{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"4","points":4,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-4)\nPręt zawieszono poziomo na trzech identycznych, bardzo lekkich sprężynach, których górne\nkońce przymocowano do sufitu (zobacz rys. 1.). Następnie ten pręt wychylono w kierunku\npionowym z położenia równowagi sił, po czym puszczono. Skutkiem tego pręt wraz z układem\nsprężyn został wprawiony w drgania o kierunku pionowym tak, że położenie chwilowe pręta\nzawsze było poziome (zobacz rys. 2.-4.). Częstotliwość drgań opisanego układu była równa f1.\nNastępnie z układu usunięto środkową sprężynę (zobacz rys. 5.),\na całość ponownie wprawiono w ruch drgający, podobny do opisanego\npowyżej. Częstotliwość drgań układu po usunięciu środkowej sprężyny\nbyła równa f2.\nOblicz stosunek częstotliwości\nf1\nf2. Uzyskany wynik liczbowy zapisz\nz dokładnością do czterech cyfr znaczących. Pomiń opory ruchu.\nRysunek 1.\nRysunek 2.\nRysunek 3.\nRysunek 4.\nRysunek 5.\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 4. (0-4)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n6.1) analizuje ruch pod wpływem sił sprężystych\n(harmonicznych) […];\n6.3) oblicza okres drgań ciężarka na sprężynie […];\n8.11) (G) zapisuje wynik pomiaru lub obliczenia\nfizycznego jako przybliżony.\nSchemat punktowania\n4 p. - prawidłowa metoda obliczenia ilorazu częstotliwości oraz prawidłowy wynik liczbowy\nzapisany bez jednostki i podany z dokładnością do czterech cyfr znaczących.\n3 p. - prawidłowa metoda i otrzymanie wyniku liczbowego w postaci ݂ଵ/݂ଶ= ඥ3/2 lub\npodanie wyniku z dokładnością inną niż zapisana w poleceniu (np.: ݂ଵ/݂ଶ≈1,2247 lub\nଵ/݂ଶ≈1,22) albo wyniku źle zaokrąglonego (np. ݂ଵ/݂ଶ≈1,224).\n2 p. - wykonanie kroku 1.a. oraz wykonanie kroku 1.b. dla obu układów sprężyn - wystarczy\nzapis: 2ߨ݂ଵ= ටଷ௞\n௠ oraz 2ߨ݂ଶ= ටଶ௞\n௠.\n1 p. - prawidłowe wyznaczenie zastępczego współczynnika sprężystości dla układu trzech,\na następnie dwóch sprężyn - wystarczy zapis: k1 = 3k i k2 = 2k (krok 1.a.)\nlub\n- prawidłowe wyznaczenie siły wypadkowej działającej na pręt zawieszony na trzech,\na następnie na dwóch sprężynach - wystarczy zapis: FሬԦ1 = -3kyԦ i FሬԦ2 = -2kyԦ (krok 1.a.)\nlub\n- skorzystanie ze wzoru na częstotliwość lub częstość kołową drgań układu sprężyn wraz\nz uwzględnieniem rozróżnienia zastępczych współczynników sprężystości obu układów\nsprężyn - wystarczy zapis: 2ߨ݂ଵ= ට௞భ\n௠ albo\nଵ= ට௞భ\n௠ albo\n௙భ\n௙మ= ට\n௞భ\n௞మ (krok 1.b.)\nlub\n- skorzystanie ze wzoru na okres drgań układu sprężyn łącznie ze związkiem okresu\nz częstotliwością wraz z uwzględnieniem rozróżnienia zastępczych współczynników\nsprężystości dla obu układów sprężyn - np. zapis ܶଵ= 2ߨට\n௠\n௞భ oraz ݂ଵ=\nଵ்\nభ (krok 1.b.)\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nUwaga! Uwzględnienie rozróżnienia współczynników sprężystości obu układów sprężyn należy\nuznać wtedy, gdy zastosowano oznaczenie indeksem, np.: 2ߨ݂ଵ= ට௞భ\n௠ albo wtedy, gdy zapisano\nwzór ogólny, np.: 2ߨ݂\n= ට௞\n௠, a następnie wyznaczano k lub rozpisywano ten wzór dla każdego\nz układów sprężyn.