{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/9.1","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"9.1","points":1,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9.1. (0-1)\nPrzyjmij, że na kulę działają dwie siły: FሬԦr - siła reakcji napiętej\nliny, FሬԦg - siła grawitacji. Pomiń siłę oporu powietrza. Analizę\nprzeprowadź w układzie odniesienia związanym z Ziemią\ni przyjmij, że jest on inercjalny.\nNa rysunku 2. - czyli w chwili, gdy kula przechodzi przez\nnajniższy punkt toru - dorysuj wektory tych sił wraz z ich\noznaczeniem. Zachowaj relacje (większy, mniejszy, równy)\nmiędzy wartościami sił i zapisz poniżej tę relację - wstaw\njeden ze znaków: >, =, < .\nFr Fg\nRysunek 1. Rysunek 2.\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9.1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n1.2) (P) wskazuje przykłady sił pełniących rolę\nsiły dośrodkowej,\n1.1) wykonuje działania na wektorach\n(dodawanie, odejmowanie, rozkładanie na\nskładowe),\n1.8) wyjaśnia ruch ciał na podstawie drugiej\nzasady dynamiki Newtona.\nSchemat punktowania\n1 p. - prawidłowe narysowanie wektorów sił wraz z ich\noznaczeniami oraz prawidłowe zapisanie relacji\npomiędzy wartościami sił.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawne rozwiązanie\n(Rysunek obok).\nܨ௥ > ܨ௚","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n$$F_r > F_g$$\n\nWektor \\(\\vec{F}_r\\) (siła napiętej liny) skierowany **pionowo w górę**, wektor \\(\\vec{F}_g\\) (siła grawitacji) skierowany **pionowo w dół** - oba przyłożone do środka kuli. Na rysunku 2 wektor \\(\\vec{F}_r\\) musi być **narysowany dłużej** niż \\(\\vec{F}_g\\).\n\n## Sposób 1 - II zasada dynamiki Newtona w najniższym punkcie toru (ruch po okręgu)\n\nW najniższym punkcie toru kula porusza się po łuku okręgu. Środek okręgu znajduje się **powyżej** kuli (w punkcie zawieszenia liny). Znaczy to, że przyspieszenie dośrodkowe \\(\\vec{a}_d\\) jest skierowane **pionowo w górę**.\n\nZ II zasady Newtona (wypadkowa = \\(m \\cdot \\vec{a}_d\\)):\n\n$$F_r - F_g = \\frac{mv^2}{R}$$\n\ngdzie \\(R = L + r = 6{,}0\\ \\text{m} + 0{,}40\\ \\text{m} = 6{,}40\\ \\text{m}\\) (odległość od punktu zawieszenia do środka kuli), a \\(v\\) - prędkość kuli w najniższym punkcie.\n\nKula została wychylona o niezerowy kąt i puszczona - w najniższym punkcie **ma prędkość \\(v > 0\\)**. Zatem:\n\n$$\\frac{mv^2}{R} > 0 \\implies F_r - F_g > 0 \\implies \\boxed{F_r > F_g}$$\n\n**Wniosek:** Siła reakcji liny musi być **większa** od siły grawitacji, bo ich wypadkowa (skierowana ku górze) dostarcza siły dośrodkowej potrzebnej do ruchu po łuku.\n\n## Sposób 2 - Energetyczny (weryfikacja że \\(v \\neq 0\\) w najniższym punkcie)\n\nKula wychylona maksymalnie ma \\(v = 0\\) i pewną wysokość \\(h > 0\\) ponad najniższym punktem. Przy swobodnym opadaniu (bez oporów powietrza) cała energia potencjalna zamienia się w kinetyczną:\n\n$$mgh = \\frac{1}{2}mv^2 \\implies v^2 = 2gh > 0$$\n\nSkoro \\(v^2 > 0\\), to \\(\\dfrac{mv^2}{R} > 0\\), co z równania:\n\n$$F_r - F_g = \\frac{mv^2}{R} > 0$$\n\nponownie daje \\(F_r > F_g\\). Gdyby kąt wychylenia był zerowy (\\(h = 0\\)), dostalibyśmy \\(F_r = F_g\\) - ale zadanie mówi, że kula **przechodzi przez najniższy punkt**, co znaczy, że rzeczywiście była wychylona.\n\n## Sposób 3 - Intuicja fizyczna (siła dośrodkowa jako „nadmiar\" siły liny)\n\nGdyby \\(F_r = F_g\\), siły by się równoważyły → wypadkowa = 0 → kula poruszałaby się **po linii prostej** (albo stałaby w miejscu). Ale w najniższym punkcie toru kula zmienia kierunek ruchu (zakręca w górę) - potrzebna jest wypadkowa siła **do góry**. Jedyną siłą działającą ku górze jest \\(\\vec{F}_r\\). Musi więc być **silniejsza** od grawitacji, żeby po odjęciu \\(F_g\\) została jeszcze „reszta\" do zakręcenia toru.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 9.1, max 1 pkt):**\n> - **1 pkt** - uczeń poprawnie narysował oba wektory sił (kierunek, zwrot: \\(\\vec{F}_r\\) w górę wzdłuż liny, \\(\\vec{F}_g\\) w dół) z zachowaniem relacji \\(F_r > F_g\\) (wektor \\(\\vec{F}_r\\) dłuższy od \\(\\vec{F}_g\\)) **oraz** wpisał znak „\\(>\\)\"\n> - **0 pkt** - wektory błędnie narysowane, błędny znak relacji lub brak relacji\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, kinematyka i dynamika ruchu po okręgu:**\n>\n> Przyspieszenie dośrodkowe: \\(a_d = \\dfrac{v^2}{r}\\)\n>\n> II zasada Newtona: \\(\\vec{F}_{wyp} = m\\vec{a}\\)\n>\n> Użyte w Sposobie 1: z obu wzorów wynika \\(F_r - F_g = \\dfrac{mv^2}{R}\\), skąd relacja \\(F_r > F_g\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - napisanie \\(F_r = F_g\\). Uczniowie mylą „kula wisi na linie\" (statyka, równowaga → \\(F_r = F_g\\)) z „kula w ruchu przez najniższy punkt\" (dynamika, zakrzywiony tor → \\(F_r > F_g\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Drugi częsty błąd - rysowanie \\(\\vec{F}_r\\) pod kątem (ukośnie), bo „pamiętają rysunek 1 z wychyleniem\". Na rysunku 2 lina jest **pionowa**, więc \\(\\vec{F}_r\\) musi być też **pionowo w górę**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie pomyl punktu przyłożenia - oba wektory przyłożone do **środka masy kuli** (środka geometrycznego kuli), nie do punktu styku liny z kulą.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Relacja \\(F_r > F_g\\) jest prawdziwa **dla każdego niezerowego kąta wychylenia**. Im większy kąt wychylenia (wyższa wysokość \\(h\\)), tym większe \\(v^2\\) w najniższym punkcie i tym bardziej \\(F_r\\) przewyższa \\(F_g\\).","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-9.1.webp","solution_image":null,"topics":"Dynamika","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 9.1. (0-1)
Przyjmij, że na kulę działają dwie siły: FሬԦr - siła reakcji napiętej
liny, FሬԦg - siła grawitacji. Pomiń siłę oporu powietrza. Analizę
przeprowadź w układzie odniesienia związanym z Ziemią
i przyjmij, że jest on inercjalny.
Na rysunku 2. - czyli w chwili, gdy kula przechodzi przez
najniższy punkt toru - dorysuj wektory tych sił wraz z ich
oznaczeniem. Zachowaj relacje (większy, mniejszy, równy)
między wartościami sił i zapisz poniżej tę relację - wstaw
jeden ze znaków: >, =, < .
Fr Fg
Rysunek 1. Rysunek 2.
MFA_1R

