{"id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/9.3","paper_id":"fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona","number":"9.3","points":1,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2018,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9.3. (0-1)\nW opisanym doświadczeniu zmierzono bezpośrednio czas, po jakim kula dotrze od\nnajwyższego do najniższego punktu toru jej ruchu. Wynik doświadczenia nieco różnił się od\nwyniku, jaki przewidywali wcześniej eksperymentatorzy na podstawie modelu wahadła\nmatematycznego dla tego zjawiska. Przyjmij, że pomiary czasu zostały wykonane starannie\ni z użyciem bardzo precyzyjnych przyrządów, natomiast w obliczeniach, które miały\nprzewidzieć wynik, wykorzystano dokładną wartość przyspieszenia ziemskiego w danym\nmiejscu i bardzo dokładne wymiary liny oraz kuli.\nZapisz poniżej dwa spośród założeń przyjętego modelu zjawiska, które mogły nie zostać\nspełnione w doświadczeniu.\n1\n2\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n8.3.\n9.1.\n9.2.\n9.3.\nMaks. liczba pkt\n2\n1\n2\n1\nUzyskana liczba pkt\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9.3. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n8.2) (G) wyodrębnia zjawisko z kontekstu,\nwskazuje czynniki istotne i nieistotne dla\nwyniku doświadczenia,\n12.7) krytycznie analizuje realność\notrzymanego wyniku,\n13.2) przeprowadza badania […] polegające na\nopisie i analizie wyników [pomiarów]\ndotyczących: […] ruchu wahadła.\nSchemat punktowania\n1 p. - zapisanie dwóch prawidłowych warunków.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nAby otrzymać punkt, to wszystkie zapisane warunki, niezależnie od ich liczby, muszą być\nprawidłowe.\nPoprawna odpowiedź\nZapisanie dwóch spośród poniżej wymienionych założeń modelu wahadła matematycznego:\n- ciało zawieszone na linie musi mieć bardzo małe rozmiary w stosunku do długości liny\n(idealnie, gdy jest ono punktem materialnym),\n- lina, na której zawieszone jest ciało, musi mieć masę dużo mniejszą od masy ciała (idealnie,\ngdy lina jest nieważka),\n- stosunek sił oporów powietrza działających na ciało do ciężaru ciała musi być dużo mniejszy\nod jedności (idealnie, gdy wahadło znajduje się w próżni),\n- kąt maksymalnego wychylenia liny musi być bardzo mały,\n- lina nie może być rozciągliwa,\n- działanie tylko dwóch sił: reakcji liny oraz grawitacji.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n**Dwa założenia modelu wahadła matematycznego, które mogły nie być spełnione (dowolne dwa spośród poniższych):**\n\n1. **Kula jest punktem materialnym** - rzeczywista kula ma skończone rozmiary i masę rozłożoną w objętości, nie skupioną w jednym punkcie.\n2. **Lina jest nieważka (masa liny = 0)** - rzeczywista lina ma masę, co zmienia efektywną długość i moment bezwładności układu.\n3. **Kąt wychylenia jest mały** (\\(\\sin\\theta \\approx \\theta\\)) - jeśli wychylenie było duże, aproksymacja traci ważność i rzeczywisty okres jest *dłuższy* niż \\(T = 2\\pi\\sqrt{L/g}\\).\n4. **Brak oporu powietrza (wahadło drgające w próżni)** - w rzeczywistości powietrze tłumi ruch i nieznacznie zmienia mierzony czas.