Zadanie 1.2. (0-2)
Hokeista ponownie uderzył kijem w ten sam nieruchomy krążek. Po tym uderzeniu krążek
uzyskał poziomą prędkość początkową o wartości v2 dwukrotnie mniejszej od v1.
Oblicz drogę, jaką przebył krążek od momentu uzyskania prędkości vሬ⃗2 aż do chwili
zatrzymania się.
MFA_1R
Zadanie 1.2. (0-2)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
I. Znajomość i umiejętność
wykorzystania pojęć i praw fizyki
do wyjaśniania procesów i zjawisk
w przyrodzie.
Zdający:
1.4) wykorzystuje związki pomiędzy
położeniem, prędkością i przyspieszeniem
w ruchu jednostajnym i jednostajnie zmiennym
do obliczania parametrów ruchu.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Zasady oceniania
2 pkt - poprawna metoda obliczenia drogi hamowania oraz prawidłowy wynik liczbowy
z jednostką.
1 pkt - wykorzystanie równania z wyeliminowanym czasem dla ruchu jednostajnie
opóźnionego oraz wykorzystanie faktu, że opóźnienie jest takie samo dla obu ruchów
(np. zapisanie związków: 𝑣𝑣1
2 = 2𝑎𝑎𝑠𝑠1 i 𝑣𝑣2
2 = 2𝑎𝑎𝑠𝑠2)
LUB
pierwszym razem, łącznie z wykorzystaniem faktu, że przyśpieszenie za drugim razem
jest takie jak za pierwszym razem
LUB
2 = 2𝑎𝑎𝑠𝑠2 łącznie z wykorzystaniem przyśpieszenia obliczonego
w zadaniu 1.1.
LUB
z zastosowaniem wzoru na energię kinetyczną oraz z wykorzystaniem faktu, że siła
tarcia w obu przypadkach jest taka sama.
0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Przykładowe rozwiązanie
Sposób 1.
Zapiszemy równania na prędkość i drogę dla ruchu jednostajnie opóźnionego (z prędkością
końcową równą zero) i wyeliminujemy z nich czas:
0 = 𝑣𝑣𝑝𝑝-𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑠𝑠= 𝑣𝑣𝑝𝑝𝑡𝑡-1
2 𝑎𝑎𝑡𝑡2 → 𝑠𝑠1 = 𝑣𝑣1
2
2𝑎𝑎 𝑠𝑠2 = 𝑣𝑣2
2
2𝑎𝑎
Z ostatnich dwóch równań ułożymy proporcję:
𝑠𝑠2
𝑠𝑠1
= 𝑣𝑣2
2
𝑣𝑣1
2 → 𝑠𝑠2
𝑠𝑠1
= ൬1
2൰
2
→ 𝑠𝑠2 = 1
4 𝑠𝑠1 = 7 m
Sposób 2.
Zapiszemy równania na prędkość dla ruchu jednostajnie opóźnionego (z prędkością końcową
równą zero) krążka po pierwszym i drugim uderzeniu:
0 = 𝑣𝑣1 -𝑎𝑎𝑡𝑡1 0 = 𝑣𝑣2 -𝑎𝑎𝑡𝑡2 = 1
2 𝑣𝑣1 -𝑎𝑎𝑡𝑡2
Z powyższych równań wynika, że:
𝑡𝑡2 = 1
2 𝑡𝑡1
Wykorzystamy wzory na drogę (w ruchu jednostajnie opóźnionym do zatrzymania), jaką
przebył krążek za pierwszym i drugim razem:
𝑠𝑠1 = 1
2 𝑎𝑎𝑡𝑡1
2 𝑠𝑠2 = 1
2 𝑎𝑎𝑡𝑡2
2 → 𝑠𝑠2
𝑠𝑠1
= 𝑡𝑡2
2
𝑡𝑡1
2 = ൬1
2൰
2
= 1
4
Zatem:
𝑠𝑠2 = 1
4 𝑠𝑠1 = 28 m
4
= 7 m
Sposób 3.
Zapiszemy związek między zmianą energii kinetycznej i pracą siły wypadkowej, łącznie
z zastosowaniem wzoru na energię kinetyczną i z wykorzystaniem faktu, że siła tarcia w obu
przypadkach jest taka sama:
1
2 𝑚𝑚𝑣𝑣1
2 = 𝑇𝑇𝑠𝑠1 1
2 𝑚𝑚𝑣𝑣2
2 = 𝑇𝑇𝑠𝑠2
Zatem:
𝑠𝑠2
𝑠𝑠1
= 𝑣𝑣2
2
𝑣𝑣1
2 → 𝑠𝑠2
𝑠𝑠1
= ൬1
2൰
2
→ 𝑠𝑠2 = 1
4 𝑠𝑠1 = 7 m
\\[s_2 = \\frac{v_2^2}{2\\mu g} = \\frac{v_1^2}{8\\mu g}\\]
\nNumerycznie: \\(s_2 = \\dfrac{s_1}{4}\\), gdzie \\(s_1\\) - droga znana z zadania 1.1.
