{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/6.1","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"6.1","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6.1. (0-3)\na) Na wykresie zamieszczonym w opisie zadania 6. narysuj prostą najlepiej dopasowaną\ndo danych eksperymentalnych przedstawionych na tym wykresie.\nb) Na podstawie wykresu prostej wyznacz objętość zanurzonej części pojemnika, gdyby\npływał i nie było w nim piasku.\nc) Na podstawie danych odczytanych z wykresu prostej oblicz współczynnik A.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6.1. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Planowanie i wykonywanie prostych\ndoświadczeń i analiza ich wyników.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów\ni rysunków.\nZdający:\n12.2) samodzielnie wykonuje poprawne\nwykresy (właściwe oznaczenie i opis osi, wybór\nskali, oznaczenie niepewności punktów\npomiarowych);\n12.5) dopasowuje prostą y = ax + b do wykresu\ni ocenia trafność tego dopasowania; oblicza\nwartości współczynników a i b.\na) (0-1)\nSchemat punktowania\n1 p. - prawidłowe narysowanie prostej najlepiej dopasowanej do danych eksperymentalnych\nprzedstawionych na wykresie.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawne rozwiązanie\nNa zielono oznaczono prostą dopasowaną orientacyjnie do punktów pomiarowych\nw najbardziej optymalny sposób, natomiast liniami przerywanymi oznaczono wybrane do\nobliczeń w punkcie c) przyrosty argumentów i wartości na tej prostej.\n600\n500\n400\n300\n200\n100\n0\n0\n100\n200\n300\n400\nVz, cm3\nmx, g\nΔVz\nΔmx\nb) (0-1)\nSchemat punktowania\n1 p. - prawidłowe wyznaczenie objętości (wraz z jednostką) zanurzonej części pustego\npojemnika, wynikające z przecięcia narysowanej prostej z osią rzędnych oraz mieszczące\nsię w przedziale od ok. 115 cm3 do ok. 175 cm3.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawne rozwiązanie\nObjętość zanurzonej części pustego pojemnika (\n௫= 0) wyznaczamy przez odczytanie\nprzybliżonej wartości miejsca przecięcia wykresu prostej z osią rzędnych ܸ௭:\n௭(0) ≈150 cm3\nc) (0-1)\nSchemat punktowania\n1 p. - prawidłowe obliczenie wartości współczynnika A (wraz z jednostką) na podstawie\ndanych odczytanych z wykresu narysowanej prostej. Obliczona wartość współczynnika\nA powinna mieścić się w przedziale od 1,05 cm3/g do 1,3 cm3/g.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPrzykładowe rozwiązanie\nZ wykresu prostej ܸ௭= ܣ݉\n௫+ ܤ odczytujemy wybrany przyrost ∆ܸ௭ oraz odpowiadający temu\nprzyrost ∆\n௫ (albo odwrotnie). Następnie obliczamy wartość współczynnika A:\nܣ= ∆ܸ௭\n∆\n௫\n= 575 cm3 -325 cm3\n360 g -150 g\n≈1,19 cm3\ng\n≈1,2 cm3\ng","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n- **a)** Narysować prostą najlepiej dopasowaną do punktów pomiarowych (przechodzącą przez słupki niepewności \\(\\Delta V_z\\); nie musi przechodzić przez (0,0)).\n- **b)** Objętość zanurzonej części pustego pojemnika (\\(m_x = 0\\)) odczytujemy jako miejsce przecięcia prostej z osią \\(V_z\\): \\(V_z(0) \\approx 150 \\text{ cm}^3\\) (akceptowany przedział: od ok. 115 cm³ do ok. 175 cm³).\n- **c)** Współczynnik kierunkowy: \\(A = \\dfrac{\\Delta V_z}{\\Delta m_x} \\approx 1{,}2 \\text{ cm}^3/\\text{g}\\) (akceptowany przedział: od 1,05 do 1,3 cm³/g).\n\n## Sposób 1 - Odczyt wykresu i wyznaczenie współczynników A i B\n\n**Krok 1 (część a) - narysowanie prostej najlepszego dopasowania**\n\nRysujemy prostą tak, by przechodziła przez słupki niepewności \\(\\Delta V_z\\) możliwie wszystkich punktów pomiarowych, z równomiernym rozkładem punktów po obu stronach. Prosta **nie musi** przechodzić przez początek układu - jej wyraz wolny \\(B = V_z(0) \\neq 0\\), bo pusty pojemnik o masie \\(m_p\\) też się zanurza.\n\n**Krok 2 (część b) - odczyt objętości zanurzonej części pustego pojemnika**\n\nDla pustego pojemnika \\(m_x = 0\\). Odczytujemy miejsce przecięcia narysowanej prostej z osią rzędnych \\(V_z\\):\n\n\\[V_z(0) = B \\approx 150 \\text{ cm}^3\\]\n\nWartość mieści się w akceptowanym przez CKE przedziale od ok. 115 cm³ do ok. 175 cm³.\n\n**Krok 3 (część c) - obliczenie współczynnika A z wykresu**\n\nWybieramy dwa punkty **leżące na narysowanej prostej** (nie punkty pomiarowe!), jak najdalej od siebie, i liczymy nachylenie:\n\n\\[A = \\frac{\\Delta V_z}{\\Delta m_x} = \\frac{575 \\text{ cm}^3 - 325 \\text{ cm}^3}{360 \\text{ g} - 150 \\text{ g}} \\approx 1{,}19 \\frac{\\text{cm}^3}{\\text{g}} \\approx 1{,}2 \\frac{\\text{cm}^3}{\\text{g}}\\]\n\nWartość mieści się w akceptowanym przedziale od 1,05 do 1,3 cm³/g.