{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/15.2","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"15.2","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15.2. (0-3)\nOblicz prędkość liniową Merkurego względem Słońca, gdy znajduje się on w peryhelium.\nW jednej z metod rozwiązania zadania możesz wykorzystać do obliczeń masę Słońca równą\n1,99·1030 kg oraz wartość jednostki astronomicznej, wynoszącą 1,50·1011 m.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n14.\n15.1. 15.2.\n16.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n3\n1\nUzyskana liczba pkt\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 15.2. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Analiza tekstów\npopularnonaukowych i ocena ich treści.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów\ni rysunków.\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n2.8) stosuje zasadę zachowania momentu pędu\ndo analizy ruchu,\n4.5) oblicza zmiany energii potencjalnej\ngrawitacji i wiąże je z pracą lub zmianą energii\nkinetycznej,\n3.3) wykorzystuje zasadę zachowania energii\nmechanicznej do obliczania parametrów ruchu.\nSchemat punktowania\n3 p. - prawidłowa metoda wyznaczenia prędkości liniowej Merkurego w peryhelium oraz\nprawidłowy wynik liczbowy z jednostką.\n2 p. - prawidłowe (zgodne z oznaczeniami) zapisanie zasady zachowania momentu pędu lub\nzasady zachowania energii mechanicznej oraz prawidłowe określenie odległości od\nśrodka Słońca do peryhelium orbity Merkurego.\n1 p. - zapisanie zasady zachowania momentu pędu Merkurego względem Słońca albo zasady\nzachowania energii mechanicznej.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązania\nSposób 1. (z zasady zachowania momentu pędu)\nNa podstawie danych w tekście zadania i rysunku określamy odległość środka Słońca do punktu\naphelium i peryhelium orbity Merkurego:\nݎ௔= 0,467 au ݎ௣= 0,467 au -0,159 au = 0,308 au\nKorzystamy z zasady zachowania momentu pędu punktu materialnego (tutaj środka masy\nMerkurego) w ruchu względem punktu centrum (tutaj środka Słońca), gdy działa na niego siła\nskierowana do tego punktu:\n݌௔ݎ௔= ݌௣ݎ௣\ngdzie ݌௔ oraz ݌௣ są pędami Merkurego względem Słońca, odpowiednio w punktach aphelium\ni peryhelium. Wykonujemy obliczenia:\nݒ௔ݎ௔=\nݒ௣ݎ௣ → ݒ௣= ݎ௔\nݎ௣\nݒ௔ → ݒ௣= 0,467 au\n0,308 au ∙38,9 km\ns = 58,98 km\ns ≈59 km\ns\nSposób 2. (z zasady zachowania energii mechanicznej)\nNa podstawie danych i rysunku określamy odległość środka Słońca do punktu aphelium\ni peryhelium orbity Merkurego:\nݎ௔= 0,467 au ݎ௣= 0,467 au -0,159 au = 0,308 au\nKorzystamy z zasady zachowania energii mechanicznej Merkurego w ruchu pod działaniem\nsiły grawitacji. Energia mechaniczna w peryhelium jest równa energii mechanicznej\nw aphelium. Energia mechaniczna jest sumą energii potencjalnej i kinetycznej. Przyjmujemy,\nże energia kinetyczna ruchu obrotowego nie zmienia się podczas ruchu Merkurego, a zatem:\nܧ௔= ܧ௣ →\nݒ௔\nଶ\n2\n-ܩܯ݉\nݎ௔\nݒ௣\nଶ\n2\n-ܩܯ݉\nݎ௣\n→ ݒ௣\nଶ= ݒ௔\nଶ+ 2ܩܯ\nݎ௣\n-2ܩܯ\nݎ௔\nݒ௣\nଶ= ݒ௔\nଶ+ 2ܩܯ\nݎ௣\n-2ܩܯ\nݎ௔\n→ ݒ௣= ඨݒ௔ଶ+ 2ܩܯ൫ݎ௔-ݎ௣൯\nݎ௔ݎ௣\ngdzie M jest masą Słońca. Po podstawieniu danych (z uwzględnieniem wartości jednostki\nastronomicznej) otrzymujemy:\nݒ௣= ඩቀ38,9 ∙10ଷ m\ns ቁ\nଶ\n2 ∙6,67 ∙10ିଵଵ N∙m2\nkg2 ∙1,99 ∙10ଷ଴ kg ∙0,159 m\n0,467 ∙0,308 ∙1,50 ∙10ଵଵ m2\nݒ௣= 58,9 ∙10ଷ m\ns ≈59 km\ns\nUwaga!