\nSiła hamująca krążek to tarcie kinetyczne (na poziomym lodzie):
\\[F_t = \\mu m g\\]
Opóźnienie (stałe, niezależne od prędkości):
\\[a = \\mu g\\]
Krążek rusza z \\(v_2\\) i zatrzymuje się \\((v = 0)\\). Ze wzoru na prędkość końcową:
\\[v^2 = v_2^2 - 2a s_2\\]
\\[0 = v_2^2 - 2\\mu g \\cdot s_2\\]
Stąd:
\\[\\boxed{s_2 = \\frac{v_2^2}{2\\mu g}}\\]
Ponieważ \\(v_2 = \\dfrac{v_1}{2}\\):
\\[s_2 = \\frac{\\left(\\tfrac{v_1}{2}\\right)^2}{2\\mu g} = \\frac{v_1^2}{8\\mu g}\\]
Cała energia kinetyczna zostaje zamieniona na ciepło przez tarcie:
\n\\[\\underbrace{\\frac{1}{2}mv_2^2}{\\text{energia kinetyczna}} = \\underbrace{\\mu m g \\cdot s_2}{\\text{praca siły tarcia}}\\]
\nMasa \\(m\\) skraca się obustronnie:
\\[\\frac{v_2^2}{2} = \\mu g \\cdot s_2\\]
\\[\\boxed{s_2 = \\frac{v_2^2}{2\\mu g}}\\]
Wynik identyczny - potwierdzenie poprawności.
\nZ zadania 1.1 wiemy, że krążek z prędkością \\(v_1\\) przebył drogę \\(s_1\\):
\\[s_1 = \\frac{v_1^2}{2\\mu g}\\]
Stosunek dróg:
\\[\\frac{s_2}{s_1} = \\frac{v_2^2}{v_1^2} = \\frac{\\left(\\tfrac{v_1}{2}\\right)^2}{v_1^2} = \\frac{1}{4}\\]
\\[\\boxed{s_2 = \\frac{s_1}{4}}\\]
\nKluczowy wniosek: droga hamowania jest proporcjonalna do kwadratu prędkości - prędkość dwa razy mniejsza → droga cztery razy krótsza. To wynika bezpośrednio z fizyki (energia kinetyczna \\(\\sim v^2\\)).
\nWystarczy podstawić \\(s_1\\) z 1.1 - bez konieczności znajomości \\(\\mu\\)!
\n📋 Zasady oceniania (zadanie 1.2, 0-2 pkt) - wg oficjalnego klucza CKE:\n
- 2 pkt - poprawna metoda obliczenia drogi hamowania oraz prawidlowy wynik z jednostka (\\(s_2 = 7\\,\\text{m}\\)).
- 1 pkt - wykorzystanie rownania z wyeliminowanym czasem oraz faktu, ze opoznienie jest takie samo dla obu ruchow (np. \\(v_1^2 = 2as_1\\) i \\(v_2^2 = 2as_2\\)) LUB uwzglednienie, ze czas za drugim razem jest dwukrotnie mniejszy, z faktem rownego przyspieszenia LUB zapis \\(v_2^2 = 2as_2\\) z przyspieszeniem z zad. 1.1 LUB zwiazek miedzy zmiana energii kinetycznej i praca sily tarcia (taka sama w obu przypadkach).
- 0 pkt - brak spelnienia powyzszych kryteriow.
📖 Karta wzorów EM2023 - sekcja FIZYKA, Mechanika:\n
- Ruch jednostajnie opóźniony: \\(v^2 = v_0^2 - 2as\\) - bezpośrednio użyte w Sposobie 1
- Praca siły tarcia: \\(W = F \\cdot s \\cdot \\cos\\alpha\\); dla hamowania \\(\\alpha = 180°\\), więc \\(W_t = -\\mu mg \\cdot s\\)
- Energia kinetyczna: \\(E_k = \\tfrac{1}{2}mv^2\\) - użyte w Sposobie 2
- Zasada pracy i energii: \\(W_{net} = \\Delta E_k\\) - fundament Sposobu 2
Metoda proporcji (Sposób 3) nie wymaga sięgania po kartę - wystarczy algebra.
⚠️ Pułapka 1 - droga proporcjonalna do \\(v\\), nie do \\(v^2\\): Najczęstszy błąd! Uczniowie myślą: prędkość 2× mniejsza → droga 2× krótsza. Źle. Droga \\(\\sim v^2\\), więc 2× mniejsza prędkość → 4× krótsza droga.\n
⚠️ Pułapka 2 - inna siła tarcia przy innej prędkości: Tarcie kinetyczne nie zależy od prędkości - opóźnienie \\(a = \\mu g\\) jest takie samo dla \\(v_1\\) i \\(v_2\\). Nie szukaj nowego \\(\\mu\\) dla drugiego uderzenia.\n
⚠️ Pułapka 3 - pominięcie wyniku z 1.1: W Sposobie 3 należy podstawić konkretną wartość \\(s_1\\) z zadania 1.1 - odpowiedź "\\(s_2 = s_1/4\\)" bez wartości liczbowej dostanie tylko 1 pkt.\n
⚠️ Pułapka 4 - brak jednostek: CKE wymaga wyniku z jednostką (metry). Nawet poprawny wzór bez \\(\\text{[m]}\\) może skutkować odjęciem punktu za "wynik"."}]}