{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"4","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-2)\nRozważmy cztery planety o promieniach odpowiednio: R1, R2, R3, R4, przy czym R2 = R3. Na\nrysunku poniżej przedstawiono dla każdej z planet kształt wykresu zależności przyspieszenia\ngrawitacyjnego od odległości do środka planety, począwszy od jej powierzchni. Wykresy te dla\nkażdej z planet ponumerowano odpowiednio: 1, 2, 3, 4. Przyjmij, że rozkład masy każdej\nz planet jest sferycznie symetryczny, a ponadto planety są bardzo oddalone od siebie.\nNa podstawie wykresów 1, 2, 3, 4 ustal i zapisz relacje: większy, mniejszy, równy (>, <, =)\npomiędzy masami M1, M2, M3, M4 tych planet. Napisz uzasadnienie ustalonych relacji.\nag\nr\nR1 R2 R4\n2\n1\n3\n4\n0\n0\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 4. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów\ni rysunków.\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n4.3) oblicza wartość i kierunek pola\ngrawitacyjnego na zewnątrz ciała sferycznie\nsymetrycznego,\n4.4) wyprowadza związek między\nprzyspieszeniem grawitacyjnym na powierzchni\nplanety a jej masą i promieniem.\nSchemat punktowania\n2 p. - prawidłowe ustalenie relacji pomiędzy masami wszystkich planet oraz prawidłowe\nuzasadnienie odwołujące się do wzoru na przyspieszenie grawitacyjne w sferycznie\nsymetrycznym, centralnym polu grawitacyjnym.\n1 p. - zastosowanie wzoru na przyspieszenie grawitacyjne w polu centralnym sferycznie\nsymetrycznym (lub równoważny opis słowny) i ustalenie prawidłowej relacji pomiędzy\nco najmniej dwoma masami\nlub\n- prawidłowe ustalenie relacji pomiędzy masami wszystkich planet bez uzasadnienia.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nUstalenie relacji pomiędzy masami planet:\nܯଶ> ܯଵ> ܯଷ> ܯସ\nUzasadnienie: dla ustalonego r, takiego, że r > R4 odczytujemy z wykresu, że\nܽ௚ଶ(ݎ) > ܽ\n௚ଵ(ݎ) > ܽ\n௚ଷ(ݎ) > ܽ\n௚ସ(ݎ)\nPo zastosowaniu wzoru na przyspieszenie grawitacyjne w polu centralnym, sferycznie\nsymetrycznym, mamy:\nܩܯଶ\nݎଶ> ܩܯଵ\nݎଶ> ܩܯଷ\nݎଶ> ܩܯସ\nݎଶ\nZ powyższego wynika, że\nܯଶ> ܯଵ> ܯଷ> ܯସ","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n$$M_2 > M_1 > M_3 > M_4$$\n\n## Sposób 1 - Zachowanie wykresu przy dużych r (metoda asymptotyczna)\n\n**Kluczowy wzór:** Dla każdej planety, na zewnątrz jej powierzchni (\\(r \\geq R\\)):\n\n$$\\boxed{a_g = \\frac{GM}{r^2}}$$\n\n**Krok 1 - wybierz punkt porównania.**\nWybierz dowolne \\(r_0 > R_4\\) (na prawo od największego promienia). W tym obszarze **wszystkie cztery planety** są już na zewnątrz swojej powierzchni, więc dla każdej z nich obowiązuje wzór \\(a_g = GM/r^2\\).\n\n**Krok 2 - porównaj wartości \\(a_g\\) w \\(r_0\\).