{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/9.2","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"9.2","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9.2. (0-2)\nOszacuj czas, po jakim kula dotrze od najwyższego do najniższego punktu toru jej ruchu.\nWykorzystaj wartość przyspieszenia ziemskiego równą\n2\nm\n9,81 s\ng =\ni pomiń masę liny.\nWynik podaj z dokładnością do dwóch cyfr znaczących.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9.2. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający: 6.3) oblicza okres drgań […] wahadła\nmatematycznego.\nSchemat punktowania\n2 p. - prawidłowa metoda wyznaczenia czasu oraz prawidłowy wynik liczbowy z jednostką\nzawarty w przedziale czasu od t = 1,2 s do t = 1,3 s.\n1 p. - prawidłowa metoda pozwalająca wyznaczyć czas, po jakim kula dotrze od najwyższego\ndo najniższego punktu toru\nlub\n- prawidłowe obliczenie okresu drgań wahadła\nlub\n- oszacowanie czasu bez powołania się na odpowiednie zależności.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązania\nSposób 1.\nOszacujemy okres wahań, przyjmując układ za wahadło matematyczne.\nRysunek 1. Rysunek 2.\nܨԦ௚\nܨԦ௥\nZa długość wahadła przyjmiemy odległość od nieruchomego końca liny do środka masy kuli:\n=݀\n+ ݎ = 6 m + 0,4 m = 6,4 m\nZastosujemy wzór na okres wahadła matematycznego o długości l:\n= 2ߨඨ݈݃\n= 2 ∙3,14 ∙ඨ\n6,4 m\n9,81 m\nsଶ\n= 5,07 s ≈ 5,1 s\nCzas, po jakim kula dotrze od najwyższego do najniższego punktu toru, wynosi ćwierć okresu:\nݐ=ܶ4 = 1,27 s ≈1,3 s\nUwaga! Za długość wahadła l można było przyjąć wartość od l =d do l = d+2r. Zdający nie\nmusi uwzględniać poprawek wynikających z modelu wahadła fizycznego. Skrajne wyniki\nwychodzą wtedy odpowiednio: T = 4,91 s ≈ 4,9 s oraz t = 1,23 s ≈ 1,2 s; T = 5,23 s ≈ 5,2 s\noraz t = 1,31 s ≈ 1,3 s.\nSposób 2.\nPoniżej przykładowe rozwiązanie - dla tych zdających, którzy do rozwiązania mogli użyć metod\nwykraczających poza podstawę programową - z wykorzystaniem modelu wahadła fizycznego\nzamiast matematycznego. Zapiszemy wzór na okres wahadła fizycznego:\n= 2ߨඨ\nܫ௭\n(\n+ ܯ) ∙݃\n∙݈ௌெ\ngdzie ܫ௭ jest momentem bezwładności układu lina - kula względem punktu zaczepienia,\njest\nmasą kuli, ܯ jest masą liny, ݈ௌெ jest odległością od punktu zaczepienia liny do środka masy\nukładu lina - kula. Skorzystamy dalej ze wzoru na środek masy oraz wzoru Steinera\ni addytywności momentów bezwładności:\nܫ௭= 2\n5\nݎଶ+\n(ݎ+݀\n)ଶ+ 1\n3 ܯ݀\nଶ, ݈ௌெ=\n(\n+ ݎ)݉\n+ 1\n2 ܯ݀݉\n+ ܯ\nPo podstawieniu otrzymujemy:\n= 2ߨඩ\n2\n5݉\nݎଶ+\n(ݎ+݀\n)ଶ+ 1\n3 ܯ݀\nଶ\n∙(݀\n+ ݎ)݉\n+ 1\n2݃ܯ݀\nZgodnie z poleceniem pominiemy masę liny ܯ:\n= 2ߨඩ\n2\n5݉\nݎଶ+\n(ݎ+݀\n)ଶ\n∙(݀\n+ ݎ)݉\n= ⋯= 2ߨඨ݀\n+ ݎ݃∙ඨ2\n5 ∙ቀ\nݎ\nݎ+݀\nቁ\nଶ\n+ 1\nPo podstawieniu danych z zadania otrzymujemy:\n= 2ߨ ඨ݀\n+ ݎ݃∙ඨ2\n5 ∙ቀ\nݎ\nݎ+݀\nቁ\nଶ\n+ 1 ≈2ߨඨ݀\n+ ݎ݃∙1,0008 ≈5,08 s ≈ 5,1 s\nCzas, po jakim kula dotrze od najwyższego do najniższego punktu toru ruchu, wynosi ćwierć\nokresu:\nݐ=ܶ4 = 1,27 s ≈1,3 s","solution":"## Poprawna odpowiedz\n\nCzas, po jakim kula dotrze od najwyzszego do najnizszego punktu toru, to cwierc okresu drgan wahadla:\n\\[\\boxed{t = \\frac{T}{4} \\approx 1{,}3\\ \\text{s}}\\]\n(wartosc z przedzialu od \\(1{,}2\\ \\text{s}\\) do \\(1{,}3\\ \\text{s}\\), zaleznie od przyjetej dlugosci wahadla).