\n\n## Sposób 1 - Analiza definicji modelu i porównanie z realiami doświadczenia\n\n**Wahadło matematyczne** to model idealny. W modelu zakładamy ściśle określone warunki - zadanie pyta, które z nich nie są spełnione w laboratorium. Wróćmy do definicji krok po kroku:\n\n### Założenie A: Punkt materialny\n\n> Model: *cała masa skupiona w jednym geometrycznym punkcie.*\n\n**Kula** to bryła o skończonym promieniu \\(r\\). Moment bezwładności kuli (nawet pomijając linę) względem osi zawieszenia to nie \\(mL^2\\) lecz:\n\n\\[\nI = m\\!\\left(L + r\\right)^2 + \\tfrac{2}{5}mr^2\n\\]\n\n(tw. Steinera + własna bezwładność kuli). Efektywna długość wahadła fizycznego jest *dłuższa* niż \\(L\\) mierzone do środka kuli, więc okres jest dłuższy - wynik różni się od przewidywań modelu.\n\n### Założenie B: Lina nieważka\n\n> Model: *masa liny = 0; cała masa układu = masa kulki.*\n\nRzeczywista lina ma masę \\(m_l > 0\\), co powoduje, że środek masy układu leży *wyżej* niż środek ciężkości samej kuli. Wahadło fizyczne lina+kula ma inny efektywny promień drgań niż \\(L\\).\n\n### Założenie C: Małe wychylenia (\\(\\sin\\theta \\approx \\theta\\))\n\n> Model: \\(T = 2\\pi\\sqrt{L/g}\\) wynika z przybliżenia \\(\\sin\\theta \\approx \\theta\\) (dokładne dla \\(\\theta < 5^\\circ\\)).\n\nDla większych kątów prawdziwy okres:\n\n\\[\nT_{\\text{rzecz}} = 2\\pi\\sqrt{\\frac{L}{g}}\\left(1 + \\frac{1}{16}\\theta_0^2 + \\frac{11}{3072}\\theta_0^4 + \\ldots\\right)\n\\]\n\nNawet przy \\(\\theta_0 = 20^\\circ\\) poprawka wynosi ok. +1,5% - mierzalnie różna od modelu przy precyzyjnym pomiarze.\n\n### Założenie D: Brak oporu powietrza\n\n> Model: jedyna siła zewnętrzna to grawitacja - ruch odbywa się w próżni.\n\nW rzeczywistości powietrze wywiera opór \\(F_{\\text{op}} \\propto v\\) lub \\(\\propto v^2\\), który zwalnia kulę - kula dochodzi do najniższego punktu nieznacznie **wolniej** niż model przewiduje (lub zmniejsza amplitudę kolejnych wychyleń).\n\n## Sposób 2 - Eliminacja przez analizę tego, co *NIE* jest przyczyną\n\nZadanie podkreśla, że:\n- pomiary czasu były **precyzyjne** → wyklucza błąd pomiarowy,\n- użyto **dokładnej wartości \\(g\\)** → wyklucza błąd wartości przyspieszenia,\n- użyto **bardzo dokładnych wymiarów liny i kuli** → wyklucza błąd pomiaru \\(L\\).\n\nPozostają wyłącznie **błędy modelu** - czyli właśnie założenia, które model przyjmuje, ale rzeczywistość nie spełnia. Mamy cztery kandydatów (A-D powyżej). Wybieramy **dowolne dwa** - najczęściej najłatwiej uzasadnić A (rozmiar kuli) + C (kąt wychylenia).\n\n## Sposób 3 - Przez wzór i prognozę kierunku odchyłki\n\nJeśli wynik *doświadczalny* był **dłuższy** niż przewidywany:\n- wskazuje na założenie C (duży kąt → większy okres) lub A/B (większa efektywna długość → większy okres).\n\nJeśli wynik był **krótszy** niż przewidywany:\n- wskazuje na błąd w modelu długości (środek masy kuli umieszczony zbyt nisko w obliczeniach).\n\nTo rozumowanie przez **kierunek odchyłki** pozwala w doświadczeniu laboratoryjnym wskazać najbardziej prawdopodobne założenie, które zawodzi.