{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/3.3","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"3.3","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3.3. (0-3)\nPo wyznaczeniu wartości a przyspieszenia ciężarka uczniowie postanowili wyznaczyć moment\nbezwładności I (względem osi O) obracającej się części wahadła Oberbecka. W tym celu\nskorzystali ze wzoru:\n2\n1\ng\nI\nmr\na\n\n\n\n\n\n\ngdzie: m - masa ciężarka P, r - promień walca, g - wartość przyspieszenia ziemskiego.\nWyprowadź powyższy wzór. Użyj jednej z metod: skorzystaj z równań dynamiki dla\nruchu ciężarka i ruchu walca albo z zasady zachowania energii mechanicznej.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3.3. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n2.2) rozróżnia pojęcia: masa i moment\nbezwładności;\n2.7) analizuje ruch obrotowy bryły sztywnej\npod wpływem momentu sił;\n2.9) uwzględnia energię kinetyczną ruchu\nobrotowego w bilansie energii;\n3.3) wykorzystuje zasadę zachowania energii\nmechanicznej do obliczania parametrów ruchu.\nSchemat punktowania\n(dla rozwiązania sposobem 1.)\n3 p. - prawidłowe wykonanie przekształceń algebraicznych i doprowadzenie do żądanej\nzależności (krok 3.).\n2 p. - prawidłowe wykonanie kroku 1. oraz wykorzystanie związków 3)-5) niezbędnych do\nwyprowadzenia żądanej zależności (krok 2.).\n1 p. - zapisanie równań drugiej zasady dynamiki dla ruchu obrotowego walca z układem\nprętów oraz dla ruchu postępowego ciężarka (krok 1.).\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nSposób 1. (z równań dynamiki)\nKrok 1. Zapisujemy równania dynamiki ruchu obrotowego walca z układem prętów oraz dla\nruchu postępowego ciężarka:\n1)\n= ܨ௚ - ܨ஻ - II zasada dynamiki dla ruchu postępowego ciężarka;\n2) ܫ߳= ݎܨ஺ - II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego walca z prętami.\nKrok 2. Wykorzystujemy związki niezbędne do wyprowadzenia żądanej zależności:\n3) ܨ஺= ܨ஻= ܨ - III zasada dynamiki (oddziaływanie ciężarka z walcem);\n4)\n=߳ݎ - związek między przyspieszeniem liniowym i kątowym (brak poślizgu);\n5) ܨ௚=\n- wzór na siłę grawitacji.\nPowyższe związki zdający może uwzględnić bezpośrednio w równaniach dynamiki, np.:\n=݉݃\n- ܨ\nܫܽݎ= ݎܨ\nKrok 3. Wykonujemy przekształcenia algebraiczne i wyprowadzamy żądany wzór:\n൝݉ܽ\n= ܨ௚ - ܨ\nܫܽݎ= ݎܨ\n→ ൝݉ܽ\n=݉݃\n- ܨ\nܨ= ܫܽ\nݎଶ\n→\n=݉݃\n- ܫܽ\nݎଶ →\nܫ= ݎଶ\n݉\n(݃\n-ܽ\n) =݉\nݎଶቀ݃ܽ\n-1ቁ\nSchemat punktowania\n(dla rozwiązania sposobem 2.)\n3 p. - prawidłowe wykonanie przekształceń algebraicznych i doprowadzenie do żądanej\nzależności (krok 3.).\n2 p. - prawidłowe wykonanie kroku 1. oraz wykorzystanie związków 1)-2) niezbędnych do\nwyprowadzenia żądanej zależności (krok 2.).\n1 p. - prawidłowe zapisanie zasady zachowania energii dla układu walca z prętami i ciężarka\nłącznie z wykorzystaniem wzorów na energię potencjalną oraz energię kinetyczną ruchu\npostępowego i obrotowego (krok 1.).\nUwaga: dopuszcza się w zapisie pominięcie MgH - energii potencjalnej walca z prętami.