Zadanie 3. (0-2)
Metalową kulkę naładowano ładunkiem elektrycznym. Na rysunku poniżej przedstawiono
przekrój tej kulki płaszczyzną przechodzącą przez jej środek (punkt D). Wartość natężenia pola
elektrycznego w punkcie A jest równa E. Przyjmij, że pole elektryczne może pochodzić tylko
od ładunku kulki.
Uzupełnij tabelę: wpisz w puste komórki wartości
natężenia pola elektrycznego w pozostałych punktach.
Punkt
A
B
C
D
Wartość natężenia
pola elektrycznego
E
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
1.1.
1.2.
2.
3.
Maks. liczba pkt
2
3
2
2
Uzyskana liczba pkt
A
B
C
D
X
A
Y
l
N
S
A
l
N
S
Rysunek 1.
Rysunek 2.
MFA_1R
Zadanie 3. (0-2)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Budowa prostych modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk.
Zdający:
7.2) posługuje się pojęciem natężenia pola
elektrostatycznego,
7.5) wyznacza pole elektrostatyczne na
zewnątrz ciała sferycznie symetrycznego,
7.12) opisuje wpływ pola elektrycznego na
rozmieszczenie ładunków w przewodniku,
wyjaśnia działanie klatki Faradaya.
Schemat punktowania
2 p. - prawidłowe wpisanie wartości natężenia pola elektrycznego w punktach B, C, D.
1 p. - prawidłowe wpisanie wartości natężenia pola elektrycznego w punkcie B
lub
0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Poprawna odpowiedź
Punkt
A
B
C
D
Wartość natężenia
pola elektrycznego
E
E
4
0
0
| Punkt | Wartość natężenia pola elektrycznego |
| A | \\(E\\) |
| B | \\(\\dfrac{E}{4}\\) |
| C | \\(0\\) |
| D | \\(0\\) |
(B jest w odległości \\(2r_A\\) od środka, C i D są wewnątrz przewodnika)
\nKulka jest metalowa → przewodnik. W stanie równowagi elektrostatycznej:
\nWewnątrz przewodnika natężenie pola elektrycznego wynosi dokładnie zero.\n
Dlaczego? Gdyby pole wewnątrz było niezerowe, siłowałoby elektrony swobodne. Te przemieszczałyby się tak długo, aż przestają działać - czyli aż pole wypadkowe stanie się zerowe. To właśnie jest definicja równowagi elektrostatycznej.
\nPunkt C (blisko brzegu, ale wewnątrz kulki) → E = 0
\nPunkt D (środek kulki, wewnątrz kulki) → E = 0
\nPrawo Gaussa potwierdza: dla powierzchni Gaussa zamkniętej wewnątrz przewodnika, ładunek swobodny nie przenika do wnętrza - skupia się wyłącznie na powierzchni zewnętrznej. Strumień przez dowolną powierzchnię wewnętrzną = 0, więc \\(E = 0\\).\n
Na zewnątrz naładowana metalowa kula zachowuje się jak ładunek punktowy skupiony w środku. Wynika to wprost z twierdzenia powłokowego Gaussa.
\nPole w odległości \\(r\\) od środka:
\n\\[
E(r) = k \\cdot \\frac{Q}{r^2}
\\]
Z obrazka: punkt A jest w odległości \\(r_A\\) od środka, punkt B - w odległości \\(r_B = 2r_A\\).
\nZnamy \\(E_A = E\\):
\n\\[
E_A = k \\cdot \\frac{Q}{r_A^2} = E
\\]
\\[
E_B = k \\cdot \\frac{Q}{r_B^2} = k \\cdot \\frac{Q}{(2r_A)^2} = k \\cdot \\frac{Q}{4r_A^2} = \\frac{1}{4} \\cdot k \\cdot \\frac{Q}{r_A^2} = \\frac{E}{4}
\\]
Wniosek: \\(E_B = \\dfrac{E}{4}\\)
\nPole elektrostatyczne kulki naładowanej spada jak \\(\\frac{1}{r^2}\\) - prawo Coulomba.
\nJeśli odległość od środka rośnie 2×, to pole maleje 4× (bo \\(2^2 = 4\\)).
