{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/6.4","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"6.4","points":1,"ptype":"true_false","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6.4. (0-1)\nDeskę podniesiono ponownie i w sposób podobny jak w opisie zadania. Tym razem jednak lina\nbyła zamocowana w odległości 3/4 długości deski od końca spoczywającego na ziemi.\nOceń prawdziwość każdego dokończenia poniższego zdania. Zaznacz P, jeśli dokończenie\nzdania jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nGdy porównamy opisany powyżej sposób podnoszenia deski z poprzednim - gdy lina była\nzamocowana na końcu deski - możemy stwierdzić, że w tej nowej sytuacji\n1. praca (siły, z jaką pracownik działa na deskę) potrzebna do podniesienia deski\nod pozycji poziomej do pionowej jest taka sama jak poprzednio.\nP\nF\n2. wartość siły, z jaką pracownik działa na deskę podczas jej podnoszenia, jest\nwiększa niż poprzednio.\nP\nF\n3. wartość siły reakcji podłoża, jaka działa na deskę podczas jej podnoszenia, jest\nmniejsza niż poprzednio.\nP\nF\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n6.1.\n6.2.\n6.3.\n6.4.\nMaks. liczba pkt\n2\n3\n1\n1\nUzyskana liczba pkt\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6.4. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n3.1) oblicza pracę siły na danej drodze,\n2.4) analizuje równowagę brył sztywnych,\nw przypadku gdy siły leżą w jednej\npłaszczyźnie (równowaga sił i momentów sił).\nSchemat punktowania\n1 p. - poprawne wszystkie zaznaczenia.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\n1. P\n2. P\n3. P","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n| Stwierdzenie | Ocena |\n| 1. Praca jest taka sama jak poprzednio | **P** |\n| 2. Wartość siły jest większa niż poprzednio | **P** |\n| 3. Wartość siły reakcji podłoża jest mniejsza niż poprzednio | **P** |\n\n## Sposób 1 - Zasada zachowania energii + bilans momentów sił (siła pionowa)\n\n### Oznaczenia\n\nNiech \\(L\\) = długość deski, \\(m\\) = masa deski. Jeden koniec deski (obrót) spoczywa na ziemi - to nasz punkt podparcia (punkt A). Lina przyłożona w odległości \\(d\\) od punktu A.\n\n- Poprzednio: \\(d_1 = L\\) (koniec deski)\n- Nowa sytuacja: \\(d_2 = \\frac{3}{4}L\\)\n\nZakładamy, że siła \\(F\\) jest pionowa (pracownik ciągnie linę ku górze - najprostszy i standardowy przypadek w zadaniach maturalnych).\n\n### Stwierdzenie 1 - Praca\n\n**Zasada zachowania energii:** praca wykonana na deskę równa się zmianie jej energii potencjalnej, niezależnie od punktu przyłożenia siły.\n\nŚrodek masy deski wznosi się od wysokości \\(0\\) (pozioma) do \\(\\frac{L}{2}\\) (pionowa):\n\n\\[\nW = \\Delta E_p = mg \\cdot \\frac{L}{2}\n\\]\n\nWynik nie zależy od \\(d\\). **Praca jest identyczna w obu sytuacjach.**\n\n> Można też liczyć całkę wprost (siła pionowa, punkt przyłożenia przesuwa się pionowo o \\(d\\)):\n> \\[W = F \\cdot d = \\frac{mgL}{2d} \\cdot d = \\frac{mgL}{2}\\]\n> - ten sam wynik dla \\(d_1\\) i \\(d_2\\). ✓\n\n**Stwierdzenie 1: PRAWDZIWE (P)**\n\n### Stwierdzenie 2 - Wartość siły\n\nDla dowolnego kąta \\(\\theta\\) od poziomy, moment obrotowy grawitacji względem punktu A:\n\n\\[\n\\tau_g = mg \\cdot \\frac{L}{2} \\cdot \\cos\\theta\n\\]\n\nMoment siły \\(F\\) (pionowej) względem A:\n\n\\[\n\\tau_F = F \\cdot d \\cdot \\cos\\theta\n\\]\n\nRównowaga momentów:\n\n\\[\nF \\cdot d \\cdot \\cos\\theta = mg \\cdot \\frac{L}{2} \\cdot \\cos\\theta \\implies F = \\frac{mgL}{2d}\n\\]\n\n**\\(\\cos\\theta\\) skraca się** - siła jest stała (niezależna od kąta) dla siły pionowej.