\nBłędem rzeczowym jest w tym zadaniu zapisanie siły grawitacji działającej na Merkurego jako\nsiły dośrodkowej. Wzór na siłę dośrodkową jest słuszny tylko dla ruchu po okręgu, a Merkury\nnie porusza się po orbicie kołowej. Ponadto Merkury ma w punkcie peryhelium prędkość\nwiększą od prędkości, jaka byłaby potrzebna dla ruchu po orbicie kołowej o promieniu rp\n(ponieważ po przejściu przez peryhelium, aż do aphelium, Merkury oddala się od Słońca).","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n\\[v_p \\approx 5{,}90 \\times 10^4 \\ \\text{m/s} \\approx 59{,}0 \\ \\text{km/s}\\]\n\n## Dane zadania (z treści zadania 15)\n\n| Wielkość | Symbol | Wartość |\n| Peryhelium Merkurego | \\(r_p\\) | \\(4{,}60 \\times 10^{10} \\ \\text{m}\\) |\n| Aphelium Merkurego | \\(r_a\\) | \\(6{,}98 \\times 10^{10} \\ \\text{m}\\) |\n| Okres obiegu | \\(T\\) | \\(88{,}0 \\ \\text{dni} = 7{,}60 \\times 10^6 \\ \\text{s}\\) |\n| Masa Słońca | \\(M\\) | \\(1{,}99 \\times 10^{30} \\ \\text{kg}\\) |\n| Stała grawitacji | \\(G\\) | \\(6{,}67 \\times 10^{-11} \\ \\text{N·m}^2/\\text{kg}^2\\) |\n\n> **Kluczowa obserwacja geometryczna:** W peryhelium i aphelium wektor prędkości jest **prostopadły** do wektora promienia orbity - wynika to z symetrii elipsy. To fundamentalny fakt ułatwiający wszystkie trzy metody.\n\n## Sposób 1 - Zasada zachowania energii + zasada zachowania momentu pędu\n\n**Idea:** Dysponujemy dwoma prawami zachowania → dwa równania, dwie niewiadome (\\(v_p\\) i \\(v_a\\)).\n\n**Krok 1. Zasada zachowania momentu pędu**\n\nW polu grawitacyjnym Słońca moment siły wynosi zero → moment pędu Merkurego jest zachowany. W peryhelium i aphelium \\(v \\perp r\\), więc:\n\n\\[\nL = m v_p r_p = m v_a r_a \\quad \\Rightarrow \\quad v_a = \\frac{v_p r_p}{r_a}\n\\]\n\n**Krok 2. Zasada zachowania energii mechanicznej**\n\n\\[\n\\frac{1}{2}mv_p^2 - \\frac{GMm}{r_p} = \\frac{1}{2}mv_a^2 - \\frac{GMm}{r_a}\n\\]\n\nDzielę przez \\(m\\):\n\n\\[\n\\frac{1}{2}v_p^2 - \\frac{GM}{r_p} = \\frac{1}{2}v_a^2 - \\frac{GM}{r_a}\n\\]\n\n**Krok 3. Podstawiam \\(v_a = \\frac{v_p r_p}{r_a}\\) do równania energii:**\n\n\\[\n\\frac{1}{2}v_p^2 - \\frac{GM}{r_p} = \\frac{1}{2}\\frac{v_p^2 r_p^2}{r_a^2} - \\frac{GM}{r_a}\n\\]\n\n\\[\n\\frac{1}{2}v_p^2\\left(1 - \\frac{r_p^2}{r_a^2}\\right) = GM\\left(\\frac{1}{r_p} - \\frac{1}{r_a}\\right)\n\\]\n\n\\[\n\\frac{1}{2}v_p^2 \\cdot \\frac{(r_a - r_p)(r_a + r_p)}{r_a^2} = GM \\cdot \\frac{r_a - r_p}{r_p r_a}\n\\]\n\nSkracam \\((r_a - r_p)\\):\n\n\\[\n\\frac{1}{2}v_p^2 \\cdot \\frac{r_a + r_p}{r_a^2} = \\frac{GM}{r_p r_a}\n\\]\n\n\\[\n\\boxed{v_p = \\sqrt{\\frac{2GM r_a}{r_p(r_p + r_a)}}}\n\\]\n\n**Krok 4. Obliczenia:**\n\n\\[\nv_p = \\sqrt{\\frac{2 \\times 6{,}67 \\times 10^{-11} \\times 1{,}99 \\times 10^{30} \\times 6{,}98 \\times 10^{10}}{4{,}60 \\times 10^{10} \\times (4{,}60 + 6{,}98) \\times 10^{10}}}\n\\]\n\nLicznik:\n\\[\n2 \\times 6{,}67 \\times 1{,}99 \\times 6{,}98 \\times 10^{-11+30+10} = 2 \\times 92{,}67 \\times 10^{29} = 1{,}853 \\times 10^{31}\n\\]\n\nMianownik:\n\\[\n4{,}60 \\times 11{,}58 \\times 10^{20} = 53{,}27 \\times 10^{20} = 5{,}327 \\times 10^{21}\n\\]\n\n\\[\nv_p^2 = \\frac{1{,}853 \\times 10^{31}}{5{,}327 \\times 10^{21}} = 3{,}48 \\times 10^{9} \\ \\text{m}^2/\\text{s}^2\n\\]\n\n\\[\n\\boxed{v_p = \\sqrt{3{,}48 \\times 10^9} \\approx 5{,}90 \\times 10^4 \\ \\text{m/s} \\approx 59{,}0 \\ \\text{km/s}}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Drugie prawo Keplera (równe pola)\n\n**Idea:** Merkury zamiata równe pola w równych czasach. W peryhelium prędkość jest prostopadła do promienia, więc pole trójkąta to \\(\\frac{1}{2}r_p v_p \\cdot dt\\). Całkowite pole elipsy dzielone przez okres daje ten sam wynik.\n\n**Krok 1. Prędkość zamiatania pola**\n\n\\[\n\\frac{dA}{dt} = \\frac{1}{2} r_p v_p \\quad \\text{(w peryhelium, bo } v \\perp r\\text{)}\n\\]\n\nCałkowite pole elipsy: \\(A = \\pi a b\\), gdzie:\n- \\(a = \\dfrac{r_p + r_a}{2}\\) - półoś wielka\n- \\(b = \\sqrt{r_p \\cdot r_a}\\) - półoś mała (z własności elipsy: \\(b^2 = r_p \\cdot r_a\\))\n\n**Krok 2. Związek z okresem**\n\n\\[\n\\frac{\\pi a b}{T} = \\frac{1}{2} r_p v_p \\quad \\Rightarrow \\quad v_p = \\frac{2\\pi a b}{T \\cdot r_p}\n\\]\n\n**Krok 3. Obliczam a i b:**\n\n\\[\na = \\frac{(4{,}60 + 6{,}98) \\times 10^{10}}{2} = 5{,}79 \\times 10^{10} \\ \\text{m}\n\\]\n\n\\[\nb = \\sqrt{4{,}60 \\times 6{,}98} \\times 10^{10} = \\sqrt{32{,}11} \\times 10^{10} = 5{,}67 \\times 10^{10} \\ \\text{m}\n\\]\n\n**Krok 4. Podstawiam:**\n\n\\[\nv_p = \\frac{2\\pi \\times 5{,}79 \\times 10^{10} \\times 5{,}67 \\times 10^{10}}{7{,}60 \\times 10^6 \\times 4{,}60 \\times 10^{10}}\n\\]\n\nLicznik: \\(2\\pi \\times 32{,}83 \\times 10^{20} = 206{,}3 \\times 10^{20} = 2{,}063 \\times 10^{22}\\)\n\nMianownik: \\(34{,}96 \\times 10^{16} = 3{,}496 \\times 10^{17}\\)\n\n\\[\n\\boxed{v_p = \\frac{2{,}063 \\times 10^{22}}{3{,}496 \\times 10^{17}} \\approx 5{,}90 \\times 10^4 \\ \\text{m/s} \\approx 59{,}0 \\ \\text{km/s}} \\checkmark\n\\]\n\n## Sposób 3 - Równanie vis-viva (prędkość orbitalna w funkcji r i a)\n\n**Idea:** Bezpośrednie zastosowanie równania vis-viva wyprowadzonego z zasad zachowania.\n\n\\[\nv^2 = GM\\left(\\frac{2}{r} - \\frac{1}{a}\\right)\n\\]\n\nW peryhelium \\(r = r_p\\):\n\n\\[\nv_p^2 = GM\\left(\\frac{2}{r_p} - \\frac{1}{a}\\right)\n\\]\n\n**Obliczenia:**\n\n\\[\na = 5{,}79 \\times 10^{10} \\ \\text{m}\n\\]\n\n\\[\n\\frac{2}{r_p} = \\frac{2}{4{,}60 \\times 10^{10}} = 4{,}348 \\times 10^{-11} \\ \\text{m}^{-1}\n\\]\n\n\\[\n\\frac{1}{a} = \\frac{1}{5{,}79 \\times 10^{10}} = 1{,}727 \\times 10^{-11} \\ \\text{m}^{-1}\n\\]\n\n\\[\nv_p^2 = 6{,}67 \\times 10^{-11} \\times 1{,}99 \\times 10^{30} \\times (4{,}348 - 1{,}727) \\times 10^{-11}\n\\]\n\n\\[\n= 1{,}327 \\times 10^{20} \\times 2{,}621 \\times 10^{-11} = 3{,}48 \\times 10^{9} \\ \\text{m}^2/\\text{s}^2\n\\]\n\n\\[\n\\boxed{v_p \\approx 5{,}90 \\times 10^4 \\ \\text{m/s}} \\checkmark\n\\]\n\n> Metoda najszybsza obliczeniowo - wymaga jedynie znajomości \\(r_p\\) i \\(a\\). Vis-viva to „matura shortcut\".