{"id":"fizyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/12.2","paper_id":"fizyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"12.2","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12.2. (0-2)\nOblicz częstotliwość obrotu jądra gwiazdy dookoła osi własnej w chwili, gdy miało ono\npromień 10 razy większy niż obecnie. Wykorzystaj odpowiednie zasady i wzory fizyczne.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12.2. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Analiza tekstów popularnonaukowych\ni ocena ich treści.\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n2.2) rozróżnia pojęcia: masa i moment\nbezwładności;\n2.6) opisuje ruch obrotowy bryły sztywnej wokół\nosi przechodzącej przez środek masy\n(prędkość kątowa, przyspieszenie kątowe);\n2.8) stosuje zasadę zachowania momentu\npędu do analizy ruchu.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda obliczenia częstotliwości obrotu gwiazdy przy promieniu 10𝑅𝑅 oraz\nprawidłowy wynik liczbowy z jednostką.\n1 pkt - skorzystanie z zasady zachowania momentu pędu, łącznie z zastosowaniem wzoru na\nmoment pędu bryły sztywnej względem jej osi obrotu dla dwóch sytuacji: gdy jądro\nmiało promień 10𝑅𝑅 oraz gdy jądro ma obecny promień 𝑅𝑅 (np. zapis: 𝐼𝐼10𝜔𝜔10 = 𝐼𝐼1𝜔𝜔1).\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nSkorzystamy z zasady zachowania momentu pędu bryły sztywnej. Oznaczymy jako 𝐿𝐿10\nmoment pędu jądra gwiazdy, gdy miała promień 10 razy większy niż obecnie, natomiast jako\n𝐿𝐿1 oznaczymy moment pędu jądra gwiazdy przy obecnym promieniu R:\n𝐿𝐿10 = 𝐿𝐿1 gdzie: 𝐿𝐿10 = 𝐼𝐼10𝜔𝜔10 𝐿𝐿1 = 𝐼𝐼1𝜔𝜔1\n𝐼𝐼10𝜔𝜔10 = 𝐼𝐼1𝜔𝜔1\nPodstawiamy wzory na moment bezwładności 𝐼𝐼 gwiazdy oraz na jej prędkość kątową:\n𝑘𝑘𝑘𝑘(10𝑅𝑅)2 ∙2𝜋𝜋𝑓𝑓10 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑅𝑅2 ∙2𝜋𝜋𝑓𝑓1 →\n100𝑅𝑅2𝑓𝑓10 = 𝑅𝑅2𝑓𝑓1 →\n𝑓𝑓10 = 𝑓𝑓1\n100 → 𝑓𝑓10 = 160 Hz\n100\n= 1,6 Hz","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nCzęstotliwość obrotu jądra gwiazdy, gdy miało promień \\(R_1 = 10R\\) (gdzie \\(R\\) - obecny promień pulsara), wynosiła:\n\n\\[\n\\boxed{f_1 = 1{,}6 \\text{ Hz}}\n\\]\n\n## Sposób 1 - Zasada zachowania momentu pędu + definicja momentu bezwładności\n\n**Krok 1. Zidentyfikuj zasadę fizyczną.**\n\nWedług treści zadania pomijamy straty momentu pędu. Oznacza to, że **moment pędu jądra gwiazdy jest stały** przez cały proces zapadania:\n\n\\[\nL = \\text{const} \\quad \\Rightarrow \\quad L_1 = L_2\n\\]\n\n**Krok 2. Zapisz moment pędu dla ciała obracającego się wokół osi.**\n\n\\[\nL = I \\cdot \\omega\n\\]\n\nKorzystamy z podanego modelu momentu bezwładności:\n\n\\[\nI = kMR_t^2\n\\]\n\nZatem:\n\n\\[\nI_1 \\omega_1 = I_2 \\omega_2\n\\]\n\n\\[\nkM R_1^2 \\cdot \\omega_1 = kM R_2^2 \\cdot \\omega_2\n\\]\n\n**Krok 3. Podstaw dane.**\n\n\\(k\\) i \\(M\\) się skracają. Niech \\(R_2 = R\\) (obecny promień pulsara), wtedy \\(R_1 = 10R\\):\n\n\\[\n(10R)^2 \\cdot \\omega_1 = R^2 \\cdot \\omega_2\n\\]\n\n\\[\n100 \\cdot \\omega_1 = \\omega_2\n\\]\n\n\\[\n\\omega_1 = \\frac{\\omega_2}{100}\n\\]\n\n**Krok 4. Przelicz na częstotliwość.