\to 0°\\) | prosta (brak odchylenia) |<br>| Przypadek z zadania - bliżej | \\(b_1\\) małe | \\(\\theta_1\\) duże | mocno zagięta hiperbola |<br>| Przypadek z zadania - dalej | \\(b_2\\) duże | \\(\\theta_2\\) małe | lekko zagięta hiperbola |</p>\n<p>Oba tory z zadania leżą <strong>między</strong> tymi granicznymi przypadkami, co potwierdza poprawność kierunku odgięcia i jego wielkości.</p>\n<h4>Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)</h4>\n<blockquote>📋 <strong>Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 13.1, max 1 pkt):</strong><br>- <strong>1 pkt</strong> - uczeń naszkicował oba tory cząstek α jako krzywe odgięte od jądra złota, przy czym cząstka bliższa jądra jest odchylona pod większym kątem niż cząstka dalsza.<br>- <strong>0 pkt</strong> - tory narysowane w stronę jądra (przyciąganie), oba odgięte pod równym kątem, lub brak uwzględnienia różnicy odchylenia.<br>- <strong>Akceptowane warianty:</strong> przybliżone tory (nie muszą być idealną hiperbolą); kąty odchylenia nie muszą być dokładne - ważne, że tor 1 (bliższy) odchylony bardziej niż tor 2.<br>- <strong>Uwagi (orientacyjne):</strong> ✅ Dopuszcza się zaznaczenie torów jako łuków (nie muszą być hiperbolami); ❌ Nie uznaje się torów prostych (bez zakrzywienia) ani torów ku jądru.</blockquote>\n<h4>Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć</h4>\n<blockquote>📖 <strong>Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA:</strong><br>- Prawo Coulomba: \\(F = k\\frac{q_1 q_2}{r^2}\\) - do uzasadnienia odpychania<br>- Energia potencjalna układu dwóch ładunków: \\(E_p = k\\frac{q_1 q_2}{r}\\)<br>- Zasada zachowania energii mechanicznej<br><br>Wzór Rutherforda na kąt rozpraszania \\(\\cot\\frac{\\theta}{2} = \\frac{2Eb}{kq_\\alpha q_{Au}}\\) <strong>nie jest na karcie CKE</strong> - ale nie jest potrzebny do narysowania szkicu. Wystarczy rozumowanie: <strong>im bliżej jądra, tym większe odpychanie, tym większy kąt odchylenia.</strong></blockquote>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd - narysowanie torów <strong>ku jądru</strong> (jakby było przyciąganie grawitacyjne). Pamiętaj: α i Au to <strong>oba ładunki dodatnie</strong> → <strong>odpychanie</strong>, tory odginają się <strong>od</strong> jądra!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Równy kąt odchylenia dla obu cząstek - błąd! Mają <strong>tę samą prędkość początkową</strong>, ale <strong>różne parametry zderzenia</strong> \\(b\\). Bliższa = mocniej odgięta.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Prosta linia zamiast krzywej - tor musi być <strong>zakrzywiony</strong> (siła działa przez cały czas zbliżania i oddalania, nie punktowo).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Tor symetrii - każdy tor jest symetryczny względem <strong>swojej</strong> osi (linii łączącej punkt najwyższego zbliżenia z centrum jądra), nie względem wspólnej osi cząstki 2.</blockquote>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>Narysowanie dwóch zakrzywionych torów, jak na rysunku poniżej, uwzględniających:</p>\n<ol><li>odchylanie się każdego z nich do góry (cząstka $\\alpha$ i jądro złota odpychają się),</li><li>większe zakrzywienia toru cząstki poruszającej się bliżej jądra (cząstka $\\alpha$ bliżej jądra podlega większej sile, co skutkuje większymi zmianami wektora pędu cząstki w ustalonych odstępach czasu).</li></ol>\n<p>[OBRAZEK]</p>"}]}