{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"5","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-3)\nTrzy planety poruszają się w centralnym polu grawitacyjnym gwiazdy G po orbitach O1, O2\ni O3. Wszystkie planety obiegają gwiazdę w jedną stronę, a ich orbity leżą w jednej\npłaszczyźnie. Orbita O1 jest eliptyczna (rys. 1.), natomiast orbity O2 i O3 są kołowe (rys. 2.\noraz 3.). Punkt A jest punktem stycznym orbit O1 i O2, a punkt B jest punktem stycznym orbit\nO1 i O3. Zakładamy, że planety nie zderzają się w tych punktach, a ponadto pomijamy\noddziaływanie pomiędzy planetami.\nNa rys. 1. narysowano i oznaczono wektor prędkości planety\nna orbicie O1 w punkcie A. Wektor prędkości tej samej planety\nna orbicie O1 w punkcie B oznaczymy vሬԦ1B, natomiast wektor\nprędkości planety na orbicie O2 w punkcie A oznaczymy vሬԦ2A,\na wektor prędkości planety na orbicie O3 w punkcie B\noznaczymy vሬԦ3B.\nW wykropkowane miejsca poniżej wpisz właściwe relacje:\nwiększy, równy, mniejszy (>, =, <), między wartościami\nprędkości planet w danych punktach na poszczególnych\norbitach.\na) v1A v1B\n(analizuj rys. 1.)\nb) v2A v3B\n(analizuj rys. 2. i rys. 3.)\nc) v1B v3B\n(analizuj rys. 1. i rys. 3.)\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n4.\n5.\nMaks. liczba pkt\n4\n3\nUzyskana liczba pkt\nO1\nB\nG\nA\nvሬԦ1A\nRysunek 1.\nO2\nG\nA\nRysunek 2.\nRysunek 3.\nO3\nB\nG\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów\ni rysunków.\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n1.2) (P) opisuje zależności między siłą\ndośrodkową a masą, prędkością liniową\ni promieniem […];\n1.6) (P) wskazuje siłę grawitacji jako siłę\ndośrodkową;\n1.14) oblicza parametry ruchu jednostajnego po\nokręgu, opisuje wektory prędkości\ni przyspieszenia dośrodkowego;\n4.6) Wyjaśnia pojęcie pierwszej i drugiej\nprędkości kosmicznej, oblicza ich wartości\n[…];\n2.8) stosuje zasadę zachowania momentu pędu\ndo analizy ruchu;\n3.3) wykorzystuje zasadę zachowania energii\nmechanicznej do obliczania parametrów ruchu.\nSchemat punktowania\n3 p. - trzy poprawne odpowiedzi.\n2 p. - dwie poprawne odpowiedzi.\n1 p. - jedna poprawna odpowiedź.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPoprawne odpowiedzi\na) v1A > v1B\nb) v2A > v3B\nc) v1B < v3B","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n$$\\text{a)}\\ v_{1A} \\mathbf{>} v_{1B}, \\qquad \\text{b)}\\ v_{2A} \\mathbf{>} v_{3B}, \\qquad \\text{c)}\\ v_{1B} \\mathbf{<} v_{3B}$$\n\n## Sposób 1 - Prawa Keplera i zasada zachowania momentu pędu\n\n### Geometria układu\n\nZ rysunku: punkty styczne A i B leżą na końcach głównej osi elipsy O₁:\n\n| Punkt | Typ apsydy | Odległość od G | Prędkość orbitalna |\n| A | **peryhelium** (periapsis) - najbliżej G | \\(r_A = a(1-e)\\) | największa na O₁ |\n| B | **aphelium** (apoapsis) - najdalej od G | \\(r_B = a(1+e)\\) | najmniejsza na O₁ |\n\ngdzie \\(a\\) - półoś wielka O₁, \\(e\\) - mimośród. Stąd \\(r_A < r_B\\).\n\n### Relacja 1: \\(v_{1A}\\) vs \\(v_{1B}\\)\n\nW apsydach (peryhelium i aphelium) prędkość jest **prostopadle** do promienia wektora. Zasada zachowania momentu pędu:\n\n\\[\nL = m \\cdot v \\cdot r = \\text{const} \\implies v_{1A} \\cdot r_A = v_{1B} \\cdot r_B\n\\]\n\n\\[\n\\frac{v_{1A}}{v_{1B}} = \\frac{r_B}{r_A} = \\frac{a(1+e)}{a(1-e)} > 1 \\quad (\\text{bo } e > 0)\n\\]\n\n$$\\boxed{v_{1A} > v_{1B}}$$\n\n**Fizycznie:** planeta \"wlatuje\" w peryhelium z największą prędkością (grawitacja przyspiesza ją na zbliżeniu), w aphelium \"zwalnia\".\n\n### Relacja 2 (część b): \\(v_{2A}\\) vs \\(v_{3B}\\)\n\nPorównujemy prędkości na **dwóch orbitach kołowych**: O₂ o promieniu \\(r_A\\) (punkt A) i O₃ o promieniu \\(r_B\\) (punkt B). Pamiętamy: \\(r_A < r_B\\) (A to peryhelium, B to aphelium elipsy O₁).\n\nPrędkość na orbicie kołowej:\n\\[\nv_\\text{koł} = \\sqrt{\\frac{GM}{r}}\n\\]\n\nZatem:\n\\[\nv_{2A} = \\sqrt{\\frac{GM}{r_A}}, \\qquad v_{3B} = \\sqrt{\\frac{GM}{r_B}}\n\\]\n\nPonieważ \\(r_A < r_B\\), to \\(\\dfrac{GM}{r_A} > \\dfrac{GM}{r_B}\\), więc:\n\n$$\\boxed{v_{2A} > v_{3B}}$$\n\n**Fizycznie:** planeta na orbicie kołowej bliżej gwiazdy (mniejszy promień) porusza się szybciej niż planeta na orbicie kołowej dalej od gwiazdy.\n\n### Relacja 3: \\(v_{1B}\\) vs \\(v_{3B}\\)\n\nAnalogicznie - w punkcie B obie planety są w odległości \\(r_B\\) od G.\n\nPrędkość kołowa O₃:\n\\[\nv_{3B} = \\sqrt{\\frac{GM}{r_B}}\n\\]\n\nPrędkość na O₁ w aphelium (vis-viva):\n\\[\nv_{1B}^2 = GM\\left(\\frac{2}{r_B} - \\frac{1}{a}\\right)\n\\]\n\nPonieważ \\(r_B > a\\), mamy \\(\\dfrac{1}{a} > \\dfrac{1}{r_B}\\), zatem:\n\\[\n\\frac{2}{r_B} - \\frac{1}{a} < \\frac{2}{r_B} - \\frac{1}{r_B} = \\frac{1}{r_B}\n\\]\n\n\\[\nv_{1B}^2 < \\frac{GM}{r_B} = v_{3B}^2\n\\]\n\n$$\\boxed{v_{1B} < v_{3B}}$$\n\n**Fizycznie:** planeta na elipsie w aphelium ma za małą prędkość, by utrzymać okrągłą orbitę - grawitacja \"przyciąga ją z powrotem\" do wewnątrz.