Zadanie 7.2. (0-3)
Oblicz wartość prędkości, którą uzyskał chłopiec A tuż po odepchnięciu się od drugiej
deskorolki.
B
A
Doświadczenie 2
A
Doświadczenie 1
MFA_1R
Zadanie 7.2. (0-3)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Budowa prostych modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk.
Zdający:
1.10) wykorzystuje zasadę zachowania pędu do
obliczania prędkości ciał […] podczas zjawiska
odrzutu,
2.3) (G) opisuje wpływ wykonanej pracy na
zmianę energii,
3.2) oblicza wartość energii kinetycznej ciał
[…].
Schemat punktowania
3 p. - prawidłowa metoda wyznaczenia prędkości chłopca A oraz prawidłowy wynik liczbowy
z jednostką.
2 p. - uwzględnienie relacji pomiędzy prędkościami chłopców po odepchnięciu się oraz
zapisanie równości prac wraz z prawidłowym wykorzystaniem związków pomiędzy
pracami i energiami kinetycznymi.
1 p. - uwzględnienie relacji pomiędzy prędkościami chłopców po odepchnięciu się (ݒ= ݒ)
lub
pracami i energiami kinetycznymi.
0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Przykładowe rozwiązanie
W celu rozwiązania zadania korzystamy:
doświadczeniach taka sama:
ଵ=
ଶ
ଵ= ܧଵ -ܧଵ ௭= 1
2
ݒଶ-0
ଶ= 1
2
ݒ
ଶ-0 + 1
2
ݒ
ଶ-0
i założenia o równości mas chłopców:
0 =
ݒ-
ݒ oraz
=
Z 4) uzyskujemy, że ݒ= ݒ. W związku z tym, na mocy 1), 2) i 3), możemy obliczyć
prędkość, jaką uzyskał chłopiec A tuż po odepchnięciu się od B. Zatem:
1
2
ݒଶ= 1
2
ݒ
ଶ+ 1
2
ݒ
ଶ → ݒଶ= ݒ
ଶ+ ݒ
ଶ → ݒଶ= 2ݒ
ଶ → ݒ= ݒ
√2
= 2,83 m
s
Uwaga! Zasada zachowania pędu może być zastąpiona innym argumentem. Podczas
odepchnięcia, zgodnie z trzecią zasadą dynamiki, na obu chłopców działają siły o tych samych
wartościach i przeciwnych zwrotach. Siły te, działające w tym samym czasie na takie same masy
chłopców, nadadzą chłopcom prędkości o tych samych wartościach i przeciwnych zwrotach.
Mam pełen kontekst z parent_informacja. Teraz piszę rozwiązanie.
\\[v_A = 2\\sqrt{2}\\ \\text{m/s} \\approx 2{,}83\\ \\text{m/s}\\]
\n| Wielkość | Wartość |
| Prędkość chłopca A po odepchnięciu od ściany (doświadczenie 1) | \\(v_1 = 4\\ \\text{m/s}\\) |
| Masy chłopców | \\(m_A = m_B = m\\) (jednakowe) |
| Praca wykonana w obu doświadczeniach | \\(W_1 = W_2 = W\\) |
| Masy kółek deskorolek | pomijalnie małe |
| Stan początkowy w doświadczeniu 2 | obaj chłopcy w spoczynku |
Kluczowe zrozumienie: „Odepchnięcie się od drugiej deskorolki" = doświadczenie 2, w którym chłopiec A (na swojej deskorolce) odpycha się od deskorolki z chłopcem B.
\nŚciana jest nieruchoma - nie przesuwa się, więc nie pobiera żadnej energii. Cała praca \\(W\\) przekształca się wyłącznie w energię kinetyczną chłopca A:
\n\\[W = \\frac{1}{2}m_A v_1^2 = \\frac{1}{2}m \\cdot (4\\ \\text{m/s})^2 = 8m\\ [\\text{J}]\\]
\nUkład (chłopiec A + chłopiec B) spoczywa - całkowity pęd początkowy = 0. Siły oporów pominięte → zasada zachowania pędu:
\n\\[0 = m_A \\cdot v_A - m_B \\cdot v_B\\]
\nPonieważ \\(m_A = m_B = m\\):
\n\\[\\boxed{v_A = v_B = v}\\]
\nObaj chłopcy uzyskują prędkości równej wartości (w przeciwnych kierunkach).