\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 15.2, max 3 pkt):**\n> - **1 pkt** - uczeń poprawnie zapisuje równanie zasady zachowania energii mechanicznej (lub momentu pędu + energii, lub równanie vis-viva, lub II prawo Keplera zastosowane do obszarów)\n> - **1 pkt** - uczeń poprawnie wyprowadza wzór na \\(v_p\\) (lub podstawia dane do wzoru vis-viva z poprawnym \\(a\\))\n> - **1 pkt** - uczeń oblicza poprawną wartość numeryczną \\(v_p \\approx 59 \\ \\text{km/s}\\) (akceptowany zakres: ok. \\(58{,}0 \\div 60{,}0 \\ \\text{km/s}\\))\n> - **0 pkt** - odpowiedź niespełniająca wymagań; użycie wzoru na prędkość kołową bez uzasadnienia nie jest honorowane, gdyż orbita Merkurego jest wyraźnie eliptyczna (\\(e \\approx 0{,}2\\))\n> - **Uwagi (orientacyjne):** ✅ Dopuszcza się różne poprawne metody (zachowanie energii, II prawo Keplera, vis-viva). ❌ Nie uznaje się odpowiedzi \\(v = \\sqrt{GM/r_p}\\) bez korekty na eliptyczność.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-20):**\n>\n> - **Stała grawitacji:** \\(G = 6{,}67 \\times 10^{-11} \\ \\text{N·m}^2/\\text{kg}^2\\)\n> - **Prawo powszechnego ciążenia:** \\(F = \\dfrac{GMm}{r^2}\\)\n> - **Energia potencjalna grawitacji:** \\(E_p = -\\dfrac{GMm}{r}\\)\n> - **Energia kinetyczna:** \\(E_k = \\dfrac{1}{2}mv^2\\)\n>\n> Równanie vis-viva **nie jest podane wprost** na karcie - należy je samodzielnie wyprowadzić z zasad zachowania (co pokazuje Sposób 1), lub znać jako gotowy wzór z lekcji.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Pułapka 1 - orbit kołowa zamiast eliptycznej:** Uczeń liczy \\(v = \\sqrt{GM/r_p}\\) (wzór na prędkość II kosmiczną / kołową). To błąd - wzór ten daje prędkość dla **orbity kołowej** o promieniu \\(r_p\\), nie dla peryhelium elipsy. Brakuje czynnika korekcyjnego \\(\\dfrac{2r_a}{r_p + r_a}\\).\n\n> ⚠️ **Pułapka 2 - mylenie r z a w vis-viva:** W równaniu \\(v^2 = GM\\!\\left(\\frac{2}{r} - \\frac{1}{a}\\right)\\) należy podstawić \\(r = r_p\\) (aktualna odległość) i \\(a = \\frac{r_p+r_a}{2}\\) (półoś wielka). Uczeń często wstawia samo \\(r_p\\) zamiast \\(a\\).\n\n> ⚠️ **Pułapka 3 - błąd przy półosi mniejszej b:** \\(b \\neq \\frac{r_p + r_a}{2}\\) - to jest \\(a\\)! Półoś mniejsza to \\(b = \\sqrt{r_p \\cdot r_a}\\) (średnia geometryczna, nie arytmetyczna).\n\n> ⚠️ **Pułapka 4 - niezamiana jednostek:** \\(88 \\ \\text{dni} = 88 \\times 86400 \\ \\text{s} = 7{,}60 \\times 10^6 \\ \\text{s}\\). Zostawienie doby w obliczeniach daje wynik w km/dobę zamiast m/s.","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-15.2.webp","solution_image":null,"topics":"Grawitacja i astronomia","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 15.2. (0-3)
Oblicz prędkość liniową Merkurego względem Słońca, gdy znajduje się on w peryhelium.
W jednej z metod rozwiązania zadania możesz wykorzystać do obliczeń masę Słońca równą
1,99·1030 kg oraz wartość jednostki astronomicznej, wynoszącą 1,50·1011 m.
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
14.
15.1. 15.2.
16.
Maks. liczba pkt
1
1
3
1
Uzyskana liczba pkt
MFA_1R

