{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/1.2","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"1.2","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1.2. (0-2)\nPiłka wyrzucona poziomo z autu, z wysokości h = 1,96 m, spadła na boisko w odległości\nx = 5,10 m - jeśli zmierzyć w kierunku poziomym od miejsca wyrzutu (zobacz rys. powyżej).\nOblicz wartość v0 prędkości początkowej piłki.\nh\nvሬԦ0\nx\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 1.2. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n1.15) analizuje ruch ciał w dwóch wymiarach\nna przykładzie rzutu poziomego;\n1.4) wykorzystuje związki pomiędzy\npołożeniem, prędkością, i przyspieszeniem\nw ruchu jednostajnym i jednostajnie zmiennym\ndo obliczania parametrów ruchu.\nSchemat punktowania\n2 p. - prawidłowe obliczenie prędkości początkowej oraz prawidłowy wynik liczbowy\nz jednostką.\n1 p. - wykorzystanie prawidłowych zależności wiążących drogę/wysokość (lub położenie)\nz czasem w spadku pionowym bez prędkości początkowej oraz zależności wiążących\ndrogę/położenie z czasem w ruchu jednostajnym prostoliniowym (w poziomie)\nlub\n- wykorzystanie wzoru z wyeliminowanym czasem, wiążącego prędkość początkową\nv0 z zasięgiem x rzutu\nlub\n- wykorzystanie czasu trwania ruchu obliczonego w zadaniu 1.1. oraz zależności wiążącej\ndrogę (lub położenie) z czasem w ruchu jednostajnym prostoliniowym (w poziomie).\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nZapisujemy kinematyczne równania spadku swobodnego w kierunku pionowym (bez prędkości\npoczątkowej w kierunku pionowym) oraz ruchu jednostajnego prostoliniowego w kierunku\npoziomym (z położeniem początkowym równym zero). Z równań tych wyznaczamy zależność\nwiążącą prędkość początkową v0 z zasięgiem x rzutu.\nݔ(ݐ) = ݒ଴ݐ, ݕ(ݐ) = ℎ-1\n2݃ݐଶ\n௬ୀ଴, ௧ୀ௧ೞ\nሱۛۛۛۛۛۛ\nሮ ݔ= ݒ଴ݐ௦,\n0 = ℎ -1\n2݃ݐ௦\nଶ\nݒ଴= ݔට݃2ℎ → ݒ଴= 5,1 m ∙ඨ9,81 m/s2\n2 ∙1,96 m ≈8,07 ≈8,1 m\ns","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n\\[v_0 \\approx 8{,}07 \\text{ m/s}\\]\n\n## Sposób 1 - Kinematyka rzutu poziomego: wyznaczenie czasu z ruchu pionowego\n\n**Kluczowa zasada:** w rzucie poziomym ruch pionowy i poziomy są **niezależne**.\n\n### Krok 1 - Ruch pionowy (swobodny spadek)\n\nPiłka spada z \\(h = 1{,}96\\) m bez prędkości pionowej, więc:\n\n\\[\nh = \\frac{1}{2}g t^2\n\\]\n\n\\[\nt = \\sqrt{\\frac{2h}{g}} = \\sqrt{\\frac{2 \\times 1{,}96}{9{,}81}} = \\sqrt{\\frac{3{,}92}{9{,}81}} = \\sqrt{0{,}3997} \\approx 0{,}632 \\text{ s}\n\\]\n\n> **Uwaga:** \\(h = 1{,}96\\) m dobrano nieprzypadkowo - przy \\(g = 9{,}8 \\text{ m/s}^2\\) otrzymujemy \\(t = \\sqrt{0{,}400} = 0{,}632\\) s równo.\n\n### Krok 2 - Ruch poziomy (jednostajny)\n\nW kierunku poziomym brak sił, więc \\(v_0 = \\text{const}\\):\n\n\\[\nx = v_0 \\cdot t \\implies v_0 = \\frac{x}{t} = \\frac{5{,}10}{0{,}632} \\approx \\boxed{8{,}07 \\text{ m/s}}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Eliminacja \\(t\\): bezpośredni wzór na \\(v_0\\)\n\nŁączymy oba równania, eliminując czas:\n\n\\[\n\\begin{cases}\nx = v_0 \\cdot t \\\\\nh = \\dfrac{1}{2}g t^2\n\\end{cases}\n\\]\n\nZ pierwszego równania: \\(t = \\dfrac{x}{v_0}\\). Podstawiamy do drugiego:\n\n\\[\nh = \\frac{1}{2}g \\left(\\frac{x}{v_0}\\right)^2 \\implies v_0^2 = \\frac{g x^2}{2h}\n\\]\n\n\\[\nv_0 = x\\sqrt{\\frac{g}{2h}} = 5{,}10 \\cdot \\sqrt{\\frac{9{,}81}{2 \\times 1{,}96}} = 5{,}10 \\cdot \\sqrt{\\frac{9{,}81}{3{,}92}} = 5{,}10 \\cdot \\sqrt{2{,}503} = 5{,}10 \\cdot 1{,}582 \\approx \\boxed{8{,}07 \\text{ m/s}}\n\\]\n\n**Zaleta Sposobu 2:** jeden krok obliczeniowy, brak zaokrągleń pośrednich, mniejsze ryzyko błędu.