\nPrzykładowe rozwiązanie\nSposób 1.\nKrok 1.a. Wyznaczamy zastępczy współczynnik sprężystości dla układu trzech, a następnie\ndwóch sprężyn. Wszystkie sprężyny wychylają się z położenia równowagi sił o tę samą wartość\ny, zatem wypadkowa siła działająca na pręt ma postać:\nܨԦଵ= -(݇ݕԦ +݇\nݕԦ +݇\nݕԦ) = -3݇ݕԦ\nWidzimy, że siła wypadkowa ma charakter siły harmonicznej:\nܨԦଵ= -݇ଵݕԦ dla ݇ଵ= 3݇\nPodobnie określamy „zastępczy” współczynnik sprężystości dla układu z usuniętą środkową\nsprężyną:\nܨԦଶ= -(݇ݕԦ +݇\nݕԦ) = -2݇ݕԦ = -݇ଶݕԦ → ݇ଶ= 2݇\nKrok 1.b. Skorzystamy ze wzoru na częstotliwość lub częstość kołową drgań i zastosujemy go\ndla obu układów sprężyn:\n2ߨ݂ଵ= ඨ݇ଵ݉ oraz 2ߨ݂ଶ= ඨ݇ଶ݉\nKrok 2. Obliczymy iloraz częstotliwości drgań:\nଵ\nଶ\n= ඨ݇ଵ݉ ∙ ඨ݉݇\nଶ\n= ඨ݇ଵ\nଶ\n→ ݂ଵ\nଶ\n= ඨ3݇\n2݇\n= ඨ3\n2\nKrok 3. Zapiszemy wynik z dokładnością do czterech cyfr znaczących:\nଵ\nଶ\n= ඨ3\n2 ≈1,2247 … ≈1,225\nSposób 2.\nKrok 1.a. Skorzystamy ze wzoru na całkowitą energię mechaniczną oscylatora. Energia ta jest\nrówna energii potencjalnej sprężystości oscylatora przy maksymalnym wychyleniu. Niech A1\noznacza amplitudę drgań układu trzech sprężyn, k - współczynnik sprężystości jednej sprężyny,\nk1 - współczynnik sprężystości układu trzech sprężyn. Analogiczne oznaczenia: A2 i k2\nzastosujemy dla układu drgań dwóch sprężyn. Całkowita energia mechaniczna E1 drgań układu\ntrzech sprężyn jest równa sumie całkowitych energii mechanicznych drgań każdej ze sprężyn:\nܧଵ= 1\n2݇ܣଵ\nଶ+ 1\n2݇ܣଵ\nଶ+ 1\n2݇ܣଵ\nଶ= 1\n2 ∙3݇ܣଵ\nଶ a ponadto ܧଵ= 1\n2\nଵܣଵ\nଶ\nW związku z powyższym mamy:\nଵ= 3݇\nAnalogiczne obliczenia wykonujemy dla układu dwóch sprężyn:\nܧଶ= 1\n2݇ܣଶ\nଶ+ 1\n2݇ܣଶ\nଶ= 1\n2 ∙2݇ܣଶ\nଶ a ponadto ܧଶ= 1\n2\nଶܣଶ\nଶ\nzatem\nଶ= 2݇\nDalsze obliczenia wykonujemy jak w pierwszym sposobie rozwiązania.\nUwaga! W tej metodzie dopuszcza się założenie, że: A1 = A2. W takim przypadku należy uznać\nwynikający z tego zapis: E1/ E2 = k1/k2 = 3/2 jako równoważny zapisom w kroku 1.a.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n$$\\frac{f_1}{f_2} = \\sqrt{\\frac{3}{2}} = \\frac{\\sqrt{6}}{2} \\approx \\mathbf{1{,}225}$$\n\n## Sposób 1 - Stała efektywna układu sprężyn równoległych\n\n**Kluczowa obserwacja geometryczna:**\nPręt podczas drgań zawsze pozostaje **poziomy**. Oznacza to, że każde przemieszczenie pręta w dół o \\(x\\) powoduje jednakowe wydłużenie **wszystkich** sprężyn o tę samą wartość \\(x\\).\n\n**Definicja połączenia równoległego:** sprężyny są połączone równolegle, gdy pod obciążeniem ulegają **takiemu samemu odkształceniu**. To jest dokładnie nasz przypadek.