{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/3.2","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"3.2","points":5,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3.2. (0-5)\nWartość a przyspieszenia opadającego ciężarka uczniowie wyznaczyli przy użyciu stopera,\nprzymiaru liniowego i po przyjęciu założenia, że a jest stałe. Zmierzono czas t = 1,6 s opadania\nciężarka z wysokości h = 0,960 m.\na) Zapisz wzór pozwalający obliczyć wartość a przyspieszenia ciężarka na podstawie\nzmierzonych t i h. Oblicz a.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n2.\n3.1.\nMaks. liczba pkt\n1\n2\nUzyskana liczba pkt\nA\nB\nMFA_1R\nDodatkowa informacja do zadania 3.2.\nGdy wielkości fizyczne y oraz x wiąże zależność y = f(x), to y można wyznaczyć z pomiaru x.\nWtedy, jeśli znana jest niepewność pomiarowa ∆x wielkości x, to jej wkład do niepewności\npomiarowej ∆y wielkości y można określić następująco:\n1 |\n(\n)\n(\n) |\n2\ny\nf x\nx\nf x\nx\nΔ\n+ Δ\n-Δ\nW opisanym doświadczeniu wartość a przyspieszenia ciężarka zależy od dwóch mierzonych\nwielkości: t i h.\nb) Oblicz niepewność wyznaczenia a przy założeniu, że pomiar t jest dokładny, a pomiar\nh wykonano z niepewnością Δh = 5 mm.\nc) Oblicz niepewność wyznaczenia a przy założeniu, że pomiar h jest dokładny, a pomiar\nt wykonano z niepewnością Δt = 0,1 s.\nd) Ustal i zapisz, która z niepewności: Δt = 0,1 s czy Δh = 5 mm, w większym stopniu\nwpływa na niepewność wyznaczenia przyspieszenia. Uzasadnij odpowiedź.\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3.2. (0-5)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Planowanie i wykonywanie prostych\ndoświadczeń i analiza ich wyników.\nZdający:\n1.4) wykorzystuje związki pomiędzy\npołożeniem, prędkością, i przyspieszeniem\nw ruchu jednostajnym i jednostajnie zmiennym\ndo obliczania parametrów ruchu;\n12.6) opisuje podstawowe zasady niepewności\npomiaru (szacowanie niepewności pomiaru\n[…], wskazywanie wielkości, której pomiar ma\ndecydujący wkład na niepewność otrzymanego\nwyniku wyznaczonej wielkości fizycznej).\na) (0-2)\nSchemat punktowania\n2 p. - prawidłowe obliczenie przyspieszenia i prawidłowy wynik liczbowy z jednostką.\n1 p. - prawidłowe zapisanie wzoru wiążącego przyspieszenie z drogą/wysokością i czasem\nw ruchu jednostajnie przyspieszonym bez prędkości początkowej\nlub\n- zapisanie wyrażenia z bezpośrednio podstawionymi do wzoru na przyspieszenie\nwartościami liczbowymi drogi i czasu (bez zapisu wzoru na symbolach).\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nZapiszemy wzór i wykonamy obliczenia:\n= 2ℎ\nݐଶ\n= 2 ∙0,960 m\n1,6ଶ s2\n= 0,750 m\nsଶ\nb) (0-1)\nSchemat punktowania\n1 p. - prawidłowe obliczenie wkładu niepewności pomiaru wysokości do niepewności\nprzyspieszenia.