\n\n## Sposób 2 - Intuicja: orbita kołowa jako „stan równowagi\"\n\nOrbita kołowa to **jedyna stabilna orbita przy danej odległości od gwiazdy**. Każde odchylenie od prędkości kołowej powoduje elipsę:\n\n\\[\nv > v_{\\text{kołowa}}(r) \\implies \\text{planeta \"odlatuje\" dalej} \\implies \\text{to jest peryhelium elipsy}\n\\]\n\\[\nv < v_{\\text{kołowa}}(r) \\implies \\text{planeta \"spada bliżej\"} \\implies \\text{to jest aphelium elipsy}\n\\]\n\nZastosowanie:\n- W punkcie B (aphelium O₁): planeta ma **za małą** prędkość jak na okrąg → \\(v_{1B} < v_{3B}\\) ✓ (część c)\n- Między A i B: planeta zwalnia z peryhelium do aphelium → \\(v_{1A} > v_{1B}\\) ✓ (część a)\n- Orbity kołowe: bliżej gwiazdy = szybciej → \\(v_{2A} > v_{3B}\\) bo \\(r_A < r_B\\) ✓ (część b)\n\n## Sposób 3 - Weryfikacja przez III prawo Keplera (podejście porównawcze)\n\nDla orbit kołowych O₂ (promień \\(r_A\\)) i O₃ (promień \\(r_B\\)), z \\(r_B > r_A\\):\n\n\\[\n\\frac{T_3}{T_2} = \\left(\\frac{r_B}{r_A}\\right)^{3/2} > 1 \\implies T_3 > T_2\n\\]\n\nPrędkości kołowe:\n\\[\nv_{\\text{kołowa}} = \\frac{2\\pi r}{T} = \\sqrt{\\frac{GM}{r}} \\quad \\implies \\quad v_{2A} > v_{3B}\n\\]\n\n(planeta bliżej gwiazdy krąży szybciej). To potwierdza hierarchię: peryhelium jest bliżej G, więc prędkości kołowe są wyższe przy mniejszym \\(r\\).\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Schemat punktowania CKE (zadanie 5, 0-3 pkt):**\n> - **3 pkt** - trzy poprawne odpowiedzi.\n> - **2 pkt** - dwie poprawne odpowiedzi.\n> - **1 pkt** - jedna poprawna odpowiedź.\n> - **0 pkt** - brak spełnienia powyższych kryteriów.\n>\n> **Poprawne odpowiedzi CKE:**\n> - a) \\(v_{1A} > v_{1B}\\)\n> - b) \\(v_{2A} > v_{3B}\\)\n> - c) \\(v_{1B} < v_{3B}\\)\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-20):**\n>\n> **Całka żywa (vis-viva):**\n> \\[v^2 = GM\\left(\\frac{2}{r} - \\frac{1}{a}\\right)\\]\n> Dla orbity kołowej (\\(a = r\\)): \\(v_{\\text{kołowa}} = \\sqrt{GM/r}\\)\n>\n> **III prawo Keplera:** \\(\\dfrac{T^2}{a^3} = \\text{const}\\)\n>\n> **Zachowanie momentu pędu:** \\(L = mvr = \\text{const}\\) (przy prostopadłości \\(\\vec{v} \\perp \\vec{r}\\) w apsydach)\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Orbita kołowa NIE znaczy \"wolniejsza\" lub \"szybsza\" - prędkość kołowa **zależy od promienia**. Mniejszy promień → szybsza orbita kołowa.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Styczność orbit w punktach A i B oznacza tę samą odległość od G **i** ten sam kierunek prędkości - ale NIE tę samą wartość prędkości! Właśnie różnica wartości prędkości decyduje, po której orbicie leci planeta.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Częsty błąd: \"w aphelium planeta jest dalej, więc O₃ jest szybsza\" - to odwrotnie niż prawda. Dalej od G → **wolniejsza** orbita kołowa. Planeta na elipsie w aphelium jest jeszcze wolniejsza od tej i tak wolnej orbity kołowej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zachowanie momentu pędu (\\(v_{1A} r_A = v_{1B} r_B\\)) działa TYLKO w apsydach (gdzie \\(\\vec{v} \\perp \\vec{r}\\)). W dowolnym innym punkcie elipsy trzeba użyć pełnego wyrażenia \\(L = mvr\\sin\\theta\\).","image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 5. (0-3)
Trzy planety poruszają się w centralnym polu grawitacyjnym gwiazdy G po orbitach O1, O2
i O3. Wszystkie planety obiegają gwiazdę w jedną stronę, a ich orbity leżą w jednej
płaszczyźnie. Orbita O1 jest eliptyczna (rys. 1.), natomiast orbity O2 i O3 są kołowe (rys. 2.
oraz 3.). Punkt A jest punktem stycznym orbit O1 i O2, a punkt B jest punktem stycznym orbit
O1 i O3. Zakładamy, że planety nie zderzają się w tych punktach, a ponadto pomijamy
oddziaływanie pomiędzy planetami.
Na rys. 1. narysowano i oznaczono wektor prędkości planety
na orbicie O1 w punkcie A. Wektor prędkości tej samej planety
na orbicie O1 w punkcie B oznaczymy vሬԦ1B, natomiast wektor
prędkości planety na orbicie O2 w punkcie A oznaczymy vሬԦ2A,
a wektor prędkości planety na orbicie O3 w punkcie B
oznaczymy vሬԦ3B.
W wykropkowane miejsca poniżej wpisz właściwe relacje:
większy, równy, mniejszy (>, =, <), między wartościami
prędkości planet w danych punktach na poszczególnych
orbitach.
a) v1A v1B
(analizuj rys. 1.)
b) v2A v3B
(analizuj rys. 2. i rys. 3.)
c) v1B v3B
(analizuj rys. 1. i rys. 3.)
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
4.
5.
Maks. liczba pkt
4
3
Uzyskana liczba pkt
O1
B
G
A
vሬԦ1A
Rysunek 1.
O2
G
A
Rysunek 2.
Rysunek 3.
O3
B
G
MFA_1R