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nSposób 2. (z zasady zachowania energii)\nKrok 1. Zapisujemy zasadę zachowania energii dla układu walca z prętami i ciężarka łącznie\nz wykorzystaniem wzorów na energię potencjalną oraz energię kinetyczną ruchu postępowego\ni obrotowego. Masę walca z prętami oznaczymy M, wysokość środka masy walca nad\nwybranym poziomem oznaczymy H, a wysokość ciężarka nad wybranym poziomem\noznaczymy h:\nܧ௣௢௖௭ ௞௜௡ ௖+ ܧ௣௢௖௭ ௞௜௡ ௪+ ܧ௣௢௖௭ ௣௢௧ ௖+ ܧ௣௢௖௭ ௣௢௧ ௪= ܧ௞௢௡ ௞௜௡ ௖+ ܧ௞௢௡ ௞௜௡ ௪+ ܧ௞௢௡ ௣௢௧ ௖+ ܧ௞௢௡ ௣௢௧ ௪\n0 + 0 +\nℎ+ ܯ݃ܪ= 1\n2݉\nݒଶ+ 1\n2 ܫ߱\nଶ+ 0 + ܯ݃ܪ\nℎ= 1\n2݉\nݒଶ+ 1\n2 ܫ߱\nଶ\nKrok 2. Wykorzystujemy związki, niezbędne do wyprowadzenia żądanej zależności:\n1) ݒ=߱\nݎ - związek między prędkością liniową i kątową (brak poślizgu);\n2) ݒଶ= 2ܽℎ - wzór wynikający z równań ruchu jednostajnie przyspieszonego\nalbo\nݒ=ܽ\nݐ oraz ℎ=\nଵ\nଶܽݐଶ - kinematyka ruchu jednostajnie przyspieszonego.\nPowyższe związki zdający może uwzględnić bezpośrednio w równaniu zasady zachowania\nenergii, np.:\nݒଶ\n2ܽ = 1\n2\nݒଶ+ 1\n2 ܫݒଶ\nݎଶ\nKrok 3. Wykonujemy przekształcenia algebraiczne i wyprowadzamy żądany wzór:\n∙ݒଶ\n2ܽ = 1\n2\nݒଶ+ 1\n2 ܫ∙ݒଶ\nݎଶ →\n+ ܫ\nݎଶ → ܫ=݉\nݎଶቀ݃ܽ\n-1ቁ","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nWzór do wyprowadzenia:\n$$I = mr^2\\left(\\frac{g}{a} - 1\\right)$$\n\nWyprowadzenie można przeprowadzić **dwiema metodami** - obie są akceptowane przez CKE.\n\n## Sposób 1 - Równania dynamiki (II zasada Newtona dla ruchu postępowego i obrotowego)\n\n**Krok 1 - Układ sił na ciężarek P (ruch postępowy)**\n\nNa ciężarek P o masie \\(m\\) działają dwie siły:\n- ciężar \\(mg\\) - w dół\n- napięcie nitki \\(T\\) - w górę\n\nCiężarek opada z przyspieszeniem \\(a\\), zatem **II zasada Newtona dla ciężarka**:\n\n$$mg - T = ma \\quad \\text{(1)}$$\n\n**Krok 2 - Równanie obrotowe dla walca**\n\nNić owija się na walcu o promieniu \\(r\\). Siła \\(T\\) wytwarza moment siły:\n$$\\tau = T \\cdot r$$\n\n**II zasada Newtona dla ruchu obrotowego** (względem osi O):\n$$\\tau = I \\cdot \\alpha \\quad \\Longrightarrow \\quad T \\cdot r = I \\cdot \\alpha \\quad \\text{(2)}$$\n\n**Krok 3 - Warunek kinematyczny (więź: nić się nie ślizga)**\n\nPunkt na obwodzie walca ma przyspieszenie styczne równe przyspieszeniu ciężarka:\n$$a = \\alpha \\cdot r \\quad \\Longrightarrow \\quad \\alpha = \\frac{a}{r} \\quad \\text{(3)}$$\n\n**Krok 4 - Podstawienie (3) do (2)**\n\n$$T \\cdot r = I \\cdot \\frac{a}{r} \\quad \\Longrightarrow \\quad T = \\frac{I \\cdot a}{r^2} \\quad \\text{(4)}$$\n\n**Krok 5 - Podstawienie (4) do (1) i wyznaczenie \\(I\\)**\n\n$$mg - \\frac{I \\cdot a}{r^2} = ma$$\n\n$$mg = ma + \\frac{I \\cdot a}{r^2} = a\\left(m + \\frac{I}{r^2}\\right)$$\n\n$$\\frac{mg}{a} = m + \\frac{I}{r^2}$$\n\n$$\\frac{I}{r^2} = m\\left(\\frac{g}{a} - 1\\right)$$\n\n$$\\boxed{I = mr^2\\left(\\frac{g}{a} - 1\\right)}$$\n\n## Sposób 2 - Zasada zachowania energii mechanicznej\n\n**Krok 1 - Opis sytuacji**\n\nCiężarek opada o wysokość \\(h\\), startując ze spoczynku. W chwili końcowej:\n- ciężarek ma prędkość \\(v\\),\n- walec obraca się z prędkością kątową \\(\\omega\\).\n\nUkład jest zachowawczy (pomijamy straty), zatem **energia potencjalna ciężarka całkowicie przechodzi w energię kinetyczną**:\n\n$$mgh = \\frac{1}{2}mv^2 + \\frac{1}{2}I\\omega^2 \\quad \\text{(A)}$$\n\n**Krok 2 - Warunek kinematyczny**\n\n$$v = \\omega r \\quad \\Longrightarrow \\quad \\omega = \\frac{v}{r} \\quad \\text{(B)}$$\n\n**Krok 3 - Kinematyka jednostajnie przyspieszonego ruchu (start ze spoczynku)**\n\n$$v^2 = 2ah \\quad \\Longrightarrow \\quad h = \\frac{v^2}{2a} \\quad \\text{(C)}$$\n\n**Krok 4 - Podstawienie (B) i (C) do (A)**\n\n$$mg \\cdot \\frac{v^2}{2a} = \\frac{1}{2}mv^2 + \\frac{1}{2}I\\cdot\\frac{v^2}{r^2}$$\n\nDzielimy obie strony przez \\(\\frac{v^2}{2}\\) (zakładamy \\(v \\neq 0\\)):\n\n$$\\frac{mg}{a} = m + \\frac{I}{r^2}$$\n\n**Krok 5 - Wyznaczenie \\(I\\)**\n\n$$\\frac{I}{r^2} = \\frac{mg}{a} - m = m\\left(\\frac{g}{a} - 1\\right)$$\n\n$$\\boxed{I = mr^2\\left(\\frac{g}{a} - 1\\right)}$$\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Schemat punktowania CKE (zadanie 3.3, 0-3 pkt):**\n>\n> **Sposób 1 (z równań dynamiki):**\n> - 3 p. - prawidłowe wykonanie przekształceń algebraicznych i doprowadzenie do żądanej zależności (krok 3.).