\n\n| Sytuacja | \\(d\\) | \\(F\\) |\n| Poprzednia | \\(L\\) | \\(\\dfrac{mg}{2}\\) |\n| Nowa | \\(\\dfrac{3L}{4}\\) | \\(\\dfrac{mgL}{2 \\cdot \\frac{3L}{4}} = \\dfrac{2mg}{3}\\) |\n\n\\[F_2 = \\frac{2mg}{3} > F_1 = \\frac{mg}{2}\\]\n\nRamię dźwigni jest **krótsze** (\\(\\frac{3}{4}L\\) zamiast \\(L\\)), więc siła musi być **większa**, aby wytworzyć ten sam moment obrotowy.\n\n**Stwierdzenie 2: PRAWDZIWE (P)**\n\n### Stwierdzenie 3 - Siła reakcji podłoża\n\nRównanie równowagi sił pionowych (siła \\(F\\) jest pionowa, \\(N\\) - reakcja podłoża):\n\n\\[\nN + F = mg \\implies N = mg - F\n\\]\n\n| Sytuacja | \\(F\\) | \\(N = mg - F\\) |\n| Poprzednia | \\(\\dfrac{mg}{2}\\) | \\(\\dfrac{mg}{2}\\) |\n| Nowa | \\(\\dfrac{2mg}{3}\\) | \\(\\dfrac{mg}{3}\\) |\n\n\\[N_2 = \\frac{mg}{3} < N_1 = \\frac{mg}{2}\\]\n\nPracownik ciągnie **mocniej** ku górze → podłoże musi podpierać **mniej**.\n\n**Stwierdzenie 3: PRAWDZIWE (P)**\n\n## Sposób 2 - Argumentacja jakościowa (bez obliczeń)\n\n**Stwierdzenie 1:** Praca = zmiana energii potencjalnej grawitacji. Środek masy deski przebywa tę samą drogę (z ziemi do wysokości \\(\\frac{L}{2}\\)) niezależnie od tego, gdzie lina jest przyczepiona. Energia, którą trzeba dostarczyć, jest więc identyczna.\n\n**Stwierdzenie 2:** Dźwignia - ramię siły skróciło się z \\(L\\) do \\(\\frac{3}{4}L\\). Mniejsze ramię → potrzeba **większej siły** do utrzymania tego samego momentu (który zrównoważy ciężar deski). To intuicja dźwigni: im bliżej punktu obrotu działamy, tym trudniej.\n\n**Stwierdzenie 3:** Siły pionowe muszą się równoważyć: \\(N + F = mg\\). Skoro \\(F\\) jest teraz **większe**, to \\(N = mg - F\\) jest **mniejsze**. Pracownik „przejął\" większą część ciężaru deski od podłoża.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 6.4, max 1 pkt):**\n> - **1 pkt** - uczeń poprawnie ocenia prawdziwość wszystkich trzech dokończeń: P, P, P\n> - **0 pkt** - uczeń popełnia co najmniej jeden błąd w ocenie któregokolwiek dokończenia\n\n## Wzory z karty CKE - czego użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja Fizyka, Mechanika:**\n> - **Moment siły:** \\(\\tau = F \\cdot r \\cdot \\sin\\alpha\\) (lub \\(\\tau = F \\cdot d_\\perp\\), gdzie \\(d_\\perp\\) to ramię prostopadłe)\n> - **Warunek równowagi obrotowej:** \\(\\sum \\tau = 0\\)\n> - **Energia potencjalna:** \\(E_p = mgh\\) (zmiana energii środka masy)\n> - **Praca:** \\(W = \\Delta E_p\\) (przy braku oporów ruchu)\n\nZadanie nie wymaga egzotycznych wzorów - wystarczy zasada momentów sił + bilans sił i energii.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Stwierdzenie | Typowy błędny wybór | Błąd rozumowania |\n| 1 → **F** | Uczeń myśli: „inna siła → inna praca\" | Zapomina, że praca zależy od **zmiany energii potencjalnej**, nie od wartości siły; mylenie siły z pracą |\n| 1 → **F** | Uczeń myśli: „krótsze ramię → lina pokonuje krótszą drogę → mniej pracy\" | Zapomina, że praca siły = F·s, a choć droga punktu jest krótsza, siła jest proporcjonalnie większa - iloczyn pozostaje stały |\n| 2 → **F** | Uczeń myśli: „lina bliżej środka ciężkości → pracownik ma ułatwienie\" | Myli „bliżej środka\" z „bliżej końca\" - punkt \\(\\frac{3}{4}L\\) jest **dalej od środka** niż środek, ale **bliżej punktu obrotu** niż koniec; kluczowe jest ramię względem punktu A (ziemi), nie środka ciężkości |\n| 3 → **F** | Uczeń myśli: „większa siła pracownika → podłoże też musi reagować mocniej\" | Błędna intuicja z „większą siłą = wszystko rośnie\"; nie stosuje pionowego bilansu sił \\(N + F = mg\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mylenie **ramienia siły** - ramię liczymy od **punktu obrotu** (koniec na ziemi), nie od środka masy deski. Punkt \\(\\frac{3}{4}L\\) to krótsze ramię niż \\(L\\), choć jest bliżej środka deski.