\n\\[
\\frac{E_B}{E_A} = \\left(\\frac{r_A}{r_B}\\right)^2 = \\left(\\frac{r_A}{2r_A}\\right)^2 = \\frac{1}{4}
\\]
\\[
\\boxed{E_B = \\frac{E}{4}}
\\]
To samo podejście pozwala szybko szacować na egzaminie bez pełnych obliczeń - wystarczy znać stosunek odległości i podnieść do kwadratu.
\nLinie pola elektrycznego rozchodzą się radialnie od naładowanej kuli. Liczba linii przebijających dowolną sferyczną powierzchnię Gaussa jest stała (proporcjonalna do ładunku Q).
\nPowierzchnia sfery \\(\\propto r^2\\). Przy 2× większym promieniu:
\n\\[
S_B = 4\\pi r_B^2 = 4\\pi (2r_A)^2 = 4 \\cdot 4\\pi r_A^2 = 4 S_A
\\]
Ten sam ładunek → ten sam strumień, ale rozłożony na 4× większą powierzchnię:
\n\\[
E_B = \\frac{\\Phi}{S_B} = \\frac{\\Phi}{4 S_A} = \\frac{E_A}{4} = \\frac{E}{4}
\\]
Geometryczny obraz: linie pola „rzadnieją" przy oddalaniu od kulki, bo rozlewają się po coraz większej sferze.
\n📋 Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 3, max 2 pkt):\n
- 2 pkt - uczeń poprawnie uzupełnia wszystkie trzy puste komórki: \\(E_B = \\frac{E}{4}\\), \\(E_C = 0\\), \\(E_D = 0\\)
- 1 pkt - uczeń poprawnie uzupełnia dwie z trzech komórek (najczęściej C = 0 i D = 0, z błędnym B)
- 0 pkt - odpowiedź niespełniająca powyższych wymagań
Akceptowane zapisy dla B: \\(\\frac{E}{4}\\), \\(0{,}25E\\), \\(\\frac{1}{4}E\\)
Uwagi (orientacyjne): ✅ Dopuszcza się każdy równoważny zapis ułamkowy. ❌ Nie uznaje się odpowiedzi \\(E_C \\neq 0\\) lub \\(E_D \\neq 0\\) - obecność wewnątrz kulki nie jest uprawnieniem do niezerowego pola.
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, Elektryczność:\n
- Prawo Coulomba / natężenie pola punktowego:
\\[E = k \\cdot \\frac{Q}{r^2}, \\quad k = \\frac{1}{4\\pi\\varepsilon_0} \\approx 9{,}0 \\times 10^9 \\ \\mathrm{N \\cdot m^2 \\cdot C^{-2}}\\]
- Twierdzenie Gaussa: \\(\\oint \\vec{E} \\cdot d\\vec{S} = \\frac{Q_{wewn}}{\\varepsilon_0}\\)
Karta wzorów wystarczy do uzasadnienia wszystkich kroków. Nie ma tam wprost reguły przewodnika - tę musisz znać z teorii, ale wzory Gaussa i Coulomba są na karcie i pozwalają ją wyprowadzić.
⚠️ Uwaga: Punkt C jest blisko powierzchni, ale wewnątrz - wielu uczniów przypisuje mu E ≠ 0, myląc go z punktem na powierzchni lub tuż za powierzchnią. Kluczowe: wewnątrz przewodnika → zawsze E = 0.\n
⚠️ Uwaga: Środek D to też wnętrze przewodnika - zero ładunku swobodnego w środku, zero pola. Nie myl z polem grawitacyjnym (gdzie też jest zero w centrum, ale z innego powodu - tu mamy zero bo przewodnik, nie superpozycję).\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu \\(E_B\\) - pamiętaj, że \\(r\\) to odległość od środka kulki, nie od jej powierzchni. Błąd: mierzenie od powierzchni do B dałoby inny (niepoprawny) wynik.\n
⚠️ Uwaga: Prawo \\(E \\propto 1/r^2\\) obowiązuje tylko na zewnątrz kulki. Wewnątrz - zero, nie \\(1/r^2\\). To fundamentalna różnica między polem przewodnika a polem izolatorowego naładowanego jednorodnie (gdzie wewnątrz byłoby \\(E \\propto r\\))."},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"
B: $\\dfrac{E}{4}$, C: $0$, D: $0$
"}]}