","answer_text_html":"

Zadanie 9.1. (0-1)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Budowa prostych modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk.
Zdający:
1.2) (P) wskazuje przykłady sił pełniących rolę
siły dośrodkowej,
1.1) wykonuje działania na wektorach
(dodawanie, odejmowanie, rozkładanie na
składowe),
1.8) wyjaśnia ruch ciał na podstawie drugiej
zasady dynamiki Newtona.
Schemat punktowania
1 p. - prawidłowe narysowanie wektorów sił wraz z ich
oznaczeniami oraz prawidłowe zapisanie relacji
pomiędzy wartościami sił.
0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.
Poprawne rozwiązanie
(Rysunek obok).
ܨ௥ > ܨ௚

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

$$F_r > F_g$$

\n

Wektor \\(\\vec{F}_r\\) (siła napiętej liny) skierowany pionowo w górę, wektor \\(\\vec{F}_g\\) (siła grawitacji) skierowany pionowo w dół - oba przyłożone do środka kuli. Na rysunku 2 wektor \\(\\vec{F}_r\\) musi być narysowany dłużej niż \\(\\vec{F}_g\\).

\n

Sposób 1 - II zasada dynamiki Newtona w najniższym punkcie toru (ruch po okręgu)

\n

W najniższym punkcie toru kula porusza się po łuku okręgu. Środek okręgu znajduje się powyżej kuli (w punkcie zawieszenia liny). Znaczy to, że przyspieszenie dośrodkowe \\(\\vec{a}_d\\) jest skierowane pionowo w górę.

