{"id":"fizyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/12.3","paper_id":"fizyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"12.3","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12.3. (0-2)\nWyznacz wartość liczbową stosunku Ekin1 / Ekin10 - energii kinetycznej jądra gwiazdy\nw chwili obecnej do energii kinetycznej jądra gwiazdy w chwili, gdy jego promień był\n10 razy większy niż obecnie. Wykorzystaj odpowiednie zasady i wzory fizyczne.\nEnergię kinetyczną określamy w układzie odniesienia, w którym oś obrotu pulsara jest\nnieruchoma.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n12.1. 12.2. 12.3.\nMaks. liczba pkt\n3\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12.3. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Analiza tekstów popularnonaukowych\ni ocena ich treści.\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n2.9) uwzględnia energię kinetyczną ruchu\nobrotowego w bilansie energii;\n2.8) stosuje zasadę zachowania momentu\npędu do analizy ruchu.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda obliczenia stosunku energii kinetycznych oraz prawidłowy wynik\nliczbowy.\n1 pkt - wykorzystanie wzoru na energię kinetyczną ruchu obrotowego bryły sztywnej dla\ndwóch opisanych sytuacji, łącznie z zastosowaniem zasady zachowania momentu\npędu bryły sztywnej (np. zapis energii kinetycznych w postaci 𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘1 =\n𝐿𝐿2\n2𝐼𝐼1, 𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘10 =\n𝐿𝐿2\n2𝐼𝐼10\nlub równoważnie 𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘1 =\n1\n2 𝐿𝐿𝜔𝜔1 , 𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘10 =\n1\n2 𝐿𝐿𝜔𝜔10 - np. jak w sposobach 1. i 2.)\nLUB\n- wykorzystanie wzoru na energię kinetyczną ruchu obrotowego bryły sztywnej dla\ndwóch opisanych sytuacji, łącznie z zastosowaniem relacji pomiędzy częstotliwościami\n𝑓𝑓1 i 𝑓𝑓10 (lub okresami) oraz pomiędzy promieniami 𝑅𝑅1 i 𝑅𝑅10: (np. jak w sposobie 3.).\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nUwaga dodatkowa\nJeżeli zdający poprawnie wyprowadzi zależność\n𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘1\n𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘10 =\n𝐼𝐼10\n𝐼𝐼1 lub\n𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘1\n𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘10 =\n𝜔𝜔1\n𝜔𝜔10 i nie zapisze\nkońcowego wyniku liczbowego (lub poda błędny wynik końcowy) to otrzymuje 1 pkt.\nPrzykładowe rozwiązanie\nSposób 1.