{"id":"fizyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/12.1","paper_id":"fizyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"12.1","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12.1. (0-3)\nOblicz masę pulsara na podstawie informacji dotyczącej ruchu orbitalnego planety\nDraugr, podanej w treści zadania 12.\nDodatkowe informacje do zadań 12.2. i 12.3.\nOpisany pulsar powstał w wyniku zapadania się jądra gwiazdy, którego rozmiary były znacznie\nwiększe niż obecne rozmiary pulsara. W wyniku zapadania grawitacyjnego promień tego jądra\nsię zmniejszył, a częstotliwość obrotu wzrosła. Obecnie pulsar obraca się wokół własnej osi\nokoło 160 razy na sekundę.\nDo obliczeń przyjmij uproszczony model zjawiska oparty na następujących założeniach\ndotyczących końcowego etapu zapadania się jądra gwiazdy:\n• przyjmij, że masa M jądra gwiazdy się nie zmienia\n• pomiń ewentualne straty momentu pędu\n• przyjmij, że zapadające się jądro gwiazdy jest ciałem o momencie bezwładności równym\nkMRt\n2, gdzie Rt jest chwilowym promieniem jądra gwiazdy, a k pozostaje stałe\n• pomiń efekty relatywistyczne i wpływ innych obiektów.\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12.1. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n1.2) (P) opisuje zależności między siłą\ndośrodkową a masą, prędkością liniową\ni promieniem oraz wskazuje przykłady sił\npełniących rolę siły dośrodkowej;\n4.1) wykorzystuje prawo powszechnego\nciążenia do obliczenia siły oddziaływań\ngrawitacyjnych między masami punktowymi\ni sferycznie symetrycznymi;\n4.7) oblicza okres ruchu satelitów (bez napędu)\nwokół Ziemi.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia masy pulsara (np. jak w krokach 1.-3.) oraz prawidłowy\nwynik liczbowy z jednostką.\n2 pkt - doprowadzenie do jednego wyrażenia, z którego można bezpośrednio obliczyć masę\npulsara jedynie na podstawie stałych oraz parametrów ruchu orbitalnego planety (np.\nzapisanie wyrażenia jak w kroku 2.).\n1 pkt - zapisanie relacji identyfikującej siłę grawitacji jako siłę dośrodkową, z uwzględnieniem\nwzorów na te siły (np. jak w kroku 1. w sposobie 1.)\nLUB\n- skorzystanie ze wzoru na prędkość orbitalną, łącznie z zastosowaniem wzoru na\nprędkość w ruchu jednostajnym po okręgu (np. jak w kroku 1. w sposobie 2.).\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nUwaga dodatkowa\nJeżeli zdający zapisze od razu bez wyprowadzenia III prawo Keplera łącznie z poprawnie\nokreśloną stałą:\n𝑇𝑇2\n𝑟𝑟3 =\n4𝜋𝜋2\n𝐺𝐺𝐺𝐺 i poprawnie zidentyfikuje wielkości w tym wzorze, to otrzymuje 2 pkt.