\n

Z II zasady Newtona (wypadkowa = \\(m \\cdot \\vec{a}_d\\)):

\n

$$F_r - F_g = \\frac{mv^2}{R}$$

\n

gdzie \\(R = L + r = 6{,}0\\ \\text{m} + 0{,}40\\ \\text{m} = 6{,}40\\ \\text{m}\\) (odległość od punktu zawieszenia do środka kuli), a \\(v\\) - prędkość kuli w najniższym punkcie.

\n

Kula została wychylona o niezerowy kąt i puszczona - w najniższym punkcie ma prędkość \\(v > 0\\). Zatem:

\n

$$\\frac{mv^2}{R} > 0 \\implies F_r - F_g > 0 \\implies \\boxed{F_r > F_g}$$

\n

Wniosek: Siła reakcji liny musi być większa od siły grawitacji, bo ich wypadkowa (skierowana ku górze) dostarcza siły dośrodkowej potrzebnej do ruchu po łuku.

\n

Sposób 2 - Energetyczny (weryfikacja że \\(v \\neq 0\\) w najniższym punkcie)

\n

Kula wychylona maksymalnie ma \\(v = 0\\) i pewną wysokość \\(h > 0\\) ponad najniższym punktem. Przy swobodnym opadaniu (bez oporów powietrza) cała energia potencjalna zamienia się w kinetyczną:

\n

$$mgh = \\frac{1}{2}mv^2 \\implies v^2 = 2gh > 0$$

\n

Skoro \\(v^2 > 0\\), to \\(\\dfrac{mv^2}{R} > 0\\), co z równania:

\n

$$F_r - F_g = \\frac{mv^2}{R} > 0$$

\n

ponownie daje \\(F_r > F_g\\). Gdyby kąt wychylenia był zerowy (\\(h = 0\\)), dostalibyśmy \\(F_r = F_g\\) - ale zadanie mówi, że kula przechodzi przez najniższy punkt, co znaczy, że rzeczywiście była wychylona.

\n

Sposób 3 - Intuicja fizyczna (siła dośrodkowa jako „nadmiar" siły liny)

\n

Gdyby \\(F_r = F_g\\), siły by się równoważyły → wypadkowa = 0 → kula poruszałaby się po linii prostej (albo stałaby w miejscu). Ale w najniższym punkcie toru kula zmienia kierunek ruchu (zakręca w górę) - potrzebna jest wypadkowa siła do góry. Jedyną siłą działającą ku górze jest \\(\\vec{F}_r\\). Musi więc być silniejsza od grawitacji, żeby po odjęciu \\(F_g\\) została jeszcze „reszta" do zakręcenia toru.

\n

Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)

\n
📋 Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 9.1, max 1 pkt):
- 1 pkt - uczeń poprawnie narysował oba wektory sił (kierunek, zwrot: \\(\\vec{F}_r\\) w górę wzdłuż liny, \\(\\vec{F}_g\\) w dół) z zachowaniem relacji \\(F_r > F_g\\) (wektor \\(\\vec{F}_r\\) dłuższy od \\(\\vec{F}_g\\)) oraz wpisał znak „\\(>\\)"
- 0 pkt - wektory błędnie narysowane, błędny znak relacji lub brak relacji
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, kinematyka i dynamika ruchu po okręgu:

Przyspieszenie dośrodkowe: \\(a_d = \\dfrac{v^2}{r}\\)

II zasada Newtona: \\(\\vec{F}_{wyp} = m\\vec{a}\\)

Użyte w Sposobie 1: z obu wzorów wynika \\(F_r - F_g = \\dfrac{mv^2}{R}\\), skąd relacja \\(F_r > F_g\\).
\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd - napisanie \\(F_r = F_g\\). Uczniowie mylą „kula wisi na linie" (statyka, równowaga → \\(F_r = F_g\\)) z „kula w ruchu przez najniższy punkt" (dynamika, zakrzywiony tor → \\(F_r > F_g\\)).
\n
⚠️ Uwaga: Drugi częsty błąd - rysowanie \\(\\vec{F}_r\\) pod kątem (ukośnie), bo „pamiętają rysunek 1 z wychyleniem". Na rysunku 2 lina jest pionowa, więc \\(\\vec{F}_r\\) musi być też pionowo w górę.
\n
⚠️ Uwaga: Nie pomyl punktu przyłożenia - oba wektory przyłożone do środka masy kuli (środka geometrycznego kuli), nie do punktu styku liny z kulą.
\n
⚠️ Uwaga: Relacja \\(F_r > F_g\\) jest prawdziwa dla każdego niezerowego kąta wychylenia. Im większy kąt wychylenia (wyższa wysokość \\(h\\)), tym większe \\(v^2\\) w najniższym punkcie i tym bardziej \\(F_r\\) przewyższa \\(F_g\\).
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

[OBRAZEK] $F_{r} > F_{g}$

"}]}