","answer_text_html":"

Zadanie 15.2. (0-3)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
II. Analiza tekstów
popularnonaukowych i ocena ich treści.
III. Wykorzystanie i przetwarzanie
informacji zapisanych w postaci tekstu,
tabel, wykresów, schematów
i rysunków.
IV. Budowa prostych modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk.
Zdający:
2.8) stosuje zasadę zachowania momentu pędu
do analizy ruchu,
4.5) oblicza zmiany energii potencjalnej
grawitacji i wiąże je z pracą lub zmianą energii
kinetycznej,
3.3) wykorzystuje zasadę zachowania energii
mechanicznej do obliczania parametrów ruchu.
Schemat punktowania
3 p. - prawidłowa metoda wyznaczenia prędkości liniowej Merkurego w peryhelium oraz
prawidłowy wynik liczbowy z jednostką.
2 p. - prawidłowe (zgodne z oznaczeniami) zapisanie zasady zachowania momentu pędu lub
zasady zachowania energii mechanicznej oraz prawidłowe określenie odległości od
środka Słońca do peryhelium orbity Merkurego.
1 p. - zapisanie zasady zachowania momentu pędu Merkurego względem Słońca albo zasady
zachowania energii mechanicznej.
0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Przykładowe rozwiązania
Sposób 1. (z zasady zachowania momentu pędu)
Na podstawie danych w tekście zadania i rysunku określamy odległość środka Słońca do punktu
aphelium i peryhelium orbity Merkurego:
ݎ௔= 0,467 au ݎ௣= 0,467 au -0,159 au = 0,308 au
Korzystamy z zasady zachowania momentu pędu punktu materialnego (tutaj środka masy
Merkurego) w ruchu względem punktu centrum (tutaj środka Słońca), gdy działa na niego siła
skierowana do tego punktu:
݌௔ݎ௔= ݌௣ݎ௣
gdzie ݌௔ oraz ݌௣ są pędami Merkurego względem Słońca, odpowiednio w punktach aphelium
i peryhelium. Wykonujemy obliczenia:
ݒ௔ݎ௔=
ݒ௣ݎ௣ → ݒ௣= ݎ௔
ݎ௣
ݒ௔ → ݒ௣= 0,467 au
0,308 au ∙38,9 km
s = 58,98 km
s ≈59 km
s
Sposób 2. (z zasady zachowania energii mechanicznej)
Na podstawie danych i rysunku określamy odległość środka Słońca do punktu aphelium
i peryhelium orbity Merkurego:
ݎ௔= 0,467 au ݎ௣= 0,467 au -0,159 au = 0,308 au
Korzystamy z zasady zachowania energii mechanicznej Merkurego w ruchu pod działaniem
siły grawitacji. Energia mechaniczna w peryhelium jest równa energii mechanicznej
w aphelium. Energia mechaniczna jest sumą energii potencjalnej i kinetycznej. Przyjmujemy,
że energia kinetyczna ruchu obrotowego nie zmienia się podczas ruchu Merkurego, a zatem:
ܧ௔= ܧ௣ →
ݒ௔
ଶ
2
-ܩܯ݉
ݎ௔
ݒ௣
ଶ
2
-ܩܯ݉
ݎ௣
→ ݒ௣
ଶ= ݒ௔
ଶ+ 2ܩܯ
ݎ௣
-2ܩܯ
ݎ௔
ݒ௣
ଶ= ݒ௔
ଶ+ 2ܩܯ
ݎ௣
-2ܩܯ
ݎ௔
→ ݒ௣= ඨݒ௔ଶ+ 2ܩܯ൫ݎ௔-ݎ௣൯
ݎ௔ݎ௣
gdzie M jest masą Słońca. Po podstawieniu danych (z uwzględnieniem wartości jednostki
astronomicznej) otrzymujemy:
ݒ௣= ඩቀ38,9 ∙10ଷ m
s ቁ
ଶ
2 ∙6,67 ∙10ିଵଵ N∙m2
kg2 ∙1,99 ∙10ଷ଴ kg ∙0,159 m
0,467 ∙0,308 ∙1,50 ∙10ଵଵ m2
ݒ௣= 58,9 ∙10ଷ m
s ≈59 km
s
Uwaga!
Błędem rzeczowym jest w tym zadaniu zapisanie siły grawitacji działającej na Merkurego jako
siły dośrodkowej. Wzór na siłę dośrodkową jest słuszny tylko dla ruchu po okręgu, a Merkury
nie porusza się po orbicie kołowej. Ponadto Merkury ma w punkcie peryhelium prędkość
większą od prędkości, jaka byłaby potrzebna dla ruchu po orbicie kołowej o promieniu rp
(ponieważ po przejściu przez peryhelium, aż do aphelium, Merkury oddala się od Słońca).