\n\nDla sprężyn równoległych stałe dodają się:\n\n$$k_\\text{eff} = k_1 + k_2 + \\ldots$$\n\n**Układ 1 - trzy sprężyny:**\n\n$$k_{\\text{eff},1} = k + k + k = 3k$$\n\nRównanie ruchu: \\(m\\ddot{x} = -k_{\\text{eff},1}\\, x\\), więc częstotliwość:\n\n$$f_1 = \\frac{1}{2\\pi}\\sqrt{\\frac{3k}{m}}$$\n\n**Układ 2 - dwie sprężyny (środkowa usunięta):**\n\n$$k_{\\text{eff},2} = k + k = 2k$$\n\n$$f_2 = \\frac{1}{2\\pi}\\sqrt{\\frac{2k}{m}}$$\n\n**Stosunek:**\n\n$$\\frac{f_1}{f_2} = \\frac{\\dfrac{1}{2\\pi}\\sqrt{\\dfrac{3k}{m}}}{\\dfrac{1}{2\\pi}\\sqrt{\\dfrac{2k}{m}}} = \\sqrt{\\frac{3k}{m} \\cdot \\frac{m}{2k}} = \\sqrt{\\frac{3}{2}}$$\n\n$$\\boxed{\\frac{f_1}{f_2} = \\sqrt{\\frac{3}{2}} = \\frac{\\sqrt{6}}{2} \\approx 1{,}225}$$\n\n> Dokładnie: \\(\\sqrt{1{,}5} = 1{,}224744871\\ldots \\approx 1{,}225\\) (cztery cyfry znaczące).\n\n## Sposób 2 - Przez siłę wypadkową (Newtonowski)\n\nPręt o masie \\(m\\) zostaje wypchnięty w dół o \\(x\\) z położenia równowagi. Siły sprężyn działają w górę.\n\n**Układ 1:**\n$$F_\\text{spr} = k\\cdot x + k\\cdot x + k\\cdot x = 3kx$$\n\nRównanie ruchu:\n$$m\\ddot{x} = -3kx \\implies \\ddot{x} + \\frac{3k}{m}x = 0$$\n\nTo równanie harmonicznego oscylatora z \\(\\omega_1^2 = \\frac{3k}{m}\\), skąd:\n$$f_1 = \\frac{\\omega_1}{2\\pi} = \\frac{1}{2\\pi}\\sqrt{\\frac{3k}{m}}$$\n\n**Układ 2:**\n$$F_\\text{spr} = kx + kx = 2kx \\implies \\omega_2^2 = \\frac{2k}{m}$$\n\n$$f_2 = \\frac{1}{2\\pi}\\sqrt{\\frac{2k}{m}}$$\n\n**Stosunek:**\n$$\\frac{f_1}{f_2} = \\frac{\\omega_1}{\\omega_2} = \\sqrt{\\frac{3k/m}{2k/m}} = \\sqrt{\\frac{3}{2}} \\approx 1{,}225$$\n\n## Sposób 3 - Przez energię potencjalną (metoda Lagrange'a / energetyczna)\n\nEnergia potencjalna układu sprężyn przy wychyleniu pręta o \\(x\\):\n\n**Układ 1:**\n$$E_{p,1} = \\frac{1}{2}kx^2 + \\frac{1}{2}kx^2 + \\frac{1}{2}kx^2 = \\frac{1}{2}(3k)x^2$$\n\n**Układ 2:**\n$$E_{p,2} = \\frac{1}{2}kx^2 + \\frac{1}{2}kx^2 = \\frac{1}{2}(2k)x^2$$\n\nEnergia kinetyczna \\(E_k = \\frac{1}{2}m\\dot{x}^2\\) - taka sama w obu układach.\n\nOscylator harmoniczny: \\(\\omega = \\sqrt{k_\\text{eff}/m}\\). Wynikająca stała \\(k_\\text{eff}\\) odczytana z postaci \\(\\frac{1}{2}k_\\text{eff}x^2\\):\n\n$$\\omega_1 = \\sqrt{\\frac{3k}{m}}, \\quad \\omega_2 = \\sqrt{\\frac{2k}{m}}$$\n\n$$\\frac{f_1}{f_2} = \\frac{\\omega_1}{\\omega_2} = \\sqrt{\\frac{3}{2}} \\approx 1{,}225$$\n\nWszystkie trzy metody dają **ten sam wynik** - wzajemna weryfikacja.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Schemat punktowania CKE (zadanie 4, 0-4 pkt):**\n> - **4 pkt** - prawidłowa metoda obliczenia ilorazu częstotliwości oraz prawidłowy wynik liczbowy zapisany bez jednostki i podany z dokładnością do czterech cyfr znaczących.\n> - **3 pkt** - prawidłowa metoda i otrzymanie wyniku w postaci \\(f_1/f_2 = \\sqrt{3/2}\\) **LUB** podanie wyniku z inną dokładnością niż zapisana w poleceniu (np. \\(f_1/f_2 \\approx 1{,}2247\\) lub \\(\\approx 1{,}22\\)) albo wyniku źle zaokrąglonego (np. \\(\\approx 1{,}224\\)).\n> - **2 pkt** - wykonanie kroku 1.a. oraz 1.b. dla obu układów sprężyn - wystarczy zapis: \\(2\\pi f_1 = \\sqrt{3k/m}\\) oraz \\(2\\pi f_2 = \\sqrt{2k/m}\\).