\n> - 2 p. - prawidłowe wykonanie kroku 1. oraz wykorzystanie związków 3)-5) niezbędnych do wyprowadzenia (krok 2.).\n> - 1 p. - zapisanie równań drugiej zasady dynamiki dla ruchu obrotowego walca z układem prętów oraz dla ruchu postępowego ciężarka (krok 1.): \\(ma = F_g - F_B\\) oraz \\(I\\epsilon = rF_A\\).\n> - Związki: \\(F_A = F_B = F\\) (III zasada), \\(a = \\epsilon r\\) (brak poślizgu), \\(F_g = mg\\).\n>\n> **Sposób 2 (z zasady zachowania energii):**\n> - 3 p. - prawidłowe przekształcenia i doprowadzenie do żądanej zależności.\n> - 2 p. - krok 1. oraz wykorzystanie związków 1)-2): \\(v = \\omega r\\) oraz \\(v^2 = 2ah\\).\n> - 1 p. - zapisanie zasady zachowania energii: \\(mgh = \\frac{1}{2}mv^2 + \\frac{1}{2}I\\omega^2\\) (dopuszcza się pominięcie MgH - energii potencjalnej walca z prętami).\n>\n> - 0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\n> - Wynik końcowy obu metod: \\(I = mr^2\\left(\\frac{g}{a} - 1\\right)\\).\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-20):**\n>\n> - **II zasada Newtona dla ruchu obrotowego:** \\(\\tau = I\\alpha\\) - wprost używana w Sposobie 1\n> - **Moment siły:** \\(\\tau = Fr\\) - siła \\(T\\) na ramieniu \\(r\\)\n> - **Energia kinetyczna obrotowa:** \\(E_k = \\frac{1}{2}I\\omega^2\\) - używana w Sposobie 2\n> - **Kinematyka:** \\(v^2 = 2as\\) - dla ruchu jednostajnie przyspieszonego ze spoczynku\n>\n> Więź kinematyczna \\(a = \\alpha r\\) i \\(v = \\omega r\\) to definicja toczenia bez poślizgu - nie ma jej wprost na karcie, ale **musisz ją znać** jako fundamentalny warunek tego układu.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - **pominięcie napięcia nitki T**. Uczniowie piszą \\(mg = ma\\), co jest błędem - ciężar NIE jest jedyną siłą. Nić naciąga walec, więc \\(T \\neq 0\\) (gdyby \\(T = 0\\), walec by się nie obracał!).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** **Mylenie \\(\\alpha\\) z \\(a\\)** - to różne wielkości! \\(a\\) [m/s²] to przyspieszenie liniowe ciężarka, \\(\\alpha\\) [rad/s²] to przyspieszenie kątowe walca. Łączy je więź: \\(a = \\alpha r\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W metodzie energetycznej - **nie wolno pominąć \\(\\frac{1}{2}mv^2\\)**! Energia nie idzie tylko na obrót walca; ciężarek też ma energię kinetyczną postępową. Pominięcie prowadzi do błędnego wzoru \\(I = \\frac{mgr^2}{a}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** **Warunek \\(g > a\\)** musi być spełniony fizycznie - gdyby \\(a = g\\), to \\(I = 0\\) (brak oporów obrotowych), a gdyby \\(a > g\\), wynik byłby ujemny (niemożliwe). To dobry sposób na weryfikację sensu wyprowadzonego wzoru.","image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-3.3.webp","solution_image":null,"topics":"Bryła Sztywna","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 3.3. (0-3)
Po wyznaczeniu wartości a przyspieszenia ciężarka uczniowie postanowili wyznaczyć moment
bezwładności I (względem osi O) obracającej się części wahadła Oberbecka. W tym celu
skorzystali ze wzoru:
2
1
g
I
mr
a






