{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/9.1","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"9.1","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9.1. (0-2)\na) Na powyższym rysunku narysuj w punkcie A wektor siły magnetycznej Lorentza\ndziałającej na jon dodatni. Zaznacz dokładny kierunek i zwrot tej siły.\nb) Na rysunku przy symbolu wektora indukcji magnetycznej BሬԦ narysuj zwrot tego\nwektora.\nUżyj w tym celu jednego z symboli:\n- oznaczającego zwrot przed płaszczyznę rysunku (w stronę do patrzącego) LUB\n- oznaczającego zwrot za płaszczyznę rysunku, LUB\n→ - oznaczającego zwrot w prawo, LUB\n← - oznaczającego zwrot w lewo.\ndetektor jonów\nBሬԦ\nU\nd = 2r\nA\nr\nvሬԦ\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9.1. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów\ni rysunków.\nZdający:\n1.2) (P) […] wskazuje przykłady sił pełniących\nrolę siły dośrodkowej;\n1.1) […] wykonuje działania na wektorach;\n9.3) analizuje ruch cząstki naładowanej\nw stałym jednorodnym polu magnetycznym.\nSchemat punktowania a)\n1 p. - prawidłowe narysowanie siły Lorentza o charakterze siły dośrodkowej (prosta\nwyznaczająca kierunek siły musi przechodzić przez środek okręgu).\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nSchemat punktowania b)\n1 p. - prawidłowe narysowanie zwrotu wektora indukcji magnetycznej.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawne rozwiązanie a) oraz b)\n(Na rysunku poniżej).\ndetektor jonów\nBሬሬԦ\nU\nd=2r\nA\nr\nFሬԦL","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nNa schemacie należy narysować:\n1. **Wektor indukcji magnetycznej \\(\\vec{B}\\)** - skierowany **prostopadle do płaszczyzny rysunku, ku nam** (z płaszczyzny) \\(\\odot\\)\n2. **Wektor siły Lorentza \\(\\vec{F}_L\\)** w punkcie A (szczyt półokręgu) - skierowany **pionowo w dół**, ku środkowi okręgu (siła dośrodkowa)\n\n## Sposób 1 - Analiza wektorowa siły Lorentza krok po kroku\n\n**Krok 1 - ustal geometrię ruchu.**\n\nJon dodatni opuszcza źródło i wchodzi w pole magnetyczne z **prędkością \\(\\vec{v}\\) skierowaną pionowo w górę** (\\(+y\\)). Zakres półokręgu: jon startuje u dołu, dochodzi do punktu A (szczyt), a potem wraca do detektora oddalonego o \\(d = 2r\\) w prawo od źródła. Środek okręgu leży **na osi poziomej**, na wysokości wejścia, w odległości \\(r\\) od źródła.\n\n**Krok 2 - wyznacz kierunek \\(\\vec{B}\\).**\n\nSiła Lorentza na jon dodatni: \\(\\vec{F}_L = q\\vec{v} \\times \\vec{B}\\)\n\nJon musi skręcić **w prawo** (bo detektor jest z prawej strony). Przy wejściu \\(\\vec{v} = v\\hat{j}\\) (w górę). Potrzebujemy \\(\\vec{F}_L\\) w kierunku \\(+x\\) (w prawo), żeby jon skręcił w prawo:\n\n\\[\nq\\,v\\hat{j} \\times \\vec{B} \\stackrel{!}{=} F\\hat{i}\n\\]\n\nSprawdzamy \\(\\vec{B} = B\\hat{k}\\) (z płaszczyzny, ku nam):\n\n\\[\n\\hat{j} \\times \\hat{k} = \\hat{i} \\quad \\checkmark\n\\]\n\n**Wniosek: \\(\\vec{B}\\) skierowane z płaszczyzny rysunku ku nam** (\\(\\odot\\), symbol: kropka w okręgu).\n\n**Krok 3 - wyznacz \\(\\vec{F}_L\\) w punkcie A.**\n\nW punkcie A jon jest na **szczycie półokręgu**, więc jego prędkość jest **pozioma, w prawo** \\(\\vec{v}_A = v\\hat{i}\\):\n\n\\[\n\\vec{F}_L = q\\vec{v}_A \\times \\vec{B} = q\\,v\\hat{i} \\times B\\hat{k} = qvB(\\hat{i} \\times \\hat{k})\n\\]\n\nKorzystając z reguły prawej ręki: \\(\\hat{i} \\times \\hat{k} = -\\hat{j}\\)\n\n\\[\n\\vec{F}_L = -qvB\\hat{j}\n\\]\n\n**Siła w punkcie A skierowana jest pionowo w dół** \\((-y)\\) - dokładnie ku środkowi okręgu, pełni rolę siły dośrodkowej. ✓\n\n## Sposób 2 - Reguła lewej ręki (metoda maturalna, szybka)\n\nReguła dla ładunków dodatnich: **lewa ręka**\\* ← *uwaga, to reguła dla prądu; dla ładunku dodatniego można też zastosować regułę prawej ręki dla* \\(q\\vec{v} \\times \\vec{B}\\).