\n> - **1 pkt** - prawidłowe wyznaczenie zastępczego współczynnika sprężystości: \\(k_1 = 3k\\) i \\(k_2 = 2k\\) (krok 1.a.) **LUB** wyznaczenie siły wypadkowej \\(\\vec{F}_1 = -3k\\vec{y}\\), \\(\\vec{F}_2 = -2k\\vec{y}\\) (krok 1.a.) **LUB** skorzystanie ze wzoru na częstotliwość/częstość kołową z rozróżnieniem współczynników obu układów (krok 1.b.).\n> - **0 pkt** - brak spełnienia powyższych kryteriów.\n>\n> **Wynik CKE:** \\(\\dfrac{f_1}{f_2} = \\sqrt{\\dfrac{3}{2}} \\approx 1{,}2247 \\approx 1{,}225\\).\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (drgania mechaniczne):**\n>\n> - **Częstotliwość drgań harmonicznych:**\n> \\[f = \\frac{1}{2\\pi}\\sqrt{\\frac{k}{m}}\\]\n> gdzie \\(k\\) - stała sprężystości (efektywna układu), \\(m\\) - masa na sprężynie.\n>\n> - **Połączenie równoległe sprężyn** (z sekcji mechaniki):\n> \\[k_\\text{eff} = k_1 + k_2 + \\ldots + k_n\\]\n>\n> Użyliśmy obu wzorów w każdym ze Sposobów. Stosunek \\(f_1/f_2\\) eliminuje stałe \\(m\\) i \\(k\\) - w wyniku zostaje jedynie \\(\\sqrt{3/2}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Pułapka 1 - pomylenie szeregowego z równoległym:** Gdy sprężyny są *obok siebie* i odkształcają się tak samo → **równoległe** (\\(k_\\text{eff} = \\sum k_i\\)). Dla szeregowego (\\(k_\\text{eff}^{-1} = \\sum k_i^{-1}\\)) pręt musiałby przechylać się, co wykluczone treścią zadania.\n\n> ⚠️ **Pułapka 2 - zapomniano o pierwiastku:** \\(\\dfrac{f_1}{f_2} = \\dfrac{\\sqrt{3k}}{\\sqrt{2k}} = \\sqrt{\\dfrac{3}{2}}\\), NIE \\(\\dfrac{3k}{2k} = \\dfrac{3}{2} = 1{,}5\\). To najczęstszy błąd skutkujący utratą ostatniego punktu.\n\n> ⚠️ **Pułapka 3 - cztery cyfry znaczące:** \\(\\sqrt{1{,}5} = 1{,}2247\\mathbf{4}4\\ldots\\) Po zaokrągleniu do 4 cyfr: \\(1{,}225\\) (bo piąta cyfra to 7 ≥ 5, zaokrąglamy 4 → 5). Odpowiedź \\(1{,}224\\) jest błędna.\n\n> ⚠️ **Pułapka 4 - odwrócony stosunek:** Zadanie pyta o \\(f_1/f_2\\), a nie \\(f_2/f_1\\). Układ z **trzema** sprężynami jest sztywniejszy → drgania **szybsze** → \\(f_1 > f_2\\), więc \\(f_1/f_2 > 1\\). Wynik 1,225 > 1 ✓ - intuicja i rachunki się zgadzają.","image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 4. (0-4)
Pręt zawieszono poziomo na trzech identycznych, bardzo lekkich sprężynach, których górne
końce przymocowano do sufitu (zobacz rys. 1.). Następnie ten pręt wychylono w kierunku
pionowym z położenia równowagi sił, po czym puszczono. Skutkiem tego pręt wraz z układem
sprężyn został wprawiony w drgania o kierunku pionowym tak, że położenie chwilowe pręta
zawsze było poziome (zobacz rys. 2.-4.). Częstotliwość drgań opisanego układu była równa f1.
Następnie z układu usunięto środkową sprężynę (zobacz rys. 5.),
a całość ponownie wprawiono w ruch drgający, podobny do opisanego
powyżej. Częstotliwość drgań układu po usunięciu środkowej sprężyny
była równa f2.
Oblicz stosunek częstotliwości
f1
f2. Uzyskany wynik liczbowy zapisz
z dokładnością do czterech cyfr znaczących. Pomiń opory ruchu.
Rysunek 1.
Rysunek 2.
Rysunek 3.
Rysunek 4.
Rysunek 5.
MFA_1R

