{"id":"fizyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/1.3","paper_id":"fizyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"1.3","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1.3. (0-2)\nZgodnie z założeniami dla modelu zjawiska, opisanymi w treści zadania 1., można wykazać,\nże wartość a przyśpieszenia w ruchu jednostajnie opóźnionym krążka nie będzie zależała od\njego masy m, a jedynie będzie zależna od wartości przyśpieszenia ziemskiego g i od\nwspółczynnika tarcia kinetycznego μ.\nWykaż, że wartość a przyśpieszenia krążka nie zależy od jego masy m. W tym celu\nwyprowadź wzór pozwalający wyznaczyć a tylko za pomocą μ i g.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n1.1.\n1.2.\n1.3.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 1.3. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n1.8) wyjaśnia ruch ciał na podstawie drugiej\nzasady dynamiki Newtona;\n1.12) posługuje się pojęciem siły tarcia do\nwyjaśniania ruchu ciał.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne wyprowadzenie wzoru 𝑎𝑎 = 𝜇𝜇𝜇𝜇.\n1 pkt - zapisanie drugiej zasady dynamiki z identyfikacją siły wypadkowej jako siły tarcia (np.\nwystarczy zapis 𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑇𝑇)\nLUB\n- zapisanie związku między zmianą energii kinetycznej i pracą siły wypadkowej, łącznie\nz identyfikacją tej pracy jako pracy siły tarcia i zastosowaniem wzoru na energię\nkinetyczną (np. wystarczy zapis\n1\n2 𝑚𝑚𝑣𝑣2 = 𝑇𝑇𝑇𝑇 lub -\n1\n2 𝑚𝑚𝑣𝑣2 = -𝑇𝑇𝑇𝑇).\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nSposób 1.\nWykorzystamy drugą zasadę dynamiki oraz wzór na siłę tarcia kinetycznego. Uwzględnimy\nfakt, że siła wypadkowa działająca na krążek w ruchu to siła tarcia kinetycznego:\n𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝑇𝑇 𝑇𝑇= 𝜇𝜇𝜇𝜇\nZ powyższych równań wynika, że:\n𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇 → 𝑎𝑎= 𝜇𝜇𝜇𝜇\nSposób 2.\nZapiszemy związek między zmianą energii kinetycznej i pracą siły wypadkowej, łącznie\nz identyfikacją tej pracy jako pracy siły tarcia i zastosowaniem wzoru na energię kinetyczną:\n∆𝐸𝐸𝑘𝑘= 𝑊𝑊𝑇𝑇 →\n0 -1\n2 𝑚𝑚𝑣𝑣2 = -𝑇𝑇𝑇𝑇 → 1\n2 𝑚𝑚𝑣𝑣2 = 𝑇𝑇𝑇𝑇\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nWykorzystamy wzór na siłę tarcia kinetycznego oraz równanie ruchu jednostajnie opóźnionego\nz wyeliminowanym czasem:\n𝑇𝑇= 𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇 𝑣𝑣2\n2 = 𝑎𝑎𝑎𝑎\nZatem:\n𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇 → 𝑎𝑎= 𝑔𝑔𝑔𝑔","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n$$\\boxed{a = \\mu g}$$\n\nPrzyspieszenie (opóźnienie) krążka nie zależy od masy \\(m\\) - masa **skraca się** z obu stron równania Newtona II zasady.\n\n## Sposób 1 - Drugie prawo Newtona (analiza sił)\n\n**Krok 1 - Wypisz siły działające na krążek.**\n\nKrążek ślizga się po poziomym podłożu. Działają na niego:\n\n| Siła | Symbol | Kierunek |\n| Ciężar | \\(Q = mg\\) | pionowo w dół |\n| Reakcja normalna | \\(N\\) | pionowo w górę |\n| Tarcie kinetyczne | \\(F_t = \\mu N\\) | poziomo, przeciwnie do ruchu |\n\n**Krok 2 - Równanie pionowe (krążek nie odrywa się od podłoża).