\n\n> **Jednostki:** \\(V_z\\) w \\(\\text{cm}^3\\), \\(m_x\\) w g, więc \\(A\\) ma jednostkę \\(\\text{cm}^3/\\text{g}\\). (Obliczenie gęstości \\(\\rho = 1/A\\) należy dopiero do zadania 6.2c - tutaj wyznaczamy sam współczynnik A.)\n\n## Sposób 2 - Analiza graficzna: jak poprawnie narysować prostą najlepszego dopasowania\n\n**Zasada narysowania prostej:**\n\n1. **Prosta musi przechodzić przez maksymalną liczbę punktów** lub mieć punkty równomiernie po obu stronach prostej\n2. **Słupki niepewności \\(\\Delta V_z\\)** - prosta musi przechodzić przez słupki niepewności wszystkich (lub prawie wszystkich) punktów\n3. Prosta **nie musi** przechodzić przez początek układu współrzędnych (bo \\(B = m_p/\\rho \\neq 0\\) dla pojemnika o niezerowej masie \\(m_p\\))\n\n**Wyznaczenie nachylenia \\(A\\) metodą graficzną:**\n\nWybieramy **dwa punkty LEŻĄCE NA PROSTEJ** (nie punkty pomiarowe!) - jak najdalej od siebie, by zminimalizować błąd odczytu:\n\n\\[A = \\frac{V_{z}^{(2)} - V_{z}^{(1)}}{m_{x}^{(2)} - m_{x}^{(1)}}\\]\n\n> ⚠️ Bierzemy punkty z narysowanej PROSTEJ, nie z tabelki danych pomiarowych!\n\n**Obliczenie gęstości:**\n\n\\[\\rho = \\frac{1}{A} \\qquad \\left[\\frac{\\text{g}}{\\text{cm}^3}\\right]\\]\n\n## Sposób 3 - Weryfikacja wymiaru (analiza jednostek)\n\nSprawdzamy, czy wyprowadzony wzór ma sens wymiarowy:\n\n\\[A = \\frac{1}{\\rho} \\implies [A] = \\frac{1}{\\text{g/cm}^3} = \\frac{\\text{cm}^3}{\\text{g}}\\]\n\nZ wykresu: oś \\(V_z\\) w \\(\\text{cm}^3\\), oś \\(m_x\\) w g → nachylenie \\(A\\) faktycznie ma jednostkę \\(\\text{cm}^3/\\text{g}\\) ✓\n\nGęstość wody wynosi \\(1{,}00\\ \\text{g/cm}^3\\), cieczy lżejszych (np. oleje) ok. \\(0{,}8{-}0{,}9\\ \\text{g/cm}^3\\), solanki - \\(1{,}1{-}1{,}2\\ \\text{g/cm}^3\\). Wynik odczytany z wykresu powinien należeć do tego zakresu - to szybka weryfikacja sensowności odpowiedzi.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Schemat punktowania CKE (zadanie 6.1, 0-3 pkt - części a-c):**\n>\n> **a) (0-1):** 1 p. - prawidłowe narysowanie prostej najlepiej dopasowanej do danych eksperymentalnych przedstawionych na wykresie.\n>\n> **b) (0-1):** 1 p. - prawidłowe wyznaczenie objętości (wraz z jednostką) zanurzonej części pustego pojemnika, wynikające z przecięcia narysowanej prostej z osią rzędnych oraz mieszczące się w przedziale od ok. 115 cm³ do ok. 175 cm³. Przykład: \\(V_z(0) \\approx 150 \\text{ cm}^3\\).\n>\n> **c) (0-1):** 1 p. - prawidłowe obliczenie wartości współczynnika A (wraz z jednostką) na podstawie danych odczytanych z wykresu narysowanej prostej. Obliczona wartość powinna mieścić się w przedziale od 1,05 cm³/g do 1,3 cm³/g. Przykład: \\(A = \\frac{\\Delta V_z}{\\Delta m_x} = \\frac{575 - 325}{360 - 150} \\approx 1{,}19 \\approx 1{,}2 \\text{ cm}^3/\\text{g}\\).\n>\n> **0 pkt** dla każdej części - brak spełnienia powyższego kryterium.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja Mechanika / Hydrostatyka:**\n> - Prawo Archimedesa: \\(F_\\text{wyp} = \\rho_\\text{cieczy} \\cdot g \\cdot V_\\text{zanurzona}\\)\n> - Warunek pływania: \\(F_\\text{wyp} = mg\\) (gdy ciało pływa w równowadze)\n>\n> Kluczowe użycie: Krok 1-3 w Sposobie 1 - dokładnie te wzory pozwoliły wyprowadzić \\(A = 1/\\rho\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prosta najlepszego dopasowania **NIE przechodzi przez (0,0)** - wyraz wolny \\(B = m_p/\\rho \\neq 0\\), bo pojemnik ma niezerową masę własną \\(m_p\\). Rysowanie prostej przez początek układu to błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Do wyznaczenia \\(A\\) bierzemy punkty **z narysowanej prostej**, nie ze zbioru punktów pomiarowych. Wzięcie punktu pomiarowego zamiast punktu z prostej = błąd metodyczny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \\(\\rho = 1/A\\) z \\(\\rho = A\\). Zależność \\(V_z \\sim m_x\\) ma nachylenie \\(A = V/m = \\text{cm}^3/\\text{g}\\), czyli odwrotność gęstości - nie gęstość samą w sobie. Intuicja: im gęstsza ciecz, tym mniejszy \\(V_z\\) potrzebny do utrzymania tej samej masy → małe \\(A\\) → duże \\(\\rho = 1/A\\). ✓\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jednostka przy wyniku b) (\\(V_z(0)\\) w cm³) oraz c) (\\(A\\) w cm³/g) **musi być podana** - brak jednostki to utrata punktu w kluczu CKE!","image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-6.1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 6.1. (0-3)
a) Na wykresie zamieszczonym w opisie zadania 6. narysuj prostą najlepiej dopasowaną
do danych eksperymentalnych przedstawionych na tym wykresie.
b) Na podstawie wykresu prostej wyznacz objętość zanurzonej części pojemnika, gdyby
pływał i nie było w nim piasku.
c) Na podstawie danych odczytanych z wykresu prostej oblicz współczynnik A.

