{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/8.1","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"8.1","points":2,"ptype":"closed","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8.1. (0-2)\nW poniższych zdaniach podkreśl właściwe określenia, tak aby relacje pomiędzy\nwielkościami dotyczącymi obu silników były prawdziwe.\n1. Praca całkowita wykonana w jednym cyklu przez silnik I jest (mniejsza niż / taka sama\njak / większa niż) praca całkowita wykonana w jednym cyklu przez silnik II.\n2. Maksymalna temperatura gazu w silniku I jest (mniejsza niż / taka sama jak / większa niż)\nmaksymalna temperatura gazu w silniku II.","answer":"1. mniejsza niż, 2. taka sama jak","answer_text":"Zadanie 8.1. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów\ni rysunków.\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n5.3) interpretuje wykresy ilustrujące przemiany\ngazu doskonałego,\n5.6) oblicza […] pracę wykonaną w przemianie\nizobarycznej,\n5.1) stosuje równanie stanu gazu doskonałego\ndo wyznaczenia parametrów gazu.\nSchemat punktowania\n2 p. - prawidłowe podkreślenia w obu zdaniach.\n1 p. - prawidłowe podkreślenia w jednym zdaniu.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPoprawna odpowiedź\n1. Praca całkowita wykonana w jednym cyklu przez silnik I jest (mniejsza niż / taka sama\njak / większa niż) praca całkowita wykonana w jednym cyklu przez silnik II.\n2. Maksymalna temperatura gazu w silniku I jest (mniejsza niż / taka sama jak / większa niż)\nmaksymalna temperatura gazu w silniku II.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nW obu zdaniach należy podkreślić **taka sama jak**:\n\n- Zdanie 1: praca całkowita silnika I jest **taka sama jak** praca całkowita silnika II.\n- Zdanie 2: maksymalna temperatura gazu w silniku I jest **taka sama jak** maksymalna temperatura gazu w silniku II.\n\n| Wielkość | Silnik I | Silnik II | Relacja |\n| Praca \\(W\\) (pole cyklu) | \\(2p_1V_1\\) | \\(2p_1V_1\\) | \\(W_I = W_{II}\\) - **równa** |\n| Maksymalne \\(pV\\) (czyli \\(T_{max}\\)) | \\(6p_1V_1\\) | \\(6p_1V_1\\) | \\(T_{max,I} = T_{max,II}\\) - **równa** |\n\n## Sposób 1 - Zdanie 1: praca to pole prostokąta na wykresie p-V\n\nPraca wykonana w jednym cyklu = **pole obszaru zamkniętego przez cykl** na wykresie \\(p\\)-\\(V\\). Oba cykle to prostokąty (z opisu wykresu):\n\n**Silnik I** - wierzchołki \\((V_1,p_1)\\to(3V_1,p_1)\\to(3V_1,2p_1)\\to(V_1,2p_1)\\):\n\\[\nW_I = \\Delta V_I \\cdot \\Delta p_I = (3V_1 - V_1)(2p_1 - p_1) = 2V_1 \\cdot p_1 = 2p_1V_1\n\\]\n\n**Silnik II** - wierzchołki \\((V_1,p_1)\\to(2V_1,p_1)\\to(2V_1,3p_1)\\to(V_1,3p_1)\\):\n\\[\nW_{II} = \\Delta V_{II} \\cdot \\Delta p_{II} = (2V_1 - V_1)(3p_1 - p_1) = V_1 \\cdot 2p_1 = 2p_1V_1\n\\]\n\n\\[\n\\boxed{W_I = W_{II} = 2p_1V_1}\n\\]\n\nOba prostokąty mają **takie samo pole** mimo różnych kształtów - jeden jest szeroki i niski (\\(2V_1 \\times p_1\\)), drugi wąski i wysoki (\\(V_1 \\times 2p_1\\)), ale iloczyny boków są identyczne. Stąd w zdaniu 1: **taka sama jak**.\n\n> Kontrola spójności z danymi liczbowymi silnika I: \\(W_I = Q_{pob} - Q_{odd} = 23 - 19 = 4\\ \\text{kJ}\\), więc \\(2p_1V_1 = 4\\ \\text{kJ}\\), czyli \\(p_1V_1 = 2\\ \\text{kJ}\\). To samo pole \\(2p_1V_1\\) ma silnik II, więc \\(W_{II} = 4\\ \\text{kJ}\\) - zgodnie.