**\n\nBrak przyspieszenia w kierunku pionowym:\n\n\\[\nN - mg = 0 \\implies N = mg\n\\]\n\n**Krok 3 - Siła tarcia kinetycznego.**\n\nZ definicji współczynnika tarcia kinetycznego \\(\\mu\\):\n\n\\[\nF_t = \\mu N = \\mu m g\n\\]\n\n**Krok 4 - Równanie poziome (II zasada Newtona).**\n\nJedyna siła pozioma to tarcie (hamuje ruch, więc ze znakiem „-\"):\n\n\\[\nma = F_t = \\mu m g\n\\]\n\n**Krok 5 - Podziel obie strony przez \\(m\\).**\n\n\\[\n\\boxed{a = \\mu g}\n\\]\n\n**Masa \\(m\\) skróciła się** - wynik zależy wyłącznie od \\(\\mu\\) i \\(g\\). ✓\n\n## Sposób 2 - Analogia z swobodnym spadaniem / argumentacja fizyczna\n\nPomyśl o **swobodnym spadaniu**: ciało spada z przyspieszeniem \\(g\\) niezależnie od masy, bo siła grawitacji \\(F = mg\\) jest **proporcjonalna do masy**, a z II zasady Newtona dzielimy przez tę samą masę.\n\nTutaj mechanizm jest identyczny:\n\n\\[\nF_t = \\mu \\cdot \\underbrace{N}_{\\displaystyle= mg} = \\mu m g \\quad \\xrightarrow{\\div m} \\quad a = \\mu g\n\\]\n\nTarcie kinetyczne jest proporcjonalne do siły normalnej, która z kolei jest proporcjonalna do masy. Kiedy stosujesz II zasadę Newtona \\(\\left(a = \\frac{F}{m}\\right)\\), obie proporcjonalności do \\(m\\) **eliminują się wzajemnie** - dokładnie tak samo jak w swobodnym spadaniu.\n\n**Wniosek fizyczny:** cięższy krążek ma silniejsze tarcie, ale też większą bezwładność - efekty dokładnie się kompensują.\n\n## Sposób 3 - Analiza wymiarowa + weryfikacja\n\nWiemy, że \\(a\\) może zależeć tylko od \\(\\mu\\) (bezwymiarowy) i \\(g\\) \\(\\left[\\frac{\\text{m}}{\\text{s}^2}\\right]\\).\n\nSzukamy kombinacji \\(\\mu^x \\cdot g^y\\) o wymiarze \\(\\left[\\frac{\\text{m}}{\\text{s}^2}\\right]\\):\n\n\\[\n[\\mu^x \\cdot g^y] = 1^x \\cdot \\left(\\frac{\\text{m}}{\\text{s}^2}\\right)^y = \\frac{\\text{m}^y}{\\text{s}^{2y}} \\stackrel{!}{=} \\frac{\\text{m}}{\\text{s}^2}\n\\]\n\nStąd \\(y = 1\\), \\(x\\) - dowolne (bo \\(\\mu\\) bezwymiarowy). Z fizyki (Sposób 1) mamy \\(x = 1\\), więc:\n\n\\[\na = \\mu g\n\\]\n\nAnaliza wymiarowa **potwierdza**, że jedyna możliwa postać to \\(a = \\text{const} \\cdot \\mu g\\), a Sposób 1 wyznaczył stałą \\(= 1\\). Masa \\(m\\) nie może pojawić się w wyniku, bo nie ma innej wielkości z jednostką masy, z którą \\(m\\) mogłoby się „skompensować\".\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Zasady oceniania (zadanie 1.3, 0-2 pkt) - wg oficjalnego klucza CKE:**\n> - **2 pkt** - poprawne wyprowadzenie wzoru \\(a = \\mu g\\).\n> - **1 pkt** - zapisanie II zasady dynamiki z identyfikacja sily wypadkowej jako sily tarcia (np. \\(ma = T\\)) LUB zapisanie zwiazku zmiany energii kinetycznej z praca sily tarcia i wzorem na energie kinetyczna (np. \\(\\tfrac{1}{2}mv^2 = Ts\\)).\n> - **0 pkt** - brak spelnienia powyzszych kryteriow.