","answer_text_html":"

Zadanie 5. (0-3)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Wykorzystanie i przetwarzanie
informacji zapisanych w postaci tekstu,
tabel, wykresów, schematów
i rysunków.
I. Znajomość i umiejętność
wykorzystania pojęć i praw fizyki
do wyjaśniania procesów i zjawisk
w przyrodzie.
Zdający:
1.2) (P) opisuje zależności między siłą
dośrodkową a masą, prędkością liniową
i promieniem […];
1.6) (P) wskazuje siłę grawitacji jako siłę
dośrodkową;
1.14) oblicza parametry ruchu jednostajnego po
okręgu, opisuje wektory prędkości
i przyspieszenia dośrodkowego;
4.6) Wyjaśnia pojęcie pierwszej i drugiej
prędkości kosmicznej, oblicza ich wartości
[…];
2.8) stosuje zasadę zachowania momentu pędu
do analizy ruchu;
3.3) wykorzystuje zasadę zachowania energii
mechanicznej do obliczania parametrów ruchu.
Schemat punktowania
3 p. - trzy poprawne odpowiedzi.
2 p. - dwie poprawne odpowiedzi.
1 p. - jedna poprawna odpowiedź.
0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Poprawne odpowiedzi
a) v1A > v1B
b) v2A > v3B
c) v1B < v3B