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe rozwiązanie\nSposób 1.\nKrok 1. Zapiszemy równanie identyfikujące siłę grawitacji jako siłę dośrodkową, łącznie\nz uwzględnieniem wzorów na te siły:\n𝑚𝑚𝑣𝑣2\n𝑟𝑟= 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺\n𝑟𝑟2\nKrok 2. Wyprowadzimy wyrażenie pozwalające na bezpośrednie obliczenie masy pulsara\nz parametrów ruchu orbitalnego planety. W tym celu do powyższego równania podstawimy\nwzór na prędkość w ruchu jednostajnym po okręgu: 𝑣𝑣=\n2𝜋𝜋𝜋𝜋\n𝑇𝑇.\n𝑚𝑚\nቀ2𝜋𝜋𝜋𝜋\n𝑇𝑇ቁ\n2\n𝑟𝑟\n= 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺\n𝑟𝑟2\n→ 4𝜋𝜋2𝑟𝑟\n𝑇𝑇2\n= 𝐺𝐺𝐺𝐺\n𝑟𝑟2 → 𝑀𝑀= 4𝜋𝜋2\n𝐺𝐺\n𝑟𝑟3\n𝑇𝑇2\nDo otrzymanego wyrażenia podstawiamy parametry ruchu orbitalnego planety:\n𝑀𝑀=\n4 ∙(3,142)2\n6,67 ∙10-11 N∙m2\nkg2\n∙(0,19 au)3\n(25,3 doby)2\nKrok 3. Wykonujemy obliczenia, przy czym jednostkę astronomiczną wyrazimy w metrach,\na dobę wyrazimy sekundach.\n𝑀𝑀=\n4 ∙(3,142)2\n6,67 ∙10-11 N∙m2\nkg2\n∙\n(0,19 ∙1,5 ∙1011 m)3\n(2,53 ∙101 ∙2,4 ∙101 ∙3,6 ∙103 s)2 ≈2,86 ∙10-4 ∙1034 kg\n𝑀𝑀≈2,86 ∙1030 kg\nSposób 2.\nKrok 1. Skorzystamy ze wzoru na prędkość w ruchu po orbicie kołowej oraz zastosujemy wzór\nna prędkość w ruchu jednostajnym po okręgu.\n𝑣𝑣= ඨ𝐺𝐺𝐺𝐺\n𝑟𝑟 𝑣𝑣= 2𝜋𝜋𝜋𝜋\n𝑇𝑇\nKrok 2. Z powyższych równań wyprowadzamy wzór pozwalający na obliczenie masy pulsara\nz parametrów ruchu orbitalnego planety:\n2𝜋𝜋𝜋𝜋\n𝑇𝑇\n= ඨ𝐺𝐺𝐺𝐺\n𝑟𝑟 → 4𝜋𝜋2𝑟𝑟2\n𝑇𝑇2\n= 𝐺𝐺𝐺𝐺\n𝑟𝑟 → 𝑀𝑀= 4𝜋𝜋2\n𝐺𝐺\n𝑟𝑟3\n𝑇𝑇2\nKrok 3. Wykonujemy obliczenia (patrz krok 3. w sposobie 1.).","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n\\[M_{\\text{pulsara}} \\approx 2{,}9 \\times 10^{30} \\, \\text{kg}\\]\n\n(co odpowiada ok. 1,4 masy Słońca - fizycznie sensowne dla gwiazdy neutronowej)\n\n## Sposób 1 - Równanie ruchu kołowego (siła grawitacyjna = siła dośrodkowa)\n\n**Krok 1: Model fizyczny**\n\nPlaneta Draugr porusza się po orbicie kołowej, więc siłą dośrodkową jest siła grawitacji pulsara:\n\n\\[F_g = F_d \\implies \\frac{GMm}{r^2} = \\frac{4\\pi^2 m}{T^2} \\cdot r\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczenie masy pulsara**\n\nMasa planety \\(m\\) redukuje się:\n\n\\[\\boxed{M = \\frac{4\\pi^2 r^3}{GT^2}}\\]\n\n**Krok 3: Przeliczenie jednostek**\n\n\\[r = 0{,}19 \\, \\text{au} = 0{,}19 \\times 1{,}5 \\times 10^{11} \\, \\text{m} = 2{,}85 \\times 10^{10} \\, \\text{m}\\]\n\n\\[T = 25{,}3 \\times 24 \\times 3600 \\, \\text{s} = 2{,}186 \\times 10^{6} \\, \\text{s}\\]\n\n**Krok 4: Podstawienie**\n\n\\[r^3 = (2{,}85 \\times 10^{10})^3 = 23{,}15 \\times 10^{30} \\, \\text{m}^3\\]\n\n\\[T^2 = (2{,}186 \\times 10^{6})^2 = 4{,}778 \\times 10^{12} \\, \\text{s}^2\\]\n\n\\[M = \\frac{4\\pi^2 \\times 23{,}15 \\times 10^{30}}{6{,}674 \\times 10^{-11} \\times 4{,}778 \\times 10^{12}}\\]\n\n\\[M = \\frac{39{,}48 \\times 23{,}15 \\times 10^{30}}{6{,}674 \\times 4{,}778 \\times 10^{1}} = \\frac{9{,}14 \\times 10^{32}}{318{,}9}\\]\n\n\\[\\boxed{M \\approx 2{,}87 \\times 10^{30} \\, \\text{kg}}\\]\n\n## Sposób 2 - III prawo Keplera w formie porównawczej (Draugr vs Ziemia)\n\n**Idea:** Zestawiamy układ pulsara z układem Słońce-Ziemia, gdzie znamy \\(M_\\odot\\) i korzystamy z III prawa Keplera:\n\n\\[\\frac{T^2}{r^3} = \\frac{4\\pi^2}{GM}\\]\n\nDla Ziemi (orbita wokół Słońca):\n\\[\\frac{T_\\oplus^2}{r_\\oplus^3} = \\frac{4\\pi^2}{G M_\\odot}\\]\n\nDla Draugra (orbita wokół pulsara):\n\\[\\frac{T_D^2}{r_D^3} = \\frac{4\\pi^2}{G M_P}\\]\n\nDzieląc stronami:\n\n\\[\\frac{M_P}{M_\\odot} = \\frac{T_\\oplus^2}{r_\\oplus^3} \\cdot \\frac{r_D^3}{T_D^2} = \\left(\\frac{T_\\oplus}{T_D}\\right)^2 \\cdot \\left(\\frac{r_D}{r_\\oplus}\\right)^3\\]\n\n**Podstawienie** (w spójnych jednostkach: dni i au):\n\n\\[T_\\oplus = 365{,}25 \\, \\text{dni}, \\quad T_D = 25{,}3 \\, \\text{dni}, \\quad r_\\oplus = 1 \\, \\text{au}, \\quad r_D = 0{,}19 \\, \\text{au}\\]\n\n\\[\\frac{M_P}{M_\\odot} = \\left(\\frac{365{,}25}{25{,}3}\\right)^2 \\cdot (0{,}19)^3 = (14{,}44)^2 \\cdot 0{,}006859\\]\n\n\\[\\frac{M_P}{M_\\odot} = 208{,}5 \\times 0{,}006859 \\approx 1{,}430\\]\n\n\\[M_P \\approx 1{,}43 \\times M_\\odot = 1{,}43 \\times 2{,}0 \\times 10^{30} \\, \\text{kg} \\approx 2{,}86 \\times 10^{30} \\, \\text{kg}\\]\n\n**Zaleta:** nie trzeba pamiętać \\(G\\) - wystarczy \\(M_\\odot\\) i dane w naturalnych jednostkach astronomicznych. Wynik identyczny.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Zasady oceniania (zadanie 12.1, 0-3 pkt) - wg oficjalnego klucza CKE:**\n> - **3 pkt** - poprawna metoda obliczenia masy pulsara oraz prawidlowy wynik z jednostka (\\(M \\approx 2{,}86 \\times 10^{30}\\,\\text{kg}\\)).\n> - **2 pkt** - doprowadzenie do jednego wyrazenia pozwalajacego obliczyc mase pulsara z samych stalych i parametrow ruchu orbitalnego (\\(M = 4\\pi^2 r^3/(GT^2)\\)). Jezeli zdajacy od razu zapisze III prawo Keplera ze stala \\(T^2/r^3 = 4\\pi^2/(GM)\\) i poprawnie zidentyfikuje wielkosci - 2 pkt.\n> - **1 pkt** - relacja identyfikujaca sile grawitacji jako sile dosrodkowa ze wzorami na te sily LUB skorzystanie ze wzoru na predkosc orbitalna z wzorem na predkosc w ruchu jednostajnym po okregu.\n> - **0 pkt** - brak spelnienia powyzszych kryteriow.