gdzie: m - masa ciężarka P, r - promień walca, g - wartość przyspieszenia ziemskiego.
Wyprowadź powyższy wzór. Użyj jednej z metod: skorzystaj z równań dynamiki dla
ruchu ciężarka i ruchu walca albo z zasady zachowania energii mechanicznej.

","answer_text_html":"

Zadanie 3.3. (0-3)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Budowa prostych modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk.
Zdający:
2.2) rozróżnia pojęcia: masa i moment
bezwładności;
2.7) analizuje ruch obrotowy bryły sztywnej
pod wpływem momentu sił;
2.9) uwzględnia energię kinetyczną ruchu
obrotowego w bilansie energii;
3.3) wykorzystuje zasadę zachowania energii
mechanicznej do obliczania parametrów ruchu.
Schemat punktowania
(dla rozwiązania sposobem 1.)
3 p. - prawidłowe wykonanie przekształceń algebraicznych i doprowadzenie do żądanej
zależności (krok 3.).
2 p. - prawidłowe wykonanie kroku 1. oraz wykorzystanie związków 3)-5) niezbędnych do
wyprowadzenia żądanej zależności (krok 2.).
1 p. - zapisanie równań drugiej zasady dynamiki dla ruchu obrotowego walca z układem
prętów oraz dla ruchu postępowego ciężarka (krok 1.).
0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Przykładowe rozwiązanie
Sposób 1. (z równań dynamiki)
Krok 1. Zapisujemy równania dynamiki ruchu obrotowego walca z układem prętów oraz dla
ruchu postępowego ciężarka:
1)
= ܨ௚ - ܨ஻ - II zasada dynamiki dla ruchu postępowego ciężarka;

\n
  1. ܫ߳= ݎܨ஺ - II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego walca z prętami.
\n

Krok 2. Wykorzystujemy związki niezbędne do wyprowadzenia żądanej zależności:

\n
  1. ܨ஺= ܨ஻= ܨ - III zasada dynamiki (oddziaływanie ciężarka z walcem);
\n

4)
=߳ݎ - związek między przyspieszeniem liniowym i kątowym (brak poślizgu);

\n
  1. ܨ௚=
\n\n

Powyższe związki zdający może uwzględnić bezpośrednio w równaniach dynamiki, np.:
=݉݃

\n\n

ܫܽݎ= ݎܨ
Krok 3. Wykonujemy przekształcenia algebraiczne i wyprowadzamy żądany wzór:
൝݉ܽ
= ܨ௚ - ܨ
ܫܽݎ= ݎܨ
→ ൝݉ܽ
=݉݃