\n\nProściej: **reguła śruby (prawej ręki) dla iloczynu wektorowego:**\n\n**Przy wejściu jonu (\\(\\vec{v}\\) w górę, \\(\\vec{B}\\) - do wyznaczenia):**\n\nUstawiamy palce w kierunku \\(\\vec{v}\\) (w górę), zwijamy ku \\(\\vec{B}\\), kciuk wskazuje \\(\\vec{F}_L\\). Potrzebujemy \\(\\vec{F}_L\\) w prawo → \\(\\vec{B}\\) musi wychodzić z kartki ku nam. ✓\n\n**W punkcie A (\\(\\vec{v}\\) w prawo, \\(\\vec{B}\\) ku nam):**\n\n\\(\\vec{v} \\times \\vec{B}\\): palce wskazują w prawo, zwijamy ku górze (ku nam) → kciuk wskazuje **w dół**. ✓\n\n## Sposób 3 - Geometria dośrodkowa (weryfikacja bez rachunków)\n\nSiła magnetyczna **zawsze prostopadła do \\(\\vec{v}\\)** → nie wykonuje pracy, jedynie zakrzywia tor. Oznacza to, że \\(\\vec{F}_L\\) **zawsze wskazuje ku środkowi okręgu**.\n\n| Punkt na torze | Kierunek \\(\\vec{v}\\) | Kierunek ku środkowi | \\(\\vec{F}_L\\) |\n| Wejście (dół) | w górę \\(\\uparrow\\) | w prawo \\(\\rightarrow\\) | w prawo \\(\\rightarrow\\) |\n| Punkt A (szczyt) | w prawo \\(\\rightarrow\\) | w dół \\(\\downarrow\\) | **w dół \\(\\downarrow\\)** |\n| Wyjście (dół) | w dół \\(\\downarrow\\) | w lewo \\(\\leftarrow\\) | w lewo \\(\\leftarrow\\) |\n\nTo geometryczne uzasadnienie nie wymaga obliczeń - **wystarczy wiedzieć, gdzie jest środek okręgu**.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Schemat punktowania CKE (zadanie 9.1, 0-2 pkt):**\n>\n> **a) (0-1):** 1 p. - prawidłowe narysowanie siły Lorentza o charakterze siły dośrodkowej (prosta wyznaczająca kierunek siły musi przechodzić przez środek okręgu). 0 p. - brak spełnienia kryterium.\n>\n> **b) (0-1):** 1 p. - prawidłowe narysowanie zwrotu wektora indukcji magnetycznej. 0 p. - brak spełnienia kryterium.\n>\n> **Poprawne rozwiązanie CKE:** wektor indukcji \\(\\vec{B}\\) skierowany przed płaszczyznę rysunku (ku patrzącemu, symbol \\(\\odot\\)); wektor siły Lorentza \\(\\vec{F}_L\\) w punkcie A skierowany ku środkowi okręgu (dośrodkowo, ukośnie w dół ku środkowi półokręgu).\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, siła Lorentza:**\n> \\[F = qvB\\sin\\alpha\\]\n> gdzie \\(\\alpha\\) - kąt między \\(\\vec{v}\\) a \\(\\vec{B}\\). Tu \\(\\alpha = 90°\\), więc \\(\\sin\\alpha = 1\\), \\(F = qvB\\) (wartość maksymalna).\n>\n> Kierunek wyznaczamy z iloczynu wektorowego \\(\\vec{F} = q\\vec{v} \\times \\vec{B}\\) - nie ma wzoru na karcie, ale jest to standardowa reguła prawej ręki.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - **odwrócenie kierunku \\(\\vec{B}\\)** (wbijające w kartkę zamiast wychodzące). To prowadzi do siły skierowanej w lewo przy wejściu → jon skręca w lewo → detektor byłby po lewej stronie, **sprzeczność z rysunkiem**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W punkcie A wektor \\(\\vec{F}_L\\) wskazuje **w dół (ku środkowi okręgu)**, NIE \"w górę\" - częsty błąd przy intuicyjnym myśleniu \"jon jest na górze, więc siła go ciągnie w górę\". Siła dośrodkowa zawsze ku środkowi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wektor \\(\\vec{B}\\) jest **prostopadły do płaszczyzny rysunku** - zaznaczamy go symbolem \\(\\odot\\) (ku nam) lub \\(\\otimes\\) (od nas), **nie strzałką w płaszczyźnie**. Strzałka w płaszczyźnie to błąd rysunkowy dyskwalifikujący odpowiedź.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W tym zadaniu \\(\\vec{B}\\) jest **prostopadłe do \\(\\vec{v}\\)** przez cały czas ruchu (ruch w płaszczyźnie \\(xy\\), \\(\\vec{B}\\) wzdłuż \\(z\\)) - kąt \\(\\alpha = 90°\\) jest stały, więc wartość siły \\(F = qvB = \\text{const}\\), a prędkość \\(|\\vec{v}|\\) nie zmienia się (pole magnetyczne nie wykonuje pracy).","image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-9.1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 9.1. (0-2)
a) Na powyższym rysunku narysuj w punkcie A wektor siły magnetycznej Lorentza
działającej na jon dodatni. Zaznacz dokładny kierunek i zwrot tej siły.
b) Na rysunku przy symbolu wektora indukcji magnetycznej BሬԦ narysuj zwrot tego
wektora.
Użyj w tym celu jednego z symboli:

\n\n

→ - oznaczającego zwrot w prawo, LUB
← - oznaczającego zwrot w lewo.
detektor jonów
BሬԦ
U
d = 2r
A
r
vሬԦ
MFA_1R

","answer_text_html":"

Zadanie 9.1. (0-2)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Wykorzystanie i przetwarzanie
informacji zapisanych w postaci tekstu,
tabel, wykresów, schematów
i rysunków.
Zdający:
1.2) (P) […] wskazuje przykłady sił pełniących
rolę siły dośrodkowej;
1.1) […] wykonuje działania na wektorach;
9.3) analizuje ruch cząstki naładowanej
w stałym jednorodnym polu magnetycznym.
Schemat punktowania a)
1 p. - prawidłowe narysowanie siły Lorentza o charakterze siły dośrodkowej (prosta
wyznaczająca kierunek siły musi przechodzić przez środek okręgu).
0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.
Schemat punktowania b)
1 p. - prawidłowe narysowanie zwrotu wektora indukcji magnetycznej.
0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.
Poprawne rozwiązanie a) oraz b)
(Na rysunku poniżej).
detektor jonów
BሬሬԦ
U
d=2r
A
r
FሬԦL

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

Na schemacie należy narysować:

\n
  1. Wektor indukcji magnetycznej B→ - skierowany prostopadle do płaszczyzny rysunku, ku nam (z płaszczyzny) ⊙
  2. Wektor siły Lorentza F→L w punkcie A (szczyt półokręgu) - skierowany pionowo w dół, ku środkowi okręgu (siła dośrodkowa)
\n

Sposób 1 - Analiza wektorowa siły Lorentza krok po kroku

\n

Krok 1 - ustal geometrię ruchu.

\n

Jon dodatni opuszcza źródło i wchodzi w pole magnetyczne z prędkością v→ skierowaną pionowo w górę (+y). Zakres półokręgu: jon startuje u dołu, dochodzi do punktu A (szczyt), a potem wraca do detektora oddalonego o d=2r w prawo od źródła. Środek okręgu leży na osi poziomej, na wysokości wejścia, w odległości r od źródła.

\n

Krok 2 - wyznacz kierunek B→.

\n

Siła Lorentza na jon dodatni: F→L=qv→×B→

\n

Jon musi skręcić w prawo (bo detektor jest z prawej strony). Przy wejściu v→=vj^ (w górę). Potrzebujemy F→L w kierunku +x (w prawo), żeby jon skręcił w prawo:

\n
qvj^×B→=!Fi^
\n

Sprawdzamy B→=Bk^ (z płaszczyzny, ku nam):

\n
j^×k^=i^✓
\n

Wniosek: B→ skierowane z płaszczyzny rysunku ku nam (⊙, symbol: kropka w okręgu).

\n

Krok 3 - wyznacz F→L w punkcie A.