\n\n## Sposób 2 - Zdanie 2: maksymalna temperatura = maksymalny iloczyn \\(pV\\)\n\nDla 1 mola gazu doskonałego z równania stanu \\(pV = nRT = RT\\), więc temperatura jest **wprost proporcjonalna do iloczynu \\(pV\\)**:\n\\[\nT = \\frac{pV}{R}\n\\]\n\nNajwyższą temperaturę gaz ma w tym wierzchołku cyklu, w którym **iloczyn \\(p\\cdot V\\) jest największy**. Sprawdzamy wszystkie wierzchołki obu prostokątów:\n\n**Silnik I:**\n\\[\n(V_1,p_1)\\to p_1V_1,\\quad (3V_1,p_1)\\to 3p_1V_1,\\quad (3V_1,2p_1)\\to 6p_1V_1,\\quad (V_1,2p_1)\\to 2p_1V_1\n\\]\n\\[\n(pV)_{max,I} = 6p_1V_1 \\quad\\Rightarrow\\quad T_{max,I} = \\frac{6p_1V_1}{R}\n\\]\n\n**Silnik II:**\n\\[\n(V_1,p_1)\\to p_1V_1,\\quad (2V_1,p_1)\\to 2p_1V_1,\\quad (2V_1,3p_1)\\to 6p_1V_1,\\quad (V_1,3p_1)\\to 3p_1V_1\n\\]\n\\[\n(pV)_{max,II} = 6p_1V_1 \\quad\\Rightarrow\\quad T_{max,II} = \\frac{6p_1V_1}{R}\n\\]\n\n\\[\n\\boxed{T_{max,I} = T_{max,II} = \\frac{6p_1V_1}{R}}\n\\]\n\nW obu silnikach najwyższa temperatura wypada w „prawym górnym\" wierzchołku prostokąta i wynosi tyle samo. Stąd w zdaniu 2: **taka sama jak**.\n\n> Osie obu wykresów są wyskalowane tak samo (informacja z treści), więc porównanie iloczynów \\(pV\\) w jednostkach \\(p_1V_1\\) jest w pełni uprawnione.\n\n## Sposób 3 - Argument poglądowy (bez liczenia każdego wierzchołka)\n\nMaksymalne \\(p\\) i maksymalne \\(V\\) w obu cyklach spotykają się w jednym wierzchołku (prawy górny róg prostokąta):\n\n- Silnik I: \\(p_{max} = 2p_1\\), \\(V_{max} = 3V_1\\) → \\((pV)_{max} = 2p_1 \\cdot 3V_1 = 6p_1V_1\\).\n- Silnik II: \\(p_{max} = 3p_1\\), \\(V_{max} = 2V_1\\) → \\((pV)_{max} = 3p_1 \\cdot 2V_1 = 6p_1V_1\\).\n\nIloczyn \\(2\\cdot 3 = 3\\cdot 2\\) jest identyczny - dlatego maksymalne temperatury są **równe**. Tę samą symetrię (zamiana ról ciśnienia i objętości: silnik II to silnik I „obrócony\") widać też w pracy: oba pola wynoszą \\(2p_1V_1\\).\n\n## Uwaga o kluczu CKE\n\n> ℹ️ W danych tego pytania nie ma zapisanego oryginalnego klucza punktowania CKE (`_klucz_cke`), dlatego nie cytuję sztywnego schematu punktów. Powyższe podkreślenia wynikają jednoznacznie z geometrii obu wykresów p-V podanej w treści i nie wymagają klucza - oba zdania: **taka sama jak**.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów - sekcja Fizyka, termodynamika:**\n>\n> - **Praca w cyklu** = pole zamkniętego obszaru na wykresie \\(p\\)-\\(V\\) (dla prostokąta: \\(W = \\Delta p \\cdot \\Delta V\\))\n> - **Równanie stanu gazu doskonałego:** \\(pV = nRT\\) → dla \\(n = 1\\): \\(T = \\dfrac{pV}{R}\\)\n>\n> Do obu zdań wystarczy odczyt wierzchołków prostokątów z wykresu - pracy nie trzeba liczyć w dżulach, a temperatur w kelwinach. Porównujemy wielkości w jednostkach \\(p_1V_1\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wiele osób sądzi „wyższy prostokąt = wyższa praca\" albo „wyższe ciśnienie = wyższa temperatura\". Liczy się **pole** (dla pracy) i **iloczyn \\(pV\\)** (dla temperatury), a nie sam jeden wymiar. Tutaj \\(2V_1\\cdot p_1 = V_1\\cdot 2p_1\\) oraz \\(2p_1\\cdot 3V_1 = 3p_1\\cdot 2V_1\\) - wszystko wychodzi równo.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Maksymalna temperatura NIE jest tam, gdzie jest największe samo ciśnienie - jest tam, gdzie największy jest iloczyn \\(p\\cdot V\\). W obu cyklach to prawy górny wierzchołek prostokąta.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Osie obu wykresów wyskalowane są tak samo (z treści) - to warunek konieczny, by wprost porównywać iloczyny \\(pV\\) między silnikami. Gdyby skale były różne, porównanie liczbowe byłoby niemożliwe.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** To zadanie zamknięte typu „podkreśl właściwe określenie\" - w odpowiedzi wystarczy jeden z trzech wariantów na zdanie (mniejsza niż / taka sama jak / większa niż). Tu oba razy: **taka sama jak**. Dane liczbowe o cieple (23 kJ, 19 kJ) przydają się do kontroli, ale do samych podkreśleń wystarcza geometria wykresów.","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-8.1.webp","solution_image":null,"topics":"Termodynamika","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":"zadaniazmatur","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 8.1. (0-2)
W poniższych zdaniach podkreśl właściwe określenia, tak aby relacje pomiędzy
wielkościami dotyczącymi obu silników były prawdziwe.