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 9.3, max 1 pkt):**\n> - **1 pkt** - zdający podał dwa poprawne założenia modelu wahadła matematycznego, które mogły nie być spełnione w doświadczeniu\n> - **0 pkt** - zdający podał mniej niż dwa poprawne założenia lub założenia, które nie dotyczą modelu wahadła matematycznego\n>\n> **Akceptowane założenia (dowolne dwa spośród):**\n> ✅ Kula jest punktem materialnym / masa kuli skupiona w punkcie\n> ✅ Masa liny (nici) jest pomijalnie mała / lina jest nieważka\n> ✅ Wychylenie (kąt) jest małe / \\(\\sin\\theta \\approx \\theta\\) / amplituda jest mała\n> ✅ Brak oporu powietrza / ruchy odbywają się w próżni\n> ✅ Lina jest nierozciągliwa\n>\n> **Uwagi (orientacyjne):** ❌ Nie uznaje się odpowiedzi odnoszących się do dokładności pomiaru czasu lub przyspieszenia \\(g\\) (są wykluczone przez treść zadania).\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (drgania mechaniczne):**\n> Okres wahadła matematycznego: \\(T = 2\\pi\\sqrt{\\dfrac{L}{g}}\\)\n>\n> Wzór ten jest wyprowadzony przy założeniu **małych kątów** (\\(\\sin\\theta \\approx \\theta\\)) i **punktowej masy** na **nieważkiej, nierozciągliwej linie**.\n> Każde odejście od tych założeń w rzeczywistym doświadczeniu → \\(T_{\\text{rzecz}} \\neq T_{\\text{model}}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Piszenie \"pomiary były niedokładne\" lub \"przyspieszenie \\(g\\) było inne\" - to NIE jest założenie modelu, a treść zadania wprost wyklucza te przyczyny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pisanie tylko jednego założenia zamiast **dwóch** - automatycznie 0 pkt. Zawsze pisz dwa wyraźnie oddzielone punkty.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mylenie \"kula zamiast punktu\" z \"błąd pomiaru średnicy\" - to różne rzeczy. Chodzi o idealizację modelu (punkt vs. bryła), a nie o pomiar.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie ma jednej \"jedynej słusznej\" pary - CKE akceptuje kilka kombinacji. Wybierz tę, którą najlepiej umiesz uzasadnić na egzaminie.","image":"img/fizyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad-9.3.webp","solution_image":null,"topics":"Ruch harmoniczny","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2018 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 9.3. (0-1)
W opisanym doświadczeniu zmierzono bezpośrednio czas, po jakim kula dotrze od
najwyższego do najniższego punktu toru jej ruchu. Wynik doświadczenia nieco różnił się od
wyniku, jaki przewidywali wcześniej eksperymentatorzy na podstawie modelu wahadła
matematycznego dla tego zjawiska. Przyjmij, że pomiary czasu zostały wykonane starannie
i z użyciem bardzo precyzyjnych przyrządów, natomiast w obliczeniach, które miały
przewidzieć wynik, wykorzystano dokładną wartość przyspieszenia ziemskiego w danym
miejscu i bardzo dokładne wymiary liny oraz kuli.
Zapisz poniżej dwa spośród założeń przyjętego modelu zjawiska, które mogły nie zostać
spełnione w doświadczeniu.
1
2
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
8.3.
9.1.
9.2.
9.3.
Maks. liczba pkt
2
1
2
1
Uzyskana liczba pkt
MFA_1R