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** „Praca = siła × droga\" skusi do błędu - w nowej sytuacji siła jest większa, ale punkt przyłożenia przesuwa się o krótszy łuk. Te dwa efekty dokładnie się znoszą, co gwarantuje zasada zachowania energii.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Siła reakcji podłoża **maleje**, choć praca jest ta sama - to przykład, że te dwie wielkości są od siebie niezależne. Uczeń powinien zawsze rysować schemat sił i pisać równanie równowagi pionowej \\(N + F_{\\uparrow} = mg\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla siły pionowej moment sił upraszcza się pięknie - \\(\\cos\\theta\\) skraca się z obu stron i \\(F\\) jest stałe w całym procesie podnoszenia. Warto to zapamiętać jako elegancki wynik maturalny.","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-6.4.webp","solution_image":null,"topics":"Bryła Sztywna","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 6.4. (0-1)<br>Deskę podniesiono ponownie i w sposób podobny jak w opisie zadania. Tym razem jednak lina<br>była zamocowana w odległości 3/4 długości deski od końca spoczywającego na ziemi.<br>Oceń prawdziwość każdego dokończenia poniższego zdania. Zaznacz P, jeśli dokończenie<br>zdania jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.<br>Gdy porównamy opisany powyżej sposób podnoszenia deski z poprzednim - gdy lina była<br>zamocowana na końcu deski - możemy stwierdzić, że w tej nowej sytuacji</p>\n<ol><li>praca (siły, z jaką pracownik działa na deskę) potrzebna do podniesienia deski</li></ol>\n<p>od pozycji poziomej do pionowej jest taka sama jak poprzednio.<br>P<br>F</p>\n<ol><li>wartość siły, z jaką pracownik działa na deskę podczas jej podnoszenia, jest</li></ol>\n<p>większa niż poprzednio.<br>P<br>F</p>\n<ol><li>wartość siły reakcji podłoża, jaka działa na deskę podczas jej podnoszenia, jest</li></ol>\n<p>mniejsza niż poprzednio.<br>P<br>F<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>6.1.<br>6.2.<br>6.3.<br>6.4.<br>Maks. liczba pkt<br>2<br>3<br>1<br>1<br>Uzyskana liczba pkt<br>MFA_1R</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 6.4. (0-1)<br>Wymagania ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>I. Znajomość i umiejętność<br>wykorzystania pojęć i praw fizyki<br>do wyjaśniania procesów i zjawisk<br>w przyrodzie.<br>Zdający:<br>3.1) oblicza pracę siły na danej drodze,<br>2.4) analizuje równowagę brył sztywnych,<br>w przypadku gdy siły leżą w jednej<br>płaszczyźnie (równowaga sił i momentów sił).<br>Schemat punktowania<br>1 p. - poprawne wszystkie zaznaczenia.<br>0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.<br>Poprawna odpowiedź</p>\n<ol><li>P</li><li>P</li><li>P</li></ol>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź</h4>\n<p>| Stwierdzenie | Ocena |<br>| 1. Praca jest taka sama jak poprzednio | <strong>P</strong> |<br>| 2. Wartość siły jest większa niż poprzednio | <strong>P</strong> |<br>| 3. Wartość siły reakcji podłoża jest mniejsza niż poprzednio | <strong>P</strong> |</p>\n<h4>Sposób 1 - Zasada zachowania energii + bilans momentów sił (siła pionowa)</h4>\n<h5>Oznaczenia</h5>\n<p>Niech \\(L\\) = długość deski, \\(m\\) = masa deski. Jeden koniec deski (obrót) spoczywa na ziemi - to nasz punkt podparcia (punkt A). Lina przyłożona w odległości \\(d\\) od punktu A.