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (Grawitacja / Dynamika):**\n>\n> - **Prawo powszechnego ciążenia:** \\(F = \\dfrac{GMm}{r^2}\\), stała \\(G = 6{,}674 \\times 10^{-11} \\, \\dfrac{\\text{N} \\cdot \\text{m}^2}{\\text{kg}^2}\\)\n> - **Siła dośrodkowa:** \\(F_d = \\dfrac{mv^2}{r} = m\\omega^2 r = \\dfrac{4\\pi^2 m r}{T^2}\\)\n> - **III prawo Keplera:** \\(\\dfrac{T^2}{r^3} = \\dfrac{4\\pi^2}{GM}\\)\n> - **Masa Słońca** (do Sposobu 2): \\(M_\\odot = 2{,}0 \\times 10^{30} \\, \\text{kg}\\)\n>\n> W Sposobie 1 używamy \\(F_g = F_d\\) + wartości \\(G\\) wprost z karty.\n> W Sposobie 2 potrzebujemy \\(M_\\odot\\) - też na karcie.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Przeliczenie jednostek to PUŁAPKA NR 1:** Promień \\(r\\) musi być w metrach, okres \\(T\\) w sekundach. Zostawienie w au i dobach to błąd kardynalny - wynik będzie o wiele rzędów wielkości zły.\n\n> ⚠️ **Uwaga na \\(T\\):** 25,3 doby to nie 25,3 godziny! \\(T = 25{,}3 \\times 86400 \\, \\text{s} = 2{,}186 \\times 10^6 \\, \\text{s}\\). Przy stresie egzaminacyjnym uczniowie zapominają pomnożyć przez 86 400.\n\n> ⚠️ **Masa planety się redukuje** - nie musisz jej znać. Masa \\(m\\) znika po obu stronach równania. Jeśli próbujesz ją szacować, błądzisz.\n\n> ⚠️ **Wynik \\(\\sim 10^{30}\\) kg wygląda \"za duże\" - to prawidłowe!** Masa Słońca to \\(2 \\times 10^{30}\\) kg. Gwiazda neutronowa o masie 1,4 \\(M_\\odot\\) to \\(\\approx 2{,}8 \\times 10^{30}\\) kg - fizycznie sensowne i spójne z modelami neutronowymi.","image":"img/fizyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-12.1.webp","solution_image":null,"topics":"Grawitacja i astronomia","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · czerwiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12.1. (0-3)
Oblicz masę pulsara na podstawie informacji dotyczącej ruchu orbitalnego planety
Draugr, podanej w treści zadania 12.
Dodatkowe informacje do zadań 12.2. i 12.3.
Opisany pulsar powstał w wyniku zapadania się jądra gwiazdy, którego rozmiary były znacznie
większe niż obecne rozmiary pulsara. W wyniku zapadania grawitacyjnego promień tego jądra
się zmniejszył, a częstotliwość obrotu wzrosła. Obecnie pulsar obraca się wokół własnej osi
około 160 razy na sekundę.
Do obliczeń przyjmij uproszczony model zjawiska oparty na następujących założeniach
dotyczących końcowego etapu zapadania się jądra gwiazdy:
• przyjmij, że masa M jądra gwiazdy się nie zmienia
• pomiń ewentualne straty momentu pędu
• przyjmij, że zapadające się jądro gwiazdy jest ciałem o momencie bezwładności równym
kMRt
2, gdzie Rt jest chwilowym promieniem jądra gwiazdy, a k pozostaje stałe
• pomiń efekty relatywistyczne i wpływ innych obiektów.
MFA_1R