**\n\nPonieważ \\(\\omega = 2\\pi f\\), współczynnik \\(2\\pi\\) skraca się:\n\n\\[\nf_1 = \\frac{f_2}{100} = \\frac{160 \\text{ Hz}}{100} = \\mathbf{1{,}6 \\text{ Hz}}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Iloraz częstotliwości wprost z prawa zachowania momentu pędu (podejście algebraiczne skrócone)\n\nZapisujemy warunek \\(L_1 = L_2\\) od razu w postaci częstotliwości:\n\n\\[\nkMR_1^2 \\cdot 2\\pi f_1 = kMR_2^2 \\cdot 2\\pi f_2\n\\]\n\nSkracamy \\(kM \\cdot 2\\pi\\):\n\n\\[\nR_1^2 \\, f_1 = R_2^2 \\, f_2\n\\]\n\nStąd ogólna zależność:\n\n\\[\n\\frac{f_1}{f_2} = \\left(\\frac{R_2}{R_1}\\right)^2\n\\]\n\nPodstawiamy \\(R_1 / R_2 = 10\\):\n\n\\[\n\\frac{f_1}{f_2} = \\left(\\frac{1}{10}\\right)^2 = \\frac{1}{100}\n\\]\n\n\\[\nf_1 = \\frac{160}{100} = \\mathbf{1{,}6 \\text{ Hz}}\n\\]\n\n**Intuicja fizyczna:** Gdy promień maleje 10-krotnie, moment bezwładności maleje \\(100\\)-krotnie (\\(I \\propto R^2\\)). Aby \\(L = I\\omega\\) pozostało stałe, częstotliwość musi wzrosnąć 100-krotnie. Pytamy o stan **sprzed** - czyli jądro kręciło się **100 razy wolniej** niż teraz.\n\n## Sposób 3 - Analogia z łyżwiarzem figurowym (intuicja fizyczna jako weryfikacja)\n\nTo klasyczny przykład z zachowania momentu pędu: łyżwiarz skupia ręce przy ciele (zmniejsza \\(R\\)) → kręci się szybciej. Tu analogicznie:\n\n| Etap | Promień | Moment bezwładności \\(I = kMR^2\\) | Częstotliwość |\n| Dawniej | \\(10R\\) | \\(kM(10R)^2 = 100kMR^2\\) | \\(f_1 = ?\\) |\n| Teraz (pulsar) | \\(R\\) | \\(kMR^2\\) | \\(f_2 = 160 \\text{ Hz}\\) |\n\nWarunek \\(L = I \\cdot 2\\pi f = \\text{const}\\):\n\n\\[\n100kMR^2 \\cdot f_1 = kMR^2 \\cdot 160 \\text{ Hz}\n\\]\n\n\\[\nf_1 = \\frac{160}{100} = \\mathbf{1{,}6 \\text{ Hz}}\n\\]\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Zasady oceniania (zadanie 12.2, 0-2 pkt) - wg oficjalnego klucza CKE:**\n> - **2 pkt** - poprawna metoda obliczenia czestotliwosci obrotu gwiazdy przy promieniu \\(10R\\) oraz prawidlowy wynik z jednostka (\\(f_{10} = 1{,}6\\,\\text{Hz}\\)).\n> - **1 pkt** - skorzystanie z zasady zachowania momentu pedu, lacznie ze wzorem na moment pedu bryly sztywnej dla dwoch sytuacji (promien \\(10R\\) i obecny \\(R\\)), np. \\(I_{10}\\omega_{10} = I_1\\omega_1\\).\n> - **0 pkt** - brak spelnienia powyzszych kryteriow.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (mechanika, obroty):**\n>\n> - **Moment pędu:** \\(L = I\\omega\\)\n> - **Prędkość kątowa a częstotliwość:** \\(\\omega = 2\\pi f\\)\n> - **Zasada zachowania momentu pędu:** \\(L = \\text{const}\\) (gdy brak zewnętrznych momentów sił)\n>\n> Moment bezwładności \\(I = kMR^2\\) jest **podany w treści zadania** jako model - nie musisz go pamiętać.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - wzięcie \\(R_1 = 10\\) bez \\(R_2 = 1\\), czyli pominięcie kwadratowej zależności \\(I \\propto R^2\\). Uczniowie dzielą \\(160/10 = 16\\) zamiast \\(160/100 = 1{,}6\\). **Promień wchodzi do wzoru w KWADRACIE!**\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Błędne użycie \\(f_1 \\cdot R_1 = f_2 \\cdot R_2\\) (jakby \\(I \\propto R\\)) zamiast poprawnego \\(f_1 \\cdot R_1^2 = f_2 \\cdot R_2^2\\) - to wynik pomylenia momentu pędu z pędem liniowym.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie ma potrzeby znać wartości \\(k\\), \\(M\\) ani \\(R\\) - wszystkie skracają się algebraicznie. Jeśli próbujesz podstawić konkretne liczby za \\(k\\) lub \\(M\\), to znak, że gdzieś zboczyłeś ze ścieżki.","image":"img/fizyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-12.2.webp","solution_image":null,"topics":"Bryła Sztywna","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · czerwiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12.2. (0-2)
Oblicz częstotliwość obrotu jądra gwiazdy dookoła osi własnej w chwili, gdy miało ono
promień 10 razy większy niż obecnie. Wykorzystaj odpowiednie zasady i wzory fizyczne.

