{"id":"fizyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/3.1","paper_id":"fizyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"3.1","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3.1. (0-3)\nWyprowadź wzór wyrażający zależność wartości v prędkości środka masy bryły\nobrotowej od współczynnika k oraz wysokości h.\n80m, 2r\n2m, 2r\n20m, r\nm, r\nR2\nW1\nR1\nl1\nh\nl2\ngሬԦ\nW2\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3.1. (0-3)\nSchemat punktowania\n3 p. - prawidłowe wyprowadzenie wzoru na prędkość.\n2 p. - prawidłowe zapisanie zasady zachowania energii z wykorzystaniem wzorów na: energię\nkinetyczną ruchu postępowego, energię kinetyczną ruchu obrotowego, energię\npotencjalną, oraz wykorzystanie związków: 𝑣= 𝜔𝑟 i 𝐼= 𝑘𝑚𝑟2\nlub\n- prawidłowe zapisanie II zasady dynamiki dla ruchu postępowego i obrotowego bryły\nz uwzględnieniem związku 𝑎= 𝜖𝑟 , wzoru 𝐼= 𝑘𝑚𝑟2 oraz wzorów z kinematyki ruchu\njednostajnie przyspieszonego (np. 𝑣2 = 2𝑎𝑠).\n1 p. - zapisanie zasady zachowania energii z uwzględnieniem energii kinetycznej ruchu\npostępowego oraz energii kinetycznej ruchu obrotowego bryły\nlub\n- zapisanie II zasady dynamiki dla ruchu postępowego i obrotowego bryły.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nSposób 1. (zasada zachowania energii)\nZapisujemy zasadę zachowania energii. Przyjmujemy, że zero energii potencjalnej dla każdej\nz brył jest na poziomie środka masy w chwili, gdy bryła dotyka linii l2. Korzystamy też z\nwarunku braku poślizgu, co określa związek 𝑣= 𝜔𝑟.\n𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ(𝑙1) = 𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ(𝑙2) → 𝐸𝑝𝑜𝑡 1 + 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑐𝑎𝑙𝑘 1 = 𝐸𝑝𝑜𝑡 2 + 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑐𝑎𝑙𝑘 2\n𝑚𝑔ℎ+ 0 = 0 + 1\n2 𝑚𝑣2 + 1\n2 𝐼𝜔2 → 𝑚𝑔ℎ= 1\n2 𝑚𝑣2 + 1\n2 𝑘𝑚𝑟2𝜔2\n𝑔ℎ= 1\n2 𝑣2 + 1\n2 𝑘𝑣2 → 2𝑔ℎ= 𝑣2 + 𝑘𝑣2 → 𝑣2 = 2𝑔ℎ\n1 + 𝑘\n𝑣= √2𝑔ℎ\n1 + 𝑘\nSposób 2. (równania II zasady dynamiki)\nZapiszemy równania dynamiki ruchu bryły: II zasadę dynamiki dla ruchu postępowego punktu\nśrodka masy oraz II zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego względem środka masy. Uwaga,\nmoment siły względem środka masy to moment siły tarcia statycznego (w ogólności siła ta nie\nosiąga wartości maksymalnej). Z równań tych wyznaczymy przyspieszenie liniowe bryły.\nKorzystamy też z warunku braku poślizgu, co określa związek 𝑎= 𝜖𝑟:\n{𝑚𝑎= 𝑚𝑔sin 𝛼-𝑇𝑠\n𝐼𝜖= 𝑟𝑇𝑠\n→ {\n𝑚𝑎= 𝑚𝑔sin 𝛼-𝑇𝑠\n𝑘𝑚𝑟2 𝑎\n𝑟 = 𝑟𝑇𝑠\n→ {𝑚𝑎= 𝑚𝑔sin 𝛼-𝑇𝑠\n𝑇𝑠= 𝑘𝑚𝑎\n𝑚𝑎= 𝑚𝑔sin 𝛼-𝑘𝑚𝑎 → 𝑎= 𝑔sin 𝛼-𝑘𝑎 → 𝑎= 𝑔sin 𝛼\n𝑘+ 1\nNastępnie skorzystamy z równań ruchu jednostajnie przyspieszonego. Drogę jaką przebywa\nbryła pomiędzy linią l1 a linią l2 oznaczymy s. Wtedy też sin 𝛼=\nℎ\n𝑠:\n𝑣2 = 2𝑎𝑠 → 𝑣2 = 2 𝑔sin 𝛼\n𝑘+ 1 𝑠=\n2𝑔ℎ\n𝑠\n𝑘+ 1 𝑠= 2𝑔ℎ\n𝑘+ 1 → 𝑣= √2𝑔ℎ\n1 + 𝑘","solution":null,"image":"img/fizyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-3.1.webp","solution_image":null,"topics":"Bryła Sztywna","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · czerwiec 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 3.1. (0-3)<br>Wyprowadź wzór wyrażający zależność wartości v prędkości środka masy bryły<br>obrotowej od współczynnika k oraz wysokości h.