{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/3.4","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"3.4","points":2,"ptype":"closed","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3.4. (0-2)\nPodkreśl właściwe określenia wybrane spośród podanych w nawiasach, tak aby\ndokończenia zdań 1. i 2. były prawdziwe.\nGdy w kolejnym doświadczeniu obciążniki zamocowano bliżej osi obrotu walca, to\n1. moment bezwładności układu czterech obciążników (wzrósł / zmalał / nie uległ zmianie).\n2. siła napięcia nitki (wzrosła / zmalała / nie uległa zmianie).\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n3.2.\n3.3.\n3.4.\nMaks. liczba pkt\n5\n3\n2\nUzyskana liczba pkt\nMFA_1R","answer":"E","answer_text":"Zadanie 3.4. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n2.2) rozróżnia pojęcia: masa i moment\nbezwładności;\n2.7) analizuje ruch obrotowy bryły sztywnej\npod wpływem momentu sił;\n1.8) wyjaśnia ruch ciał na podstawie drugiej\nzasady dynamiki Newtona.\nSchemat punktowania\n2 p. - prawidłowe podkreślenia w dwóch zdaniach.\n1 p. - prawidłowe podkreślenie w jednym zdaniu.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPoprawna odpowiedź\nGdy w kolejnym doświadczeniu obciążniki zamocowano bliżej osi obrotu walca, to\n1. moment bezwładności układu czterech obciążników (wzrósł / zmalał / nie uległ zmianie).\n2. siła napięcia nitki (wzrosła / zmalała / nie uległa zmianie).","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n**Zdanie 1:** moment bezwładności układu czterech obciążników **zmalał**\n**Zdanie 2:** siła napięcia nitki **zmalała**\n\n## Sposób 1 - Definicja momentu bezwładności i II zasada dynamiki ruchu obrotowego\n\n**Krok 1 - Moment bezwładności**\n\nMoment bezwładności punktu materialnego względem osi obrotu:\n\n\\[I = mr^2\\]\n\ngdzie \\(r\\) to odległość od osi obrotu. Gdy obciążniki przesuwamy **bliżej osi** → \\(r\\) maleje → \\(I\\) maleje.\n\nUkład złożony z walca \\(I_\\text{walca}\\) i obciążników \\(I_\\text{obciążników} = \\sum m_i r_i^2\\):\n\n\\[I_\\text{całkowite} = I_\\text{walca} + \\sum m_i r_i^2\\]\n\nZmniejszenie \\(r_i\\) zmniejsza \\(\\sum m_i r_i^2\\), więc \\(I_\\text{całkowite}\\) **maleje**.\n\n**Krok 2 - Siła napięcia nitki**\n\nMniejszy moment bezwładności \\(I\\) oznacza, że układ łatwiej rozkręcić - przyspieszenie liniowe \\(a\\) opadającego ciężarka **rośnie**. Z II zasady dynamiki dla ciężarka P:\n\n\\[mg - T = ma \\quad \\Rightarrow \\quad T = m(g - a)\\]\n\nSiła napięcia nitki \\(T\\) (równa \\(F_B\\) z zadania 3.1) maleje, gdy \\(a\\) rośnie:\n\n\\[a \\nearrow \\quad \\Rightarrow \\quad (g - a) \\searrow \\quad \\Rightarrow \\quad T = m(g - a) \\searrow\\]\n\nKorzystając ze wzoru z zadania 3.3: \\(I = mr^2\\left(\\frac{g}{a} - 1\\right)\\) - mniejsze \\(I\\) daje większe \\(a\\), a większe \\(a\\) daje mniejszą siłę napięcia nitki.\n\nSiła napięcia nitki **zmalała**.\n\n## Sposób 2 - Układ równań dynamiki (ścisła analiza napięcia nitki)\n\nDla ciężarka (ruch postępowy) i walca (ruch obrotowy) - jak w zadaniu 3.3:\n\n\\[mg - T = ma, \\qquad Tr = I\\frac{a}{r}\\]\n\nWyznaczając \\(a\\) i \\(T\\):\n\n\\[a = \\frac{mg}{m + \\frac{I}{r^2}}, \\qquad T = \\frac{mg}{1 + \\frac{mr^2}{I}}\\]\n\nGdy obciążniki przesuwamy bliżej osi → \\(I\\) **maleje** → mianownik \\(1 + \\frac{mr^2}{I}\\) **rośnie** → siła napięcia nitki \\(T\\) **maleje**.\n\n> Wniosek: mniejszy moment bezwładności = mniejszy opór bezwładnościowy walca = mniejsza siła potrzebna w nitce do jego rozkręcania → **siła napięcia nitki maleje**.\n\n## Sposób 3 - Weryfikacja przez przypadki graniczne\n\nWzór na napięcie nitki: \\(T = m(g - a)\\), gdzie \\(a = \\dfrac{mg}{m + I/r^2}\\).