","answer_text_html":"

Zadanie 12.1. (0-3)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Budowa prostych modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk.
Zdający:
1.2) (P) opisuje zależności między siłą
dośrodkową a masą, prędkością liniową
i promieniem oraz wskazuje przykłady sił
pełniących rolę siły dośrodkowej;
4.1) wykorzystuje prawo powszechnego
ciążenia do obliczenia siły oddziaływań
grawitacyjnych między masami punktowymi
i sferycznie symetrycznymi;
4.7) oblicza okres ruchu satelitów (bez napędu)
wokół Ziemi.
Zasady oceniania
3 pkt - poprawna metoda obliczenia masy pulsara (np. jak w krokach 1.-3.) oraz prawidłowy
wynik liczbowy z jednostką.
2 pkt - doprowadzenie do jednego wyrażenia, z którego można bezpośrednio obliczyć masę
pulsara jedynie na podstawie stałych oraz parametrów ruchu orbitalnego planety (np.
zapisanie wyrażenia jak w kroku 2.).
1 pkt - zapisanie relacji identyfikującej siłę grawitacji jako siłę dośrodkową, z uwzględnieniem
wzorów na te siły (np. jak w kroku 1. w sposobie 1.)
LUB

\n\n

prędkość w ruchu jednostajnym po okręgu (np. jak w kroku 1. w sposobie 2.).
0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Uwaga dodatkowa
Jeżeli zdający zapisze od razu bez wyprowadzenia III prawo Keplera łącznie z poprawnie
określoną stałą:
𝑇𝑇2
𝑟𝑟3 =
4𝜋𝜋2
𝐺𝐺𝐺𝐺 i poprawnie zidentyfikuje wielkości w tym wzorze, to otrzymuje 2 pkt.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Przykładowe rozwiązanie
Sposób 1.
Krok 1. Zapiszemy równanie identyfikujące siłę grawitacji jako siłę dośrodkową, łącznie
z uwzględnieniem wzorów na te siły:
𝑚𝑚𝑣𝑣2
𝑟𝑟= 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺
𝑟𝑟2
Krok 2. Wyprowadzimy wyrażenie pozwalające na bezpośrednie obliczenie masy pulsara
z parametrów ruchu orbitalnego planety. W tym celu do powyższego równania podstawimy
wzór na prędkość w ruchu jednostajnym po okręgu: 𝑣𝑣=
2𝜋𝜋𝜋𝜋
𝑇𝑇.
𝑚𝑚
ቀ2𝜋𝜋𝜋𝜋
𝑇𝑇ቁ
2
𝑟𝑟
= 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺
𝑟𝑟2
→ 4𝜋𝜋2𝑟𝑟
𝑇𝑇2
= 𝐺𝐺𝐺𝐺
𝑟𝑟2 → 𝑀𝑀= 4𝜋𝜋2
𝐺𝐺
𝑟𝑟3
𝑇𝑇2
Do otrzymanego wyrażenia podstawiamy parametry ruchu orbitalnego planety:
𝑀𝑀=
4 ∙(3,142)2
6,67 ∙10-11 N∙m2
kg2
∙(0,19 au)3
(25,3 doby)2
Krok 3. Wykonujemy obliczenia, przy czym jednostkę astronomiczną wyrazimy w metrach,
a dobę wyrazimy sekundach.
𝑀𝑀=
4 ∙(3,142)2
6,67 ∙10-11 N∙m2
kg2
∙
(0,19 ∙1,5 ∙1011 m)3
(2,53 ∙101 ∙2,4 ∙101 ∙3,6 ∙103 s)2 ≈2,86 ∙10-4 ∙1034 kg
𝑀𝑀≈2,86 ∙1030 kg
Sposób 2.
Krok 1. Skorzystamy ze wzoru na prędkość w ruchu po orbicie kołowej oraz zastosujemy wzór
na prędkość w ruchu jednostajnym po okręgu.
𝑣𝑣= ඨ𝐺𝐺𝐺𝐺
𝑟𝑟 𝑣𝑣= 2𝜋𝜋𝜋𝜋
𝑇𝑇
Krok 2. Z powyższych równań wyprowadzamy wzór pozwalający na obliczenie masy pulsara
z parametrów ruchu orbitalnego planety:
2𝜋𝜋𝜋𝜋
𝑇𝑇
= ඨ𝐺𝐺𝐺𝐺
𝑟𝑟 → 4𝜋𝜋2𝑟𝑟2
𝑇𝑇2
= 𝐺𝐺𝐺𝐺
𝑟𝑟 → 𝑀𝑀= 4𝜋𝜋2
𝐺𝐺
𝑟𝑟3
𝑇𝑇2
Krok 3. Wykonujemy obliczenia (patrz krok 3. w sposobie 1.).