<br>80m, 2r<br>2m, 2r<br>20m, r<br>m, r<br>R2<br>W1<br>R1<br>l1<br>h<br>l2<br>gሬԦ<br>W2<br>MFA_1R</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 3.1. (0-3)<br>Schemat punktowania<br>3 p. - prawidłowe wyprowadzenie wzoru na prędkość.<br>2 p. - prawidłowe zapisanie zasady zachowania energii z wykorzystaniem wzorów na: energię<br>kinetyczną ruchu postępowego, energię kinetyczną ruchu obrotowego, energię<br>potencjalną, oraz wykorzystanie związków: 𝑣= 𝜔𝑟 i 𝐼= 𝑘𝑚𝑟2<br>lub</p>\n<ul><li>prawidłowe zapisanie II zasady dynamiki dla ruchu postępowego i obrotowego bryły</li></ul>\n<p>z uwzględnieniem związku 𝑎= 𝜖𝑟 , wzoru 𝐼= 𝑘𝑚𝑟2 oraz wzorów z kinematyki ruchu<br>jednostajnie przyspieszonego (np. 𝑣2 = 2𝑎𝑠).<br>1 p. - zapisanie zasady zachowania energii z uwzględnieniem energii kinetycznej ruchu<br>postępowego oraz energii kinetycznej ruchu obrotowego bryły<br>lub</p>\n<ul><li>zapisanie II zasady dynamiki dla ruchu postępowego i obrotowego bryły.</li></ul>\n<p>0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.<br>Przykładowe rozwiązanie<br>Sposób 1. (zasada zachowania energii)<br>Zapisujemy zasadę zachowania energii. Przyjmujemy, że zero energii potencjalnej dla każdej<br>z brył jest na poziomie środka masy w chwili, gdy bryła dotyka linii l2. Korzystamy też z<br>warunku braku poślizgu, co określa związek 𝑣= 𝜔𝑟.<br>𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ(𝑙1) = 𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ(𝑙2) → 𝐸𝑝𝑜𝑡 1 + 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑐𝑎𝑙𝑘 1 = 𝐸𝑝𝑜𝑡 2 + 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑐𝑎𝑙𝑘 2<br>𝑚𝑔ℎ+ 0 = 0 + 1<br>2 𝑚𝑣2 + 1<br>2 𝐼𝜔2 → 𝑚𝑔ℎ= 1<br>2 𝑚𝑣2 + 1<br>2 𝑘𝑚𝑟2𝜔2<br>𝑔ℎ= 1<br>2 𝑣2 + 1<br>2 𝑘𝑣2 → 2𝑔ℎ= 𝑣2 + 𝑘𝑣2 → 𝑣2 = 2𝑔ℎ<br>1 + 𝑘<br>𝑣= √2𝑔ℎ<br>1 + 𝑘<br>Sposób 2. (równania II zasady dynamiki)<br>Zapiszemy równania dynamiki ruchu bryły: II zasadę dynamiki dla ruchu postępowego punktu<br>środka masy oraz II zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego względem środka masy. Uwaga,<br>moment siły względem środka masy to moment siły tarcia statycznego (w ogólności siła ta nie<br>osiąga wartości maksymalnej). Z równań tych wyznaczymy przyspieszenie liniowe bryły.<br>Korzystamy też z warunku braku poślizgu, co określa związek 𝑎= 𝜖𝑟:<br>{𝑚𝑎= 𝑚𝑔sin 𝛼-𝑇𝑠<br>𝐼𝜖= 𝑟𝑇𝑠<br>→ {<br>𝑚𝑎= 𝑚𝑔sin 𝛼-𝑇𝑠<br>𝑘𝑚𝑟2 𝑎<br>𝑟 = 𝑟𝑇𝑠<br>→ {𝑚𝑎= 𝑚𝑔sin 𝛼-𝑇𝑠<br>𝑇𝑠= 𝑘𝑚𝑎<br>𝑚𝑎= 𝑚𝑔sin 𝛼-𝑘𝑚𝑎 → 𝑎= 𝑔sin 𝛼-𝑘𝑎 → 𝑎= 𝑔sin 𝛼<br>𝑘+ 1<br>Następnie skorzystamy z równań ruchu jednostajnie przyspieszonego. Drogę jaką przebywa<br>bryła pomiędzy linią l1 a linią l2 oznaczymy s. Wtedy też sin 𝛼=<br>ℎ<br>𝑠:<br>𝑣2 = 2𝑎𝑠 → 𝑣2 = 2 𝑔sin 𝛼<br>𝑘+ 1 𝑠=<br>2𝑔ℎ<br>𝑠<br>𝑘+ 1 𝑠= 2𝑔ℎ<br>𝑘+ 1 → 𝑣= √2𝑔ℎ<br>1 + 𝑘</p>","solutions":[]}