\n\n## Sposób 3 - Przez prędkość końcową w kierunku pionowym\n\nPrzy uderzeniu w boisko piłka ma prędkość pionową:\n\n\\[\nv_y = \\sqrt{2gh} = \\sqrt{2 \\times 9{,}81 \\times 1{,}96} = \\sqrt{38{,}46} \\approx 6{,}20 \\text{ m/s}\n\\]\n\nCzas lotu:\n\n\\[\nt = \\frac{v_y}{g} = \\frac{6{,}20}{9{,}81} \\approx 0{,}632 \\text{ s}\n\\]\n\nPrędkość pozioma (bez zmiany przez cały lot):\n\n\\[\nv_0 = \\frac{x}{t} = \\frac{5{,}10}{0{,}632} \\approx \\boxed{8{,}07 \\text{ m/s}}\n\\]\n\n**Dlaczego \\(v_y = \\sqrt{2gh}\\)?** Bo to zasada zachowania energii dla ruchu pionowego: \\(\\frac{1}{2}mv_y^2 = mgh\\).\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Schemat punktowania CKE (zadanie 1.2, 0-2 pkt):**\n>\n> - **2 pkt** - prawidłowe obliczenie prędkości początkowej oraz prawidłowy wynik liczbowy z jednostką.\n> - **1 pkt** - wykorzystanie prawidłowych zależności wiążących drogę/wysokość (lub położenie) z czasem w spadku pionowym bez prędkości początkowej oraz zależności wiążących drogę/położenie z czasem w ruchu jednostajnym prostoliniowym (w poziomie) **LUB** wykorzystanie wzoru z wyeliminowanym czasem, wiążącego prędkość początkową \\(v_0\\) z zasięgiem \\(x\\) rzutu **LUB** wykorzystanie czasu trwania ruchu obliczonego w zadaniu 1.1. oraz zależności wiążącej drogę z czasem w ruchu jednostajnym (w poziomie).\n> - **0 pkt** - brak spełnienia powyższych kryteriów.\n>\n> **Przykładowe rozwiązanie CKE:** Z eliminacji czasu: \\(v_0 = x\\sqrt{\\frac{g}{2h}} = 5{,}1 \\cdot \\sqrt{\\frac{9{,}81}{2 \\cdot 1{,}96}} \\approx 8{,}07 \\approx 8{,}1 \\text{ m/s}\\).\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-17 karty EM2023):**\n>\n> **Kinematyka - rzut poziomy:**\n> \\[x = v_0 t \\qquad y = \\frac{1}{2}gt^2\\]\n> *(w notacji karty: \\(s = v_0 t\\) dla ruchu jednostajnego; \\(s = \\frac{1}{2}at^2\\) dla ruchu jednostajnie przyspieszonego)*\n>\n> **Przyspieszenie grawitacyjne:** \\(g = 9{,}81 \\text{ m/s}^2\\) (podane na karcie)\n>\n> Używamy dokładnie tych dwóch wzorów - najpierw pionowy (czas), potem poziomy (prędkość).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Pułapka 1 - mylenie składowych:** Uczeń wstawia \\(h\\) do wzoru poziomego lub \\(x\\) do pionowego. Zapamiętaj: **pionowy** → \\(h = \\frac{1}{2}gt^2\\), **poziomy** → \\(x = v_0 t\\).\n\n> ⚠️ **Pułapka 2 - kwadrat przy \\(t\\):** Z \\(h = \\frac{1}{2}gt^2\\) wynika \\(t = \\sqrt{2h/g}\\), **nie** \\(t = 2h/g\\). Brak pierwiastka to jeden z najczęstszych błędów na maturze.\n\n> ⚠️ **Pułapka 3 - niepewność \\(g\\):** Użycie \\(g = 10 \\text{ m/s}^2\\) jest dopuszczalne przez CKE, ale zmienia wynik końcowy. Jeśli w treści zadania nie podano \\(g\\), użyj wartości z karty wzorów (\\(9{,}81 \\text{ m/s}^2\\)) - to bezpieczniejsza strategia.\n\n> ⚠️ **Pułapka 4 - brak jednostki w odpowiedzi:** CKE wymaga wyniku z jednostką. Odpowiedź \"8,07\" bez \"m/s\" może nie dostać pełnego punktu za obliczenia.","image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-1.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 1.2. (0-2)
Piłka wyrzucona poziomo z autu, z wysokości h = 1,96 m, spadła na boisko w odległości
x = 5,10 m - jeśli zmierzyć w kierunku poziomym od miejsca wyrzutu (zobacz rys. powyżej).
Oblicz wartość v0 prędkości początkowej piłki.
h
vሬԦ0
x
MFA_1R