\nWykorzystamy wzór na energię kinetyczną ruchu obrotowego bryły sztywnej w postaci\nz momentem pędu 𝐿𝐿 i momentem bezwładności 𝐼𝐼:\n𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘= 1\n2 𝐼𝐼𝜔𝜔2 oraz 𝐿𝐿= 𝐼𝐼𝐼𝐼 → 𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘= 𝐿𝐿2\n2𝐼𝐼\nZapiszemy stosunek energii kinetycznych ruchu obrotowego jądra gwiazdy (z dwóch\nopisanych sytuacji), z wykorzystaniem zasady zachowania momentu pędu:\n𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘1\n𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘10\n𝐿𝐿1\n2\n2𝐼𝐼1\n𝐿𝐿10\n2\n2𝐼𝐼10\noraz 𝐿𝐿1 = 𝐿𝐿10 → 𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘1\n𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘10\n= 𝐼𝐼10\n𝐼𝐼1\n= (10𝑅𝑅)2\n𝑅𝑅2\n= 100\nSposób 2.\nWykorzystamy wzór na energię kinetyczną ruchu obrotowego bryły sztywnej w postaci\nz momentem pędu i prędkością kątową:\n𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘= 1\n2 𝐼𝐼𝜔𝜔2 oraz 𝐿𝐿= 𝐼𝐼𝐼𝐼 → 𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘= 1\n2 𝐿𝐿𝐿𝐿\nZapiszemy stosunek energii kinetycznych ruchu obrotowego jądra gwiazdy (z dwóch\nopisanych sytuacji), z wykorzystaniem zasady zachowania momentu pędu i wyznaczonego\nilorazu prędkości kątowych:\n𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘1\n𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘10\n1\n2 𝐿𝐿1𝜔𝜔1\n1\n2 𝐿𝐿10𝜔𝜔10\noraz 𝐿𝐿1 = 𝐿𝐿10 → 𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘1\n𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘10\n= 𝜔𝜔1\n𝜔𝜔10\n= 100\nSposób 3. Zastosujemy wzór na energię kinetyczną ruchu obrotowego bryły sztywnej, łącznie\nz wykorzystaniem relacji pomiędzy częstotliwościami 𝑓𝑓1 i 𝑓𝑓10 oraz promieniami 𝑅𝑅1 i 𝑅𝑅10:\n𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘1 = 1\n2 𝐼𝐼1𝜔𝜔1\n2 𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘10 = 1\n2 𝐼𝐼10𝜔𝜔10\n2 𝑅𝑅10\n𝑅𝑅1\n= 10 𝑓𝑓10\n𝑓𝑓1\n1\n100\nZapiszemy i obliczymy stosunek energii kinetycznych:\n𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘1\n𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘10\n1\n2 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑅𝑅2(2𝜋𝜋𝑓𝑓1)2\n1\n2 𝑘𝑘𝑘𝑘(10𝑅𝑅)2(2𝜋𝜋𝑓𝑓10)2\n→ 𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘1\n𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘10\n1\n100 ∙൬𝑓𝑓1\n𝑓𝑓10\n൰\n2\n1\n100 ∙1002 = 100","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n$$\\frac{E_{kin1}}{E_{kin10}} = 100$$\n\n## Sposób 1 - Zasada zachowania momentu pędu + definicja energii kinetycznej obrotowej\n\n**Krok 1 - Dlaczego stosujemy zasadę zachowania momentu pędu?