\n\n## Dane (z tresci zadania 9)\n\n- promien kuli: \\(r = 40\\ \\text{cm} = 0{,}4\\ \\text{m}\\)\n- dlugosc liny: \\(d = 6\\ \\text{m}\\)\n- \\(g = 9{,}81\\ \\text{m/s}^2\\); mase liny pomijamy\n- za dlugosc wahadla przyjmujemy odleglosc od nieruchomego konca liny do srodka masy kuli: \\(l = d + r = 6 + 0{,}4 = 6{,}4\\ \\text{m}\\)\n\n## Sposob 1 - Model wahadla matematycznego\n\nKula na linie wykonuje drgania wahadlowe. Punkt najwyzszy = polozenie skrajne (amplituda, \\(v = 0\\)); punkt najnizszy = polozenie rownowagi. Czas przejscia od amplitudy do polozenia rownowagi to **cwierc okresu**.\n\nOkres wahadla:\n\\[T = 2\\pi\\sqrt{\\frac{l}{g}} = 2 \\cdot 3{,}14 \\cdot \\sqrt{\\frac{6{,}4\\ \\text{m}}{9{,}81\\ \\text{m/s}^2}} = 5{,}07\\ \\text{s} \\approx 5{,}1\\ \\text{s}\\]\n\nSzukany czas:\n\\[t = \\frac{T}{4} = \\frac{5{,}07\\ \\text{s}}{4} = 1{,}27\\ \\text{s} \\approx 1{,}3\\ \\text{s}\\]\n\n## Sposob 2 - Ruch harmoniczny (weryfikacja)\n\nWychylenie katowe \\(\\varphi(t) = A\\cos(\\omega t)\\), gdzie \\(\\omega = \\sqrt{g/l}\\). Najnizszy punkt (\\(\\varphi = 0\\)) wahadlo osiaga, gdy \\(\\omega t = \\tfrac{\\pi}{2}\\):\n\\[t = \\frac{\\pi}{2\\omega} = \\frac{\\pi}{2}\\sqrt{\\frac{l}{g}} = \\frac{3{,}14}{2}\\sqrt{\\frac{6{,}4}{9{,}81}} = 1{,}27\\ \\text{s} \\approx 1{,}3\\ \\text{s}\\]\nTen sam wynik.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> **Zadanie 9.2 (0-2)**\n> - **2 p.** - prawidlowa metoda wyznaczenia czasu oraz prawidlowy wynik liczbowy z jednostka zawarty w przedziale czasu od \\(t = 1{,}2\\ \\text{s}\\) do \\(t = 1{,}3\\ \\text{s}\\).\n> - **1 p.** - prawidlowa metoda pozwalajaca wyznaczyc czas, po jakim kula dotrze od najwyzszego do najnizszego punktu toru; lub prawidlowe obliczenie okresu drgan wahadla; lub oszacowanie czasu bez powolania sie na odpowiednie zaleznosci.\n> - **0 p.** - brak spelnienia powyzszych kryteriow.\n>\n> Uwaga (klucz): za dlugosc wahadla \\(l\\) mozna przyjac wartosc od \\(l = d\\) do \\(l = d + 2r\\); skrajne wyniki: \\(T = 4{,}91\\ \\text{s}\\) i \\(t \\approx 1{,}2\\ \\text{s}\\); \\(T = 5{,}23\\ \\text{s}\\) i \\(t \\approx 1{,}3\\ \\text{s}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n> - **Okres wahadla matematycznego:** \\(T = 2\\pi\\sqrt{\\dfrac{l}{g}}\\)\n> - Szukany czas: \\(t = \\dfrac{T}{4}\\)\n\n## Typowe pulapki\n\n> Uwaga: Dlugosc wahadla to \\(l = d + r = 6{,}4\\ \\text{m}\\) (lina + promien do srodka masy kuli), a NIE sama lina \\(6\\ \\text{m}\\). Klucz dopuszcza zakres \\(l\\) od \\(d\\) do \\(d + 2r\\).\n\n> Uwaga: Czas to \\(T/4\\), bo kula startuje z polozenia skrajnego (amplitudy). Nie liczymy tego przez kinematyke spadku swobodnego \\(h = \\tfrac{1}{2}gt^2\\) - kula porusza sie po luku, nie pionowo.\n\n> Uwaga: Wynik podajemy z dokladnoscia do dwoch cyfr znaczacych: \\(t \\approx 1{,}3\\ \\text{s}\\).","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-9.2.webp","solution_image":null,"topics":"Ruch harmoniczny","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 9.2. (0-2)
Oszacuj czas, po jakim kula dotrze od najwyższego do najniższego punktu toru jej ruchu.
Wykorzystaj wartość przyspieszenia ziemskiego równą
2
m
9,81 s
g =
i pomiń masę liny.
Wynik podaj z dokładnością do dwóch cyfr znaczących.