\n\n**Przypadek graniczny 1 - bardzo duży \\(I\\)** (obciążniki bardzo daleko od osi): walec praktycznie się nie obraca, \\(a \\to 0\\), więc \\(T \\to mg\\) (nitka napięta maksymalnie, jak przy nieruchomym ciężarze).\n\n**Przypadek graniczny 2 - bardzo mały \\(I\\)** (obciążniki bardzo blisko osi): walec stawia minimalny opór, \\(a \\to g\\), więc \\(T \\to 0\\) (ciężarek niemal swobodnie spada).\n\nPrzesunięcie obciążników **bliżej osi** odpowiada przejściu od dużego do mniejszego \\(I\\) → siła napięcia nitki **maleje**. Potwierdza to wynik z metod 1 i 2.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Schemat punktowania CKE (zadanie 3.4, 0-2 pkt):**\n> - **2 pkt** - prawidłowe podkreślenia w dwóch zdaniach.\n> - **1 pkt** - prawidłowe podkreślenie w jednym zdaniu.\n> - **0 pkt** - brak spełnienia powyższych kryteriów.\n>\n> **Poprawna odpowiedź CKE:** Gdy obciążniki zamocowano bliżej osi obrotu walca, to:\n> 1. moment bezwładności układu czterech obciążników **zmalał**.\n> 2. siła napięcia nitki **zmalała**.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-17):**\n>\n> - **Moment bezwładności:** \\(I = \\sum m_i r_i^2\\) (dla układu punktów materialnych)\n> - **II zasada dynamiki ruchu obrotowego:** \\(\\tau = I \\alpha\\)\n> - **Moment pędu:** \\(L = I\\omega\\)\n> - **Energia kinetyczna ruchu obrotowego:** \\(E_k = \\frac{1}{2}I\\omega^2\\)\n>\n> Wszystkie cztery wzory są dostępne na karcie - w zadaniu kluczowy jest związek \\(I = \\sum m_i r_i^2\\) (zd.1) oraz \\(T = m(g-a)\\) wynikające z II zasady dynamiki dla ciężarka (zd.2).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Błędny wariant | Typowy błąd ucznia |\n| zd.1: „moment bezwładności **wzrósł**\" | Uczeń myli: „bliżej = więcej\" (skojarzone z odległością w potocznym sensie), zapominając że \\(I \\propto r^2\\) - im mniejsze \\(r\\), tym mniejsze \\(I\\) |\n| zd.1: „moment bezwładności **nie uległ zmianie**\" | Uczeń myśli, że masy się nie zmieniły, więc \\(I\\) też nie - ignoruje rolę \\(r^2\\) |\n| zd.2: „siła napięcia nitki **wzrosła**\" | Uczeń błędnie sądzi, że szybszy ruch = większe naprężenie nitki; w rzeczywistości większe \\(a\\) oznacza \\(T = m(g-a)\\) mniejsze |\n| zd.2: „siła napięcia nitki **nie uległa zmianie**\" | Uczeń zakłada, że nitka „trzyma stały ciężar\" \\(mg\\) - pomija, że ciężarek przyspiesza, więc \\(T < mg\\) i zależy od \\(a\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(I = mr^2\\) - zależy od **kwadratu** odległości! Przesunięcie obciążnika o połowę bliżej oси zmniejsza jego wkład do \\(I\\) **czterokrotnie** (nie dwukrotnie).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Promień **walca** (gdzie nawija się nitka) się nie zmienia - zmienia się tylko promień mocowania obciążników na prętach. Nie mylić tych dwóch promieni.\n\n> ⚠️ **Uwaga (zd.2):** Siła napięcia nitki to NIE ciężar \\(mg\\)! Ciężarek przyspiesza w dół, więc \\(T = m(g-a) < mg\\). Gdy \\(I\\) maleje, \\(a\\) rośnie, a \\(T\\) **maleje**. Najczęstszy błąd to odpowiedź „nie zmieniła się\", bo uczeń utożsamia napięcie z ciężarem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łańcuch przyczynowy w tym zadaniu: obciążniki bliżej osi → \\(I\\) maleje → \\(a\\) rośnie → \\(T = m(g-a)\\) maleje. Oba człony łańcucha (zd.1 i zd.2) prowadzą do odpowiedzi „zmalał/zmalała\".","image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-3.4.webp","solution_image":null,"topics":"Bryła Sztywna","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 3.4. (0-2)
Podkreśl właściwe określenia wybrane spośród podanych w nawiasach, tak aby
dokończenia zdań 1. i 2. były prawdziwe.
Gdy w kolejnym doświadczeniu obciążniki zamocowano bliżej osi obrotu walca, to