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-20):**\n>\n> - **Tarcie kinetyczne:** \\(F_t = \\mu N\\) - bezpośrednio z karty\n> - **II zasada Newtona:** \\(F = ma\\) - bezpośrednio z karty\n>\n> Oba wzory są na karcie wzorów. Na maturze **od razu łącz** je w dwuetapowy schemat: \\(N \\to F_t \\to a\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - napisanie samego wyniku \\(a = \\mu g\\) bez wyprowadzenia. Zadanie wymaga **wykazania** niezależności od \\(m\\), więc **krok skrócenia masy musi być widoczny**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \\(N = mg\\) (podłoże poziome) z przypadkiem pochylni, gdzie \\(N = mg\\cos\\theta\\). Tu podłoże jest poziome → \\(N = mg\\) wprost.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zwróć uwagę na kierunek - tarcie **opóźnia** ruch, więc \\(a\\) we wzorze to **opóźnienie** (wartość przyspieszenia z minusem względem kierunku ruchu). Klucz CKE pyta o **wartość** \\(a\\), więc piszemy \\(a = \\mu g > 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli w modelu z zadania 1. krążek ma złożony ruch (np. obrót + poślizg jak kamień curlingowy), tarcie jest rozłożone po powierzchni - ale wynik końcowy dla **przyspieszenia translacyjnego** i tak wychodzi proporcjonalny do \\(\\mu g\\), bez \\(m\\), z tego samego powodu (skrócenie masy). Informacja w treści zadania potwierdza, że tak właśnie jest.","image":"img/fizyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-1.3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":3,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · czerwiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 1.3. (0-2)<br>Zgodnie z założeniami dla modelu zjawiska, opisanymi w treści zadania 1., można wykazać,<br>że wartość a przyśpieszenia w ruchu jednostajnie opóźnionym krążka nie będzie zależała od<br>jego masy m, a jedynie będzie zależna od wartości przyśpieszenia ziemskiego g i od<br>współczynnika tarcia kinetycznego μ.<br>Wykaż, że wartość a przyśpieszenia krążka nie zależy od jego masy m. W tym celu<br>wyprowadź wzór pozwalający wyznaczyć a tylko za pomocą μ i g.<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>1.1.<br>1.2.<br>1.3.<br>Maks. liczba pkt<br>2<br>2<br>2<br>Uzyskana liczba pkt<br>MFA_1R</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 1.3. (0-2)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Budowa prostych modeli fizycznych<br>i matematycznych do opisu zjawisk.<br>Zdający:<br>1.8) wyjaśnia ruch ciał na podstawie drugiej<br>zasady dynamiki Newtona;<br>1.12) posługuje się pojęciem siły tarcia do<br>wyjaśniania ruchu ciał.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - poprawne wyprowadzenie wzoru 𝑎𝑎 = 𝜇𝜇𝜇𝜇.<br>1 pkt - zapisanie drugiej zasady dynamiki z identyfikacją siły wypadkowej jako siły tarcia (np.<br>wystarczy zapis 𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑇𝑇)<br>LUB</p>\n<ul><li>zapisanie związku między zmianą energii kinetycznej i pracą siły wypadkowej, łącznie</li></ul>\n<p>z identyfikacją tej pracy jako pracy siły tarcia i zastosowaniem wzoru na energię<br>kinetyczną (np. wystarczy zapis<br>1<br>2 𝑚𝑚𝑣𝑣2 = 𝑇𝑇𝑇𝑇 lub -<br>1<br>2 𝑚𝑚𝑣𝑣2 = -𝑇𝑇𝑇𝑇).<br>0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.<br>Przykładowe rozwiązanie<br>Sposób 1.<br>Wykorzystamy drugą zasadę dynamiki oraz wzór na siłę tarcia kinetycznego. Uwzględnimy<br>fakt, że siła wypadkowa działająca na krążek w ruchu to siła tarcia kinetycznego:<br>𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝑇𝑇 𝑇𝑇= 𝜇𝜇𝜇𝜇<br>Z powyższych równań wynika, że:<br>𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇 → 𝑎𝑎= 𝜇𝜇𝜇𝜇<br>Sposób 2.