","answer_text_html":"

Zadanie 12.2. (0-2)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
II. Analiza tekstów popularnonaukowych
i ocena ich treści.
IV. Budowa prostych modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk.
Zdający:
2.2) rozróżnia pojęcia: masa i moment
bezwładności;
2.6) opisuje ruch obrotowy bryły sztywnej wokół
osi przechodzącej przez środek masy
(prędkość kątowa, przyspieszenie kątowe);
2.8) stosuje zasadę zachowania momentu
pędu do analizy ruchu.
Zasady oceniania
2 pkt - poprawna metoda obliczenia częstotliwości obrotu gwiazdy przy promieniu 10𝑅𝑅 oraz
prawidłowy wynik liczbowy z jednostką.
1 pkt - skorzystanie z zasady zachowania momentu pędu, łącznie z zastosowaniem wzoru na
moment pędu bryły sztywnej względem jej osi obrotu dla dwóch sytuacji: gdy jądro
miało promień 10𝑅𝑅 oraz gdy jądro ma obecny promień 𝑅𝑅 (np. zapis: 𝐼𝐼10𝜔𝜔10 = 𝐼𝐼1𝜔𝜔1).
0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Przykładowe rozwiązanie
Skorzystamy z zasady zachowania momentu pędu bryły sztywnej. Oznaczymy jako 𝐿𝐿10
moment pędu jądra gwiazdy, gdy miała promień 10 razy większy niż obecnie, natomiast jako
𝐿𝐿1 oznaczymy moment pędu jądra gwiazdy przy obecnym promieniu R:
𝐿𝐿10 = 𝐿𝐿1 gdzie: 𝐿𝐿10 = 𝐼𝐼10𝜔𝜔10 𝐿𝐿1 = 𝐼𝐼1𝜔𝜔1
𝐼𝐼10𝜔𝜔10 = 𝐼𝐼1𝜔𝜔1
Podstawiamy wzory na moment bezwładności 𝐼𝐼 gwiazdy oraz na jej prędkość kątową:
𝑘𝑘𝑘𝑘(10𝑅𝑅)2 ∙2𝜋𝜋𝑓𝑓10 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑅𝑅2 ∙2𝜋𝜋𝑓𝑓1 →
100𝑅𝑅2𝑓𝑓10 = 𝑅𝑅2𝑓𝑓1 →
𝑓𝑓10 = 𝑓𝑓1
100 → 𝑓𝑓10 = 160 Hz
100
= 1,6 Hz