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nA\nB\nFሬԦB\nFሬԦA\nFሬԦg\nPrzykładowe rozwiązanie\nObliczamy niepewność a przyjmując, że pomiar t jest dokładny, a pomiar h wykonano\nz niepewnością Δh = 5 mm. W związku z tym h traktujemy jako zmienną we wzorze na\nprzyspieszenie:\n∆ܽ௛= 1\n2 ∙ቤ2(ℎ+ ∆ℎ)\nݐଶ\n- 2(ℎ-∆ℎ)\nݐଶ\nቤ= 2∆ℎ\nݐଶ= 2 ∙5 ∙10ିଷ m\n1,6ଶ s2\n≈ 3,91 ∙10ିଷ m\ns2 ≈0,004 m\ns2\nc) (0-1)\nSchemat punktowania\n1 p. - prawidłowe obliczenie wkładu niepewności pomiaru czasu do niepewności\nprzyspieszenia.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPrzykładowe rozwiązanie\nObliczamy niepewność a przyjmując, że pomiar h jest dokładny, a pomiar t wykonano\nz niepewnością Δt = 0,1 s. W związku z tym t traktujemy jako zmienną we wzorze na\nprzyspieszenie:\n∆ܽ௧= 1\n2 ∙ฬ\n2ℎ\n(ݐ+ ∆ݐ)ଶ-\n2ℎ\n(ݐ-∆ݐ)ଶฬ= ฬ0,960 m\n1,7ଶ sଶ- 0,960 m\n1,5ଶ sଶฬ≈9,45 ∙10ିଶ m\nsଶ≈0,1 m\nsଶ\nd) (0-1)\nSchemat punktowania\n1 p. - poprawna odpowiedź i prawidłowe uzasadnienie.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPrzykładowe rozwiązanie\nOdpowiedź.\nNa niepewność wyznaczenia przyspieszenia w większym stopniu wpływa niepewność pomiaru\nczasu.\nUzasadnienie odpowiedzi\nSposób 1.\nWkład niepewności pomiaru czasu jest ok. 25 razy większy od wkładu niepewności wysokości:\n∆ܽ௧\n∆ܽ௛\n≈0,1\n0,004 = 25\nSposób 2.\nPonieważ ∆ܽ௧> ∆ܽ௛.\nSposób 3. (przybliżony dla tej zależności)\nNiepewności względne pomiaru czasu i wysokości wynoszą:\n∆ݐ\nݐ= 0,1 s\n1,6 s ≈0,06 ∆ℎ\nℎ=\n5 mm\n960 mm ≈0,005\nPonieważ wysokość jest mierzona dokładniej - co widać z porównania niepewności\nwzględnych - to na niepewność przyspieszenia bardziej wpływa niepewność pomiaru czasu.\nSposób 4. (z użyciem metod wykraczających poza podstawę programową)\nSkorzystamy ze wzoru przybliżonego na niepewność: ∆ݕ≈|݂’(ݔ)|∆ݔ. Wtedy:\n∆ܽ௧\n∆ܽ௛\n≈2∆ݐ\n∆ℎ∙ℎ\nݐ= 24\nWkład niepewności pomiaru czasu jest większy od wkładu niepewności wysokości.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n- a) \\(a = \\dfrac{2h}{t^2} = 0{,}750 \\text{ m/s}^2\\)\n- b) wkład niepewności pomiaru wysokości: \\(\\Delta a_h \\approx 0{,}004 \\text{ m/s}^2\\) (przy \\(\\Delta h = 5\\) mm)\n- c) wkład niepewności pomiaru czasu: \\(\\Delta a_t \\approx 0{,}1 \\text{ m/s}^2\\) (przy \\(\\Delta t = 0{,}1\\) s)\n- d) na niepewność wyznaczenia przyspieszenia w **większym stopniu** wpływa niepewność pomiaru **czasu** (\\(\\Delta a_t \\approx 25 \\cdot \\Delta a_h\\))\n\n## Sposób 1 - Wzór kinematyczny + propagacja niepewności metodą CKE\n\n### Krok 1 - Wyprowadzenie wzoru