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n
a) v1A>v1B,b) v2A>v3B,c) v1B<v3B
\n

Sposób 1 - Prawa Keplera i zasada zachowania momentu pędu

\n
Geometria układu
\n

Z rysunku: punkty styczne A i B leżą na końcach głównej osi elipsy O₁:

\n

| Punkt | Typ apsydy | Odległość od G | Prędkość orbitalna |
| A | peryhelium (periapsis) - najbliżej G | rA=a(1−e) | największa na O₁ |
| B | aphelium (apoapsis) - najdalej od G | rB=a(1+e) | najmniejsza na O₁ |

\n

gdzie a - półoś wielka O₁, e - mimośród. Stąd rA<rB.

\n
Relacja 1: v1A vs v1B
\n

W apsydach (peryhelium i aphelium) prędkość jest prostopadle do promienia wektora. Zasada zachowania momentu pędu:

\n
L=m·v·r=const⟹v1A·rA=v1B·rB
\n
v1Av1B=rBrA=a(1+e)a(1−e)>1(bo e>0)
\n
v1A>v1B
\n

Fizycznie: planeta "wlatuje" w peryhelium z największą prędkością (grawitacja przyspiesza ją na zbliżeniu), w aphelium "zwalnia".

\n
Relacja 2 (część b): v2A vs v3B
\n

Porównujemy prędkości na dwóch orbitach kołowych: O₂ o promieniu rA (punkt A) i O₃ o promieniu rB (punkt B). Pamiętamy: rA<rB (A to peryhelium, B to aphelium elipsy O₁).