\n\n

ܨ= ܫܽ
ݎଶ
→
=݉݃

\n\n

ݎଶ →
ܫ= ݎଶ
݉
(݃
-ܽ
) =݉
ݎଶቀ݃ܽ
-1ቁ
Schemat punktowania
(dla rozwiązania sposobem 2.)
3 p. - prawidłowe wykonanie przekształceń algebraicznych i doprowadzenie do żądanej
zależności (krok 3.).
2 p. - prawidłowe wykonanie kroku 1. oraz wykorzystanie związków 1)-2) niezbędnych do
wyprowadzenia żądanej zależności (krok 2.).
1 p. - prawidłowe zapisanie zasady zachowania energii dla układu walca z prętami i ciężarka
łącznie z wykorzystaniem wzorów na energię potencjalną oraz energię kinetyczną ruchu
postępowego i obrotowego (krok 1.).
Uwaga: dopuszcza się w zapisie pominięcie MgH - energii potencjalnej walca z prętami.
0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Przykładowe rozwiązanie
Sposób 2. (z zasady zachowania energii)
Krok 1. Zapisujemy zasadę zachowania energii dla układu walca z prętami i ciężarka łącznie
z wykorzystaniem wzorów na energię potencjalną oraz energię kinetyczną ruchu postępowego
i obrotowego. Masę walca z prętami oznaczymy M, wysokość środka masy walca nad
wybranym poziomem oznaczymy H, a wysokość ciężarka nad wybranym poziomem
oznaczymy h:
ܧ௣௢௖௭ ௞௜௡ ௖+ ܧ௣௢௖௭ ௞௜௡ ௪+ ܧ௣௢௖௭ ௣௢௧ ௖+ ܧ௣௢௖௭ ௣௢௧ ௪= ܧ௞௢௡ ௞௜௡ ௖+ ܧ௞௢௡ ௞௜௡ ௪+ ܧ௞௢௡ ௣௢௧ ௖+ ܧ௞௢௡ ௣௢௧ ௪
0 + 0 +
ℎ+ ܯ݃ܪ= 1
2݉
ݒଶ+ 1
2 ܫ߱
ଶ+ 0 + ܯ݃ܪ
ℎ= 1
2݉
ݒଶ+ 1
2 ܫ߱
ଶ
Krok 2. Wykorzystujemy związki, niezbędne do wyprowadzenia żądanej zależności:

\n
  1. ݒ=߱
\n

ݎ - związek między prędkością liniową i kątową (brak poślizgu);

\n
  1. ݒଶ= 2ܽℎ - wzór wynikający z równań ruchu jednostajnie przyspieszonego
\n

albo
ݒ=ܽ
ݐ oraz ℎ=
ଵ
ଶܽݐଶ - kinematyka ruchu jednostajnie przyspieszonego.
Powyższe związki zdający może uwzględnić bezpośrednio w równaniu zasady zachowania
energii, np.:
ݒଶ
2ܽ = 1
2
ݒଶ+ 1
2 ܫݒଶ
ݎଶ
Krok 3. Wykonujemy przekształcenia algebraiczne i wyprowadzamy żądany wzór:
∙ݒଶ
2ܽ = 1
2
ݒଶ+ 1
2 ܫ∙ݒଶ
ݎଶ →

\n\n

ݎଶ → ܫ=݉
ݎଶቀ݃ܽ
-1ቁ

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

Wzór do wyprowadzenia:

\n
I=mr2(ga−1)
\n

Wyprowadzenie można przeprowadzić dwiema metodami - obie są akceptowane przez CKE.

\n

Sposób 1 - Równania dynamiki (II zasada Newtona dla ruchu postępowego i obrotowego)

\n

Krok 1 - Układ sił na ciężarek P (ruch postępowy)

\n

Na ciężarek P o masie m działają dwie siły:

\n\n

Ciężarek opada z przyspieszeniem a, zatem II zasada Newtona dla ciężarka:

\n
mg−T=ma(1)
\n

Krok 2 - Równanie obrotowe dla walca

\n

Nić owija się na walcu o promieniu r. Siła T wytwarza moment siły:

\n
τ=T·r
\n

II zasada Newtona dla ruchu obrotowego (względem osi O):

\n
τ=I·α⟹T·r=I·α(2)
\n

Krok 3 - Warunek kinematyczny (więź: nić się nie ślizga)

\n

Punkt na obwodzie walca ma przyspieszenie styczne równe przyspieszeniu ciężarka:

\n
a=α·r⟹α=ar(3)
\n

Krok 4 - Podstawienie (3) do (2)