na \\(a\\)\n\nCiężarek opada ze spoczynku (v₀ = 0) ze stałym przyspieszeniem:\n\n\\[h = \\frac{1}{2}at^2 \\implies \\boxed{a = \\frac{2h}{t^2}}\\]\n\n### Krok 2 - Obliczenie wartości \\(a\\)\n\n\\[a = \\frac{2 \\cdot 0{,}960}{(1{,}6)^2} = \\frac{1{,}920}{2{,}56} = \\mathbf{0{,}75 \\text{ m/s}^2}\\]\n\n### Krok 3 - Niepewność wkładu pomiaru czasu \\(\\Delta a_t\\) (część c zadania)\n\nPomiar \\(t\\) wykonano z niepewnością **\\(\\Delta t = 0{,}1 \\text{ s}\\)** (założenie z treści).\n\nStosuję wzór z treści zadania dla zmiennej \\(t\\) (h = const):\n\n\\[\\Delta a_t = \\frac{1}{2}\\left|\\frac{2h}{(t+\\Delta t)^2} - \\frac{2h}{(t-\\Delta t)^2}\\right|\\]\n\n\\[\\Delta a_t = \\frac{1}{2}\\left|\\frac{2 \\cdot 0{,}960}{(1{,}7)^2} - \\frac{2 \\cdot 0{,}960}{(1{,}5)^2}\\right| = \\frac{1}{2}\\left|\\frac{0{,}960}{1{,}7^2} - \\frac{0{,}960}{1{,}5^2}\\right| \\cdot 2\\]\n\n\\[\\Delta a_t = \\frac{1}{2}\\left|0{,}6643 - 0{,}8533\\right| = \\frac{1}{2} \\cdot 0{,}1890 \\approx 9{,}45 \\cdot 10^{-2} \\approx \\mathbf{0{,}1 \\text{ m/s}^2}\\]\n\n### Krok 4 - Niepewność wkładu pomiaru wysokości \\(\\Delta a_h\\) (część b zadania)\n\nPomiar \\(h\\) wykonano z niepewnością **\\(\\Delta h = 5 \\text{ mm} = 5 \\cdot 10^{-3} \\text{ m}\\)** (założenie z treści).\n\nStosuję wzór dla zmiennej \\(h\\) (t = const):\n\n\\[\\Delta a_h = \\frac{1}{2}\\left|\\frac{2(h+\\Delta h)}{t^2} - \\frac{2(h-\\Delta h)}{t^2}\\right| = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{4\\Delta h}{t^2} = \\frac{2\\Delta h}{t^2}\\]\n\n\\[\\Delta a_h = \\frac{2 \\cdot 5 \\cdot 10^{-3}}{(1{,}6)^2} = \\frac{0{,}010}{2{,}56} \\approx 3{,}91 \\cdot 10^{-3} \\approx \\mathbf{0{,}004 \\text{ m/s}^2}\\]\n\n### Krok 5 - Porównanie wkładów i wynik\n\nWkład niepewności pomiaru czasu jest ok. **25 razy większy** od wkładu niepewności wysokości:\n\n\\[\\frac{\\Delta a_t}{\\Delta a_h} \\approx \\frac{0{,}1}{0{,}004} = 25\\]\n\n> **Wniosek (część d):** Na niepewność wyznaczenia przyspieszenia w **większym stopniu wpływa niepewność pomiaru czasu** \\(\\Delta t\\). Dokładniejszy stoper (np. czujnik fotoelektryczny) radykalnie poprawiłby wynik.\n\n\\[\\boxed{a = 0{,}750 \\text{ m/s}^2, \\quad \\Delta a_h \\approx 0{,}004 \\text{ m/s}^2, \\quad \\Delta a_t \\approx 0{,}1 \\text{ m/s}^2}\\]\n\n## Sposób 2 - Metoda rachunku różniczkowego (weryfikacja)\n\nDla \\(a = f(h, t) = \\frac{2h}{t^2}\\) liczymy pochodne cząstkowe:\n\n\\[\\frac{\\partial a}{\\partial h} = \\frac{2}{t^2}, \\qquad \\frac{\\partial a}{\\partial t} = -\\frac{4h}{t^3}\\]\n\nWkłady do niepewności metodą różniczkową:\n\n\\[\\Delta a_h = \\left|\\frac{\\partial a}{\\partial h}\\right| \\cdot \\Delta h = \\frac{2}{(1{,}6)^2} \\cdot 5 \\cdot 10^{-3} = \\frac{2}{2{,}56} \\cdot 0{,}005 \\approx 0{,}0039 \\text{ m/s}^2\\]\n\n\\[\\Delta a_t = \\left|\\frac{\\partial a}{\\partial t}\\right| \\cdot \\Delta t = \\frac{4 \\cdot 0{,}960}{(1{,}6)^3} \\cdot 0{,}1 = \\frac{3{,}84}{4{,}096} \\cdot 0{,}1 = 0{,}9375 \\cdot 0{,}1 \\approx 0{,}094 \\text{ m/s}^2\\]\n\n**Wyniki zgodne z Metodą 1** (\\(\\Delta a_h \\approx 0{,}004\\), \\(\\Delta a_t \\approx 0{,}1\\)) - to potwierdza poprawność obu podejść. Wzór z treści zadania jest symetrycznym przybliżeniem pochodnej.\n\n## Sposób 3 - Analiza względnych wkładów niepewności\n\nSprawdzam, **jaka frakcja** wartości \\(a\\) pochodzi z każdej niepewności:\n\n\\[\\frac{\\Delta a_t}{a} = \\frac{0{,}1}{0{,}75} \\approx 12{,}5\\%\\]\n\n\\[\\frac{\\Delta a_h}{a} = \\frac{0{,}004}{0{,}75} \\approx 0{,}5\\%\\]\n\nWkład względny z \\(\\Delta t\\) jest **\\(\\approx 25\\) razy większy** niż z \\(\\Delta h\\). Wynika to ze struktury wzoru:\n\n\\[a = \\frac{2h}{t^2}\\]\n\nCzas \\(t\\) wchodzi do potęgi drugiej - każda względna niepewność \\(t\\) wchodzi **podwójnie** do wyniku:\n\n\\[\\frac{\\Delta a}{a} \\approx 2\\frac{\\Delta t}{t} = 2 \\cdot \\frac{0{,}1}{1{,}6} \\approx 12{,}5\\%\\]\n\nco idealnie zgadza się z obliczeniami.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Schemat punktowania CKE (zadanie 3.2, 0-5 pkt - części a-d):**\n>\n> **a) (0-2):**\n> - 2 p. - prawidłowe obliczenie przyspieszenia i prawidłowy wynik liczbowy z jednostką.\n> - 1 p. - prawidłowe zapisanie wzoru wiążącego przyspieszenie z drogą/wysokością i czasem w ruchu jednostajnie przyspieszonym bez prędkości początkowej **LUB** zapisanie wyrażenia z bezpośrednio podstawionymi wartościami liczbowymi (bez zapisu wzoru na symbolach).\n> - Przykład: \\(a = \\frac{2h}{t^2} = \\frac{2 \\cdot 0{,}960}{1{,}6^2} = 0{,}750 \\text{ m/s}^2\\).\n>\n> **b) (0-1):**\n> - 1 p. - prawidłowe obliczenie wkładu niepewności pomiaru wysokości do niepewności przyspieszenia.\n> - Przykład: \\(\\Delta a_h = \\frac{2\\Delta h}{t^2} = \\frac{2 \\cdot 5 \\cdot 10^{-3}}{1{,}6^2} \\approx 3{,}91 \\cdot 10^{-3} \\approx 0{,}004 \\text{ m/s}^2\\).\n>\n> **c) (0-1):**\n> - 1 p. - prawidłowe obliczenie wkładu niepewności pomiaru czasu do niepewności przyspieszenia.\n> - Przykład: \\(\\Delta a_t = \\frac{1}{2}\\left|\\frac{2h}{(t+\\Delta t)^2} - \\frac{2h}{(t-\\Delta t)^2}\\right| = \\left|\\frac{0{,}960}{1{,}7^2} - \\frac{0{,}960}{1{,}5^2}\\right| \\approx 9{,}45 \\cdot 10^{-2} \\approx 0{,}1 \\text{ m/s}^2\\).\n>\n> **d) (0-1):**\n> - 1 p. - poprawna odpowiedź i prawidłowe uzasadnienie.