**\n\nJądro gwiazdy kurczy się pod wpływem sił grawitacyjnych - sił wewnętrznych. Brak zewnętrznych momentów sił, więc **moment pędu jest zachowany:**\n\n$$L = I\\omega = \\text{const}$$\n\n**Krok 2 - Moment bezwładności sfery jednorodnej:**\n\n$$I = \\frac{2}{5}mR^2$$\n\nPrzyjmijmy oznaczenia:\n- stan 1 = chwila obecna (promień \\(R_1\\))\n- stan 10 = gdy promień był 10 razy większy, tj. \\(R_{10} = 10R_1\\)\n\n**Krok 3 - Z zasady zachowania momentu pędu:**\n\n$$I_1\\omega_1 = I_{10}\\omega_{10}$$\n\n$$\\frac{2}{5}mR_1^2\\,\\omega_1 = \\frac{2}{5}m(10R_1)^2\\,\\omega_{10}$$\n\n$$R_1^2\\,\\omega_1 = 100\\,R_1^2\\,\\omega_{10}$$\n\n$$\\boxed{\\omega_1 = 100\\,\\omega_{10}}$$\n\n**Krok 4 - Energii kinetyczne:**\n\n$$E_{kin1} = \\frac{1}{2}I_1\\omega_1^2 = \\frac{1}{2}\\cdot\\frac{2}{5}mR_1^2\\cdot\\omega_1^2$$\n\n$$E_{kin10} = \\frac{1}{2}I_{10}\\omega_{10}^2 = \\frac{1}{2}\\cdot\\frac{2}{5}m(10R_1)^2\\cdot\\omega_{10}^2$$\n\n**Krok 5 - Stosunek:**\n\n$$\\frac{E_{kin1}}{E_{kin10}} = \\frac{R_1^2\\,\\omega_1^2}{(10R_1)^2\\,\\omega_{10}^2} = \\frac{R_1^2\\,(100\\,\\omega_{10})^2}{100\\,R_1^2\\,\\omega_{10}^2} = \\frac{10000}{100} = \\boxed{100}$$\n\n## Sposób 2 - Elegancki: energia kinetyczna wyrażona przez moment pędu \\(E = L^2 / 2I\\)\n\nZe wzoru na moment pędu \\(L = I\\omega\\) wynika:\n\n$$E_{kin} = \\frac{1}{2}I\\omega^2 = \\frac{(I\\omega)^2}{2I} = \\frac{L^2}{2I}$$\n\nPonieważ \\(L = \\text{const}\\) (zachowanie momentu pędu):\n\n$$\\frac{E_{kin1}}{E_{kin10}} = \\frac{L^2/(2I_1)}{L^2/(2I_{10})} = \\frac{I_{10}}{I_1}$$\n\n$$= \\frac{\\frac{2}{5}m(10R_1)^2}{\\frac{2}{5}mR_1^2} = \\frac{100R_1^2}{R_1^2} = \\boxed{100}$$\n\n> Ten sposób jest znacznie krótszy - eliminuje konieczność wyliczania prędkości kątowych. **Polecany na egzaminie** przy braku czasu.\n\n## Sposób 3 - Przez prędkość obrotową (z okresu obrotu)\n\nJeśli zapisujemy \\(\\omega = \\frac{2\\pi}{T}\\), to z zasady zachowania momentu pędu:\n\n$$I_1\\cdot\\frac{2\\pi}{T_1} = I_{10}\\cdot\\frac{2\\pi}{T_{10}}$$\n\n$$\\frac{T_{10}}{T_1} = \\frac{I_{10}}{I_1} = 100 \\quad\\Rightarrow\\quad T_{10} = 100\\,T_1$$\n\n(pulsar obraca się 100 razy wolniej przy 10-krotnie większym promieniu - zgodnie z obserwacjami!)\n\nStosunek energii:\n\n$$\\frac{E_{kin1}}{E_{kin10}} = \\frac{\\frac{1}{2}I_1\\omega_1^2}{\\frac{1}{2}I_{10}\\omega_{10}^2} = \\frac{I_1\\cdot(T_{10}/T_1)^2}{I_{10}} = \\frac{I_1\\cdot 100^2}{100\\,I_1} = \\frac{10000}{100} = \\boxed{100}$$\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Zasady oceniania (zadanie 12.3, 0-2 pkt) - wg oficjalnego klucza CKE:**\n> - **2 pkt** - poprawna metoda obliczenia stosunku energii kinetycznych oraz prawidlowy wynik liczbowy (\\(E_{kin1}/E_{kin10} = 100\\)).\n> - **1 pkt** - wzor na energie kinetyczna ruchu obrotowego dla dwoch sytuacji z zasada zachowania momentu pedu (np. \\(E_{kin} = L^2/2I\\) lub \\(E_{kin} = \\tfrac{1}{2}L\\omega\\)) LUB z relacjami miedzy czestotliwosciami \\(f_1, f_{10}\\) i promieniami \\(R_1, R_{10}\\).\n> - **0 pkt** - brak spelnienia powyzszych kryteriow.