","answer_text_html":"

Zadanie 9.3. (0-1)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
I. Znajomość i umiejętność
wykorzystania pojęć i praw fizyki
do wyjaśniania procesów i zjawisk
w przyrodzie.
Zdający:
8.2) (G) wyodrębnia zjawisko z kontekstu,
wskazuje czynniki istotne i nieistotne dla
wyniku doświadczenia,
12.7) krytycznie analizuje realność
otrzymanego wyniku,
13.2) przeprowadza badania […] polegające na
opisie i analizie wyników [pomiarów]
dotyczących: […] ruchu wahadła.
Schemat punktowania
1 p. - zapisanie dwóch prawidłowych warunków.
0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.
Aby otrzymać punkt, to wszystkie zapisane warunki, niezależnie od ich liczby, muszą być
prawidłowe.
Poprawna odpowiedź
Zapisanie dwóch spośród poniżej wymienionych założeń modelu wahadła matematycznego:

\n\n

(idealnie, gdy jest ono punktem materialnym),

\n\n

gdy lina jest nieważka),

\n\n

od jedności (idealnie, gdy wahadło znajduje się w próżni),

\n","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

Dwa założenia modelu wahadła matematycznego, które mogły nie być spełnione (dowolne dwa spośród poniższych):

\n
  1. Kula jest punktem materialnym - rzeczywista kula ma skończone rozmiary i masę rozłożoną w objętości, nie skupioną w jednym punkcie.
  2. Lina jest nieważka (masa liny = 0) - rzeczywista lina ma masę, co zmienia efektywną długość i moment bezwładności układu.
  3. Kąt wychylenia jest mały (\\(\\sin\\theta \\approx \\theta\\)) - jeśli wychylenie było duże, aproksymacja traci ważność i rzeczywisty okres jest dłuższy niż \\(T = 2\\pi\\sqrt{L/g}\\).
  4. Brak oporu powietrza (wahadło drgające w próżni) - w rzeczywistości powietrze tłumi ruch i nieznacznie zmienia mierzony czas.
\n

Sposób 1 - Analiza definicji modelu i porównanie z realiami doświadczenia

\n

Wahadło matematyczne to model idealny. W modelu zakładamy ściśle określone warunki - zadanie pyta, które z nich nie są spełnione w laboratorium. Wróćmy do definicji krok po kroku:

\n
Założenie A: Punkt materialny
\n
Model: cała masa skupiona w jednym geometrycznym punkcie.
\n

Kula to bryła o skończonym promieniu \\(r\\). Moment bezwładności kuli (nawet pomijając linę) względem osi zawieszenia to nie \\(mL^2\\) lecz:

\n

\\[
I = m\\!\\left(L + r\\right)^2 + \\tfrac{2}{5}mr^2
\\]

\n

(tw. Steinera + własna bezwładność kuli). Efektywna długość wahadła fizycznego jest dłuższa niż \\(L\\) mierzone do środka kuli, więc okres jest dłuższy - wynik różni się od przewidywań modelu.

\n
Założenie B: Lina nieważka
\n
Model: masa liny = 0; cała masa układu = masa kulki.
\n

Rzeczywista lina ma masę \\(m_l > 0\\), co powoduje, że środek masy układu leży wyżej niż środek ciężkości samej kuli. Wahadło fizyczne lina+kula ma inny efektywny promień drgań niż \\(L\\).

\n
Założenie C: Małe wychylenia (\\(\\sin\\theta \\approx \\theta\\))
\n
Model: \\(T = 2\\pi\\sqrt{L/g}\\) wynika z przybliżenia \\(\\sin\\theta \\approx \\theta\\) (dokładne dla \\(\\theta < 5^\\circ\\)).
\n

Dla większych kątów prawdziwy okres:

\n

\\[
T_{\\text{rzecz}} = 2\\pi\\sqrt{\\frac{L}{g}}\\left(1 + \\frac{1}{16}\\theta_0^2 + \\frac{11}{3072}\\theta_0^4 + \\ldots\\right)
\\]

\n

Nawet przy \\(\\theta_0 = 20^\\circ\\) poprawka wynosi ok. +1,5% - mierzalnie różna od modelu przy precyzyjnym pomiarze.

\n
Założenie D: Brak oporu powietrza
\n
Model: jedyna siła zewnętrzna to grawitacja - ruch odbywa się w próżni.
\n

W rzeczywistości powietrze wywiera opór \\(F_{\\text{op}} \\propto v\\) lub \\(\\propto v^2\\), który zwalnia kulę - kula dochodzi do najniższego punktu nieznacznie wolniej niż model przewiduje (lub zmniejsza amplitudę kolejnych wychyleń).

