Zadanie 3.2. (3 pkt)
Przyjmij, że dana jest sprawność η silnika cieplnego opisanego w zadaniu 3. oraz znane są
parametry p1, p2, V1 i V2 zaznaczone na wykresie.
Wyprowadź wzór pozwalający obliczyć - tylko na podstawie powyższych danych - ciepło
oddane przez gaz do chłodnicy w jednym cyklu pracy tego silnika cieplnego.
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
2.3.
2.4.
3.1.
3.2.
Maks. liczba pkt
3
2
3
3
Uzyskana liczba pkt
p
V
p1
p2
V1
V2
A
(0,0)
B
C
D
Poziom rozszerzony
MFA_1R
Zadanie 3.2. (3 pkt)
Obszar standardów
Opis wymagań
Wiadomości i rozumienie.
Obliczanie sprawności silników cieplnych (P I.1.4.6).
Obliczanie zmian energii cieplnej w przemianach:
izobarycznej i izochorycznej oraz pracę w
przemianie izobarycznej (P I.1.4.3).
Analizowanie cykli termodynamicznych (I.1.6.5).
Tworzenie informacji.
Interpretowanie informacji zapisanych w postaci
wykresu (III.1).
Schemat punktowania
(dla rozwiązania sposobem 1.)
3 p. - prawidłowe wyprowadzenie i prawidłowa postać wzoru na ciepło oddane.
2 p. - wykonanie kroku 1.a. oraz wykonanie kroku 1.b.
1 p. - zapisanie związku pomiędzy pracą całkowitą w cyklu a ciepłem pobranym i oddanym
oraz zapisanie wzoru na sprawność silnika. Zapis może być w formie równoważnego tym
dwóm zależnościom podwójnego równania na sprawność albo pojedynczego równania
z wyeliminowanym ciepłem pobranym (krok 1.a.)
lub
w przemianie izobarycznej albo z wykorzystaniem zależności między pracą całkowitą
w cyklu i polem obszaru ograniczonego wykresem cyklu (krok 1.b.).
Uwaga! Oznaczenia wielkości we wzorach zapisanych w kroku 1.a. lub 1.b. nie mogą być
sprzeczne z oznaczeniami wielkości szukanych bądź danych.
0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Uwaga! Należy uznawać rozwiązania, w których założono, że gaz jest np. jednoatomowy albo
dwuatomowy (zobacz sposób 2. rozwiązania).
Przykładowe rozwiązanie
Sposób 1.
Krok 1.a. Zapiszemy związek między pracą całkowitą wykonaną w cyklu a ciepłem pobranym
i oddanym w tym cyklu - zgodnie z I zasadą termodynamiki (oznaczenia wartości
bezwzględnych nie są wymagane):
| = |
| - |
ௗௗ| ponieważ ∆
= 0
Zapiszemy definicję sprawności cyklu:
|
|
Powyższe dwa związki można zapisać za pomocą jednego równoważnego im równania
z wyeliminowanym ciepłem pobranym:
| = |
|
ߟ
ௗௗ| lub ߟ=
|ܹ
|
| + |
ௗௗ|
Krok 1.b. Zapiszemy wzór na pracę całkowitą w cyklu z wykorzystaniem wzorów na pracę
w przemianie izobarycznej albo z wykorzystaniem zależności między pracą całkowitą w cyklu
i polem obszaru ograniczonego zamkniętą krzywą cyklu:
| = ଶ(ܸଶ-
ଵ) -ଵ(ܸଶ-
ଵ) = (ଶ-ଵ)(ܸଶ-
ଵ)
Krok 2. Z powyższych zależności wyprowadzamy wzór na ciepło oddane:
ቐ
|ܹ
| = |
|
ߟ
ௗௗ|
| = (ଶ-ଵ)(ܸଶ-
ଵ)
→ ቐ
|ܳ
ௗௗ| = ൬1
ߟ-1൰|ܹ
|
| = (ଶ-ଵ)(ܸଶ-
ଵ)
ௗௗ| = ൬1
ߟ-1൰(ଶ-ଵ)(ܸଶ-
ଵ)
Wynik można wyrazić także w następujący sposób:
ௗௗ| = ൬1 -ߟ
ߟ
൰∙9ଵ∙
ଵ
Schemat punktowania
(dla rozwiązania sposobem 2.)
3 p. - prawidłowe wyprowadzenie i prawidłowa postać wzoru na ciepło oddane, zgodna
z założoną wartością CV dla gazu doskonałego.
2 p. - wykonanie kroku 1. oraz skorzystanie z równania stanu gazu dla przemiany izobarycznej
oraz izochorycznej.
1 p. - zidentyfikowanie przemian, w których układ oddaje ciepło, oraz zapisanie wyrażenia
określającego związek całkowitego ciepła oddanego w cyklu z przyrostami temperatur
w poszczególnych przemianach (krok 1.).
0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Przykładowe rozwiązanie
Sposób 2. (z założeniem wartości CV, bez wykorzystania sprawności)
Krok 1. Zapiszemy wyrażenie określające co do wartości bezwzględnej związek całkowitego
ciepła oddanego w cyklu z przyrostami temperatur w poszczególnych przemianach:
ௗௗ| = |
ଷସ| + |
ସଵ| =
ܥ|∆ܶଷସ| +
ܥ|∆ܶସଵ|
Krok 2. Skorzystamy z własności równania stanu dla przemiany izochorycznej oraz dla
przemiany izobarycznej:
ܸ
=ܴ݊ܶ
→ (dla
=ܿ݊ݏݐ) → ∆ܸ
=ܴ݊
∆ܶ
ܸ
=ܴ݊ܶ
→ (dla =ܿ݊ݏݐ) → ∆ܸ
=ܴ݊
∆ܶ
Założymy, że gaz jest jednoatomowy:
ܥ= 3
2
ܥ= 5
2
Krok 3. Obliczymy ciepło oddane, korzystając ze wzorów w kroku 1. i kroku 2.
ௗௗ| =
ܥ|∆ܶଷସ| +
ܥ|∆ܶସଵ| =
3
2ܴ
|∆ܶଷସ| +
5
2ܴ
|∆ܶସଵ|
ௗௗ| = 3
2 |∆ଷସ| ܸଶ+ 5
2 ଵ|∆ܸସଵ| = 3
2 (ଶ-ଵ) ܸଶ+ 5
2 ଵ (ܸଶ-
ଵ)
ௗௗ| = 3
2 ∙3ଵ∙4ܸଵ+ 5
2 ଵ∙3ܸଵ= 25,5 ଵܸଵ
a) $a = 0,750 \\text{ m/s}^2$, b) $\\Delta a_h \\approx 0,004 \\text{ m/s}^2$, c) $\\Delta a_t \\approx 0,1 \\text{ m/s}^2$, d) Na niepewność wyznaczenia przyspieszenia w większym stopniu wpływa niepewność pomiaru czasu.
"}]}