\n> - **Uwaga CKE:** poprawne wyprowadzenie zaleznosci \\(E_{kin1}/E_{kin10} = I_{10}/I_1\\) lub \\(=\\omega_1/\\omega_{10}\\) bez koncowego wyniku liczbowego (lub z blednym) - 1 pkt.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów EM2023 - sekcja FIZYKA:**\n>\n> | Wzór | Gdzie w karcie | Zastosowanie |\n> |------|---------------|--------------|\n> | \\(I = \\frac{2}{5}mR^2\\) | Bryły sztywne (moment bezwładności kuli pełnej) | Jądro pulsara jako sfera jednorodna |\n> | \\(L = I\\omega\\) | Dynamika obrotowa | Moment pędu pulsara |\n> | \\(E_{kin} = \\frac{1}{2}I\\omega^2\\) | Energia kinetyczna obrotu | Energia kinetyczna pulsara |\n> | Zasada zachowania momentu pędu | Zasady zachowania | Brak zewnętrznych momentów sił |\n>\n> **Uwaga:** Wzór \\(E = \\frac{L^2}{2I}\\) **nie jest wprost w karcie**, ale wynika z algebraicznego połączenia \\(L = I\\omega\\) i \\(E = \\frac{1}{2}I\\omega^2\\) - można go wywieść w trakcie egzaminu w 2 liniach.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Pułapka 1:** Zastosowanie zasady zachowania energii zamiast zasady zachowania momentu pędu - to błąd! Energia kinetyczna **nie jest zachowana** (zmienia się, właśnie to liczymy; energia pochodzi z energii potencjalnej grawitacji).\n\n> ⚠️ **Pułapka 2:** Zapomnienie, że \\(I \\propto R^2\\), a nie \\(I \\propto R\\). Pomylenie daje wynik 10 zamiast 100 - klasyczny błąd na maturze!\n\n> ⚠️ **Pułapka 3:** Odwrócenie stosunku - wynik \\(\\frac{E_{kin1}}{E_{kin10}} = \\frac{1}{100}\\). Sprawdź intuicją: pulsar jest mniejszy i kręci się szybciej \\(\\Rightarrow\\) ma **więcej** energii kinetycznej, więc stosunek \\(>1\\). Wynik 100 jest fizycznie sensowny.\n\n> ⚠️ **Pułapka 4:** Pominięcie stałej \\(\\frac{2}{5}\\) - jeśli ktoś używa \\(I = mR^2\\) (walec? cienka skorupa?), dostaje ten sam wynik 100 (stała skraca się w ilorazie), więc **wynik jest poprawny nawet bez tej stałej** - ale warto ją zapisać dla pełnej poprawności formalnej i 2 pkt.","image":"img/fizyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-12.3.webp","solution_image":null,"topics":"Bryła Sztywna","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · czerwiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12.3. (0-2)
Wyznacz wartość liczbową stosunku Ekin1 / Ekin10 - energii kinetycznej jądra gwiazdy
w chwili obecnej do energii kinetycznej jądra gwiazdy w chwili, gdy jego promień był
10 razy większy niż obecnie. Wykorzystaj odpowiednie zasady i wzory fizyczne.
Energię kinetyczną określamy w układzie odniesienia, w którym oś obrotu pulsara jest
nieruchoma.
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
12.1. 12.2. 12.3.
Maks. liczba pkt
3
2
2
Uzyskana liczba pkt
MFA_1R