\n
  1. moment bezwładności układu czterech obciążników (wzrósł / zmalał / nie uległ zmianie).
  2. siła napięcia nitki (wzrosła / zmalała / nie uległa zmianie).
\n

Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
3.2.
3.3.
3.4.
Maks. liczba pkt
5
3
2
Uzyskana liczba pkt
MFA_1R

","answer_text_html":"

Zadanie 3.4. (0-2)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
I. Znajomość i umiejętność
wykorzystania pojęć i praw fizyki
do wyjaśniania procesów i zjawisk
w przyrodzie.
Zdający:
2.2) rozróżnia pojęcia: masa i moment
bezwładności;
2.7) analizuje ruch obrotowy bryły sztywnej
pod wpływem momentu sił;
1.8) wyjaśnia ruch ciał na podstawie drugiej
zasady dynamiki Newtona.
Schemat punktowania
2 p. - prawidłowe podkreślenia w dwóch zdaniach.
1 p. - prawidłowe podkreślenie w jednym zdaniu.
0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Poprawna odpowiedź
Gdy w kolejnym doświadczeniu obciążniki zamocowano bliżej osi obrotu walca, to

\n
  1. moment bezwładności układu czterech obciążników (wzrósł / zmalał / nie uległ zmianie).
  2. siła napięcia nitki (wzrosła / zmalała / nie uległa zmianie).
","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

Zdanie 1: moment bezwładności układu czterech obciążników zmalał
Zdanie 2: siła napięcia nitki zmalała

\n

Sposób 1 - Definicja momentu bezwładności i II zasada dynamiki ruchu obrotowego

\n

Krok 1 - Moment bezwładności

\n

Moment bezwładności punktu materialnego względem osi obrotu:

\n
I=mr2
\n

gdzie r to odległość od osi obrotu. Gdy obciążniki przesuwamy bliżej osi → r maleje → I maleje.

\n

Układ złożony z walca Iwalca i obciążników Iobciążników=∑miri2:

\n
Icałkowite=Iwalca+∑miri2
\n

Zmniejszenie ri zmniejsza ∑miri2, więc Icałkowite maleje.

\n

Krok 2 - Siła napięcia nitki

\n

Mniejszy moment bezwładności I oznacza, że układ łatwiej rozkręcić - przyspieszenie liniowe a opadającego ciężarka rośnie. Z II zasady dynamiki dla ciężarka P:

\n
mg−T=ma⇒T=m(g−a)
\n

Siła napięcia nitki T (równa FB z zadania 3.1) maleje, gdy a rośnie:

\n
a↗⇒(g−a)↘⇒T=m(g−a)↘
\n

Korzystając ze wzoru z zadania 3.3: I=mr2(ga−1) - mniejsze I daje większe a, a większe a daje mniejszą siłę napięcia nitki.

\n

Siła napięcia nitki zmalała.

