{"id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/9.2","paper_id":"fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"9.2","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9.2. (0-3)\nW doświadczeniu opisanym w zadaniu 9. znane są wartość B wektora indukcji magnetycznej,\nnapięcie U przyspieszające jony oraz jest mierzona odległość d.\nWyprowadź wzór pozwalający na wyznaczenie masy jednokrotnie zjonizowanego jonu\nw zależności od wartości U, B, d i wartości e ładunku elementarnego.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9.2. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n1.2) (P) opisuje zależności między siłą\ndośrodkową a masą, prędkością liniową\ni promieniem […];\n9.3) analizuje ruch cząstki naładowanej\nw stałym jednorodnym polu magnetycznym;\n7.11) analizuje ruch cząstki naładowanej\nw stałym jednorodnym polu elektrycznym;\n2.3) (G) opisuje wpływ wykonanej pracy na\nzmianę energii;\n3.2) oblicza wartość energii kinetycznej ciał […].\nSchemat punktowania\n3 p. - prawidłowe wyprowadzenie i postać zależności pozwalającej na wyznaczenie masy jonu.\n2 p. - wykonanie kroku 1.a. oraz wykonanie kroku 1.b.\n1 p. - zapisanie relacji identyfikującej siłę Lorentza jako siłę dośrodkową, z uwzględnieniem\nwzorów na te siły (krok 1.a.)\nlub\n- zapisanie wyrażenia wiążącego zmianę energii kinetycznej z pracą sił pola elektrycznego\nłącznie z zastosowaniem wzorów na energię kinetyczną i pracę w polu elektrycznym\n(albo równoważne zastosowanie dynamicznych równań ruchu w jednorodnym polu\nelektrycznym z identyfikacją siły elektrycznej łącznie z kinematycznymi równaniami\nruchu jednostajnie przyspieszonego:\n௎\n௬ݍ oraz ݒଶ= 2ܽݕ) (krok 1.b.).\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nKrok 1.a. Zapiszemy równanie identyfikujące siłę Lorentza jako siłę dośrodkową, łącznie\nz uwzględnieniem wzorów na te siły:\nݒଶ\nݎ=݁ݒܤ gdzie ݎ=݀2\nKrok 1.b. Zapiszemy związek pomiędzy energią kinetyczną, którą uzyskał jon w polu\nelektrycznym, a pracą sił elektrycznych działających na ten jon - łącznie z zastosowaniem\nwzoru na energię kinetyczną i pracę w polu elektrycznym. Początkowa energia kinetyczna jonu\nwynosiła zero, zatem (e oznacza wartość ładunku elementarnego):\n∆ܧ௞௜௡=\nா → 1\n2\nݒଶ -1\n2\n∙0ଶ=\n→ 1\n2݉\nݒଶ=\nKrok 2. Na podstawie powyższych równań wyznaczymy masę jonu:\nەۖ\n۔ۖ\nۓ1\n2\nݒଶ=\nݒଶ\nݎ=݁ݒܤ\nݎ=݀2\n→\nەۖ\n۔ۖ\nۓ1\n2\nݒଶ=\nݒ=݁ݎܤ݉\nݎ=݀\n/2\n→ 1\n2݉\n൬݁ݎܤ݉൰\nଶ\nଶݎଶܤଶ\n2\n௥ୀௗ\nଶ\nሱۛሮ\nଶ\nଶܤଶ\n8\n→ ݉\n=݁݀\nଶܤଶ\n8","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n$$\\boxed{m = \\frac{eB^2d^2}{8U}}$$\n\n## Sposób 1 - Klasyczne wyprowadzenie: energia kinetyczna + siła Lorentza\n\n### Krok 1: Przyspieszanie jonu przez napięcie U\n\nJon jednokrotnie zjonizowany ma ładunek \\(+e\\). Przyspieszany napięciem \\(U\\) zyskuje energię kinetyczną:\n\n\\[eU = \\frac{1}{2}mv^2\\]\n\nStąd prędkość jonu po przyspieszeniu:\n\n\\[v = \\sqrt{\\frac{2eU}{m}} \\tag{1}\\]\n\n### Krok 2: Ruch kołowy w polu magnetycznym\n\nJon wlatuje w jednorodne pole magnetyczne \\(B\\) prostopadle do linii pola. Siła Lorentza pełni rolę siły dośrodkowej:\n\n\\[evB = \\frac{mv^2}{r}\\]\n\nStąd promień toru kołowego:\n\n\\[r = \\frac{mv}{eB} \\tag{2}\\]\n\n### Krok 3: Powiązanie z mierzoną odległością d\n\nJon zatacza półokrąg i uderza w detektor (płytkę fotograficzną). Mierzona odległość \\(d\\) to **średnica** koła, czyli:\n\n\\[d = 2r \\quad \\Rightarrow \\quad r = \\frac{d}{2} \\tag{3}\\]\n\n### Krok 4: Eliminacja prędkości - łączenie równań (1) i (2)\n\nZ równania (2): \\(v = \\frac{eBr}{m} = \\frac{eBd}{2m}\\)\n\nWstawiamy do równania (1):\n\n\\[eU = \\frac{1}{2}m \\cdot \\left(\\frac{eBd}{2m}\\right)^2 = \\frac{1}{2}m \\cdot \\frac{e^2B^2d^2}{4m^2} = \\frac{e^2B^2d^2}{8m}\\]\n\nWyznaczamy \\(m\\):\n\n\\[\\boxed{m = \\frac{eB^2d^2}{8U}}\\]\n\n## Sposób 2 - Podstawienie wprost: wyrażenie v przez r, potem przez d\n\nZamiast eliminować \\(v\\) przez \\(m\\), można postąpić odwrotnie - wyrazić \\(v\\) przez znane \\(r\\), a następnie użyć obu równań.