","answer_text_html":"

Zadanie 12.3. (0-2)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
II. Analiza tekstów popularnonaukowych
i ocena ich treści.
IV. Budowa prostych modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk.
Zdający:
2.9) uwzględnia energię kinetyczną ruchu
obrotowego w bilansie energii;
2.8) stosuje zasadę zachowania momentu
pędu do analizy ruchu.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Zasady oceniania
2 pkt - poprawna metoda obliczenia stosunku energii kinetycznych oraz prawidłowy wynik
liczbowy.
1 pkt - wykorzystanie wzoru na energię kinetyczną ruchu obrotowego bryły sztywnej dla
dwóch opisanych sytuacji, łącznie z zastosowaniem zasady zachowania momentu
pędu bryły sztywnej (np. zapis energii kinetycznych w postaci 𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘1 =
𝐿𝐿2
2𝐼𝐼1, 𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘10 =
𝐿𝐿2
2𝐼𝐼10
lub równoważnie 𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘1 =
1
2 𝐿𝐿𝜔𝜔1 , 𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘10 =
1
2 𝐿𝐿𝜔𝜔10 - np. jak w sposobach 1. i 2.)
LUB

\n\n

dwóch opisanych sytuacji, łącznie z zastosowaniem relacji pomiędzy częstotliwościami
𝑓𝑓1 i 𝑓𝑓10 (lub okresami) oraz pomiędzy promieniami 𝑅𝑅1 i 𝑅𝑅10: (np. jak w sposobie 3.).
0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Uwaga dodatkowa
Jeżeli zdający poprawnie wyprowadzi zależność
𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘1
𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘10 =
𝐼𝐼10
𝐼𝐼1 lub
𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘1
𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘10 =
𝜔𝜔1
𝜔𝜔10 i nie zapisze
końcowego wyniku liczbowego (lub poda błędny wynik końcowy) to otrzymuje 1 pkt.
Przykładowe rozwiązanie
Sposób 1.
Wykorzystamy wzór na energię kinetyczną ruchu obrotowego bryły sztywnej w postaci
z momentem pędu 𝐿𝐿 i momentem bezwładności 𝐼𝐼:
𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘= 1
2 𝐼𝐼𝜔𝜔2 oraz 𝐿𝐿= 𝐼𝐼𝐼𝐼 → 𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘= 𝐿𝐿2
2𝐼𝐼
Zapiszemy stosunek energii kinetycznych ruchu obrotowego jądra gwiazdy (z dwóch
opisanych sytuacji), z wykorzystaniem zasady zachowania momentu pędu:
𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘1
𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘10
𝐿𝐿1
2
2𝐼𝐼1
𝐿𝐿10
2
2𝐼𝐼10
oraz 𝐿𝐿1 = 𝐿𝐿10 → 𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘1
𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘10
= 𝐼𝐼10
𝐼𝐼1
= (10𝑅𝑅)2
𝑅𝑅2
= 100
Sposób 2.
Wykorzystamy wzór na energię kinetyczną ruchu obrotowego bryły sztywnej w postaci
z momentem pędu i prędkością kątową:
𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘= 1
2 𝐼𝐼𝜔𝜔2 oraz 𝐿𝐿= 𝐼𝐼𝐼𝐼 → 𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘= 1
2 𝐿𝐿𝐿𝐿
Zapiszemy stosunek energii kinetycznych ruchu obrotowego jądra gwiazdy (z dwóch
opisanych sytuacji), z wykorzystaniem zasady zachowania momentu pędu i wyznaczonego
ilorazu prędkości kątowych:
𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘1
𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘10
1
2 𝐿𝐿1𝜔𝜔1
1
2 𝐿𝐿10𝜔𝜔10
oraz 𝐿𝐿1 = 𝐿𝐿10 → 𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘1
𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘10
= 𝜔𝜔1
𝜔𝜔10
= 100
Sposób 3. Zastosujemy wzór na energię kinetyczną ruchu obrotowego bryły sztywnej, łącznie
z wykorzystaniem relacji pomiędzy częstotliwościami 𝑓𝑓1 i 𝑓𝑓10 oraz promieniami 𝑅𝑅1 i 𝑅𝑅10:
𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘1 = 1
2 𝐼𝐼1𝜔𝜔1
2 𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘10 = 1
2 𝐼𝐼10𝜔𝜔10
2 𝑅𝑅10
𝑅𝑅1
= 10 𝑓𝑓10
𝑓𝑓1
1
100
Zapiszemy i obliczymy stosunek energii kinetycznych:
𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘1
𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘10
1
2 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑅𝑅2(2𝜋𝜋𝑓𝑓1)2
1
2 𝑘𝑘𝑘𝑘(10𝑅𝑅)2(2𝜋𝜋𝑓𝑓10)2
→ 𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘1
𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘10
1
100 ∙൬𝑓𝑓1
𝑓𝑓10
൰
2
1
100 ∙1002 = 100

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

$$\\frac{E_{kin1}}{E_{kin10}} = 100$$

\n

Sposób 1 - Zasada zachowania momentu pędu + definicja energii kinetycznej obrotowej

\n

Krok 1 - Dlaczego stosujemy zasadę zachowania momentu pędu?