\n> - Odpowiedź CKE: na niepewność wyznaczenia przyspieszenia w większym stopniu wpływa niepewność pomiaru **czasu**. Uzasadnienie: wkład \\(\\Delta a_t\\) jest ok. 25 razy większy od \\(\\Delta a_h\\) (\\(0{,}1 / 0{,}004 = 25\\)); albo: \\(\\Delta a_t > \\Delta a_h\\).\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów EM2023 - kinematyka (str. 16-17):**\n>\n> - Ruch jednostajnie przyspieszony ze spoczynku: \\(h = \\frac{1}{2}at^2\\)\n> - Bezpośrednio z karty wyprowadzamy: \\(a = \\frac{2h}{t^2}\\)\n>\n> Wzór na propagację niepewności podany jest w **treści zadania** (nie w karcie wzorów CKE) - to dodatkowy wzór specjalny do tego zadania; matura dostarcza go sama.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zapomnienie o czynniku 2 - pisanie \\(a = h/t^2\\) zamiast \\(a = 2h/t^2\\). Pamiętaj: ze wzoru na drogę \\(h = \\frac{1}{2}at^2\\) dostajemy \\(a = \\frac{2h}{t^2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pomylenie kolejności w różnicy \\(f(x+\\Delta x) - f(x-\\Delta x)\\): tutaj funkcja \\(a(t) = 2h/t^2\\) jest **malejąca** względem \\(t\\), więc \\(a(t+\\Delta t) < a(t-\\Delta t)\\). Wzór zawiera wartość bezwzględną - nie ma znaczenia kolejność, ale **nie gubimy znaku**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pominięcie niepewności \\(\\Delta h\\) „bo mała\" - bez rachunku nie wiesz, że jest mała! CKE wymaga, żebyś policzył oba wkłady i dopiero wtedy stwierdzić, który dominuje.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zaokrąglenie \\(a = 0{,}750\\) m/s² jest dokładne. Wkład \\(\\Delta a_t \\approx 9{,}45 \\cdot 10^{-2} \\approx 0{,}1\\) m/s², a \\(\\Delta a_h \\approx 3{,}91 \\cdot 10^{-3} \\approx 0{,}004\\) m/s² - zaokrąglamy do jednej-dwóch cyfr znaczących zgodnie z kluczem CKE. Dominuje wkład pomiaru czasu (część d).","image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-3.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 3.2. (0-5)
Wartość a przyspieszenia opadającego ciężarka uczniowie wyznaczyli przy użyciu stopera,
przymiaru liniowego i po przyjęciu założenia, że a jest stałe. Zmierzono czas t = 1,6 s opadania
ciężarka z wysokości h = 0,960 m.
a) Zapisz wzór pozwalający obliczyć wartość a przyspieszenia ciężarka na podstawie
zmierzonych t i h. Oblicz a.
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
2.
3.1.
Maks. liczba pkt
1
2
Uzyskana liczba pkt
A
B
MFA_1R
Dodatkowa informacja do zadania 3.2.
Gdy wielkości fizyczne y oraz x wiąże zależność y = f(x), to y można wyznaczyć z pomiaru x.
Wtedy, jeśli znana jest niepewność pomiarowa ∆x wielkości x, to jej wkład do niepewności
pomiarowej ∆y wielkości y można określić następująco:
1 |
(
)
(
) |
2
y
f x
x
f x
x
Δ