\n
T·r=I·ar⟹T=I·ar2(4)
\n

Krok 5 - Podstawienie (4) do (1) i wyznaczenie I

\n
mg−I·ar2=ma
\n
mg=ma+I·ar2=a(m+Ir2)
\n
mga=m+Ir2
\n
Ir2=m(ga−1)
\n
I=mr2(ga−1)
\n

Sposób 2 - Zasada zachowania energii mechanicznej

\n

Krok 1 - Opis sytuacji

\n

Ciężarek opada o wysokość h, startując ze spoczynku. W chwili końcowej:

\n\n

Układ jest zachowawczy (pomijamy straty), zatem energia potencjalna ciężarka całkowicie przechodzi w energię kinetyczną:

\n
mgh=12mv2+12Iω2(A)
\n

Krok 2 - Warunek kinematyczny

\n
v=ωr⟹ω=vr(B)
\n

Krok 3 - Kinematyka jednostajnie przyspieszonego ruchu (start ze spoczynku)

\n
v2=2ah⟹h=v22a(C)
\n

Krok 4 - Podstawienie (B) i (C) do (A)

\n
mg·v22a=12mv2+12I·v2r2
\n

Dzielimy obie strony przez v22 (zakładamy v≠0):

\n
mga=m+Ir2
\n

Krok 5 - Wyznaczenie I

\n
Ir2=mga−m=m(ga−1)
\n
I=mr2(ga−1)
\n

Schemat oceniania CKE

\n
📋 Schemat punktowania CKE (zadanie 3.3, 0-3 pkt):

Sposób 1 (z równań dynamiki):
- 3 p. - prawidłowe wykonanie przekształceń algebraicznych i doprowadzenie do żądanej zależności (krok 3.).
- 2 p. - prawidłowe wykonanie kroku 1. oraz wykorzystanie związków 3)-5) niezbędnych do wyprowadzenia (krok 2.).
- 1 p. - zapisanie równań drugiej zasady dynamiki dla ruchu obrotowego walca z układem prętów oraz dla ruchu postępowego ciężarka (krok 1.): ma=Fg−FB oraz Iϵ=rFA.
- Związki: FA=FB=F (III zasada), a=ϵr (brak poślizgu), Fg=mg.

Sposób 2 (z zasady zachowania energii):
- 3 p. - prawidłowe przekształcenia i doprowadzenie do żądanej zależności.
- 2 p. - krok 1. oraz wykorzystanie związków 1)-2): v=ωr oraz v2=2ah.
- 1 p. - zapisanie zasady zachowania energii: mgh=12mv2+12Iω2 (dopuszcza się pominięcie MgH - energii potencjalnej walca z prętami).

- 0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.
- Wynik końcowy obu metod: I=mr2(ga−1).
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-20):

- II zasada Newtona dla ruchu obrotowego: τ=Iα - wprost używana w Sposobie 1
- Moment siły: τ=Fr - siła T na ramieniu r
- Energia kinetyczna obrotowa: Ek=12Iω2 - używana w Sposobie 2
- Kinematyka: v2=2as - dla ruchu jednostajnie przyspieszonego ze spoczynku

Więź kinematyczna a=αr i v=ωr to definicja toczenia bez poślizgu - nie ma jej wprost na karcie, ale musisz ją znać jako fundamentalny warunek tego układu.
\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd - pominięcie napięcia nitki T. Uczniowie piszą mg=ma, co jest błędem - ciężar NIE jest jedyną siłą. Nić naciąga walec, więc T≠0 (gdyby T=0, walec by się nie obracał!).
\n
⚠️ Uwaga: Mylenie α z a - to różne wielkości! a [m/s²] to przyspieszenie liniowe ciężarka, α [rad/s²] to przyspieszenie kątowe walca. Łączy je więź: a=αr.
\n
⚠️ Uwaga: W metodzie energetycznej - nie wolno pominąć 12mv2! Energia nie idzie tylko na obrót walca; ciężarek też ma energię kinetyczną postępową. Pominięcie prowadzi do błędnego wzoru I=mgr2a.
\n
⚠️ Uwaga: Warunek g>a musi być spełniony fizycznie - gdyby a=g, to I=0 (brak oporów obrotowych), a gdyby a>g, wynik byłby ujemny (niemożliwe). To dobry sposób na weryfikację sensu wyprowadzonego wzoru.
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

I=mr2(ga−1)

"}]}