","answer_text_html":"

Zadanie 4. (0-4)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Budowa prostych modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk.
Zdający:
6.1) analizuje ruch pod wpływem sił sprężystych
(harmonicznych) […];
6.3) oblicza okres drgań ciężarka na sprężynie […];
8.11) (G) zapisuje wynik pomiaru lub obliczenia
fizycznego jako przybliżony.
Schemat punktowania
4 p. - prawidłowa metoda obliczenia ilorazu częstotliwości oraz prawidłowy wynik liczbowy
zapisany bez jednostki i podany z dokładnością do czterech cyfr znaczących.
3 p. - prawidłowa metoda i otrzymanie wyniku liczbowego w postaci ݂ଵ/݂ଶ= ඥ3/2 lub
podanie wyniku z dokładnością inną niż zapisana w poleceniu (np.: ݂ଵ/݂ଶ≈1,2247 lub
ଵ/݂ଶ≈1,22) albo wyniku źle zaokrąglonego (np. ݂ଵ/݂ଶ≈1,224).
2 p. - wykonanie kroku 1.a. oraz wykonanie kroku 1.b. dla obu układów sprężyn - wystarczy
zapis: 2ߨ݂ଵ= ටଷ௞
௠ oraz 2ߨ݂ଶ= ටଶ௞
௠.
1 p. - prawidłowe wyznaczenie zastępczego współczynnika sprężystości dla układu trzech,
a następnie dwóch sprężyn - wystarczy zapis: k1 = 3k i k2 = 2k (krok 1.a.)
lub