**\nPrzy tym samym \\(r_0\\):\n\n$$a_g \\propto M \\quad \\text{(bo }r_0 \\text{ i } G \\text{ są wspólne dla wszystkich)}$$\n\nPlaneta z **wyżej położoną krzywą** w \\(r_0\\) ma **większą masę**. Z wykresu:\n\n$$a_{g,2}(r_0) > a_{g,1}(r_0) > a_{g,3}(r_0) > a_{g,4}(r_0)$$\n\nStąd bezpośrednio:\n\n$$M_2 > M_1 > M_3 > M_4$$\n\n**Krok 3 - sprawdź M₂ vs M₃ dodatkowym argumentem.**\nPlanety 2 i 3 mają ten sam promień (\\(R_2 = R_3\\)). Na powierzchni:\n\n$$a_g(R) = \\frac{GM}{R^2} \\implies M = \\frac{a_g(R) \\cdot R^2}{G}$$\n\nPonieważ \\(R_2 = R_3\\), to wyższe \\(a_g\\) na powierzchni wprost oznacza większą masę. Z wykresu: krzywa 2 leży wyżej niż krzywa 3 w punkcie \\(R_2 = R_3\\) → \\(M_2 > M_3\\). ✓ (Zgodne z wynikiem z kroku 2.)\n\n## Sposób 2 - Analiza iloczynów \\(a_g \\cdot r^2\\) (metoda bezpośrednia)\n\nZ prawa powszechnego ciążenia:\n\n$$a_g \\cdot r^2 = GM = \\text{const}$$\n\nTen iloczyn jest **stały wzdłuż każdej krzywej** (bo \\(G\\) jest stałe, a \\(M\\) to masa danej planety). Oznacza to, że:\n\n$$M = \\frac{a_g(r) \\cdot r^2}{G}$$\n\nDla dowolnego wspólnego \\(r_0 > R_4\\) możemy wyznaczyć **proporcje mas** wprost z odczytów wykresu:\n\n$$\\frac{M_2}{M_1} = \\frac{a_{g,2}(r_0)}{a_{g,1}(r_0)} > 1 \\implies M_2 > M_1$$\n\n$$\\frac{M_1}{M_3} = \\frac{a_{g,1}(r_0)}{a_{g,3}(r_0)} > 1 \\implies M_1 > M_3$$\n\n$$\\frac{M_3}{M_4} = \\frac{a_{g,3}(r_0)}{a_{g,4}(r_0)} > 1 \\implies M_3 > M_4$$\n\nWniosek tożsamy z metodą 1: \\(M_2 > M_1 > M_3 > M_4\\).\n\n**Dlaczego ta metoda jest dobra?** Uczy, że kształt wykresu \\(a_g(r)\\) poza powierzchnią jest *całkowicie zdeterminowany przez jedną liczbę* - masę planety. Promień planety decyduje tylko o tym, *od jakiego r* krzywa zaczyna się na wykresie.\n\n## Sposób 3 - Argument jakościowy: eliminacja pułapki promienia\n\nMatura często zastawia pułapkę: uczniowie porównują **wartości szczytowe** (surface gravity) i błędnie wyciągają wnioski o masach.\n\n**Dlaczego porównanie wartości na powierzchni (szczytów) NIE wystarczy do porównania mas?**\n\n$$a_g(R) = \\frac{GM}{R^2}$$\n\nJeśli \\(R_1 \\neq R_2\\), to nawet jeśli np. \\(a_{g,1}(R_1) > a_{g,2}(R_2)\\), wcale nie musi być \\(M_1 > M_2\\) - planeta 2 może mieć mniejszy promień i dlatego wyższe \\(a_g\\) na powierzchni mimo mniejszej masy.\n\n**Kontrprzykład z wykresu:** Krzywa 1 (planeta o małym promieniu \\(R_1\\)) może mieć wysoki szczyt, bo \\(R_1^2\\) w mianowniku jest małe. Musimy sięgnąć na prawo wykresu, gdzie \\(r\\) jest duże i jednakowe dla wszystkich krzywych.\n\n**Dla planet 2 i 3** (jedyna para z \\(R_2 = R_3\\)): tu szczytowe wartości *wolno* porównywać - przy równych promieniach \\(a_g(R) \\propto M\\). Z wykresu: \\(a_{g,2}(R_2) > a_{g,3}(R_3)\\) → \\(M_2 > M_3\\). ✓\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 4, max 2 pkt):**\n> - **2 pkt** - uczeń zapisuje poprawne relacje \\(M_2 > M_1 > M_3 > M_4\\) **ORAZ** podaje poprawne uzasadnienie odwołujące się do wzoru \\(a_g = GM/r^2\\) i zachowania krzywych przy dużych \\(r\\)\n> - **1 pkt** - uczeń zapisuje poprawne relacje bez uzasadnienia **LUB** relacje z częściowo poprawnym uzasadnieniem\n> - **0 pkt** - odpowiedź niespełniająca powyższych wymagań\n>\n> **Wymagane uzasadnienie** musi zawierać myśl: \"przy dużych \\(r\\) wartość \\(a_g\\) zależy tylko od masy planety\" lub równoważnie \"iloczyn \\(a_g \\cdot r^2 = GM\\) odczytany przy tym samym \\(r\\) daje porównanie mas\".