\n\n

-Δ
W opisanym doświadczeniu wartość a przyspieszenia ciężarka zależy od dwóch mierzonych
wielkości: t i h.
b) Oblicz niepewność wyznaczenia a przy założeniu, że pomiar t jest dokładny, a pomiar
h wykonano z niepewnością Δh = 5 mm.
c) Oblicz niepewność wyznaczenia a przy założeniu, że pomiar h jest dokładny, a pomiar
t wykonano z niepewnością Δt = 0,1 s.
d) Ustal i zapisz, która z niepewności: Δt = 0,1 s czy Δh = 5 mm, w większym stopniu
wpływa na niepewność wyznaczenia przyspieszenia. Uzasadnij odpowiedź.
MFA_1R

","answer_text_html":"

Zadanie 3.2. (0-5)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
V. Planowanie i wykonywanie prostych
doświadczeń i analiza ich wyników.
Zdający:
1.4) wykorzystuje związki pomiędzy
położeniem, prędkością, i przyspieszeniem
w ruchu jednostajnym i jednostajnie zmiennym
do obliczania parametrów ruchu;
12.6) opisuje podstawowe zasady niepewności
pomiaru (szacowanie niepewności pomiaru
[…], wskazywanie wielkości, której pomiar ma
decydujący wkład na niepewność otrzymanego
wyniku wyznaczonej wielkości fizycznej).
a) (0-2)
Schemat punktowania
2 p. - prawidłowe obliczenie przyspieszenia i prawidłowy wynik liczbowy z jednostką.
1 p. - prawidłowe zapisanie wzoru wiążącego przyspieszenie z drogą/wysokością i czasem
w ruchu jednostajnie przyspieszonym bez prędkości początkowej
lub

\n\n

wartościami liczbowymi drogi i czasu (bez zapisu wzoru na symbolach).
0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Przykładowe rozwiązanie
Zapiszemy wzór i wykonamy obliczenia:
= 2ℎ
ݐଶ
= 2 ∙0,960 m
1,6ଶ s2
= 0,750 m
sଶ
b) (0-1)
Schemat punktowania
1 p. - prawidłowe obliczenie wkładu niepewności pomiaru wysokości do niepewności
przyspieszenia.
0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.
A
B
FሬԦB
FሬԦA
FሬԦg
Przykładowe rozwiązanie
Obliczamy niepewność a przyjmując, że pomiar t jest dokładny, a pomiar h wykonano
z niepewnością Δh = 5 mm. W związku z tym h traktujemy jako zmienną we wzorze na
przyspieszenie:
∆ܽ௛= 1
2 ∙ቤ2(ℎ+ ∆ℎ)
ݐଶ

\n\n

ݐଶ
ቤ= 2∆ℎ
ݐଶ= 2 ∙5 ∙10ିଷ m
1,6ଶ s2
≈ 3,91 ∙10ିଷ m
s2 ≈0,004 m
s2
c) (0-1)
Schemat punktowania
1 p. - prawidłowe obliczenie wkładu niepewności pomiaru czasu do niepewności
przyspieszenia.
0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.
Przykładowe rozwiązanie
Obliczamy niepewność a przyjmując, że pomiar h jest dokładny, a pomiar t wykonano
z niepewnością Δt = 0,1 s. W związku z tym t traktujemy jako zmienną we wzorze na
przyspieszenie:
∆ܽ௧= 1
2 ∙ฬ
2ℎ
(ݐ+ ∆ݐ)ଶ-
2ℎ
(ݐ-∆ݐ)ଶฬ= ฬ0,960 m
1,7ଶ sଶ- 0,960 m
1,5ଶ sଶฬ≈9,45 ∙10ିଶ m
sଶ≈0,1 m
sଶ
d) (0-1)
Schemat punktowania
1 p. - poprawna odpowiedź i prawidłowe uzasadnienie.
0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.
Przykładowe rozwiązanie
Odpowiedź.
Na niepewność wyznaczenia przyspieszenia w większym stopniu wpływa niepewność pomiaru
czasu.
Uzasadnienie odpowiedzi
Sposób 1.
Wkład niepewności pomiaru czasu jest ok. 25 razy większy od wkładu niepewności wysokości:
∆ܽ௧
∆ܽ௛
≈0,1
0,004 = 25
Sposób 2.
Ponieważ ∆ܽ௧> ∆ܽ௛.
Sposób 3. (przybliżony dla tej zależności)
Niepewności względne pomiaru czasu i wysokości wynoszą:
∆ݐ
ݐ= 0,1 s
1,6 s ≈0,06 ∆ℎ
ℎ=
5 mm
960 mm ≈0,005
Ponieważ wysokość jest mierzona dokładniej - co widać z porównania niepewności
względnych - to na niepewność przyspieszenia bardziej wpływa niepewność pomiaru czasu.
Sposób 4. (z użyciem metod wykraczających poza podstawę programową)
Skorzystamy ze wzoru przybliżonego na niepewność: ∆ݕ≈|݂’(ݔ)|∆ݔ. Wtedy:
∆ܽ௧
∆ܽ௛
≈2∆ݐ
∆ℎ∙ℎ
ݐ= 24
Wkład niepewności pomiaru czasu jest większy od wkładu niepewności wysokości.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n\n