","answer_text_html":"

Zadanie 6.1. (0-3)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
V. Planowanie i wykonywanie prostych
doświadczeń i analiza ich wyników.
III. Wykorzystanie i przetwarzanie
informacji zapisanych w postaci tekstu,
tabel, wykresów, schematów
i rysunków.
Zdający:
12.2) samodzielnie wykonuje poprawne
wykresy (właściwe oznaczenie i opis osi, wybór
skali, oznaczenie niepewności punktów
pomiarowych);
12.5) dopasowuje prostą y = ax + b do wykresu
i ocenia trafność tego dopasowania; oblicza
wartości współczynników a i b.
a) (0-1)
Schemat punktowania
1 p. - prawidłowe narysowanie prostej najlepiej dopasowanej do danych eksperymentalnych
przedstawionych na wykresie.
0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.
Poprawne rozwiązanie
Na zielono oznaczono prostą dopasowaną orientacyjnie do punktów pomiarowych
w najbardziej optymalny sposób, natomiast liniami przerywanymi oznaczono wybrane do
obliczeń w punkcie c) przyrosty argumentów i wartości na tej prostej.
600
500
400
300
200
100
0
0
100
200
300
400
Vz, cm3
mx, g
ΔVz
Δmx
b) (0-1)
Schemat punktowania
1 p. - prawidłowe wyznaczenie objętości (wraz z jednostką) zanurzonej części pustego
pojemnika, wynikające z przecięcia narysowanej prostej z osią rzędnych oraz mieszczące
się w przedziale od ok. 115 cm3 do ok. 175 cm3.
0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.
Poprawne rozwiązanie
Objętość zanurzonej części pustego pojemnika (
௫= 0) wyznaczamy przez odczytanie
przybliżonej wartości miejsca przecięcia wykresu prostej z osią rzędnych ܸ௭:
௭(0) ≈150 cm3
c) (0-1)
Schemat punktowania
1 p. - prawidłowe obliczenie wartości współczynnika A (wraz z jednostką) na podstawie
danych odczytanych z wykresu narysowanej prostej. Obliczona wartość współczynnika
A powinna mieścić się w przedziale od 1,05 cm3/g do 1,3 cm3/g.
0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.
Przykładowe rozwiązanie
Z wykresu prostej ܸ௭= ܣ݉
௫+ ܤ odczytujemy wybrany przyrost ∆ܸ௭ oraz odpowiadający temu
przyrost ∆
௫ (albo odwrotnie). Następnie obliczamy wartość współczynnika A:
ܣ= ∆ܸ௭
∆
௫
= 575 cm3 -325 cm3
360 g -150 g
≈1,19 cm3
g
≈1,2 cm3
g