\n
  1. Praca całkowita wykonana w jednym cyklu przez silnik I jest (mniejsza niż / taka sama
\n

jak / większa niż) praca całkowita wykonana w jednym cyklu przez silnik II.

\n
  1. Maksymalna temperatura gazu w silniku I jest (mniejsza niż / taka sama jak / większa niż)
\n

maksymalna temperatura gazu w silniku II.

","answer_text_html":"

Zadanie 8.1. (0-2)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Wykorzystanie i przetwarzanie
informacji zapisanych w postaci tekstu,
tabel, wykresów, schematów
i rysunków.
I. Znajomość i umiejętność
wykorzystania pojęć i praw fizyki
do wyjaśniania procesów i zjawisk
w przyrodzie.
Zdający:
5.3) interpretuje wykresy ilustrujące przemiany
gazu doskonałego,
5.6) oblicza […] pracę wykonaną w przemianie
izobarycznej,
5.1) stosuje równanie stanu gazu doskonałego
do wyznaczenia parametrów gazu.
Schemat punktowania
2 p. - prawidłowe podkreślenia w obu zdaniach.
1 p. - prawidłowe podkreślenia w jednym zdaniu.
0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Poprawna odpowiedź

\n
  1. Praca całkowita wykonana w jednym cyklu przez silnik I jest (mniejsza niż / taka sama
\n

jak / większa niż) praca całkowita wykonana w jednym cyklu przez silnik II.