Sposób 1 - Wzór kinematyczny + propagacja niepewności metodą CKE

\n
Krok 1 - Wyprowadzenie wzoru na a
\n

Ciężarek opada ze spoczynku (v₀ = 0) ze stałym przyspieszeniem:

\n
h=12at2⟹a=2ht2
\n
Krok 2 - Obliczenie wartości a
\n
a=2·0,960(1,6)2=1,9202,56=0,75 m/s2
\n
Krok 3 - Niepewność wkładu pomiaru czasu Δat (część c zadania)
\n

Pomiar t wykonano z niepewnością Δt=0,1 s (założenie z treści).

\n

Stosuję wzór z treści zadania dla zmiennej t (h = const):

\n
Δat=12|2h(t+Δt)2−2h(t−Δt)2|
\n
Δat=12|2·0,960(1,7)2−2·0,960(1,5)2|=12|0,9601,72−0,9601,52|·2
\n
Δat=12|0,6643−0,8533|=12·0,1890≈9,45·10−2≈0,1 m/s2
\n
Krok 4 - Niepewność wkładu pomiaru wysokości Δah (część b zadania)
\n

Pomiar h wykonano z niepewnością Δh=5 mm=5·10−3 m (założenie z treści).

\n

Stosuję wzór dla zmiennej h (t = const):

\n
Δah=12|2(h+Δh)t2−2(h−Δh)t2|=12·4Δht2=2Δht2
\n
Δah=2·5·10−3(1,6)2=0,0102,56≈3,91·10−3≈0,004 m/s2
\n
Krok 5 - Porównanie wkładów i wynik
\n

Wkład niepewności pomiaru czasu jest ok. 25 razy większy od wkładu niepewności wysokości:

\n
ΔatΔah≈0,10,004=25
\n
Wniosek (część d): Na niepewność wyznaczenia przyspieszenia w większym stopniu wpływa niepewność pomiaru czasu Δt. Dokładniejszy stoper (np. czujnik fotoelektryczny) radykalnie poprawiłby wynik.
\n
a=0,750 m/s2,Δah≈0,004 m/s2,Δat≈0,1 m/s2
\n

Sposób 2 - Metoda rachunku różniczkowego (weryfikacja)

\n

Dla a=f(h,t)=2ht2 liczymy pochodne cząstkowe:

\n
∂a∂h=2t2,∂a∂t=−4ht3
\n

Wkłady do niepewności metodą różniczkową:

\n
Δah=|∂a∂h|·Δh=2(1,6)2·5·10−3=22,56·0,005≈0,0039 m/s2
\n
Δat=|∂a∂t|·Δt=4·0,960(1,6)3·0,1=3,844,096·0,1=0,9375·0,1≈0,094 m/s2
\n

Wyniki zgodne z Metodą 1 (Δah≈0,004, Δat≈0,1) - to potwierdza poprawność obu podejść. Wzór z treści zadania jest symetrycznym przybliżeniem pochodnej.