\n

Prędkość na orbicie kołowej:

\n
vkoł=GMr
\n

Zatem:

\n
v2A=GMrA,v3B=GMrB
\n

Ponieważ rA<rB, to GMrA>GMrB, więc:

\n
v2A>v3B
\n

Fizycznie: planeta na orbicie kołowej bliżej gwiazdy (mniejszy promień) porusza się szybciej niż planeta na orbicie kołowej dalej od gwiazdy.

\n
Relacja 3: v1B vs v3B
\n

Analogicznie - w punkcie B obie planety są w odległości rB od G.

\n

Prędkość kołowa O₃:

\n
v3B=GMrB
\n

Prędkość na O₁ w aphelium (vis-viva):

\n
v1B2=GM(2rB−1a)
\n

Ponieważ rB>a, mamy 1a>1rB, zatem:

\n
2rB−1a<2rB−1rB=1rB
\n
v1B2<GMrB=v3B2
\n
v1B<v3B
\n

Fizycznie: planeta na elipsie w aphelium ma za małą prędkość, by utrzymać okrągłą orbitę - grawitacja "przyciąga ją z powrotem" do wewnątrz.

\n

Sposób 2 - Intuicja: orbita kołowa jako „stan równowagi"

\n

Orbita kołowa to jedyna stabilna orbita przy danej odległości od gwiazdy. Każde odchylenie od prędkości kołowej powoduje elipsę:

\n
v>vkołowa(r)⟹planeta \"odlatuje\" dalej⟹to jest peryhelium elipsy
\n
v<vkołowa(r)⟹planeta \"spada bliżej\"⟹to jest aphelium elipsy
\n

Zastosowanie:

\n\n

Sposób 3 - Weryfikacja przez III prawo Keplera (podejście porównawcze)

\n

Dla orbit kołowych O₂ (promień rA) i O₃ (promień rB), z rB>rA:

\n
T3T2=(rBrA)3/2>1⟹T3>T2
\n

Prędkości kołowe:

\n
vkołowa=2πrT=GMr⟹v2A>v3B
\n

(planeta bliżej gwiazdy krąży szybciej). To potwierdza hierarchię: peryhelium jest bliżej G, więc prędkości kołowe są wyższe przy mniejszym r.

\n

Schemat oceniania CKE

\n
📋 Schemat punktowania CKE (zadanie 5, 0-3 pkt):
- 3 pkt - trzy poprawne odpowiedzi.
- 2 pkt - dwie poprawne odpowiedzi.
- 1 pkt - jedna poprawna odpowiedź.
- 0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.

Poprawne odpowiedzi CKE:
- a) v1A>v1B
- b) v2A>v3B
- c) v1B<v3B
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-20):

Całka żywa (vis-viva):
v2=GM(2r−1a)
Dla orbity kołowej (a=r): vkołowa=GM/r

III prawo Keplera: T2a3=const

Zachowanie momentu pędu: L=mvr=const (przy prostopadłości v→⟂r→ w apsydach)
\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Orbita kołowa NIE znaczy "wolniejsza" lub "szybsza" - prędkość kołowa zależy od promienia. Mniejszy promień → szybsza orbita kołowa.
\n
⚠️ Uwaga: Styczność orbit w punktach A i B oznacza tę samą odległość od G i ten sam kierunek prędkości - ale NIE tę samą wartość prędkości! Właśnie różnica wartości prędkości decyduje, po której orbicie leci planeta.
\n
⚠️ Uwaga: Częsty błąd: "w aphelium planeta jest dalej, więc O₃ jest szybsza" - to odwrotnie niż prawda. Dalej od G → wolniejsza orbita kołowa. Planeta na elipsie w aphelium jest jeszcze wolniejsza od tej i tak wolnej orbity kołowej.
\n
⚠️ Uwaga: Zachowanie momentu pędu (v1ArA=v1BrB) działa TYLKO w apsydach (gdzie v→⟂r→). W dowolnym innym punkcie elipsy trzeba użyć pełnego wyrażenia L=mvrsinθ.
"}]}