\n

W punkcie A jon jest na szczycie półokręgu, więc jego prędkość jest pozioma, w prawo v→A=vi^:

\n
F→L=qv→A×B→=qvi^×Bk^=qvB(i^×k^)
\n

Korzystając z reguły prawej ręki: i^×k^=−j^

\n
F→L=−qvBj^
\n

Siła w punkcie A skierowana jest pionowo w dół (−y) - dokładnie ku środkowi okręgu, pełni rolę siły dośrodkowej. ✓

\n

Sposób 2 - Reguła lewej ręki (metoda maturalna, szybka)

\n

Reguła dla ładunków dodatnich: lewa ręka\\* ← uwaga, to reguła dla prądu; dla ładunku dodatniego można też zastosować regułę prawej ręki dla qv→×B→.

\n

Prościej: reguła śruby (prawej ręki) dla iloczynu wektorowego:

\n

Przy wejściu jonu (v→ w górę, B→ - do wyznaczenia):

\n

Ustawiamy palce w kierunku v→ (w górę), zwijamy ku B→, kciuk wskazuje F→L. Potrzebujemy F→L w prawo → B→ musi wychodzić z kartki ku nam. ✓

\n

W punkcie A (v→ w prawo, B→ ku nam):

\n

v→×B→: palce wskazują w prawo, zwijamy ku górze (ku nam) → kciuk wskazuje w dół. ✓

\n

Sposób 3 - Geometria dośrodkowa (weryfikacja bez rachunków)

\n

Siła magnetyczna zawsze prostopadła do v→ → nie wykonuje pracy, jedynie zakrzywia tor. Oznacza to, że F→L zawsze wskazuje ku środkowi okręgu.

\n

| Punkt na torze | Kierunek v→ | Kierunek ku środkowi | F→L |
| Wejście (dół) | w górę ↑ | w prawo → | w prawo → |
| Punkt A (szczyt) | w prawo → | w dół ↓ | w dół ↓ |
| Wyjście (dół) | w dół ↓ | w lewo ← | w lewo ← |

\n

To geometryczne uzasadnienie nie wymaga obliczeń - wystarczy wiedzieć, gdzie jest środek okręgu.

\n

Schemat oceniania CKE

\n
📋 Schemat punktowania CKE (zadanie 9.1, 0-2 pkt):

a) (0-1): 1 p. - prawidłowe narysowanie siły Lorentza o charakterze siły dośrodkowej (prosta wyznaczająca kierunek siły musi przechodzić przez środek okręgu). 0 p. - brak spełnienia kryterium.

b) (0-1): 1 p. - prawidłowe narysowanie zwrotu wektora indukcji magnetycznej. 0 p. - brak spełnienia kryterium.

Poprawne rozwiązanie CKE: wektor indukcji B→ skierowany przed płaszczyznę rysunku (ku patrzącemu, symbol ⊙); wektor siły Lorentza F→L w punkcie A skierowany ku środkowi okręgu (dośrodkowo, ukośnie w dół ku środkowi półokręgu).
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, siła Lorentza:
F=qvBsinα
gdzie α - kąt między v→ a B→. Tu α=90°, więc sinα=1, F=qvB (wartość maksymalna).

Kierunek wyznaczamy z iloczynu wektorowego F→=qv→×B→ - nie ma wzoru na karcie, ale jest to standardowa reguła prawej ręki.
\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd - odwrócenie kierunku B→ (wbijające w kartkę zamiast wychodzące). To prowadzi do siły skierowanej w lewo przy wejściu → jon skręca w lewo → detektor byłby po lewej stronie, sprzeczność z rysunkiem.
\n
⚠️ Uwaga: W punkcie A wektor F→L wskazuje w dół (ku środkowi okręgu), NIE "w górę" - częsty błąd przy intuicyjnym myśleniu "jon jest na górze, więc siła go ciągnie w górę". Siła dośrodkowa zawsze ku środkowi.
\n
⚠️ Uwaga: Wektor B→ jest prostopadły do płaszczyzny rysunku - zaznaczamy go symbolem ⊙ (ku nam) lub ⊗ (od nas), nie strzałką w płaszczyźnie. Strzałka w płaszczyźnie to błąd rysunkowy dyskwalifikujący odpowiedź.
\n
⚠️ Uwaga: W tym zadaniu B→ jest prostopadłe do v→ przez cały czas ruchu (ruch w płaszczyźnie xy, B→ wzdłuż z) - kąt α=90° jest stały, więc wartość siły F=qvB=const, a prędkość |v→| nie zmienia się (pole magnetyczne nie wykonuje pracy).
"}]}