<br>Zapiszemy związek między zmianą energii kinetycznej i pracą siły wypadkowej, łącznie<br>z identyfikacją tej pracy jako pracy siły tarcia i zastosowaniem wzoru na energię kinetyczną:<br>∆𝐸𝐸𝑘𝑘= 𝑊𝑊𝑇𝑇 →<br>0 -1<br>2 𝑚𝑚𝑣𝑣2 = -𝑇𝑇𝑇𝑇 → 1<br>2 𝑚𝑚𝑣𝑣2 = 𝑇𝑇𝑇𝑇<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Wykorzystamy wzór na siłę tarcia kinetycznego oraz równanie ruchu jednostajnie opóźnionego<br>z wyeliminowanym czasem:<br>𝑇𝑇= 𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇 𝑣𝑣2<br>2 = 𝑎𝑎𝑎𝑎<br>Zatem:<br>𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇𝜇 → 𝑎𝑎= 𝑔𝑔𝑔𝑔</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź</h4>\n<p>$$\\boxed{a = \\mu g}$$</p>\n<p>Przyspieszenie (opóźnienie) krążka nie zależy od masy \\(m\\) - masa <strong>skraca się</strong> z obu stron równania Newtona II zasady.</p>\n<h4>Sposób 1 - Drugie prawo Newtona (analiza sił)</h4>\n<p><strong>Krok 1 - Wypisz siły działające na krążek.</strong></p>\n<p>Krążek ślizga się po poziomym podłożu. Działają na niego:</p>\n<p>| Siła | Symbol | Kierunek |<br>| Ciężar | \\(Q = mg\\) | pionowo w dół |<br>| Reakcja normalna | \\(N\\) | pionowo w górę |<br>| Tarcie kinetyczne | \\(F_t = \\mu N\\) | poziomo, przeciwnie do ruchu |</p>\n<p><strong>Krok 2 - Równanie pionowe (krążek nie odrywa się od podłoża).</strong></p>\n<p>Brak przyspieszenia w kierunku pionowym:</p>\n<p>\\[<br>N - mg = 0 \\implies N = mg<br>\\]</p>\n<p><strong>Krok 3 - Siła tarcia kinetycznego.</strong></p>\n<p>Z definicji współczynnika tarcia kinetycznego \\(\\mu\\):</p>\n<p>\\[<br>F_t = \\mu N = \\mu m g<br>\\]</p>\n<p><strong>Krok 4 - Równanie poziome (II zasada Newtona).</strong></p>\n<p>Jedyna siła pozioma to tarcie (hamuje ruch, więc ze znakiem „-&quot;):</p>\n<p>\\[<br>ma = F_t = \\mu m g<br>\\]</p>\n<p><strong>Krok 5 - Podziel obie strony przez \\(m\\).</strong></p>\n<p>\\[<br>\\boxed{a = \\mu g}<br>\\]</p>\n<p><strong>Masa \\(m\\) skróciła się</strong> - wynik zależy wyłącznie od \\(\\mu\\) i \\(g\\). ✓</p>\n<h4>Sposób 2 - Analogia z swobodnym spadaniem / argumentacja fizyczna</h4>\n<p>Pomyśl o <strong>swobodnym spadaniu</strong>: ciało spada z przyspieszeniem \\(g\\) niezależnie od masy, bo siła grawitacji \\(F = mg\\) jest <strong>proporcjonalna do masy</strong>, a z II zasady Newtona dzielimy przez tę samą masę.</p>\n<p>Tutaj mechanizm jest identyczny:</p>\n<p>\\[<br>F_t = \\mu \\cdot \\underbrace{N}_{\\displaystyle= mg} = \\mu m g \\quad \\xrightarrow{\\div m} \\quad a = \\mu g<br>\\]</p>\n<p>Tarcie kinetyczne jest proporcjonalne do siły normalnej, która z kolei jest proporcjonalna do masy. Kiedy stosujesz II zasadę Newtona \\(\\left(a = \\frac{F}{m}\\right)\\), obie proporcjonalności do \\(m\\) <strong>eliminują się wzajemnie</strong> - dokładnie tak samo jak w swobodnym spadaniu.</p>\n<p><strong>Wniosek fizyczny:</strong> cięższy krążek ma silniejsze tarcie, ale też większą bezwładność - efekty dokładnie się kompensują.