</p>\n<ul><li>Poprzednio: \\(d_1 = L\\) (koniec deski)</li><li>Nowa sytuacja: \\(d_2 = \\frac{3}{4}L\\)</li></ul>\n<p>Zakładamy, że siła \\(F\\) jest pionowa (pracownik ciągnie linę ku górze - najprostszy i standardowy przypadek w zadaniach maturalnych).</p>\n<h5>Stwierdzenie 1 - Praca</h5>\n<p><strong>Zasada zachowania energii:</strong> praca wykonana na deskę równa się zmianie jej energii potencjalnej, niezależnie od punktu przyłożenia siły.</p>\n<p>Środek masy deski wznosi się od wysokości \\(0\\) (pozioma) do \\(\\frac{L}{2}\\) (pionowa):</p>\n<p>\\[<br>W = \\Delta E_p = mg \\cdot \\frac{L}{2}<br>\\]</p>\n<p>Wynik nie zależy od \\(d\\). <strong>Praca jest identyczna w obu sytuacjach.</strong></p>\n<blockquote>Można też liczyć całkę wprost (siła pionowa, punkt przyłożenia przesuwa się pionowo o \\(d\\)):<br>\\[W = F \\cdot d = \\frac{mgL}{2d} \\cdot d = \\frac{mgL}{2}\\]<br>- ten sam wynik dla \\(d_1\\) i \\(d_2\\). ✓</blockquote>\n<p><strong>Stwierdzenie 1: PRAWDZIWE (P)</strong></p>\n<h5>Stwierdzenie 2 - Wartość siły</h5>\n<p>Dla dowolnego kąta \\(\\theta\\) od poziomy, moment obrotowy grawitacji względem punktu A:</p>\n<p>\\[<br>\\tau_g = mg \\cdot \\frac{L}{2} \\cdot \\cos\\theta<br>\\]</p>\n<p>Moment siły \\(F\\) (pionowej) względem A:</p>\n<p>\\[<br>\\tau_F = F \\cdot d \\cdot \\cos\\theta<br>\\]</p>\n<p>Równowaga momentów:</p>\n<p>\\[<br>F \\cdot d \\cdot \\cos\\theta = mg \\cdot \\frac{L}{2} \\cdot \\cos\\theta \\implies F = \\frac{mgL}{2d}<br>\\]</p>\n<p><strong>\\(\\cos\\theta\\) skraca się</strong> - siła jest stała (niezależna od kąta) dla siły pionowej.</p>\n<p>| Sytuacja | \\(d\\) | \\(F\\) |<br>| Poprzednia | \\(L\\) | \\(\\dfrac{mg}{2}\\) |<br>| Nowa | \\(\\dfrac{3L}{4}\\) | \\(\\dfrac{mgL}{2 \\cdot \\frac{3L}{4}} = \\dfrac{2mg}{3}\\) |</p>\n<p>\\[F_2 = \\frac{2mg}{3} &gt; F_1 = \\frac{mg}{2}\\]</p>\n<p>Ramię dźwigni jest <strong>krótsze</strong> (\\(\\frac{3}{4}L\\) zamiast \\(L\\)), więc siła musi być <strong>większa</strong>, aby wytworzyć ten sam moment obrotowy.</p>\n<p><strong>Stwierdzenie 2: PRAWDZIWE (P)</strong></p>\n<h5>Stwierdzenie 3 - Siła reakcji podłoża</h5>\n<p>Równanie równowagi sił pionowych (siła \\(F\\) jest pionowa, \\(N\\) - reakcja podłoża):</p>\n<p>\\[<br>N + F = mg \\implies N = mg - F<br>\\]</p>\n<p>| Sytuacja | \\(F\\) | \\(N = mg - F\\) |<br>| Poprzednia | \\(\\dfrac{mg}{2}\\) | \\(\\dfrac{mg}{2}\\) |<br>| Nowa | \\(\\dfrac{2mg}{3}\\) | \\(\\dfrac{mg}{3}\\) |</p>\n<p>\\[N_2 = \\frac{mg}{3} &lt; N_1 = \\frac{mg}{2}\\]</p>\n<p>Pracownik ciągnie <strong>mocniej</strong> ku górze → podłoże musi podpierać <strong>mniej</strong>.</p>\n<p><strong>Stwierdzenie 3: PRAWDZIWE (P)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Argumentacja jakościowa (bez obliczeń)</h4>\n<p><strong>Stwierdzenie 1:</strong> Praca = zmiana energii potencjalnej grawitacji. Środek masy deski przebywa tę samą drogę (z ziemi do wysokości \\(\\frac{L}{2}\\)) niezależnie od tego, gdzie lina jest przyczepiona. Energia, którą trzeba dostarczyć, jest więc identyczna.</p>\n<p><strong>Stwierdzenie 2:</strong> Dźwignia - ramię siły skróciło się z \\(L\\) do \\(\\frac{3}{4}L\\). Mniejsze ramię → potrzeba <strong>większej siły</strong> do utrzymania tego samego momentu (który zrównoważy ciężar deski). To intuicja dźwigni: im bliżej punktu obrotu działamy, tym trudniej.