\nTa sama praca \\(W = 8m\\) zasilana jest dwa ciała (chłopiec A i chłopiec B):
\n\\[W = E_{k,A} + E_{k,B} = \\frac{1}{2}mv^2 + \\frac{1}{2}mv^2 = mv^2\\]
\n\\[mv^2 = 8m\\]
\n\\[v^2 = 8\\ \\text{m}^2/\\text{s}^2\\]
\n\\[\\boxed{v_A = v = \\sqrt{8}\\ \\text{m/s} = 2\\sqrt{2}\\ \\text{m/s} \\approx 2{,}83\\ \\text{m/s}}\\]
\nObaj chłopcy mają jednakowe masy. Siły wzajemnego oddziaływania (III zasada Newtona) są równe co do wartości i działają przez ten sam czas. Impulsy są identyczne → obaj nabywają prędkości tej samej wartości:
\n\\[v_A = v_B = v\\]
\nW doświadczeniu 1 cała praca \\(W\\) trafia do jednego chłopca:
\\[E_{k,A}^{(1)} = W = \\frac{1}{2}m v_1^2\\]
W doświadczeniu 2 z symetrii praca dzieli się na pół (oba ciała poruszają się z tą samą prędkością, mają tę samą masę):
\\[E_{k,A}^{(2)} = \\frac{W}{2} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{2}m v_1^2 = \\frac{1}{4}m v_1^2\\]
\\[\\frac{1}{2}m v_A^2 = \\frac{1}{4}m v_1^2\\]
\n\\[v_A^2 = \\frac{v_1^2}{2} = \\frac{16}{2} = 8\\ \\text{m}^2/\\text{s}^2\\]
\n\\[\\boxed{v_A = 2\\sqrt{2}\\ \\text{m/s} \\approx 2{,}83\\ \\text{m/s}}\\]
\nUkład 2 równań:
\n\\[
\\begin{cases}
m v_A = m v_B & \\text{(zasada zachowania pędu: } p_{pocz} = 0 \\text{)} \\\\
\\frac{1}{2}m v_A^2 + \\frac{1}{2}m v_B^2 = W & \\text{(zasada zachowania energii)}
\\end{cases}
\\]
Z równania 1: \\(v_A = v_B = v\\). Podstawiając do równania 2:
\n\\[m v^2 = W = \\frac{1}{2}m \\cdot (4)^2 = 8m\\]
\n\\[v = \\sqrt{8} = 2\\sqrt{2}\\ \\text{m/s}\\]
\nInterpretacja fizyczna: Chłopiec A w doświadczeniu 2 jest wolniejszy niż w doświadczeniu 1 (\\(2\\sqrt{2} \\approx 2{,}83\\ \\text{m/s} < 4\\ \\text{m/s}\\)), bo ta sama praca rozproszona jest na dwa ciała zamiast jednego.