\n\n**Z równania ruchu kołowego:**\n\\[v = \\frac{eBr}{m} \\tag{A}\\]\n\n**Z zasady zachowania energii:**\n\\[v^2 = \\frac{2eU}{m} \\tag{B}\\]\n\nDzielimy stronami \\((A)^2 / (B)\\):\n\n\\[\\frac{v^2}{v^2} = \\frac{e^2B^2r^2/m^2}{2eU/m}\\]\n\n\\[1 = \\frac{eB^2r^2}{2Um}\\]\n\n\\[m = \\frac{eB^2r^2}{2U}\\]\n\nPodstawiamy \\(r = \\frac{d}{2}\\):\n\n\\[m = \\frac{eB^2 \\cdot \\frac{d^2}{4}}{2U} = \\frac{eB^2d^2}{8U}\\]\n\nTen sposób unika potrzeby jawnego liczenia \\(v\\) - od razu widać, że \\(m\\) zależy od kwadratu promienia.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Schemat punktowania CKE (zadanie 9.2, 0-3 pkt):**\n>\n> - **3 pkt** - prawidłowe wyprowadzenie i postać zależności pozwalającej na wyznaczenie masy jonu: \\(m = \\frac{ed^2B^2}{8U}\\).\n> - **2 pkt** - wykonanie kroku 1.a. oraz wykonanie kroku 1.b.\n> - **1 pkt** - zapisanie relacji identyfikującej siłę Lorentza jako siłę dośrodkową, z uwzględnieniem wzorów na te siły: \\(m\\frac{v^2}{r} = evB\\), \\(r = \\frac{d}{2}\\) (krok 1.a.) **LUB** zapisanie wyrażenia wiążącego zmianę energii kinetycznej z pracą sił pola elektrycznego: \\(\\frac{1}{2}mv^2 = eU\\) (krok 1.b.).\n> - **0 pkt** - brak spełnienia powyższych kryteriów.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA:**\n>\n> - **Praca i energia** - zasada zachowania energii / praca sił pola elektrycznego:\n> \\(W = qU\\), tutaj \\(W = eU = \\frac{1}{2}mv^2\\)\n>\n> - **Siła Lorentza** - \\(F = qvB\\) (dla \\(\\vec{v} \\perp \\vec{B}\\))\n>\n> - **II zasada Newtona dla ruchu kołowego** - \\(F_\\text{dośrodkowa} = \\frac{mv^2}{r}\\)\n>\n> Związek \\(r = \\frac{d}{2}\\) to **geometria**, nie wzór z karty - musisz wiedzieć, że w spektrometrze masowym jon zatacza półokrąg i mierzona jest średnica śladu.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pomylenie \\(d\\) z promieniem \\(r\\). W spektrometrze masowym jon uderza w detektor po przebyciu półokręgu - odległość \\(d\\) między punktem wlotu a śladem to **średnica**, więc \\(r = \\frac{d}{2}\\). Pominięcie tego daje wzór z błędnym współczynnikiem (\\(m = \\frac{eB^2d^2}{2U}\\) zamiast \\(\\frac{eB^2d^2}{8U}\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy eliminacji prędkości \\(v\\) trzeba pamiętać, że \\(v\\) pojawia się w jednym równaniu liniowo, a w drugim - pod kwadratem. Należy podnieść do kwadratu równanie (2) PRZED podstawieniem, albo wyrazić \\(v\\) jawnie z (1) i wstawić do (2). Mieszanie obu form bez kwadratu to najczęstsza utrata punktu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jon jednokrotnie zjonizowany ma ładunek \\(q = e = 1{,}6 \\times 10^{-19}\\,\\text{C}\\). Gdyby jon był dwukrotnie zjonizowany (\\(q = 2e\\)), wzór zmieniłby postać - w tym zadaniu warunek \"jednokrotnie\" jest kluczowy i upraszcza wyprowadzenie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyprowadzenie musi być **pełne** - sam podany wzór końcowy bez kroków pośrednich to **0 punktów** za wyprowadzenie. CKE wymaga pokazania obu fizycznych równań wyjściowych.","image":"img/fizyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-9.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 9.2. (0-3)
W doświadczeniu opisanym w zadaniu 9. znane są wartość B wektora indukcji magnetycznej,
napięcie U przyspieszające jony oraz jest mierzona odległość d.
Wyprowadź wzór pozwalający na wyznaczenie masy jednokrotnie zjonizowanego jonu
w zależności od wartości U, B, d i wartości e ładunku elementarnego.