","answer_text_html":"

Zadanie 9.2. (0-2)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Budowa prostych modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk.
Zdający: 6.3) oblicza okres drgań […] wahadła
matematycznego.
Schemat punktowania
2 p. - prawidłowa metoda wyznaczenia czasu oraz prawidłowy wynik liczbowy z jednostką
zawarty w przedziale czasu od t = 1,2 s do t = 1,3 s.
1 p. - prawidłowa metoda pozwalająca wyznaczyć czas, po jakim kula dotrze od najwyższego
do najniższego punktu toru
lub

\n\n

lub

\n\n

0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Przykładowe rozwiązania
Sposób 1.
Oszacujemy okres wahań, przyjmując układ za wahadło matematyczne.
Rysunek 1. Rysunek 2.
ܨԦ௚
ܨԦ௥
Za długość wahadła przyjmiemy odległość od nieruchomego końca liny do środka masy kuli:
=݀

\n\n

Zastosujemy wzór na okres wahadła matematycznego o długości l:
= 2ߨඨ݈݃
= 2 ∙3,14 ∙ඨ
6,4 m
9,81 m
sଶ
= 5,07 s ≈ 5,1 s
Czas, po jakim kula dotrze od najwyższego do najniższego punktu toru, wynosi ćwierć okresu:
ݐ=ܶ4 = 1,27 s ≈1,3 s
Uwaga! Za długość wahadła l można było przyjąć wartość od l =d do l = d+2r. Zdający nie
musi uwzględniać poprawek wynikających z modelu wahadła fizycznego. Skrajne wyniki
wychodzą wtedy odpowiednio: T = 4,91 s ≈ 4,9 s oraz t = 1,23 s ≈ 1,2 s; T = 5,23 s ≈ 5,2 s
oraz t = 1,31 s ≈ 1,3 s.
Sposób 2.
Poniżej przykładowe rozwiązanie - dla tych zdających, którzy do rozwiązania mogli użyć metod
wykraczających poza podstawę programową - z wykorzystaniem modelu wahadła fizycznego
zamiast matematycznego. Zapiszemy wzór na okres wahadła fizycznego:
= 2ߨඨ
ܫ௭
(

\n\n

∙݈ௌெ
gdzie ܫ௭ jest momentem bezwładności układu lina - kula względem punktu zaczepienia,
jest
masą kuli, ܯ jest masą liny, ݈ௌெ jest odległością od punktu zaczepienia liny do środka masy
układu lina - kula. Skorzystamy dalej ze wzoru na środek masy oraz wzoru Steinera
i addytywności momentów bezwładności:
ܫ௭= 2
5
ݎଶ+
(ݎ+݀
)ଶ+ 1
3 ܯ݀
ଶ, ݈ௌெ=
(

\n\n

2 ܯ݀݉

\n\n

Po podstawieniu otrzymujemy:
= 2ߨඩ
2
5݉
ݎଶ+
(ݎ+݀
)ଶ+ 1
3 ܯ݀
ଶ
∙(݀

\n\n

2݃ܯ݀
Zgodnie z poleceniem pominiemy masę liny ܯ:
= 2ߨඩ
2
5݉
ݎଶ+
(ݎ+݀
)ଶ
∙(݀

\n\n

= ⋯= 2ߨඨ݀

\n\n

5 ∙ቀ
ݎ
ݎ+݀
ቁ
ଶ

\n\n

Po podstawieniu danych z zadania otrzymujemy:
= 2ߨ ඨ݀

\n\n

5 ∙ቀ
ݎ
ݎ+݀
ቁ
ଶ

\n\n

Czas, po jakim kula dotrze od najwyższego do najniższego punktu toru ruchu, wynosi ćwierć
okresu:
ݐ=ܶ4 = 1,27 s ≈1,3 s

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedz

\n

Czas, po jakim kula dotrze od najwyzszego do najnizszego punktu toru, to cwierc okresu drgan wahadla:
\\[\\boxed{t = \\frac{T}{4} \\approx 1{,}3\\ \\text{s}}\\]
(wartosc z przedzialu od \\(1{,}2\\ \\text{s}\\) do \\(1{,}3\\ \\text{s}\\), zaleznie od przyjetej dlugosci wahadla).