\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-18):**\n>\n> **Prawo powszechnego ciążenia / przyspieszenie grawitacyjne:**\n> $$F = G\\frac{m_1 m_2}{r^2}, \\quad a_g = \\frac{GM}{r^2}$$\n>\n> Stała grawitacyjna: \\(G = 6{,}674 \\times 10^{-11} \\, \\text{N·m}^2/\\text{kg}^2\\)\n>\n> W tym zadaniu korzystamy ze wzoru \\(a_g = GM/r^2\\) do wyjaśnienia, że przy stałym \\(r\\) wartość \\(a_g\\) jest proporcjonalna do masy \\(M\\). Liczb nie podstawiamy - wystarczy zależność jakościowa (\\(a_g \\propto M\\) przy stałym \\(r\\)).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Pułapka nr 1 - porównywanie szczytów zamiast ogonów krzywych.**\n> Szczyt krzywej (wartość na powierzchni) zależy od \\(M/R^2\\), nie od samego \\(M\\). Planety o różnych promieniach mają nieporównywalne szczyty. Porównuj krzywe przy dużym wspólnym \\(r\\) - tam decyduje tylko masa.\n\n> ⚠️ **Pułapka nr 2 - zapomnienie o parze \\(R_2 = R_3\\).**\n> Dla planet 2 i 3 masz dodatkowe narzędzie: równe promienie → bezpośrednie porównanie \\(a_g\\) na powierzchni daje relację mas. Warto to napisać w uzasadnieniu - egzaminator to doceni.\n\n> ⚠️ **Pułapka nr 3 - błędna interpretacja \"krzywa wyżej = większa planeta\".**\n> Planeta o dużym promieniu (\\(R_4\\)) nie musi być najmasywniejsza. Przy dużym promieniu \\(a_g(R_4)\\) może być niskie nawet przy dużej masie (bo \\(R_4^2\\) jest duże). Z wykresu widać wprost, że planeta 4 jest najlżejsza mimo największego promienia.\n\n> ⚠️ **Pułapka nr 4 - brak uzasadnienia = utrata punktu.**\n> CKE wymaga zapisania DLACZEGO, nie tylko wyniku. Uzasadnienie musi wprost nawiązywać do wzoru \\(a_g = GM/r^2\\) i faktu, że \\(r\\) jest wspólne przy porównaniu.","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"Grawitacja i astronomia","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 4. (0-2)
Rozważmy cztery planety o promieniach odpowiednio: R1, R2, R3, R4, przy czym R2 = R3. Na
rysunku poniżej przedstawiono dla każdej z planet kształt wykresu zależności przyspieszenia
grawitacyjnego od odległości do środka planety, począwszy od jej powierzchni. Wykresy te dla
każdej z planet ponumerowano odpowiednio: 1, 2, 3, 4. Przyjmij, że rozkład masy każdej
z planet jest sferycznie symetryczny, a ponadto planety są bardzo oddalone od siebie.
Na podstawie wykresów 1, 2, 3, 4 ustal i zapisz relacje: większy, mniejszy, równy (>, <, =)
pomiędzy masami M1, M2, M3, M4 tych planet. Napisz uzasadnienie ustalonych relacji.
ag
r
R1 R2 R4
2
1
3
4
0
0
MFA_1R