\n\n

a następnie na dwóch sprężynach - wystarczy zapis: FሬԦ1 = -3kyԦ i FሬԦ2 = -2kyԦ (krok 1.a.)
lub

\n\n

z uwzględnieniem rozróżnienia zastępczych współczynników sprężystości obu układów
sprężyn - wystarczy zapis: 2ߨ݂ଵ= ට௞భ
௠ albo
ଵ= ට௞భ
௠ albo
௙భ
௙మ= ට
௞భ
௞మ (krok 1.b.)
lub

\n\n

z częstotliwością wraz z uwzględnieniem rozróżnienia zastępczych współczynników
sprężystości dla obu układów sprężyn - np. zapis ܶଵ= 2ߨට
௠
௞భ oraz ݂ଵ=
ଵ்
భ (krok 1.b.)
0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Uwaga! Uwzględnienie rozróżnienia współczynników sprężystości obu układów sprężyn należy
uznać wtedy, gdy zastosowano oznaczenie indeksem, np.: 2ߨ݂ଵ= ට௞భ
௠ albo wtedy, gdy zapisano
wzór ogólny, np.: 2ߨ݂
= ට௞
௠, a następnie wyznaczano k lub rozpisywano ten wzór dla każdego
z układów sprężyn.
Przykładowe rozwiązanie
Sposób 1.
Krok 1.a. Wyznaczamy zastępczy współczynnik sprężystości dla układu trzech, a następnie
dwóch sprężyn. Wszystkie sprężyny wychylają się z położenia równowagi sił o tę samą wartość
y, zatem wypadkowa siła działająca na pręt ma postać:
ܨԦଵ= -(݇ݕԦ +݇
ݕԦ +݇
ݕԦ) = -3݇ݕԦ
Widzimy, że siła wypadkowa ma charakter siły harmonicznej:
ܨԦଵ= -݇ଵݕԦ dla ݇ଵ= 3݇
Podobnie określamy „zastępczy” współczynnik sprężystości dla układu z usuniętą środkową
sprężyną:
ܨԦଶ= -(݇ݕԦ +݇
ݕԦ) = -2݇ݕԦ = -݇ଶݕԦ → ݇ଶ= 2݇
Krok 1.b. Skorzystamy ze wzoru na częstotliwość lub częstość kołową drgań i zastosujemy go
dla obu układów sprężyn:
2ߨ݂ଵ= ඨ݇ଵ݉ oraz 2ߨ݂ଶ= ඨ݇ଶ݉
Krok 2. Obliczymy iloraz częstotliwości drgań:
ଵ
ଶ
= ඨ݇ଵ݉ ∙ ඨ݉݇
ଶ
= ඨ݇ଵ
ଶ
→ ݂ଵ
ଶ
= ඨ3݇
2݇
= ඨ3
2
Krok 3. Zapiszemy wynik z dokładnością do czterech cyfr znaczących:
ଵ
ଶ
= ඨ3
2 ≈1,2247 … ≈1,225
Sposób 2.
Krok 1.a. Skorzystamy ze wzoru na całkowitą energię mechaniczną oscylatora. Energia ta jest
równa energii potencjalnej sprężystości oscylatora przy maksymalnym wychyleniu. Niech A1
oznacza amplitudę drgań układu trzech sprężyn, k - współczynnik sprężystości jednej sprężyny,
k1 - współczynnik sprężystości układu trzech sprężyn. Analogiczne oznaczenia: A2 i k2
zastosujemy dla układu drgań dwóch sprężyn. Całkowita energia mechaniczna E1 drgań układu
trzech sprężyn jest równa sumie całkowitych energii mechanicznych drgań każdej ze sprężyn:
ܧଵ= 1
2݇ܣଵ
ଶ+ 1
2݇ܣଵ
ଶ+ 1
2݇ܣଵ
ଶ= 1
2 ∙3݇ܣଵ
ଶ a ponadto ܧଵ= 1
2
ଵܣଵ
ଶ
W związku z powyższym mamy:
ଵ= 3݇
Analogiczne obliczenia wykonujemy dla układu dwóch sprężyn:
ܧଶ= 1
2݇ܣଶ
ଶ+ 1
2݇ܣଶ
ଶ= 1
2 ∙2݇ܣଶ
ଶ a ponadto ܧଶ= 1
2
ଶܣଶ
ଶ
zatem
ଶ= 2݇
Dalsze obliczenia wykonujemy jak w pierwszym sposobie rozwiązania.
Uwaga! W tej metodzie dopuszcza się założenie, że: A1 = A2. W takim przypadku należy uznać
wynikający z tego zapis: E1/ E2 = k1/k2 = 3/2 jako równoważny zapisom w kroku 1.a.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n
f1f2=32=62≈1,225
\n

Sposób 1 - Stała efektywna układu sprężyn równoległych

\n

Kluczowa obserwacja geometryczna:
Pręt podczas drgań zawsze pozostaje poziomy. Oznacza to, że każde przemieszczenie pręta w dół o x powoduje jednakowe wydłużenie wszystkich sprężyn o tę samą wartość x.

\n

Definicja połączenia równoległego: sprężyny są połączone równolegle, gdy pod obciążeniem ulegają takiemu samemu odkształceniu. To jest dokładnie nasz przypadek.

\n

Dla sprężyn równoległych stałe dodają się:

\n
keff=k1+k2+…
\n

Układ 1 - trzy sprężyny:

\n
keff,1=k+k+k=3k
\n

Równanie ruchu: mx¨=−keff,1x, więc częstotliwość:

\n
f1=12π3km
\n

Układ 2 - dwie sprężyny (środkowa usunięta):

\n
keff,2=k+k=2k
\n
f2=12π2km
\n

Stosunek:

\n
f1f2=12π3km12π2km=3km·m2k=32
\n
f1f2=32=62≈1,225
\n
Dokładnie: 1,5=1,224744871…≈1,225 (cztery cyfry znaczące).
\n

Sposób 2 - Przez siłę wypadkową (Newtonowski)

\n

Pręt o masie m zostaje wypchnięty w dół o x z położenia równowagi. Siły sprężyn działają w górę.