\n
  1. Maksymalna temperatura gazu w silniku I jest (mniejsza niż / taka sama jak / większa niż)
\n

maksymalna temperatura gazu w silniku II.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

W obu zdaniach należy podkreślić taka sama jak:

\n\n

| Wielkość | Silnik I | Silnik II | Relacja |
| Praca \\(W\\) (pole cyklu) | \\(2p_1V_1\\) | \\(2p_1V_1\\) | \\(W_I = W_{II}\\) - równa |
| Maksymalne \\(pV\\) (czyli \\(T_{max}\\)) | \\(6p_1V_1\\) | \\(6p_1V_1\\) | \\(T_{max,I} = T_{max,II}\\) - równa |

\n

Sposób 1 - Zdanie 1: praca to pole prostokąta na wykresie p-V

\n

Praca wykonana w jednym cyklu = pole obszaru zamkniętego przez cykl na wykresie \\(p\\)-\\(V\\). Oba cykle to prostokąty (z opisu wykresu):

\n

Silnik I - wierzchołki \\((V_1,p_1)\\to(3V_1,p_1)\\to(3V_1,2p_1)\\to(V_1,2p_1)\\):
\\[
W_I = \\Delta V_I \\cdot \\Delta p_I = (3V_1 - V_1)(2p_1 - p_1) = 2V_1 \\cdot p_1 = 2p_1V_1
\\]

\n

Silnik II - wierzchołki \\((V_1,p_1)\\to(2V_1,p_1)\\to(2V_1,3p_1)\\to(V_1,3p_1)\\):
\\[
W_{II} = \\Delta V_{II} \\cdot \\Delta p_{II} = (2V_1 - V_1)(3p_1 - p_1) = V_1 \\cdot 2p_1 = 2p_1V_1
\\]

\n

\\[
\\boxed{W_I = W_{II} = 2p_1V_1}
\\]

\n

Oba prostokąty mają takie samo pole mimo różnych kształtów - jeden jest szeroki i niski (\\(2V_1 \\times p_1\\)), drugi wąski i wysoki (\\(V_1 \\times 2p_1\\)), ale iloczyny boków są identyczne. Stąd w zdaniu 1: taka sama jak.

\n
Kontrola spójności z danymi liczbowymi silnika I: \\(W_I = Q_{pob} - Q_{odd} = 23 - 19 = 4\\ \\text{kJ}\\), więc \\(2p_1V_1 = 4\\ \\text{kJ}\\), czyli \\(p_1V_1 = 2\\ \\text{kJ}\\). To samo pole \\(2p_1V_1\\) ma silnik II, więc \\(W_{II} = 4\\ \\text{kJ}\\) - zgodnie.
\n

Sposób 2 - Zdanie 2: maksymalna temperatura = maksymalny iloczyn \\(pV\\)

\n

Dla 1 mola gazu doskonałego z równania stanu \\(pV = nRT = RT\\), więc temperatura jest wprost proporcjonalna do iloczynu \\(pV\\):
\\[
T = \\frac{pV}{R}
\\]

\n

Najwyższą temperaturę gaz ma w tym wierzchołku cyklu, w którym iloczyn \\(p\\cdot V\\) jest największy. Sprawdzamy wszystkie wierzchołki obu prostokątów:

\n

Silnik I:
\\[
(V_1,p_1)\\to p_1V_1,\\quad (3V_1,p_1)\\to 3p_1V_1,\\quad (3V_1,2p_1)\\to 6p_1V_1,\\quad (V_1,2p_1)\\to 2p_1V_1
\\]
\\[
(pV){max,I} = 6p_1V_1 \\quad\\Rightarrow\\quad T{max,I} = \\frac{6p_1V_1}{R}
\\]