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

\\[v_p \\approx 5{,}90 \\times 10^4 \\ \\text{m/s} \\approx 59{,}0 \\ \\text{km/s}\\]

\n

Dane zadania (z treści zadania 15)

\n

| Wielkość | Symbol | Wartość |
| Peryhelium Merkurego | \\(r_p\\) | \\(4{,}60 \\times 10^{10} \\ \\text{m}\\) |
| Aphelium Merkurego | \\(r_a\\) | \\(6{,}98 \\times 10^{10} \\ \\text{m}\\) |
| Okres obiegu | \\(T\\) | \\(88{,}0 \\ \\text{dni} = 7{,}60 \\times 10^6 \\ \\text{s}\\) |
| Masa Słońca | \\(M\\) | \\(1{,}99 \\times 10^{30} \\ \\text{kg}\\) |
| Stała grawitacji | \\(G\\) | \\(6{,}67 \\times 10^{-11} \\ \\text{N·m}^2/\\text{kg}^2\\) |

\n
Kluczowa obserwacja geometryczna: W peryhelium i aphelium wektor prędkości jest prostopadły do wektora promienia orbity - wynika to z symetrii elipsy. To fundamentalny fakt ułatwiający wszystkie trzy metody.
\n

Sposób 1 - Zasada zachowania energii + zasada zachowania momentu pędu

\n

Idea: Dysponujemy dwoma prawami zachowania → dwa równania, dwie niewiadome (\\(v_p\\) i \\(v_a\\)).

\n

Krok 1. Zasada zachowania momentu pędu

\n

W polu grawitacyjnym Słońca moment siły wynosi zero → moment pędu Merkurego jest zachowany. W peryhelium i aphelium \\(v \\perp r\\), więc:

\n

\\[
L = m v_p r_p = m v_a r_a \\quad \\Rightarrow \\quad v_a = \\frac{v_p r_p}{r_a}
\\]

\n

Krok 2. Zasada zachowania energii mechanicznej

\n

\\[
\\frac{1}{2}mv_p^2 - \\frac{GMm}{r_p} = \\frac{1}{2}mv_a^2 - \\frac{GMm}{r_a}
\\]

\n

Dzielę przez \\(m\\):

\n

\\[
\\frac{1}{2}v_p^2 - \\frac{GM}{r_p} = \\frac{1}{2}v_a^2 - \\frac{GM}{r_a}
\\]

\n

Krok 3. Podstawiam \\(v_a = \\frac{v_p r_p}{r_a}\\) do równania energii:

\n

\\[
\\frac{1}{2}v_p^2 - \\frac{GM}{r_p} = \\frac{1}{2}\\frac{v_p^2 r_p^2}{r_a^2} - \\frac{GM}{r_a}
\\]

\n

\\[
\\frac{1}{2}v_p^2\\left(1 - \\frac{r_p^2}{r_a^2}\\right) = GM\\left(\\frac{1}{r_p} - \\frac{1}{r_a}\\right)
\\]

\n

\\[
\\frac{1}{2}v_p^2 \\cdot \\frac{(r_a - r_p)(r_a + r_p)}{r_a^2} = GM \\cdot \\frac{r_a - r_p}{r_p r_a}
\\]

\n

Skracam \\((r_a - r_p)\\):

\n

\\[
\\frac{1}{2}v_p^2 \\cdot \\frac{r_a + r_p}{r_a^2} = \\frac{GM}{r_p r_a}
\\]