","answer_text_html":"

Zadanie 4. (0-2)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Wykorzystanie i przetwarzanie
informacji zapisanych w postaci tekstu,
tabel, wykresów, schematów
i rysunków.
I. Znajomość i umiejętność
wykorzystania pojęć i praw fizyki
do wyjaśniania procesów i zjawisk
w przyrodzie.
Zdający:
4.3) oblicza wartość i kierunek pola
grawitacyjnego na zewnątrz ciała sferycznie
symetrycznego,
4.4) wyprowadza związek między
przyspieszeniem grawitacyjnym na powierzchni
planety a jej masą i promieniem.
Schemat punktowania
2 p. - prawidłowe ustalenie relacji pomiędzy masami wszystkich planet oraz prawidłowe
uzasadnienie odwołujące się do wzoru na przyspieszenie grawitacyjne w sferycznie
symetrycznym, centralnym polu grawitacyjnym.
1 p. - zastosowanie wzoru na przyspieszenie grawitacyjne w polu centralnym sferycznie
symetrycznym (lub równoważny opis słowny) i ustalenie prawidłowej relacji pomiędzy
co najmniej dwoma masami
lub

\n\n

0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Przykładowe rozwiązanie
Ustalenie relacji pomiędzy masami planet:
ܯଶ> ܯଵ> ܯଷ> ܯସ
Uzasadnienie: dla ustalonego r, takiego, że r > R4 odczytujemy z wykresu, że
ܽ௚ଶ(ݎ) > ܽ
௚ଵ(ݎ) > ܽ
௚ଷ(ݎ) > ܽ
௚ସ(ݎ)
Po zastosowaniu wzoru na przyspieszenie grawitacyjne w polu centralnym, sferycznie
symetrycznym, mamy:
ܩܯଶ
ݎଶ> ܩܯଵ
ݎଶ> ܩܯଷ
ݎଶ> ܩܯସ
ݎଶ
Z powyższego wynika, że
ܯଶ> ܯଵ> ܯଷ> ܯସ

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

$$M_2 > M_1 > M_3 > M_4$$

\n

Sposób 1 - Zachowanie wykresu przy dużych r (metoda asymptotyczna)

\n

Kluczowy wzór: Dla każdej planety, na zewnątrz jej powierzchni (\\(r \\geq R\\)):

\n

$$\\boxed{a_g = \\frac{GM}{r^2}}$$

\n

Krok 1 - wybierz punkt porównania.
Wybierz dowolne \\(r_0 > R_4\\) (na prawo od największego promienia). W tym obszarze wszystkie cztery planety są już na zewnątrz swojej powierzchni, więc dla każdej z nich obowiązuje wzór \\(a_g = GM/r^2\\).

\n

Krok 2 - porównaj wartości \\(a_g\\) w \\(r_0\\).
Przy tym samym \\(r_0\\):

\n

$$a_g \\propto M \\quad \\text{(bo }r_0 \\text{ i } G \\text{ są wspólne dla wszystkich)}$$

\n

Planeta z wyżej położoną krzywą w \\(r_0\\) ma większą masę. Z wykresu:

\n

$$a_{g,2}(r_0) > a_{g,1}(r_0) > a_{g,3}(r_0) > a_{g,4}(r_0)$$

\n

Stąd bezpośrednio:

\n

$$M_2 > M_1 > M_3 > M_4$$

\n

Krok 3 - sprawdź M₂ vs M₃ dodatkowym argumentem.
Planety 2 i 3 mają ten sam promień (\\(R_2 = R_3\\)). Na powierzchni:

\n

$$a_g(R) = \\frac{GM}{R^2} \\implies M = \\frac{a_g(R) \\cdot R^2}{G}$$

\n

Ponieważ \\(R_2 = R_3\\), to wyższe \\(a_g\\) na powierzchni wprost oznacza większą masę. Z wykresu: krzywa 2 leży wyżej niż krzywa 3 w punkcie \\(R_2 = R_3\\) → \\(M_2 > M_3\\). ✓ (Zgodne z wynikiem z kroku 2.)

\n

Sposób 2 - Analiza iloczynów \\(a_g \\cdot r^2\\) (metoda bezpośrednia)

\n

Z prawa powszechnego ciążenia:

\n

$$a_g \\cdot r^2 = GM = \\text{const}$$

\n

Ten iloczyn jest stały wzdłuż każdej krzywej (bo \\(G\\) jest stałe, a \\(M\\) to masa danej planety). Oznacza to, że:

\n

$$M = \\frac{a_g(r) \\cdot r^2}{G}$$

\n

Dla dowolnego wspólnego \\(r_0 > R_4\\) możemy wyznaczyć proporcje mas wprost z odczytów wykresu:

\n

$$\\frac{M_2}{M_1} = \\frac{a_{g,2}(r_0)}{a_{g,1}(r_0)} > 1 \\implies M_2 > M_1$$

\n

$$\\frac{M_1}{M_3} = \\frac{a_{g,1}(r_0)}{a_{g,3}(r_0)} > 1 \\implies M_1 > M_3$$

\n

$$\\frac{M_3}{M_4} = \\frac{a_{g,3}(r_0)}{a_{g,4}(r_0)} > 1 \\implies M_3 > M_4$$

\n

Wniosek tożsamy z metodą 1: \\(M_2 > M_1 > M_3 > M_4\\).

\n

Dlaczego ta metoda jest dobra? Uczy, że kształt wykresu \\(a_g(r)\\) poza powierzchnią jest całkowicie zdeterminowany przez jedną liczbę - masę planety. Promień planety decyduje tylko o tym, od jakiego r krzywa zaczyna się na wykresie.

\n

Sposób 3 - Argument jakościowy: eliminacja pułapki promienia

\n

Matura często zastawia pułapkę: uczniowie porównują wartości szczytowe (surface gravity) i błędnie wyciągają wnioski o masach.