\n

Sposób 2 - Eliminacja przez analizę tego, co NIE jest przyczyną

\n

Zadanie podkreśla, że:

\n\n

Pozostają wyłącznie błędy modelu - czyli właśnie założenia, które model przyjmuje, ale rzeczywistość nie spełnia. Mamy cztery kandydatów (A-D powyżej). Wybieramy dowolne dwa - najczęściej najłatwiej uzasadnić A (rozmiar kuli) + C (kąt wychylenia).

\n

Sposób 3 - Przez wzór i prognozę kierunku odchyłki

\n

Jeśli wynik doświadczalny był dłuższy niż przewidywany:

\n\n

Jeśli wynik był krótszy niż przewidywany:

\n\n

To rozumowanie przez kierunek odchyłki pozwala w doświadczeniu laboratoryjnym wskazać najbardziej prawdopodobne założenie, które zawodzi.

\n

Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)

\n
📋 Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 9.3, max 1 pkt):
- 1 pkt - zdający podał dwa poprawne założenia modelu wahadła matematycznego, które mogły nie być spełnione w doświadczeniu
- 0 pkt - zdający podał mniej niż dwa poprawne założenia lub założenia, które nie dotyczą modelu wahadła matematycznego

Akceptowane założenia (dowolne dwa spośród):
✅ Kula jest punktem materialnym / masa kuli skupiona w punkcie
✅ Masa liny (nici) jest pomijalnie mała / lina jest nieważka
✅ Wychylenie (kąt) jest małe / \\(\\sin\\theta \\approx \\theta\\) / amplituda jest mała
✅ Brak oporu powietrza / ruchy odbywają się w próżni
✅ Lina jest nierozciągliwa

Uwagi (orientacyjne): ❌ Nie uznaje się odpowiedzi odnoszących się do dokładności pomiaru czasu lub przyspieszenia \\(g\\) (są wykluczone przez treść zadania).
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (drgania mechaniczne):
Okres wahadła matematycznego: \\(T = 2\\pi\\sqrt{\\dfrac{L}{g}}\\)

Wzór ten jest wyprowadzony przy założeniu małych kątów (\\(\\sin\\theta \\approx \\theta\\)) i punktowej masy na nieważkiej, nierozciągliwej linie.
Każde odejście od tych założeń w rzeczywistym doświadczeniu → \\(T_{\\text{rzecz}} \\neq T_{\\text{model}}\\).
\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Piszenie "pomiary były niedokładne" lub "przyspieszenie \\(g\\) było inne" - to NIE jest założenie modelu, a treść zadania wprost wyklucza te przyczyny.
\n
⚠️ Uwaga: Pisanie tylko jednego założenia zamiast dwóch - automatycznie 0 pkt. Zawsze pisz dwa wyraźnie oddzielone punkty.
\n
⚠️ Uwaga: Mylenie "kula zamiast punktu" z "błąd pomiaru średnicy" - to różne rzeczy. Chodzi o idealizację modelu (punkt vs. bryła), a nie o pomiar.
\n
⚠️ Uwaga: Nie ma jednej "jedynej słusznej" pary - CKE akceptuje kilka kombinacji. Wybierz tę, którą najlepiej umiesz uzasadnić na egzaminie.
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Zapisanie dwóch spośród poniżej wymienionych założeń modelu wahadła matematycznego:
– ciało zawieszone na linie musi mieć bardzo małe rozmiary w stosunku do długości liny (idealnie, gdy jest ono punktem materialnym),
– lina, na której zawieszone jest ciało, musi mieć masę dużo mniejszą od masy ciała (idealnie, gdy lina jest nieważka),
– stosunek sił oporów powietrza działających na ciało do ciężaru ciała musi być dużo mniejszy od jedności (idealnie, gdy wahadło znajduje się w próżni),
– kąt maksymalnego wychylenia liny musi być bardzo mały,
– lina nie może być rozciągliwa,
– działanie tylko dwóch sił: reakcji liny oraz grawitacji.

"}]}