","answer_text_html":"

Zadanie 9.2. (0-3)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Budowa prostych modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk.
Zdający:
1.2) (P) opisuje zależności między siłą
dośrodkową a masą, prędkością liniową
i promieniem […];
9.3) analizuje ruch cząstki naładowanej
w stałym jednorodnym polu magnetycznym;
7.11) analizuje ruch cząstki naładowanej
w stałym jednorodnym polu elektrycznym;
2.3) (G) opisuje wpływ wykonanej pracy na
zmianę energii;
3.2) oblicza wartość energii kinetycznej ciał […].
Schemat punktowania
3 p. - prawidłowe wyprowadzenie i postać zależności pozwalającej na wyznaczenie masy jonu.
2 p. - wykonanie kroku 1.a. oraz wykonanie kroku 1.b.
1 p. - zapisanie relacji identyfikującej siłę Lorentza jako siłę dośrodkową, z uwzględnieniem
wzorów na te siły (krok 1.a.)
lub

\n\n

łącznie z zastosowaniem wzorów na energię kinetyczną i pracę w polu elektrycznym
(albo równoważne zastosowanie dynamicznych równań ruchu w jednorodnym polu
elektrycznym z identyfikacją siły elektrycznej łącznie z kinematycznymi równaniami
ruchu jednostajnie przyspieszonego:
௎
௬ݍ oraz ݒଶ= 2ܽݕ) (krok 1.b.).
0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Przykładowe rozwiązanie
Krok 1.a. Zapiszemy równanie identyfikujące siłę Lorentza jako siłę dośrodkową, łącznie
z uwzględnieniem wzorów na te siły:
ݒଶ
ݎ=݁ݒܤ gdzie ݎ=݀2
Krok 1.b. Zapiszemy związek pomiędzy energią kinetyczną, którą uzyskał jon w polu
elektrycznym, a pracą sił elektrycznych działających na ten jon - łącznie z zastosowaniem
wzoru na energię kinetyczną i pracę w polu elektrycznym. Początkowa energia kinetyczna jonu
wynosiła zero, zatem (e oznacza wartość ładunku elementarnego):
∆ܧ௞௜௡=
ா → 1
2
ݒଶ -1
2
∙0ଶ=
→ 1
2݉
ݒଶ=
Krok 2. Na podstawie powyższych równań wyznaczymy masę jonu:
ەۖ
۔ۖ
ۓ1
2
ݒଶ=
ݒଶ
ݎ=݁ݒܤ
ݎ=݀2
→
ەۖ
۔ۖ
ۓ1
2
ݒଶ=
ݒ=݁ݎܤ݉
ݎ=݀
/2
→ 1
2݉
൬݁ݎܤ݉൰
ଶ
ଶݎଶܤଶ
2
௥ୀௗ
ଶ
ሱۛሮ
ଶ
ଶܤଶ
8
→ ݉
=݁݀
ଶܤଶ
8

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n
m=eB2d28U
\n

Sposób 1 - Klasyczne wyprowadzenie: energia kinetyczna + siła Lorentza

\n
Krok 1: Przyspieszanie jonu przez napięcie U
\n

Jon jednokrotnie zjonizowany ma ładunek +e. Przyspieszany napięciem U zyskuje energię kinetyczną:

\n
eU=12mv2
\n

Stąd prędkość jonu po przyspieszeniu:

\n
v=2eUm(1)
\n
Krok 2: Ruch kołowy w polu magnetycznym
\n

Jon wlatuje w jednorodne pole magnetyczne B prostopadle do linii pola. Siła Lorentza pełni rolę siły dośrodkowej:

\n
evB=mv2r
\n

Stąd promień toru kołowego:

\n
r=mveB(2)
\n
Krok 3: Powiązanie z mierzoną odległością d
\n

Jon zatacza półokrąg i uderza w detektor (płytkę fotograficzną). Mierzona odległość d to średnica koła, czyli:

\n
d=2r⇒r=d2(3)
\n
Krok 4: Eliminacja prędkości - łączenie równań (1) i (2)
\n

Z równania (2): v=eBrm=eBd2m

\n

Wstawiamy do równania (1):

\n
eU=12m·(eBd2m)2=12m·e2B2d24m2=e2B2d28m
\n

Wyznaczamy m:

\n
m=eB2d28U
\n

Sposób 2 - Podstawienie wprost: wyrażenie v przez r, potem przez d

\n

Zamiast eliminować v przez m, można postąpić odwrotnie - wyrazić v przez znane r, a następnie użyć obu równań.

\n

Z równania ruchu kołowego:

\n
v=eBrm(A)
\n

Z zasady zachowania energii:

\n
v2=2eUm(B)
\n

Dzielimy stronami (A)2/(B):

\n
v2v2=e2B2r2/m22eU/m
\n
1=eB2r22Um
\n
m=eB2r22U
\n

Podstawiamy r=d2:

\n
m=eB2·d242U=eB2d28U
\n

Ten sposób unika potrzeby jawnego liczenia v - od razu widać, że m zależy od kwadratu promienia.

\n

Schemat oceniania CKE

\n
📋 Schemat punktowania CKE (zadanie 9.2, 0-3 pkt):

- 3 pkt - prawidłowe wyprowadzenie i postać zależności pozwalającej na wyznaczenie masy jonu: m=ed2B28U.
- 2 pkt - wykonanie kroku 1.a. oraz wykonanie kroku 1.b.
- 1 pkt - zapisanie relacji identyfikującej siłę Lorentza jako siłę dośrodkową, z uwzględnieniem wzorów na te siły: mv2r=evB, r=d2 (krok 1.a.) LUB zapisanie wyrażenia wiążącego zmianę energii kinetycznej z pracą sił pola elektrycznego: 12mv2=eU (krok 1.b.).
- 0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA:

- Praca i energia - zasada zachowania energii / praca sił pola elektrycznego:
W=qU, tutaj W=eU=12mv2

- Siła Lorentza - F=qvB (dla v→⟂B→)

- II zasada Newtona dla ruchu kołowego - Fdośrodkowa=mv2r

Związek r=d2 to geometria, nie wzór z karty - musisz wiedzieć, że w spektrometrze masowym jon zatacza półokrąg i mierzona jest średnica śladu.
\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to pomylenie d z promieniem r. W spektrometrze masowym jon uderza w detektor po przebyciu półokręgu - odległość d między punktem wlotu a śladem to średnica, więc r=d2. Pominięcie tego daje wzór z błędnym współczynnikiem (m=eB2d22U zamiast eB2d28U).
\n
⚠️ Uwaga: Przy eliminacji prędkości v trzeba pamiętać, że v pojawia się w jednym równaniu liniowo, a w drugim - pod kwadratem. Należy podnieść do kwadratu równanie (2) PRZED podstawieniem, albo wyrazić v jawnie z (1) i wstawić do (2). Mieszanie obu form bez kwadratu to najczęstsza utrata punktu.
\n
⚠️ Uwaga: Jon jednokrotnie zjonizowany ma ładunek q=e=1,6×10−19C. Gdyby jon był dwukrotnie zjonizowany (q=2e), wzór zmieniłby postać - w tym zadaniu warunek "jednokrotnie" jest kluczowy i upraszcza wyprowadzenie.
\n
⚠️ Uwaga: Wyprowadzenie musi być pełne - sam podany wzór końcowy bez kroków pośrednich to 0 punktów za wyprowadzenie. CKE wymaga pokazania obu fizycznych równań wyjściowych.
"}]}