</p>\n<h4>Sposób 3 - Analiza wymiarowa + weryfikacja</h4>\n<p>Wiemy, że \\(a\\) może zależeć tylko od \\(\\mu\\) (bezwymiarowy) i \\(g\\) \\(\\left[\\frac{\\text{m}}{\\text{s}^2}\\right]\\).</p>\n<p>Szukamy kombinacji \\(\\mu^x \\cdot g^y\\) o wymiarze \\(\\left[\\frac{\\text{m}}{\\text{s}^2}\\right]\\):</p>\n<p>\\[<br>[\\mu^x \\cdot g^y] = 1^x \\cdot \\left(\\frac{\\text{m}}{\\text{s}^2}\\right)^y = \\frac{\\text{m}^y}{\\text{s}^{2y}} \\stackrel{!}{=} \\frac{\\text{m}}{\\text{s}^2}<br>\\]</p>\n<p>Stąd \\(y = 1\\), \\(x\\) - dowolne (bo \\(\\mu\\) bezwymiarowy). Z fizyki (Sposób 1) mamy \\(x = 1\\), więc:</p>\n<p>\\[<br>a = \\mu g<br>\\]</p>\n<p>Analiza wymiarowa <strong>potwierdza</strong>, że jedyna możliwa postać to \\(a = \\text{const} \\cdot \\mu g\\), a Sposób 1 wyznaczył stałą \\(= 1\\). Masa \\(m\\) nie może pojawić się w wyniku, bo nie ma innej wielkości z jednostką masy, z którą \\(m\\) mogłoby się „skompensować&quot;.</p>\n<h4>Schemat oceniania CKE</h4>\n<blockquote>📋 <strong>Zasady oceniania (zadanie 1.3, 0-2 pkt) - wg oficjalnego klucza CKE:</strong><br>- <strong>2 pkt</strong> - poprawne wyprowadzenie wzoru \\(a = \\mu g\\).<br>- <strong>1 pkt</strong> - zapisanie II zasady dynamiki z identyfikacja sily wypadkowej jako sily tarcia (np. \\(ma = T\\)) LUB zapisanie zwiazku zmiany energii kinetycznej z praca sily tarcia i wzorem na energie kinetyczna (np. \\(\\tfrac{1}{2}mv^2 = Ts\\)).<br>- <strong>0 pkt</strong> - brak spelnienia powyzszych kryteriow.</blockquote>\n<h4>Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć</h4>\n<blockquote>📖 <strong>Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-20):</strong><br><br>- <strong>Tarcie kinetyczne:</strong> \\(F_t = \\mu N\\) - bezpośrednio z karty<br>- <strong>II zasada Newtona:</strong> \\(F = ma\\) - bezpośrednio z karty<br><br>Oba wzory są na karcie wzorów. Na maturze <strong>od razu łącz</strong> je w dwuetapowy schemat: \\(N \\to F_t \\to a\\).</blockquote>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd - napisanie samego wyniku \\(a = \\mu g\\) bez wyprowadzenia. Zadanie wymaga <strong>wykazania</strong> niezależności od \\(m\\), więc <strong>krok skrócenia masy musi być widoczny</strong>.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić \\(N = mg\\) (podłoże poziome) z przypadkiem pochylni, gdzie \\(N = mg\\cos\\theta\\). Tu podłoże jest poziome → \\(N = mg\\) wprost.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zwróć uwagę na kierunek - tarcie <strong>opóźnia</strong> ruch, więc \\(a\\) we wzorze to <strong>opóźnienie</strong> (wartość przyspieszenia z minusem względem kierunku ruchu). Klucz CKE pyta o <strong>wartość</strong> \\(a\\), więc piszemy \\(a = \\mu g &gt; 0\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Jeśli w modelu z zadania 1. krążek ma złożony ruch (np. obrót + poślizg jak kamień curlingowy), tarcie jest rozłożone po powierzchni - ale wynik końcowy dla <strong>przyspieszenia translacyjnego</strong> i tak wychodzi proporcjonalny do \\(\\mu g\\), bez \\(m\\), z tego samego powodu (skrócenie masy). Informacja w treści zadania potwierdza, że tak właśnie jest.</blockquote>"}]}