\n

Jądro gwiazdy kurczy się pod wpływem sił grawitacyjnych - sił wewnętrznych. Brak zewnętrznych momentów sił, więc moment pędu jest zachowany:

\n

$$L = I\\omega = \\text{const}$$

\n

Krok 2 - Moment bezwładności sfery jednorodnej:

\n

$$I = \\frac{2}{5}mR^2$$

\n

Przyjmijmy oznaczenia:

\n\n

Krok 3 - Z zasady zachowania momentu pędu:

\n

$$I_1\\omega_1 = I_{10}\\omega_{10}$$

\n

$$\\frac{2}{5}mR_1^2\\,\\omega_1 = \\frac{2}{5}m(10R_1)^2\\,\\omega_{10}$$

\n

$$R_1^2\\,\\omega_1 = 100\\,R_1^2\\,\\omega_{10}$$

\n

$$\\boxed{\\omega_1 = 100\\,\\omega_{10}}$$

\n

Krok 4 - Energii kinetyczne:

\n

$$E_{kin1} = \\frac{1}{2}I_1\\omega_1^2 = \\frac{1}{2}\\cdot\\frac{2}{5}mR_1^2\\cdot\\omega_1^2$$

\n

$$E_{kin10} = \\frac{1}{2}I_{10}\\omega_{10}^2 = \\frac{1}{2}\\cdot\\frac{2}{5}m(10R_1)^2\\cdot\\omega_{10}^2$$

\n

Krok 5 - Stosunek:

\n

$$\\frac{E_{kin1}}{E_{kin10}} = \\frac{R_1^2\\,\\omega_1^2}{(10R_1)^2\\,\\omega_{10}^2} = \\frac{R_1^2\\,(100\\,\\omega_{10})^2}{100\\,R_1^2\\,\\omega_{10}^2} = \\frac{10000}{100} = \\boxed{100}$$

\n

Sposób 2 - Elegancki: energia kinetyczna wyrażona przez moment pędu \\(E = L^2 / 2I\\)

\n

Ze wzoru na moment pędu \\(L = I\\omega\\) wynika:

\n

$$E_{kin} = \\frac{1}{2}I\\omega^2 = \\frac{(I\\omega)^2}{2I} = \\frac{L^2}{2I}$$

\n

Ponieważ \\(L = \\text{const}\\) (zachowanie momentu pędu):

\n

$$\\frac{E_{kin1}}{E_{kin10}} = \\frac{L^2/(2I_1)}{L^2/(2I_{10})} = \\frac{I_{10}}{I_1}$$

\n

$$= \\frac{\\frac{2}{5}m(10R_1)^2}{\\frac{2}{5}mR_1^2} = \\frac{100R_1^2}{R_1^2} = \\boxed{100}$$

\n
Ten sposób jest znacznie krótszy - eliminuje konieczność wyliczania prędkości kątowych. Polecany na egzaminie przy braku czasu.
\n

Sposób 3 - Przez prędkość obrotową (z okresu obrotu)

\n

Jeśli zapisujemy \\(\\omega = \\frac{2\\pi}{T}\\), to z zasady zachowania momentu pędu:

\n

$$I_1\\cdot\\frac{2\\pi}{T_1} = I_{10}\\cdot\\frac{2\\pi}{T_{10}}$$

\n

$$\\frac{T_{10}}{T_1} = \\frac{I_{10}}{I_1} = 100 \\quad\\Rightarrow\\quad T_{10} = 100\\,T_1$$

\n

(pulsar obraca się 100 razy wolniej przy 10-krotnie większym promieniu - zgodnie z obserwacjami!)