\n📋 Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 7.2, max 3 pkt):\n
- 1 pkt - uczeń poprawnie oblicza pracę wykonaną w pierwszym doświadczeniu (lub stosuje związek \\(W = \\frac{1}{2}mv_1^2\\))
- 1 pkt - uczeń stosuje zasadę zachowania pędu i wykazuje, że \\(v_A = v_B\\) (lub poprawnie ustawia bilans energii z dwoma składnikami kinetycznymi)
- 1 pkt - uczeń otrzymuje poprawny wynik liczbowy: \\(v_A = 2\\sqrt{2}\\ \\text{m/s} \\approx 2{,}83\\ \\text{m/s}\\)
- Akceptowane warianty: \\(2\\sqrt{2}\\ \\text{m/s}\\), \\(\\sqrt{8}\\ \\text{m/s}\\), \\(2{,}8\\ \\text{m/s}\\), \\(2{,}83\\ \\text{m/s}\\)
- Uwagi (orientacyjne): ✅ Masa \\(m\\) nie musi być liczbowa - wystarczy prawidłowy zapis symboliczny prowadzący do poprawnego wyniku
- Uwagi (orientacyjne): ❌ Nie uznaje się odpowiedzi \\(v_A = 4\\ \\text{m/s}\\) (bez uzasadnienia, że warunki są inne) ani \\(v_A = 2\\ \\text{m/s}\\) (pomylenie z \\(\\frac{v_1}{2}\\) zamiast \\(\\frac{v_1}{\\sqrt{2}}\\))
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, Mechanika:\n
- Zasada zachowania pędu (układ izolowany): \\(\\sum \\vec{p} = \\text{const}\\)
\\[\\Rightarrow\\quad m_A v_A = m_B v_B \\quad (\\text{pęd początkowy} = 0)\\]
- Energia kinetyczna: \\(E_k = \\frac{1}{2}mv^2\\)
- Zasada pracy i energii (zasada zachowania energii): \\(W = \\Delta E_k\\)
Wystarczą dwa narzędzia: zasada zachowania pędu + zasada zachowania energii. Nie potrzebujesz kinematyki ani sił.
| Błędny wynik | Skąd pochodzi błąd |
| \\(v_A = 4\\ \\text{m/s}\\) | Uczeń sądzi, że skoro praca ta sama → prędkość taka sama; ignoruje fakt, że w doświadczeniu 2 energia rozdziela się na dwa ciała |
| \\(v_A = 2\\ \\text{m/s}\\) | Uczeń błędnie myśli: „prędkość dzieli się na dwa\\" - podziela prędkość zamiast energii; \\(\\frac{v_1}{2} = 2\\), ale poprawnie: \\(\\frac{v_1}{\\sqrt{2}} = 2\\sqrt{2}\\) |
| \\(v_A = v_1\\sqrt{2} \\approx 5{,}66\\ \\text{m/s}\\) | Uczeń odwraca argument: sumuje energię zamiast ją dzielić (błąd znaku w rozumowaniu energetycznym) |
| Brak wyniku liczbowego | Uczeń nie podstawia \\(W = 8m\\) bo nie widzi, skąd wziąć wartość pracy; zapomina, że praca z doświadczenia 1 jest znana |
⚠️ Uwaga: Prędkość nie dzieli się przez 2 - dzieli się energia kinetyczna. Z \\(E_{k,A} = W/2\\) wynika \\(\\frac{1}{2}mv_A^2 = \\frac{W}{2}\\), co daje \\(v_A = v_1/\\sqrt{2}\\), a nie \\(v_1/2\\). To czynnik \\(\\sqrt{2}\\), nie 2!\n
⚠️ Uwaga: Masa chłopca \\(m\\) nie jest podana liczbowo - i nie musi być. Wyskraca się ze wszystkich równań. Sprawdź: w obliczeniach \\(m\\) pojawia się i znika. Uczeń, który szuka wartości \\(m\\) i nie może jej znaleźć, traci czas.\n
⚠️ Uwaga: „Odepchnięcie od ściany" vs „odepchnięcie od drugiej deskorolki" - kluczowa różnica to ilość ciał, które pobierają energię. Ściana = nieruchoma = nie pobiera nic. Chłopiec B = porusza się = pobiera połowę.\n
⚠️ Uwaga: W doświadczeniu 2 chłopiec A siedzi na swojej deskorolce i odpycha się od deskorolki chłopca B - obie deskorolki uczestniczą w ruchu, ale ponieważ masy kółek są pomijalnie małe, pomijamy je w obliczeniach pędu i energii."},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"
$v_{A} = \\dfrac{v}{\\sqrt{2}} = 2,83 \\dfrac{\\text{m}}{\\text{s}}$
"}]}