\n

Dane (z tresci zadania 9)

\n\n

Sposob 1 - Model wahadla matematycznego

\n

Kula na linie wykonuje drgania wahadlowe. Punkt najwyzszy = polozenie skrajne (amplituda, \\(v = 0\\)); punkt najnizszy = polozenie rownowagi. Czas przejscia od amplitudy do polozenia rownowagi to cwierc okresu.

\n

Okres wahadla:
\\[T = 2\\pi\\sqrt{\\frac{l}{g}} = 2 \\cdot 3{,}14 \\cdot \\sqrt{\\frac{6{,}4\\ \\text{m}}{9{,}81\\ \\text{m/s}^2}} = 5{,}07\\ \\text{s} \\approx 5{,}1\\ \\text{s}\\]

\n

Szukany czas:
\\[t = \\frac{T}{4} = \\frac{5{,}07\\ \\text{s}}{4} = 1{,}27\\ \\text{s} \\approx 1{,}3\\ \\text{s}\\]

\n

Sposob 2 - Ruch harmoniczny (weryfikacja)

\n

Wychylenie katowe \\(\\varphi(t) = A\\cos(\\omega t)\\), gdzie \\(\\omega = \\sqrt{g/l}\\). Najnizszy punkt (\\(\\varphi = 0\\)) wahadlo osiaga, gdy \\(\\omega t = \\tfrac{\\pi}{2}\\):
\\[t = \\frac{\\pi}{2\\omega} = \\frac{\\pi}{2}\\sqrt{\\frac{l}{g}} = \\frac{3{,}14}{2}\\sqrt{\\frac{6{,}4}{9{,}81}} = 1{,}27\\ \\text{s} \\approx 1{,}3\\ \\text{s}\\]
Ten sam wynik.

\n

Schemat oceniania CKE

\n
Zadanie 9.2 (0-2)
- 2 p. - prawidlowa metoda wyznaczenia czasu oraz prawidlowy wynik liczbowy z jednostka zawarty w przedziale czasu od \\(t = 1{,}2\\ \\text{s}\\) do \\(t = 1{,}3\\ \\text{s}\\).
- 1 p. - prawidlowa metoda pozwalajaca wyznaczyc czas, po jakim kula dotrze od najwyzszego do najnizszego punktu toru; lub prawidlowe obliczenie okresu drgan wahadla; lub oszacowanie czasu bez powolania sie na odpowiednie zaleznosci.
- 0 p. - brak spelnienia powyzszych kryteriow.

Uwaga (klucz): za dlugosc wahadla \\(l\\) mozna przyjac wartosc od \\(l = d\\) do \\(l = d + 2r\\); skrajne wyniki: \\(T = 4{,}91\\ \\text{s}\\) i \\(t \\approx 1{,}2\\ \\text{s}\\); \\(T = 5{,}23\\ \\text{s}\\) i \\(t \\approx 1{,}3\\ \\text{s}\\).
\n

Wzory z karty CKE

\n
- Okres wahadla matematycznego: \\(T = 2\\pi\\sqrt{\\dfrac{l}{g}}\\)
- Szukany czas: \\(t = \\dfrac{T}{4}\\)
\n

Typowe pulapki

\n
Uwaga: Dlugosc wahadla to \\(l = d + r = 6{,}4\\ \\text{m}\\) (lina + promien do srodka masy kuli), a NIE sama lina \\(6\\ \\text{m}\\). Klucz dopuszcza zakres \\(l\\) od \\(d\\) do \\(d + 2r\\).
\n
Uwaga: Czas to \\(T/4\\), bo kula startuje z polozenia skrajnego (amplitudy). Nie liczymy tego przez kinematyke spadku swobodnego \\(h = \\tfrac{1}{2}gt^2\\) - kula porusza sie po luku, nie pionowo.
\n
Uwaga: Wynik podajemy z dokladnoscia do dwoch cyfr znaczacych: \\(t \\approx 1{,}3\\ \\text{s}\\).
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$t \\approx 1,3 \\text{ s}$

"}]}