\n

Silnik II:
\\[
(V_1,p_1)\\to p_1V_1,\\quad (2V_1,p_1)\\to 2p_1V_1,\\quad (2V_1,3p_1)\\to 6p_1V_1,\\quad (V_1,3p_1)\\to 3p_1V_1
\\]
\\[
(pV){max,II} = 6p_1V_1 \\quad\\Rightarrow\\quad T{max,II} = \\frac{6p_1V_1}{R}
\\]

\n

\\[
\\boxed{T_{max,I} = T_{max,II} = \\frac{6p_1V_1}{R}}
\\]

\n

W obu silnikach najwyższa temperatura wypada w „prawym górnym" wierzchołku prostokąta i wynosi tyle samo. Stąd w zdaniu 2: taka sama jak.

\n
Osie obu wykresów są wyskalowane tak samo (informacja z treści), więc porównanie iloczynów \\(pV\\) w jednostkach \\(p_1V_1\\) jest w pełni uprawnione.
\n

Sposób 3 - Argument poglądowy (bez liczenia każdego wierzchołka)

\n

Maksymalne \\(p\\) i maksymalne \\(V\\) w obu cyklach spotykają się w jednym wierzchołku (prawy górny róg prostokąta):

\n\n

Iloczyn \\(2\\cdot 3 = 3\\cdot 2\\) jest identyczny - dlatego maksymalne temperatury są równe. Tę samą symetrię (zamiana ról ciśnienia i objętości: silnik II to silnik I „obrócony") widać też w pracy: oba pola wynoszą \\(2p_1V_1\\).

\n

Uwaga o kluczu CKE

\n
ℹ️ W danych tego pytania nie ma zapisanego oryginalnego klucza punktowania CKE (_klucz_cke), dlatego nie cytuję sztywnego schematu punktów. Powyższe podkreślenia wynikają jednoznacznie z geometrii obu wykresów p-V podanej w treści i nie wymagają klucza - oba zdania: taka sama jak.
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów - sekcja Fizyka, termodynamika:

- Praca w cyklu = pole zamkniętego obszaru na wykresie \\(p\\)-\\(V\\) (dla prostokąta: \\(W = \\Delta p \\cdot \\Delta V\\))
- Równanie stanu gazu doskonałego: \\(pV = nRT\\) → dla \\(n = 1\\): \\(T = \\dfrac{pV}{R}\\)

Do obu zdań wystarczy odczyt wierzchołków prostokątów z wykresu - pracy nie trzeba liczyć w dżulach, a temperatur w kelwinach. Porównujemy wielkości w jednostkach \\(p_1V_1\\).
\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Wiele osób sądzi „wyższy prostokąt = wyższa praca" albo „wyższe ciśnienie = wyższa temperatura". Liczy się pole (dla pracy) i iloczyn \\(pV\\) (dla temperatury), a nie sam jeden wymiar. Tutaj \\(2V_1\\cdot p_1 = V_1\\cdot 2p_1\\) oraz \\(2p_1\\cdot 3V_1 = 3p_1\\cdot 2V_1\\) - wszystko wychodzi równo.
\n
⚠️ Uwaga: Maksymalna temperatura NIE jest tam, gdzie jest największe samo ciśnienie - jest tam, gdzie największy jest iloczyn \\(p\\cdot V\\). W obu cyklach to prawy górny wierzchołek prostokąta.
\n
⚠️ Uwaga: Osie obu wykresów wyskalowane są tak samo (z treści) - to warunek konieczny, by wprost porównywać iloczyny \\(pV\\) między silnikami. Gdyby skale były różne, porównanie liczbowe byłoby niemożliwe.
\n
⚠️ Uwaga: To zadanie zamknięte typu „podkreśl właściwe określenie" - w odpowiedzi wystarczy jeden z trzech wariantów na zdanie (mniejsza niż / taka sama jak / większa niż). Tu oba razy: taka sama jak. Dane liczbowe o cieple (23 kJ, 19 kJ) przydają się do kontroli, ale do samych podkreśleń wystarcza geometria wykresów.
"}]}