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n\n

Sposób 1 - Odczyt wykresu i wyznaczenie współczynników A i B

\n

Krok 1 (część a) - narysowanie prostej najlepszego dopasowania

\n

Rysujemy prostą tak, by przechodziła przez słupki niepewności ΔVz możliwie wszystkich punktów pomiarowych, z równomiernym rozkładem punktów po obu stronach. Prosta nie musi przechodzić przez początek układu - jej wyraz wolny B=Vz(0)≠0, bo pusty pojemnik o masie mp też się zanurza.

\n

Krok 2 (część b) - odczyt objętości zanurzonej części pustego pojemnika

\n

Dla pustego pojemnika mx=0. Odczytujemy miejsce przecięcia narysowanej prostej z osią rzędnych Vz:

\n
Vz(0)=B≈150 cm3
\n

Wartość mieści się w akceptowanym przez CKE przedziale od ok. 115 cm³ do ok. 175 cm³.

\n

Krok 3 (część c) - obliczenie współczynnika A z wykresu

\n

Wybieramy dwa punkty leżące na narysowanej prostej (nie punkty pomiarowe!), jak najdalej od siebie, i liczymy nachylenie:

\n
A=ΔVzΔmx=575 cm3−325 cm3360 g−150 g≈1,19cm3g≈1,2cm3g
\n

Wartość mieści się w akceptowanym przedziale od 1,05 do 1,3 cm³/g.