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

Częstotliwość obrotu jądra gwiazdy, gdy miało promień \\(R_1 = 10R\\) (gdzie \\(R\\) - obecny promień pulsara), wynosiła:

\n

\\[
\\boxed{f_1 = 1{,}6 \\text{ Hz}}
\\]

\n

Sposób 1 - Zasada zachowania momentu pędu + definicja momentu bezwładności

\n

Krok 1. Zidentyfikuj zasadę fizyczną.

\n

Według treści zadania pomijamy straty momentu pędu. Oznacza to, że moment pędu jądra gwiazdy jest stały przez cały proces zapadania:

\n

\\[
L = \\text{const} \\quad \\Rightarrow \\quad L_1 = L_2
\\]

\n

Krok 2. Zapisz moment pędu dla ciała obracającego się wokół osi.

\n

\\[
L = I \\cdot \\omega
\\]

\n

Korzystamy z podanego modelu momentu bezwładności:

\n

\\[
I = kMR_t^2
\\]

\n

Zatem:

\n

\\[
I_1 \\omega_1 = I_2 \\omega_2
\\]

\n

\\[
kM R_1^2 \\cdot \\omega_1 = kM R_2^2 \\cdot \\omega_2
\\]

\n

Krok 3. Podstaw dane.

\n

\\(k\\) i \\(M\\) się skracają. Niech \\(R_2 = R\\) (obecny promień pulsara), wtedy \\(R_1 = 10R\\):

\n

\\[
(10R)^2 \\cdot \\omega_1 = R^2 \\cdot \\omega_2
\\]

\n

\\[
100 \\cdot \\omega_1 = \\omega_2
\\]

\n

\\[
\\omega_1 = \\frac{\\omega_2}{100}
\\]

\n

Krok 4. Przelicz na częstotliwość.

\n

Ponieważ \\(\\omega = 2\\pi f\\), współczynnik \\(2\\pi\\) skraca się:

\n

\\[
f_1 = \\frac{f_2}{100} = \\frac{160 \\text{ Hz}}{100} = \\mathbf{1{,}6 \\text{ Hz}}
\\]

\n

Sposób 2 - Iloraz częstotliwości wprost z prawa zachowania momentu pędu (podejście algebraiczne skrócone)

\n

Zapisujemy warunek \\(L_1 = L_2\\) od razu w postaci częstotliwości:

\n

\\[
kMR_1^2 \\cdot 2\\pi f_1 = kMR_2^2 \\cdot 2\\pi f_2
\\]

\n

Skracamy \\(kM \\cdot 2\\pi\\):

\n

\\[
R_1^2 \\, f_1 = R_2^2 \\, f_2
\\]

\n

Stąd ogólna zależność:

\n

\\[
\\frac{f_1}{f_2} = \\left(\\frac{R_2}{R_1}\\right)^2
\\]

\n

Podstawiamy \\(R_1 / R_2 = 10\\):

\n

\\[
\\frac{f_1}{f_2} = \\left(\\frac{1}{10}\\right)^2 = \\frac{1}{100}
\\]

\n

\\[
f_1 = \\frac{160}{100} = \\mathbf{1{,}6 \\text{ Hz}}
\\]

\n

Intuicja fizyczna: Gdy promień maleje 10-krotnie, moment bezwładności maleje \\(100\\)-krotnie (\\(I \\propto R^2\\)). Aby \\(L = I\\omega\\) pozostało stałe, częstotliwość musi wzrosnąć 100-krotnie. Pytamy o stan sprzed - czyli jądro kręciło się 100 razy wolniej niż teraz.