\n

Sposób 2 - Układ równań dynamiki (ścisła analiza napięcia nitki)

\n

Dla ciężarka (ruch postępowy) i walca (ruch obrotowy) - jak w zadaniu 3.3:

\n
mg−T=ma,Tr=Iar
\n

Wyznaczając a i T:

\n
a=mgm+Ir2,T=mg1+mr2I
\n

Gdy obciążniki przesuwamy bliżej osi → I maleje → mianownik 1+mr2I rośnie → siła napięcia nitki T maleje.

\n
Wniosek: mniejszy moment bezwładności = mniejszy opór bezwładnościowy walca = mniejsza siła potrzebna w nitce do jego rozkręcania → siła napięcia nitki maleje.
\n

Sposób 3 - Weryfikacja przez przypadki graniczne

\n

Wzór na napięcie nitki: T=m(g−a), gdzie a=mgm+I/r2.

\n

Przypadek graniczny 1 - bardzo duży I (obciążniki bardzo daleko od osi): walec praktycznie się nie obraca, a→0, więc T→mg (nitka napięta maksymalnie, jak przy nieruchomym ciężarze).

\n

Przypadek graniczny 2 - bardzo mały I (obciążniki bardzo blisko osi): walec stawia minimalny opór, a→g, więc T→0 (ciężarek niemal swobodnie spada).

\n

Przesunięcie obciążników bliżej osi odpowiada przejściu od dużego do mniejszego I → siła napięcia nitki maleje. Potwierdza to wynik z metod 1 i 2.

\n

Schemat oceniania CKE

\n
📋 Schemat punktowania CKE (zadanie 3.4, 0-2 pkt):
- 2 pkt - prawidłowe podkreślenia w dwóch zdaniach.
- 1 pkt - prawidłowe podkreślenie w jednym zdaniu.
- 0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.

Poprawna odpowiedź CKE: Gdy obciążniki zamocowano bliżej osi obrotu walca, to:
1. moment bezwładności układu czterech obciążników zmalał.
2. siła napięcia nitki zmalała.
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-17):

- Moment bezwładności: I=∑miri2 (dla układu punktów materialnych)
- II zasada dynamiki ruchu obrotowego: τ=Iα
- Moment pędu: L=Iω
- Energia kinetyczna ruchu obrotowego: Ek=12Iω2

Wszystkie cztery wzory są dostępne na karcie - w zadaniu kluczowy jest związek I=∑miri2 (zd.1) oraz T=m(g−a) wynikające z II zasady dynamiki dla ciężarka (zd.2).
\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Błędny wariant | Typowy błąd ucznia |
| zd.1: „moment bezwładności wzrósł" | Uczeń myli: „bliżej = więcej" (skojarzone z odległością w potocznym sensie), zapominając że I∝r2 - im mniejsze r, tym mniejsze I |
| zd.1: „moment bezwładności nie uległ zmianie" | Uczeń myśli, że masy się nie zmieniły, więc I też nie - ignoruje rolę r2 |
| zd.2: „siła napięcia nitki wzrosła" | Uczeń błędnie sądzi, że szybszy ruch = większe naprężenie nitki; w rzeczywistości większe a oznacza T=m(g−a) mniejsze |
| zd.2: „siła napięcia nitki nie uległa zmianie" | Uczeń zakłada, że nitka „trzyma stały ciężar" mg - pomija, że ciężarek przyspiesza, więc T<mg i zależy od a |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: I=mr2 - zależy od kwadratu odległości! Przesunięcie obciążnika o połowę bliżej oси zmniejsza jego wkład do I czterokrotnie (nie dwukrotnie).
\n
⚠️ Uwaga: Promień walca (gdzie nawija się nitka) się nie zmienia - zmienia się tylko promień mocowania obciążników na prętach. Nie mylić tych dwóch promieni.
\n
⚠️ Uwaga (zd.2): Siła napięcia nitki to NIE ciężar mg! Ciężarek przyspiesza w dół, więc T=m(g−a)<mg. Gdy I maleje, a rośnie, a T maleje. Najczęstszy błąd to odpowiedź „nie zmieniła się", bo uczeń utożsamia napięcie z ciężarem.
\n
⚠️ Uwaga: Łańcuch przyczynowy w tym zadaniu: obciążniki bliżej osi → I maleje → a rośnie → T=m(g−a) maleje. Oba człony łańcucha (zd.1 i zd.2) prowadzą do odpowiedzi „zmalał/zmalała".
"}]}