</p>\n<p><strong>Stwierdzenie 3:</strong> Siły pionowe muszą się równoważyć: \\(N + F = mg\\). Skoro \\(F\\) jest teraz <strong>większe</strong>, to \\(N = mg - F\\) jest <strong>mniejsze</strong>. Pracownik „przejął&quot; większą część ciężaru deski od podłoża.</p>\n<h4>Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)</h4>\n<blockquote>📋 <strong>Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 6.4, max 1 pkt):</strong><br>- <strong>1 pkt</strong> - uczeń poprawnie ocenia prawdziwość wszystkich trzech dokończeń: P, P, P<br>- <strong>0 pkt</strong> - uczeń popełnia co najmniej jeden błąd w ocenie któregokolwiek dokończenia</blockquote>\n<h4>Wzory z karty CKE - czego użyć</h4>\n<blockquote>📖 <strong>Karta wzorów CKE - sekcja Fizyka, Mechanika:</strong><br>- <strong>Moment siły:</strong> \\(\\tau = F \\cdot r \\cdot \\sin\\alpha\\) (lub \\(\\tau = F \\cdot d_\\perp\\), gdzie \\(d_\\perp\\) to ramię prostopadłe)<br>- <strong>Warunek równowagi obrotowej:</strong> \\(\\sum \\tau = 0\\)<br>- <strong>Energia potencjalna:</strong> \\(E_p = mgh\\) (zmiana energii środka masy)<br>- <strong>Praca:</strong> \\(W = \\Delta E_p\\) (przy braku oporów ruchu)</blockquote>\n<p>Zadanie nie wymaga egzotycznych wzorów - wystarczy zasada momentów sił + bilans sił i energii.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Stwierdzenie | Typowy błędny wybór | Błąd rozumowania |<br>| 1 → <strong>F</strong> | Uczeń myśli: „inna siła → inna praca&quot; | Zapomina, że praca zależy od <strong>zmiany energii potencjalnej</strong>, nie od wartości siły; mylenie siły z pracą |<br>| 1 → <strong>F</strong> | Uczeń myśli: „krótsze ramię → lina pokonuje krótszą drogę → mniej pracy&quot; | Zapomina, że praca siły = F·s, a choć droga punktu jest krótsza, siła jest proporcjonalnie większa - iloczyn pozostaje stały |<br>| 2 → <strong>F</strong> | Uczeń myśli: „lina bliżej środka ciężkości → pracownik ma ułatwienie&quot; | Myli „bliżej środka&quot; z „bliżej końca&quot; - punkt \\(\\frac{3}{4}L\\) jest <strong>dalej od środka</strong> niż środek, ale <strong>bliżej punktu obrotu</strong> niż koniec; kluczowe jest ramię względem punktu A (ziemi), nie środka ciężkości |<br>| 3 → <strong>F</strong> | Uczeń myśli: „większa siła pracownika → podłoże też musi reagować mocniej&quot; | Błędna intuicja z „większą siłą = wszystko rośnie&quot;; nie stosuje pionowego bilansu sił \\(N + F = mg\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Mylenie <strong>ramienia siły</strong> - ramię liczymy od <strong>punktu obrotu</strong> (koniec na ziemi), nie od środka masy deski. Punkt \\(\\frac{3}{4}L\\) to krótsze ramię niż \\(L\\), choć jest bliżej środka deski.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> „Praca = siła × droga&quot; skusi do błędu - w nowej sytuacji siła jest większa, ale punkt przyłożenia przesuwa się o krótszy łuk. Te dwa efekty dokładnie się znoszą, co gwarantuje zasada zachowania energii.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Siła reakcji podłoża <strong>maleje</strong>, choć praca jest ta sama - to przykład, że te dwie wielkości są od siebie niezależne. Uczeń powinien zawsze rysować schemat sił i pisać równanie równowagi pionowej \\(N + F_{\\uparrow} = mg\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Dla siły pionowej moment sił upraszcza się pięknie - \\(\\cos\\theta\\) skraca się z obu stron i \\(F\\) jest stałe w całym procesie podnoszenia. Warto to zapamiętać jako elegancki wynik maturalny.</blockquote>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<ol><li>P, 2. P, 3. P</li></ol>"}]}