\n
Jednostki: Vz w cm3, mx w g, więc A ma jednostkę cm3/g. (Obliczenie gęstości ρ=1/A należy dopiero do zadania 6.2c - tutaj wyznaczamy sam współczynnik A.)
\n

Sposób 2 - Analiza graficzna: jak poprawnie narysować prostą najlepszego dopasowania

\n

Zasada narysowania prostej:

\n
  1. Prosta musi przechodzić przez maksymalną liczbę punktów lub mieć punkty równomiernie po obu stronach prostej
  2. Słupki niepewności ΔVz - prosta musi przechodzić przez słupki niepewności wszystkich (lub prawie wszystkich) punktów
  3. Prosta nie musi przechodzić przez początek układu współrzędnych (bo B=mp/ρ≠0 dla pojemnika o niezerowej masie mp)
\n

Wyznaczenie nachylenia A metodą graficzną:

\n

Wybieramy dwa punkty LEŻĄCE NA PROSTEJ (nie punkty pomiarowe!) - jak najdalej od siebie, by zminimalizować błąd odczytu:

\n
A=Vz(2)−Vz(1)mx(2)−mx(1)
\n
⚠️ Bierzemy punkty z narysowanej PROSTEJ, nie z tabelki danych pomiarowych!
\n

Obliczenie gęstości:

\n
ρ=1A[gcm3]
\n

Sposób 3 - Weryfikacja wymiaru (analiza jednostek)

\n

Sprawdzamy, czy wyprowadzony wzór ma sens wymiarowy:

\n
A=1ρ⟹[A]=1g/cm3=cm3g
\n

Z wykresu: oś Vz w cm3, oś mx w g → nachylenie A faktycznie ma jednostkę cm3/g ✓

\n

Gęstość wody wynosi 1,00 g/cm3, cieczy lżejszych (np. oleje) ok. 0,8−0,9 g/cm3, solanki - 1,1−1,2 g/cm3. Wynik odczytany z wykresu powinien należeć do tego zakresu - to szybka weryfikacja sensowności odpowiedzi.

\n

Schemat oceniania CKE

\n
📋 Schemat punktowania CKE (zadanie 6.1, 0-3 pkt - części a-c):

a) (0-1): 1 p. - prawidłowe narysowanie prostej najlepiej dopasowanej do danych eksperymentalnych przedstawionych na wykresie.

b) (0-1): 1 p. - prawidłowe wyznaczenie objętości (wraz z jednostką) zanurzonej części pustego pojemnika, wynikające z przecięcia narysowanej prostej z osią rzędnych oraz mieszczące się w przedziale od ok. 115 cm³ do ok. 175 cm³. Przykład: Vz(0)≈150 cm3.

c) (0-1): 1 p. - prawidłowe obliczenie wartości współczynnika A (wraz z jednostką) na podstawie danych odczytanych z wykresu narysowanej prostej. Obliczona wartość powinna mieścić się w przedziale od 1,05 cm³/g do 1,3 cm³/g. Przykład: A=ΔVzΔmx=575−325360−150≈1,19≈1,2 cm3/g.

0 pkt dla każdej części - brak spełnienia powyższego kryterium.
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja Mechanika / Hydrostatyka:
- Prawo Archimedesa: Fwyp=ρcieczy·g·Vzanurzona
- Warunek pływania: Fwyp=mg (gdy ciało pływa w równowadze)

Kluczowe użycie: Krok 1-3 w Sposobie 1 - dokładnie te wzory pozwoliły wyprowadzić A=1/ρ.
\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Prosta najlepszego dopasowania NIE przechodzi przez (0,0) - wyraz wolny B=mp/ρ≠0, bo pojemnik ma niezerową masę własną mp. Rysowanie prostej przez początek układu to błąd!
\n
⚠️ Uwaga: Do wyznaczenia A bierzemy punkty z narysowanej prostej, nie ze zbioru punktów pomiarowych. Wzięcie punktu pomiarowego zamiast punktu z prostej = błąd metodyczny.
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić ρ=1/A z ρ=A. Zależność Vz~mx ma nachylenie A=V/m=cm3/g, czyli odwrotność gęstości - nie gęstość samą w sobie. Intuicja: im gęstsza ciecz, tym mniejszy Vz potrzebny do utrzymania tej samej masy → małe A → duże ρ=1/A. ✓
\n
⚠️ Uwaga: Jednostka przy wyniku b) (Vz(0) w cm³) oraz c) (A w cm³/g) musi być podana - brak jednostki to utrata punktu w kluczu CKE!
"}]}