\n

Dlaczego porównanie wartości na powierzchni (szczytów) NIE wystarczy do porównania mas?

\n

$$a_g(R) = \\frac{GM}{R^2}$$

\n

Jeśli \\(R_1 \\neq R_2\\), to nawet jeśli np. \\(a_{g,1}(R_1) > a_{g,2}(R_2)\\), wcale nie musi być \\(M_1 > M_2\\) - planeta 2 może mieć mniejszy promień i dlatego wyższe \\(a_g\\) na powierzchni mimo mniejszej masy.

\n

Kontrprzykład z wykresu: Krzywa 1 (planeta o małym promieniu \\(R_1\\)) może mieć wysoki szczyt, bo \\(R_1^2\\) w mianowniku jest małe. Musimy sięgnąć na prawo wykresu, gdzie \\(r\\) jest duże i jednakowe dla wszystkich krzywych.

\n

Dla planet 2 i 3 (jedyna para z \\(R_2 = R_3\\)): tu szczytowe wartości wolno porównywać - przy równych promieniach \\(a_g(R) \\propto M\\). Z wykresu: \\(a_{g,2}(R_2) > a_{g,3}(R_3)\\) → \\(M_2 > M_3\\). ✓

\n

Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)

\n
📋 Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 4, max 2 pkt):
- 2 pkt - uczeń zapisuje poprawne relacje \\(M_2 > M_1 > M_3 > M_4\\) ORAZ podaje poprawne uzasadnienie odwołujące się do wzoru \\(a_g = GM/r^2\\) i zachowania krzywych przy dużych \\(r\\)
- 1 pkt - uczeń zapisuje poprawne relacje bez uzasadnienia LUB relacje z częściowo poprawnym uzasadnieniem
- 0 pkt - odpowiedź niespełniająca powyższych wymagań

Wymagane uzasadnienie musi zawierać myśl: "przy dużych \\(r\\) wartość \\(a_g\\) zależy tylko od masy planety" lub równoważnie "iloczyn \\(a_g \\cdot r^2 = GM\\) odczytany przy tym samym \\(r\\) daje porównanie mas".
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-18):

Prawo powszechnego ciążenia / przyspieszenie grawitacyjne:
$$F = G\\frac{m_1 m_2}{r^2}, \\quad a_g = \\frac{GM}{r^2}$$

Stała grawitacyjna: \\(G = 6{,}674 \\times 10^{-11} \\, \\text{N·m}^2/\\text{kg}^2\\)

W tym zadaniu korzystamy ze wzoru \\(a_g = GM/r^2\\) do wyjaśnienia, że przy stałym \\(r\\) wartość \\(a_g\\) jest proporcjonalna do masy \\(M\\). Liczb nie podstawiamy - wystarczy zależność jakościowa (\\(a_g \\propto M\\) przy stałym \\(r\\)).
\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Pułapka nr 1 - porównywanie szczytów zamiast ogonów krzywych.
Szczyt krzywej (wartość na powierzchni) zależy od \\(M/R^2\\), nie od samego \\(M\\). Planety o różnych promieniach mają nieporównywalne szczyty. Porównuj krzywe przy dużym wspólnym \\(r\\) - tam decyduje tylko masa.
\n
⚠️ Pułapka nr 2 - zapomnienie o parze \\(R_2 = R_3\\).
Dla planet 2 i 3 masz dodatkowe narzędzie: równe promienie → bezpośrednie porównanie \\(a_g\\) na powierzchni daje relację mas. Warto to napisać w uzasadnieniu - egzaminator to doceni.
\n
⚠️ Pułapka nr 3 - błędna interpretacja "krzywa wyżej = większa planeta".
Planeta o dużym promieniu (\\(R_4\\)) nie musi być najmasywniejsza. Przy dużym promieniu \\(a_g(R_4)\\) może być niskie nawet przy dużej masie (bo \\(R_4^2\\) jest duże). Z wykresu widać wprost, że planeta 4 jest najlżejsza mimo największego promienia.
\n
⚠️ Pułapka nr 4 - brak uzasadnienia = utrata punktu.
CKE wymaga zapisania DLACZEGO, nie tylko wyniku. Uzasadnienie musi wprost nawiązywać do wzoru \\(a_g = GM/r^2\\) i faktu, że \\(r\\) jest wspólne przy porównaniu.
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$M_{2} > M_{1} > M_{3} > M_{4}$

"}]}