\n

Sposób 3 - Analiza względnych wkładów niepewności

\n

Sprawdzam, jaka frakcja wartości a pochodzi z każdej niepewności:

\n
Δata=0,10,75≈12,5%
\n
Δaha=0,0040,75≈0,5%
\n

Wkład względny z Δt jest ≈25 razy większy niż z Δh. Wynika to ze struktury wzoru:

\n
a=2ht2
\n

Czas t wchodzi do potęgi drugiej - każda względna niepewność t wchodzi podwójnie do wyniku:

\n
Δaa≈2Δtt=2·0,11,6≈12,5%
\n

co idealnie zgadza się z obliczeniami.

\n

Schemat oceniania CKE

\n
📋 Schemat punktowania CKE (zadanie 3.2, 0-5 pkt - części a-d):

a) (0-2):
- 2 p. - prawidłowe obliczenie przyspieszenia i prawidłowy wynik liczbowy z jednostką.
- 1 p. - prawidłowe zapisanie wzoru wiążącego przyspieszenie z drogą/wysokością i czasem w ruchu jednostajnie przyspieszonym bez prędkości początkowej LUB zapisanie wyrażenia z bezpośrednio podstawionymi wartościami liczbowymi (bez zapisu wzoru na symbolach).
- Przykład: a=2ht2=2·0,9601,62=0,750 m/s2.

b) (0-1):
- 1 p. - prawidłowe obliczenie wkładu niepewności pomiaru wysokości do niepewności przyspieszenia.
- Przykład: Δah=2Δht2=2·5·10−31,62≈3,91·10−3≈0,004 m/s2.

c) (0-1):
- 1 p. - prawidłowe obliczenie wkładu niepewności pomiaru czasu do niepewności przyspieszenia.
- Przykład: Δat=12|2h(t+Δt)2−2h(t−Δt)2|=|0,9601,72−0,9601,52|≈9,45·10−2≈0,1 m/s2.

d) (0-1):
- 1 p. - poprawna odpowiedź i prawidłowe uzasadnienie.
- Odpowiedź CKE: na niepewność wyznaczenia przyspieszenia w większym stopniu wpływa niepewność pomiaru czasu. Uzasadnienie: wkład Δat jest ok. 25 razy większy od Δah (0,1/0,004=25); albo: Δat>Δah.
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów EM2023 - kinematyka (str. 16-17):

- Ruch jednostajnie przyspieszony ze spoczynku: h=12at2
- Bezpośrednio z karty wyprowadzamy: a=2ht2

Wzór na propagację niepewności podany jest w treści zadania (nie w karcie wzorów CKE) - to dodatkowy wzór specjalny do tego zadania; matura dostarcza go sama.
\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Zapomnienie o czynniku 2 - pisanie a=h/t2 zamiast a=2h/t2. Pamiętaj: ze wzoru na drogę h=12at2 dostajemy a=2ht2.
\n
⚠️ Uwaga: Pomylenie kolejności w różnicy f(x+Δx)−f(x−Δx): tutaj funkcja a(t)=2h/t2 jest malejąca względem t, więc a(t+Δt)<a(t−Δt). Wzór zawiera wartość bezwzględną - nie ma znaczenia kolejność, ale nie gubimy znaku.
\n
⚠️ Uwaga: Pominięcie niepewności Δh „bo mała" - bez rachunku nie wiesz, że jest mała! CKE wymaga, żebyś policzył oba wkłady i dopiero wtedy stwierdzić, który dominuje.
\n
⚠️ Uwaga: Zaokrąglenie a=0,750 m/s² jest dokładne. Wkład Δat≈9,45·10−2≈0,1 m/s², a Δah≈3,91·10−3≈0,004 m/s² - zaokrąglamy do jednej-dwóch cyfr znaczących zgodnie z kluczem CKE. Dominuje wkład pomiaru czasu (część d).
"}]}