\n

\\[
\\boxed{v_p = \\sqrt{\\frac{2GM r_a}{r_p(r_p + r_a)}}}
\\]

\n

Krok 4. Obliczenia:

\n

\\[
v_p = \\sqrt{\\frac{2 \\times 6{,}67 \\times 10^{-11} \\times 1{,}99 \\times 10^{30} \\times 6{,}98 \\times 10^{10}}{4{,}60 \\times 10^{10} \\times (4{,}60 + 6{,}98) \\times 10^{10}}}
\\]

\n

Licznik:
\\[
2 \\times 6{,}67 \\times 1{,}99 \\times 6{,}98 \\times 10^{-11+30+10} = 2 \\times 92{,}67 \\times 10^{29} = 1{,}853 \\times 10^{31}
\\]

\n

Mianownik:
\\[
4{,}60 \\times 11{,}58 \\times 10^{20} = 53{,}27 \\times 10^{20} = 5{,}327 \\times 10^{21}
\\]

\n

\\[
v_p^2 = \\frac{1{,}853 \\times 10^{31}}{5{,}327 \\times 10^{21}} = 3{,}48 \\times 10^{9} \\ \\text{m}^2/\\text{s}^2
\\]

\n

\\[
\\boxed{v_p = \\sqrt{3{,}48 \\times 10^9} \\approx 5{,}90 \\times 10^4 \\ \\text{m/s} \\approx 59{,}0 \\ \\text{km/s}}
\\]

\n

Sposób 2 - Drugie prawo Keplera (równe pola)

\n

Idea: Merkury zamiata równe pola w równych czasach. W peryhelium prędkość jest prostopadła do promienia, więc pole trójkąta to \\(\\frac{1}{2}r_p v_p \\cdot dt\\). Całkowite pole elipsy dzielone przez okres daje ten sam wynik.

\n

Krok 1. Prędkość zamiatania pola

\n

\\[
\\frac{dA}{dt} = \\frac{1}{2} r_p v_p \\quad \\text{(w peryhelium, bo } v \\perp r\\text{)}
\\]

\n

Całkowite pole elipsy: \\(A = \\pi a b\\), gdzie:

\n\n

Krok 2. Związek z okresem

\n

\\[
\\frac{\\pi a b}{T} = \\frac{1}{2} r_p v_p \\quad \\Rightarrow \\quad v_p = \\frac{2\\pi a b}{T \\cdot r_p}
\\]

\n

Krok 3. Obliczam a i b:

\n

\\[
a = \\frac{(4{,}60 + 6{,}98) \\times 10^{10}}{2} = 5{,}79 \\times 10^{10} \\ \\text{m}
\\]

\n

\\[
b = \\sqrt{4{,}60 \\times 6{,}98} \\times 10^{10} = \\sqrt{32{,}11} \\times 10^{10} = 5{,}67 \\times 10^{10} \\ \\text{m}
\\]

\n

Krok 4. Podstawiam:

\n

\\[
v_p = \\frac{2\\pi \\times 5{,}79 \\times 10^{10} \\times 5{,}67 \\times 10^{10}}{7{,}60 \\times 10^6 \\times 4{,}60 \\times 10^{10}}
\\]

\n

Licznik: \\(2\\pi \\times 32{,}83 \\times 10^{20} = 206{,}3 \\times 10^{20} = 2{,}063 \\times 10^{22}\\)

\n

Mianownik: \\(34{,}96 \\times 10^{16} = 3{,}496 \\times 10^{17}\\)

\n

\\[
\\boxed{v_p = \\frac{2{,}063 \\times 10^{22}}{3{,}496 \\times 10^{17}} \\approx 5{,}90 \\times 10^4 \\ \\text{m/s} \\approx 59{,}0 \\ \\text{km/s}} \\checkmark
\\]

\n

Sposób 3 - Równanie vis-viva (prędkość orbitalna w funkcji r i a)

\n

Idea: Bezpośrednie zastosowanie równania vis-viva wyprowadzonego z zasad zachowania.