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

\\[M_{\\text{pulsara}} \\approx 2{,}9 \\times 10^{30} \\, \\text{kg}\\]

\n

(co odpowiada ok. 1,4 masy Słońca - fizycznie sensowne dla gwiazdy neutronowej)

\n

Sposób 1 - Równanie ruchu kołowego (siła grawitacyjna = siła dośrodkowa)

\n

Krok 1: Model fizyczny

\n

Planeta Draugr porusza się po orbicie kołowej, więc siłą dośrodkową jest siła grawitacji pulsara:

\n

\\[F_g = F_d \\implies \\frac{GMm}{r^2} = \\frac{4\\pi^2 m}{T^2} \\cdot r\\]

\n

Krok 2: Wyznaczenie masy pulsara

\n

Masa planety \\(m\\) redukuje się:

\n

\\[\\boxed{M = \\frac{4\\pi^2 r^3}{GT^2}}\\]

\n

Krok 3: Przeliczenie jednostek

\n

\\[r = 0{,}19 \\, \\text{au} = 0{,}19 \\times 1{,}5 \\times 10^{11} \\, \\text{m} = 2{,}85 \\times 10^{10} \\, \\text{m}\\]

\n

\\[T = 25{,}3 \\times 24 \\times 3600 \\, \\text{s} = 2{,}186 \\times 10^{6} \\, \\text{s}\\]

\n

Krok 4: Podstawienie

\n

\\[r^3 = (2{,}85 \\times 10^{10})^3 = 23{,}15 \\times 10^{30} \\, \\text{m}^3\\]

\n

\\[T^2 = (2{,}186 \\times 10^{6})^2 = 4{,}778 \\times 10^{12} \\, \\text{s}^2\\]

\n

\\[M = \\frac{4\\pi^2 \\times 23{,}15 \\times 10^{30}}{6{,}674 \\times 10^{-11} \\times 4{,}778 \\times 10^{12}}\\]

\n

\\[M = \\frac{39{,}48 \\times 23{,}15 \\times 10^{30}}{6{,}674 \\times 4{,}778 \\times 10^{1}} = \\frac{9{,}14 \\times 10^{32}}{318{,}9}\\]

\n

\\[\\boxed{M \\approx 2{,}87 \\times 10^{30} \\, \\text{kg}}\\]

\n

Sposób 2 - III prawo Keplera w formie porównawczej (Draugr vs Ziemia)

\n

Idea: Zestawiamy układ pulsara z układem Słońce-Ziemia, gdzie znamy \\(M_\\odot\\) i korzystamy z III prawa Keplera:

\n

\\[\\frac{T^2}{r^3} = \\frac{4\\pi^2}{GM}\\]

\n

Dla Ziemi (orbita wokół Słońca):
\\[\\frac{T_\\oplus^2}{r_\\oplus^3} = \\frac{4\\pi^2}{G M_\\odot}\\]

\n

Dla Draugra (orbita wokół pulsara):
\\[\\frac{T_D^2}{r_D^3} = \\frac{4\\pi^2}{G M_P}\\]

\n

Dzieląc stronami:

\n

\\[\\frac{M_P}{M_\\odot} = \\frac{T_\\oplus^2}{r_\\oplus^3} \\cdot \\frac{r_D^3}{T_D^2} = \\left(\\frac{T_\\oplus}{T_D}\\right)^2 \\cdot \\left(\\frac{r_D}{r_\\oplus}\\right)^3\\]

\n

Podstawienie (w spójnych jednostkach: dni i au):

\n

\\[T_\\oplus = 365{,}25 \\, \\text{dni}, \\quad T_D = 25{,}3 \\, \\text{dni}, \\quad r_\\oplus = 1 \\, \\text{au}, \\quad r_D = 0{,}19 \\, \\text{au}\\]

\n

\\[\\frac{M_P}{M_\\odot} = \\left(\\frac{365{,}25}{25{,}3}\\right)^2 \\cdot (0{,}19)^3 = (14{,}44)^2 \\cdot 0{,}006859\\]