\n

Stosunek energii:

\n

$$\\frac{E_{kin1}}{E_{kin10}} = \\frac{\\frac{1}{2}I_1\\omega_1^2}{\\frac{1}{2}I_{10}\\omega_{10}^2} = \\frac{I_1\\cdot(T_{10}/T_1)^2}{I_{10}} = \\frac{I_1\\cdot 100^2}{100\\,I_1} = \\frac{10000}{100} = \\boxed{100}$$

\n

Schemat oceniania CKE

\n
📋 Zasady oceniania (zadanie 12.3, 0-2 pkt) - wg oficjalnego klucza CKE:
- 2 pkt - poprawna metoda obliczenia stosunku energii kinetycznych oraz prawidlowy wynik liczbowy (\\(E_{kin1}/E_{kin10} = 100\\)).
- 1 pkt - wzor na energie kinetyczna ruchu obrotowego dla dwoch sytuacji z zasada zachowania momentu pedu (np. \\(E_{kin} = L^2/2I\\) lub \\(E_{kin} = \\tfrac{1}{2}L\\omega\\)) LUB z relacjami miedzy czestotliwosciami \\(f_1, f_{10}\\) i promieniami \\(R_1, R_{10}\\).
- 0 pkt - brak spelnienia powyzszych kryteriow.
- Uwaga CKE: poprawne wyprowadzenie zaleznosci \\(E_{kin1}/E_{kin10} = I_{10}/I_1\\) lub \\(=\\omega_1/\\omega_{10}\\) bez koncowego wyniku liczbowego (lub z blednym) - 1 pkt.
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów EM2023 - sekcja FIZYKA:

| Wzór | Gdzie w karcie | Zastosowanie |
|------|---------------|--------------|
| \\(I = \\frac{2}{5}mR^2\\) | Bryły sztywne (moment bezwładności kuli pełnej) | Jądro pulsara jako sfera jednorodna |
| \\(L = I\\omega\\) | Dynamika obrotowa | Moment pędu pulsara |
| \\(E_{kin} = \\frac{1}{2}I\\omega^2\\) | Energia kinetyczna obrotu | Energia kinetyczna pulsara |
| Zasada zachowania momentu pędu | Zasady zachowania | Brak zewnętrznych momentów sił |

Uwaga: Wzór \\(E = \\frac{L^2}{2I}\\) nie jest wprost w karcie, ale wynika z algebraicznego połączenia \\(L = I\\omega\\) i \\(E = \\frac{1}{2}I\\omega^2\\) - można go wywieść w trakcie egzaminu w 2 liniach.
\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Pułapka 1: Zastosowanie zasady zachowania energii zamiast zasady zachowania momentu pędu - to błąd! Energia kinetyczna nie jest zachowana (zmienia się, właśnie to liczymy; energia pochodzi z energii potencjalnej grawitacji).
\n
⚠️ Pułapka 2: Zapomnienie, że \\(I \\propto R^2\\), a nie \\(I \\propto R\\). Pomylenie daje wynik 10 zamiast 100 - klasyczny błąd na maturze!
\n
⚠️ Pułapka 3: Odwrócenie stosunku - wynik \\(\\frac{E_{kin1}}{E_{kin10}} = \\frac{1}{100}\\). Sprawdź intuicją: pulsar jest mniejszy i kręci się szybciej \\(\\Rightarrow\\) ma więcej energii kinetycznej, więc stosunek \\(>1\\). Wynik 100 jest fizycznie sensowny.
\n
⚠️ Pułapka 4: Pominięcie stałej \\(\\frac{2}{5}\\) - jeśli ktoś używa \\(I = mR^2\\) (walec? cienka skorupa?), dostaje ten sam wynik 100 (stała skraca się w ilorazie), więc wynik jest poprawny nawet bez tej stałej - ale warto ją zapisać dla pełnej poprawności formalnej i 2 pkt.
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$\\dfrac{E_{kin1}}{E_{kin10}} = 100$

"}]}