\n

Sposób 3 - Analogia z łyżwiarzem figurowym (intuicja fizyczna jako weryfikacja)

\n

To klasyczny przykład z zachowania momentu pędu: łyżwiarz skupia ręce przy ciele (zmniejsza \\(R\\)) → kręci się szybciej. Tu analogicznie:

\n

| Etap | Promień | Moment bezwładności \\(I = kMR^2\\) | Częstotliwość |
| Dawniej | \\(10R\\) | \\(kM(10R)^2 = 100kMR^2\\) | \\(f_1 = ?\\) |
| Teraz (pulsar) | \\(R\\) | \\(kMR^2\\) | \\(f_2 = 160 \\text{ Hz}\\) |

\n

Warunek \\(L = I \\cdot 2\\pi f = \\text{const}\\):

\n

\\[
100kMR^2 \\cdot f_1 = kMR^2 \\cdot 160 \\text{ Hz}
\\]

\n

\\[
f_1 = \\frac{160}{100} = \\mathbf{1{,}6 \\text{ Hz}}
\\]

\n

Schemat oceniania CKE

\n
📋 Zasady oceniania (zadanie 12.2, 0-2 pkt) - wg oficjalnego klucza CKE:
- 2 pkt - poprawna metoda obliczenia czestotliwosci obrotu gwiazdy przy promieniu \\(10R\\) oraz prawidlowy wynik z jednostka (\\(f_{10} = 1{,}6\\,\\text{Hz}\\)).
- 1 pkt - skorzystanie z zasady zachowania momentu pedu, lacznie ze wzorem na moment pedu bryly sztywnej dla dwoch sytuacji (promien \\(10R\\) i obecny \\(R\\)), np. \\(I_{10}\\omega_{10} = I_1\\omega_1\\).
- 0 pkt - brak spelnienia powyzszych kryteriow.
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (mechanika, obroty):

- Moment pędu: \\(L = I\\omega\\)
- Prędkość kątowa a częstotliwość: \\(\\omega = 2\\pi f\\)
- Zasada zachowania momentu pędu: \\(L = \\text{const}\\) (gdy brak zewnętrznych momentów sił)

Moment bezwładności \\(I = kMR^2\\) jest podany w treści zadania jako model - nie musisz go pamiętać.
\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd - wzięcie \\(R_1 = 10\\) bez \\(R_2 = 1\\), czyli pominięcie kwadratowej zależności \\(I \\propto R^2\\). Uczniowie dzielą \\(160/10 = 16\\) zamiast \\(160/100 = 1{,}6\\). Promień wchodzi do wzoru w KWADRACIE!
\n
⚠️ Uwaga: Błędne użycie \\(f_1 \\cdot R_1 = f_2 \\cdot R_2\\) (jakby \\(I \\propto R\\)) zamiast poprawnego \\(f_1 \\cdot R_1^2 = f_2 \\cdot R_2^2\\) - to wynik pomylenia momentu pędu z pędem liniowym.
\n
⚠️ Uwaga: Nie ma potrzeby znać wartości \\(k\\), \\(M\\) ani \\(R\\) - wszystkie skracają się algebraicznie. Jeśli próbujesz podstawić konkretne liczby za \\(k\\) lub \\(M\\), to znak, że gdzieś zboczyłeś ze ścieżki.
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$f_{10} = 1{,}6 \\text{ Hz}$

"}]}