\n

Układ 1:

\n
Fspr=k·x+k·x+k·x=3kx
\n

Równanie ruchu:

\n
mx¨=−3kx⟹x¨+3kmx=0
\n

To równanie harmonicznego oscylatora z ω12=3km, skąd:

\n
f1=ω12π=12π3km
\n

Układ 2:

\n
Fspr=kx+kx=2kx⟹ω22=2km
\n
f2=12π2km
\n

Stosunek:

\n
f1f2=ω1ω2=3k/m2k/m=32≈1,225
\n

Sposób 3 - Przez energię potencjalną (metoda Lagrange'a / energetyczna)

\n

Energia potencjalna układu sprężyn przy wychyleniu pręta o x:

\n

Układ 1:

\n
Ep,1=12kx2+12kx2+12kx2=12(3k)x2
\n

Układ 2:

\n
Ep,2=12kx2+12kx2=12(2k)x2
\n

Energia kinetyczna Ek=12mx˙2 - taka sama w obu układach.

\n

Oscylator harmoniczny: ω=keff/m. Wynikająca stała keff odczytana z postaci 12keffx2:

\n
ω1=3km,ω2=2km
\n
f1f2=ω1ω2=32≈1,225
\n

Wszystkie trzy metody dają ten sam wynik - wzajemna weryfikacja.

\n

Schemat oceniania CKE

\n
📋 Schemat punktowania CKE (zadanie 4, 0-4 pkt):
- 4 pkt - prawidłowa metoda obliczenia ilorazu częstotliwości oraz prawidłowy wynik liczbowy zapisany bez jednostki i podany z dokładnością do czterech cyfr znaczących.
- 3 pkt - prawidłowa metoda i otrzymanie wyniku w postaci f1/f2=3/2 LUB podanie wyniku z inną dokładnością niż zapisana w poleceniu (np. f1/f2≈1,2247 lub ≈1,22) albo wyniku źle zaokrąglonego (np. ≈1,224).
- 2 pkt - wykonanie kroku 1.a. oraz 1.b. dla obu układów sprężyn - wystarczy zapis: 2πf1=3k/m oraz 2πf2=2k/m.
- 1 pkt - prawidłowe wyznaczenie zastępczego współczynnika sprężystości: k1=3k i k2=2k (krok 1.a.) LUB wyznaczenie siły wypadkowej F→1=−3ky→, F→2=−2ky→ (krok 1.a.) LUB skorzystanie ze wzoru na częstotliwość/częstość kołową z rozróżnieniem współczynników obu układów (krok 1.b.).
- 0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.

Wynik CKE: f1f2=32≈1,2247≈1,225.
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (drgania mechaniczne):

- Częstotliwość drgań harmonicznych:
f=12πkm
gdzie k - stała sprężystości (efektywna układu), m - masa na sprężynie.

- Połączenie równoległe sprężyn (z sekcji mechaniki):
keff=k1+k2+…+kn

Użyliśmy obu wzorów w każdym ze Sposobów. Stosunek f1/f2 eliminuje stałe m i k - w wyniku zostaje jedynie 3/2.
\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Pułapka 1 - pomylenie szeregowego z równoległym: Gdy sprężyny są obok siebie i odkształcają się tak samo → równoległe (keff=∑ki). Dla szeregowego (keff−1=∑ki−1) pręt musiałby przechylać się, co wykluczone treścią zadania.
\n
⚠️ Pułapka 2 - zapomniano o pierwiastku: f1f2=3k2k=32, NIE 3k2k=32=1,5. To najczęstszy błąd skutkujący utratą ostatniego punktu.
\n
⚠️ Pułapka 3 - cztery cyfry znaczące: 1,5=1,224744… Po zaokrągleniu do 4 cyfr: 1,225 (bo piąta cyfra to 7 ≥ 5, zaokrąglamy 4 → 5). Odpowiedź 1,224 jest błędna.
\n
⚠️ Pułapka 4 - odwrócony stosunek: Zadanie pyta o f1/f2, a nie f2/f1. Układ z trzema sprężynami jest sztywniejszy → drgania szybsze → f1>f2, więc f1/f2>1. Wynik 1,225 > 1 ✓ - intuicja i rachunki się zgadzają.
"}]}