\n

\\[\\frac{M_P}{M_\\odot} = 208{,}5 \\times 0{,}006859 \\approx 1{,}430\\]

\n

\\[M_P \\approx 1{,}43 \\times M_\\odot = 1{,}43 \\times 2{,}0 \\times 10^{30} \\, \\text{kg} \\approx 2{,}86 \\times 10^{30} \\, \\text{kg}\\]

\n

Zaleta: nie trzeba pamiętać \\(G\\) - wystarczy \\(M_\\odot\\) i dane w naturalnych jednostkach astronomicznych. Wynik identyczny.

\n

Schemat oceniania CKE

\n
📋 Zasady oceniania (zadanie 12.1, 0-3 pkt) - wg oficjalnego klucza CKE:
- 3 pkt - poprawna metoda obliczenia masy pulsara oraz prawidlowy wynik z jednostka (\\(M \\approx 2{,}86 \\times 10^{30}\\,\\text{kg}\\)).
- 2 pkt - doprowadzenie do jednego wyrazenia pozwalajacego obliczyc mase pulsara z samych stalych i parametrow ruchu orbitalnego (\\(M = 4\\pi^2 r^3/(GT^2)\\)). Jezeli zdajacy od razu zapisze III prawo Keplera ze stala \\(T^2/r^3 = 4\\pi^2/(GM)\\) i poprawnie zidentyfikuje wielkosci - 2 pkt.
- 1 pkt - relacja identyfikujaca sile grawitacji jako sile dosrodkowa ze wzorami na te sily LUB skorzystanie ze wzoru na predkosc orbitalna z wzorem na predkosc w ruchu jednostajnym po okregu.
- 0 pkt - brak spelnienia powyzszych kryteriow.
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (Grawitacja / Dynamika):

- Prawo powszechnego ciążenia: \\(F = \\dfrac{GMm}{r^2}\\), stała \\(G = 6{,}674 \\times 10^{-11} \\, \\dfrac{\\text{N} \\cdot \\text{m}^2}{\\text{kg}^2}\\)
- Siła dośrodkowa: \\(F_d = \\dfrac{mv^2}{r} = m\\omega^2 r = \\dfrac{4\\pi^2 m r}{T^2}\\)
- III prawo Keplera: \\(\\dfrac{T^2}{r^3} = \\dfrac{4\\pi^2}{GM}\\)
- Masa Słońca (do Sposobu 2): \\(M_\\odot = 2{,}0 \\times 10^{30} \\, \\text{kg}\\)

W Sposobie 1 używamy \\(F_g = F_d\\) + wartości \\(G\\) wprost z karty.
W Sposobie 2 potrzebujemy \\(M_\\odot\\) - też na karcie.
\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Przeliczenie jednostek to PUŁAPKA NR 1: Promień \\(r\\) musi być w metrach, okres \\(T\\) w sekundach. Zostawienie w au i dobach to błąd kardynalny - wynik będzie o wiele rzędów wielkości zły.
\n
⚠️ Uwaga na \\(T\\): 25,3 doby to nie 25,3 godziny! \\(T = 25{,}3 \\times 86400 \\, \\text{s} = 2{,}186 \\times 10^6 \\, \\text{s}\\). Przy stresie egzaminacyjnym uczniowie zapominają pomnożyć przez 86 400.
\n
⚠️ Masa planety się redukuje - nie musisz jej znać. Masa \\(m\\) znika po obu stronach równania. Jeśli próbujesz ją szacować, błądzisz.
\n
⚠️ Wynik \\(\\sim 10^{30}\\) kg wygląda "za duże" - to prawidłowe! Masa Słońca to \\(2 \\times 10^{30}\\) kg. Gwiazda neutronowa o masie 1,4 \\(M_\\odot\\) to \\(\\approx 2{,}8 \\times 10^{30}\\) kg - fizycznie sensowne i spójne z modelami neutronowymi.
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$M \\approx 2{,}86 \\cdot 10^{30} \\text{ kg}$

"}]}