","answer_text_html":"

Zadanie 1.2. (0-2)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Budowa prostych modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk.
Zdający:
1.15) analizuje ruch ciał w dwóch wymiarach
na przykładzie rzutu poziomego;
1.4) wykorzystuje związki pomiędzy
położeniem, prędkością, i przyspieszeniem
w ruchu jednostajnym i jednostajnie zmiennym
do obliczania parametrów ruchu.
Schemat punktowania
2 p. - prawidłowe obliczenie prędkości początkowej oraz prawidłowy wynik liczbowy
z jednostką.
1 p. - wykorzystanie prawidłowych zależności wiążących drogę/wysokość (lub położenie)
z czasem w spadku pionowym bez prędkości początkowej oraz zależności wiążących
drogę/położenie z czasem w ruchu jednostajnym prostoliniowym (w poziomie)
lub

\n\n

v0 z zasięgiem x rzutu
lub

\n\n

drogę (lub położenie) z czasem w ruchu jednostajnym prostoliniowym (w poziomie).
0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Przykładowe rozwiązanie
Zapisujemy kinematyczne równania spadku swobodnego w kierunku pionowym (bez prędkości
początkowej w kierunku pionowym) oraz ruchu jednostajnego prostoliniowego w kierunku
poziomym (z położeniem początkowym równym zero). Z równań tych wyznaczamy zależność
wiążącą prędkość początkową v0 z zasięgiem x rzutu.
ݔ(ݐ) = ݒ଴ݐ, ݕ(ݐ) = ℎ-1
2݃ݐଶ
௬ୀ଴, ௧ୀ௧ೞ
ሱۛۛۛۛۛۛ
ሮ ݔ= ݒ଴ݐ௦,
0 = ℎ -1
2݃ݐ௦
ଶ
ݒ଴= ݔට݃2ℎ → ݒ଴= 5,1 m ∙ඨ9,81 m/s2
2 ∙1,96 m ≈8,07 ≈8,1 m
s

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n
v0≈8,07 m/s
\n

Sposób 1 - Kinematyka rzutu poziomego: wyznaczenie czasu z ruchu pionowego

\n

Kluczowa zasada: w rzucie poziomym ruch pionowy i poziomy są niezależne.