\n

\\[
v^2 = GM\\left(\\frac{2}{r} - \\frac{1}{a}\\right)
\\]

\n

W peryhelium \\(r = r_p\\):

\n

\\[
v_p^2 = GM\\left(\\frac{2}{r_p} - \\frac{1}{a}\\right)
\\]

\n

Obliczenia:

\n

\\[
a = 5{,}79 \\times 10^{10} \\ \\text{m}
\\]

\n

\\[
\\frac{2}{r_p} = \\frac{2}{4{,}60 \\times 10^{10}} = 4{,}348 \\times 10^{-11} \\ \\text{m}^{-1}
\\]

\n

\\[
\\frac{1}{a} = \\frac{1}{5{,}79 \\times 10^{10}} = 1{,}727 \\times 10^{-11} \\ \\text{m}^{-1}
\\]

\n

\\[
v_p^2 = 6{,}67 \\times 10^{-11} \\times 1{,}99 \\times 10^{30} \\times (4{,}348 - 1{,}727) \\times 10^{-11}
\\]

\n

\\[
= 1{,}327 \\times 10^{20} \\times 2{,}621 \\times 10^{-11} = 3{,}48 \\times 10^{9} \\ \\text{m}^2/\\text{s}^2
\\]

\n

\\[
\\boxed{v_p \\approx 5{,}90 \\times 10^4 \\ \\text{m/s}} \\checkmark
\\]

\n
Metoda najszybsza obliczeniowo - wymaga jedynie znajomości \\(r_p\\) i \\(a\\). Vis-viva to „matura shortcut".
\n

Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)

\n
📋 Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 15.2, max 3 pkt):
- 1 pkt - uczeń poprawnie zapisuje równanie zasady zachowania energii mechanicznej (lub momentu pędu + energii, lub równanie vis-viva, lub II prawo Keplera zastosowane do obszarów)
- 1 pkt - uczeń poprawnie wyprowadza wzór na \\(v_p\\) (lub podstawia dane do wzoru vis-viva z poprawnym \\(a\\))
- 1 pkt - uczeń oblicza poprawną wartość numeryczną \\(v_p \\approx 59 \\ \\text{km/s}\\) (akceptowany zakres: ok. \\(58{,}0 \\div 60{,}0 \\ \\text{km/s}\\))
- 0 pkt - odpowiedź niespełniająca wymagań; użycie wzoru na prędkość kołową bez uzasadnienia nie jest honorowane, gdyż orbita Merkurego jest wyraźnie eliptyczna (\\(e \\approx 0{,}2\\))
- Uwagi (orientacyjne): ✅ Dopuszcza się różne poprawne metody (zachowanie energii, II prawo Keplera, vis-viva). ❌ Nie uznaje się odpowiedzi \\(v = \\sqrt{GM/r_p}\\) bez korekty na eliptyczność.
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-20):

- Stała grawitacji: \\(G = 6{,}67 \\times 10^{-11} \\ \\text{N·m}^2/\\text{kg}^2\\)
- Prawo powszechnego ciążenia: \\(F = \\dfrac{GMm}{r^2}\\)
- Energia potencjalna grawitacji: \\(E_p = -\\dfrac{GMm}{r}\\)
- Energia kinetyczna: \\(E_k = \\dfrac{1}{2}mv^2\\)

Równanie vis-viva nie jest podane wprost na karcie - należy je samodzielnie wyprowadzić z zasad zachowania (co pokazuje Sposób 1), lub znać jako gotowy wzór z lekcji.
\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Pułapka 1 - orbit kołowa zamiast eliptycznej: Uczeń liczy \\(v = \\sqrt{GM/r_p}\\) (wzór na prędkość II kosmiczną / kołową). To błąd - wzór ten daje prędkość dla orbity kołowej o promieniu \\(r_p\\), nie dla peryhelium elipsy. Brakuje czynnika korekcyjnego \\(\\dfrac{2r_a}{r_p + r_a}\\).
\n
⚠️ Pułapka 2 - mylenie r z a w vis-viva: W równaniu \\(v^2 = GM\\!\\left(\\frac{2}{r} - \\frac{1}{a}\\right)\\) należy podstawić \\(r = r_p\\) (aktualna odległość) i \\(a = \\frac{r_p+r_a}{2}\\) (półoś wielka). Uczeń często wstawia samo \\(r_p\\) zamiast \\(a\\).
\n
⚠️ Pułapka 3 - błąd przy półosi mniejszej b: \\(b \\neq \\frac{r_p + r_a}{2}\\) - to jest \\(a\\)! Półoś mniejsza to \\(b = \\sqrt{r_p \\cdot r_a}\\) (średnia geometryczna, nie arytmetyczna).
\n
⚠️ Pułapka 4 - niezamiana jednostek: \\(88 \\ \\text{dni} = 88 \\times 86400 \\ \\text{s} = 7{,}60 \\times 10^6 \\ \\text{s}\\). Zostawienie doby w obliczeniach daje wynik w km/dobę zamiast m/s.
"}]}