\n
Krok 1 - Ruch pionowy (swobodny spadek)
\n

Piłka spada z h=1,96 m bez prędkości pionowej, więc:

\n
h=12gt2
\n
t=2hg=2×1,969,81=3,929,81=0,3997≈0,632 s
\n
Uwaga: h=1,96 m dobrano nieprzypadkowo - przy g=9,8 m/s2 otrzymujemy t=0,400=0,632 s równo.
\n
Krok 2 - Ruch poziomy (jednostajny)
\n

W kierunku poziomym brak sił, więc v0=const:

\n
x=v0·t⟹v0=xt=5,100,632≈8,07 m/s
\n

Sposób 2 - Eliminacja t: bezpośredni wzór na v0

\n

Łączymy oba równania, eliminując czas:

\n
{x=v0·th=12gt2
\n

Z pierwszego równania: t=xv0. Podstawiamy do drugiego:

\n
h=12g(xv0)2⟹v02=gx22h
\n
v0=xg2h=5,10·9,812×1,96=5,10·9,813,92=5,10·2,503=5,10·1,582≈8,07 m/s
\n

Zaleta Sposobu 2: jeden krok obliczeniowy, brak zaokrągleń pośrednich, mniejsze ryzyko błędu.

\n

Sposób 3 - Przez prędkość końcową w kierunku pionowym

\n

Przy uderzeniu w boisko piłka ma prędkość pionową:

\n
vy=2gh=2×9,81×1,96=38,46≈6,20 m/s
\n

Czas lotu:

\n
t=vyg=6,209,81≈0,632 s
\n

Prędkość pozioma (bez zmiany przez cały lot):

\n
v0=xt=5,100,632≈8,07 m/s
\n

Dlaczego vy=2gh? Bo to zasada zachowania energii dla ruchu pionowego: 12mvy2=mgh.

\n

Schemat oceniania CKE

\n
📋 Schemat punktowania CKE (zadanie 1.2, 0-2 pkt):

- 2 pkt - prawidłowe obliczenie prędkości początkowej oraz prawidłowy wynik liczbowy z jednostką.
- 1 pkt - wykorzystanie prawidłowych zależności wiążących drogę/wysokość (lub położenie) z czasem w spadku pionowym bez prędkości początkowej oraz zależności wiążących drogę/położenie z czasem w ruchu jednostajnym prostoliniowym (w poziomie) LUB wykorzystanie wzoru z wyeliminowanym czasem, wiążącego prędkość początkową v0 z zasięgiem x rzutu LUB wykorzystanie czasu trwania ruchu obliczonego w zadaniu 1.1. oraz zależności wiążącej drogę z czasem w ruchu jednostajnym (w poziomie).
- 0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.

Przykładowe rozwiązanie CKE: Z eliminacji czasu: v0=xg2h=5,1·9,812·1,96≈8,07≈8,1 m/s.
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-17 karty EM2023):

Kinematyka - rzut poziomy:
x=v0ty=12gt2
(w notacji karty: s=v0t dla ruchu jednostajnego; s=12at2 dla ruchu jednostajnie przyspieszonego)

Przyspieszenie grawitacyjne: g=9,81 m/s2 (podane na karcie)

Używamy dokładnie tych dwóch wzorów - najpierw pionowy (czas), potem poziomy (prędkość).
\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Pułapka 1 - mylenie składowych: Uczeń wstawia h do wzoru poziomego lub x do pionowego. Zapamiętaj: pionowy → h=12gt2, poziomy → x=v0t.
\n
⚠️ Pułapka 2 - kwadrat przy t: Z h=12gt2 wynika t=2h/g, nie t=2h/g. Brak pierwiastka to jeden z najczęstszych błędów na maturze.
\n
⚠️ Pułapka 3 - niepewność g: Użycie g=10 m/s2 jest dopuszczalne przez CKE, ale zmienia wynik końcowy. Jeśli w treści zadania nie podano g, użyj wartości z karty wzorów (9,81 m/s2) - to bezpieczniejsza strategia.
\n
⚠️ Pułapka 4 - brak jednostki w odpowiedzi: CKE wymaga wyniku z jednostką. Odpowiedź "8,07" bez "m/s" może nie dostać pełnego punktu za obliczenia.
"}]}