{"id":"fizyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/13","paper_id":"fizyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"13","points":1,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-1)\nEmisja fotonu przez atom wodoru następuje wtedy, gdy elektron przechodzi z poziomu\nenergetycznego n = a na niższy poziom energetyczny n = b (gdzie a > b). Takie przejście\noznaczymy jako a → b. Rozważmy wybrane przejścia elektronu pomiędzy stanami w atomie\nwodoru:\n3 → 2\n7 → 4\n4 → 3\n4 → 1\nUstal, któremu spośród przedstawionych przejść elektronu pomiędzy stanami w atomie\nwodoru towarzyszy emisja fotonu o największej długości fali. Zapisz to przejście poniżej.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n2.3) (P) opisuje budowę atomu wodoru, stan\npodstawowy i stany wzbudzone;\n2.4) (P) wyjaśnia pojęcie fotonu i jego energii;\n2.5) (P) interpretuje zasadę zachowania energii\nprzy przejściach elektronu między poziomami\nenergetycznymi w atomie z udziałem fotonu.\nZasady oceniania\n1 pkt - poprawna odpowiedź.\n0 pkt - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\n7 → 4","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nPrzejście **\\(7 \\rightarrow 4\\)** - towarzyszy mu emisja fotonu o największej długości fali.\n\n## Sposób 1 - Wzór Rydberga: bezpośrednie obliczenie 1/λ dla każdego przejścia\n\nDługość fali emitowanego fotonu wynika ze wzoru Rydberga-Balmera:\n\n\\[\n\\frac{1}{\\lambda} = R_H \\left(\\frac{1}{b^2} - \\frac{1}{a^2}\\right)\n\\]\n\ngdzie \\(R_H = 1{,}097 \\times 10^7 \\text{ m}^{-1}\\), \\(a > b\\).\n\n**Największa długość fali** ↔ **najmniejsza wartość \\(\\dfrac{1}{\\lambda}\\)** ↔ **najmniejsza wartość \\(\\left(\\dfrac{1}{b^2} - \\dfrac{1}{a^2}\\right)\\)**\n\nObliczam \\(\\Delta = \\dfrac{1}{b^2} - \\dfrac{1}{a^2}\\) dla każdego przejścia:\n\n| Przejście | \\(\\dfrac{1}{b^2}\\) | \\(\\dfrac{1}{a^2}\\) | \\(\\Delta = \\dfrac{1}{b^2} - \\dfrac{1}{a^2}\\) |\n|:---------:|:------------------:|:------------------:|:--------------------------------------------:|\n| \\(3 \\rightarrow 2\\) | \\(\\tfrac{1}{4} = 0{,}2500\\) | \\(\\tfrac{1}{9} = 0{,}1111\\) | **0,1389** |\n| \\(7 \\rightarrow 4\\) | \\(\\tfrac{1}{16} = 0{,}0625\\) | \\(\\tfrac{1}{49} = 0{,}0204\\) | **0,0421** ← minimum |\n| \\(4 \\rightarrow 3\\) | \\(\\tfrac{1}{9} = 0{,}1111\\) | \\(\\tfrac{1}{16} = 0{,}0625\\) | **0,0486** |\n| \\(4 \\rightarrow 1\\) | \\(\\tfrac{1}{1} = 1{,}0000\\) | \\(\\tfrac{1}{16} = 0{,}0625\\) | **0,9375** |\n\nPrzejście \\(7 \\rightarrow 4\\) daje najmniejsze \\(\\Delta\\) → **największą \\(\\lambda\\)**.\n\nDla orientacji:\n\\[\n\\lambda_{7 \\to 4} = \\frac{1}{R_H \\cdot 0{,}0421} = \\frac{1}{1{,}097 \\times 10^7 \\times 0{,}0421} \\approx 2170 \\text{ nm} \\quad (\\text{podczerwień, seria Braketta})\n\\]\n\n## Sposób 2 - Energia poziomów Bohra: szukam najmniejszego skoku energetycznego\n\nW modelu Bohra energia poziomu \\(n\\):\n\\[\nE_n = -\\frac{13{,}6 \\text{ eV}}{n^2}\n\\]\n\nEnergia emitowanego fotonu przy przejściu \\(a \\rightarrow b\\):\n\\[\n\\Delta E = E_b - E_a = 13{,}6 \\left(\\frac{1}{b^2} - \\frac{1}{a^2}\\right) \\text{ eV}\n\\]\n\nPonieważ \\(E = \\dfrac{hc}{\\lambda}\\), mamy \\(\\lambda = \\dfrac{hc}{\\Delta E}\\) - **im mniejsza energia, tym dłuższa fala**.\n\n| Przejście | \\(\\Delta E\\) (eV) | \\(\\lambda \\approx \\dfrac{1240 \\text{ eV·nm}}{\\Delta E}\\) |\n|:---------:|:-----------------:|:--------------------------------------------------------:|\n| \\(3 \\rightarrow 2\\) | \\(13{,}6 \\times \\tfrac{5}{36} \\approx 1{,}89\\) eV | \\(\\approx 656\\) nm (czerwień, seria Balmera) |\n| \\(7 \\rightarrow 4\\) | \\(13{,}6 \\times \\tfrac{33}{784} \\approx 0{,}57\\) eV | \\(\\approx 2170\\) nm ← **max** |\n| \\(4 \\rightarrow 3\\) | \\(13{,}6 \\times \\tfrac{7}{144} \\approx 0{,}66\\) eV | \\(\\approx 1876\\) nm |\n| \\(4 \\rightarrow 1\\) | \\(13{,}6 \\times \\tfrac{15}{16} \\approx 12{,}75\\) eV | \\(\\approx 97\\) nm (UV, seria Lymana) |\n\nPotwierdzenie: **\\(7 \\rightarrow 4\\)** - najmniejsza energia fotonu → najdłuższa fala.\n\n## Sposób 3 - Jakościowe rozumowanie bez rachunków: gdzie elektron \"spada najniżej\"?\n\nKluczowa intuicja fizyczna:\n\n> Im wyżej w hierarchii energetycznej są oba poziomy (b i a) **i** im bliżej siebie, tym **mniejsza różnica energii** → foton bardziej \"czerwony\".\n\nSpójrzmy na serie emisyjne:\n- Przejścia kończące się na \\(n=1\\) → seria **Lymana** → UV (duże energie)\n- Przejścia kończące się na \\(n=2\\) → seria **Balmera** → widzialne\n- Przejścia kończące się na \\(n=3\\) → seria **Paschena** → podczerwień\n- Przejścia kończące się na \\(n=4\\) → seria **Braketta** → głęboka podczerwień\n\nPatrząc na nasze cztery przejścia:\n- \\(4 \\rightarrow 1\\): kończy na poziomie 1 → Lyman → UV → **najkrótsze \\(\\lambda\\)**\n- \\(3 \\rightarrow 2\\): kończy na poziomie 2 → Balmer → \\(\\lambda \\approx 656\\) nm\n- \\(4 \\rightarrow 3\\): kończy na poziomie 3 → Paschen → podczerwień\n- \\(7 \\rightarrow 4\\): kończy na poziomie 4 → **Brackett** → głęboka podczerwień → **najdłuższe \\(\\lambda\\)**\n\nDodatkowo w serii Braketta (\\(b=4\\)) przejście \\(7 \\rightarrow 4\\) jest dalej od progu \\(\\left(\\frac{1}{16}\\right)\\) niż przejście \\(4 \\rightarrow 3\\) z serii Paschena (\\(b=3\\)) jedynie dla bardzo wysokich \\(n\\), ale tu oba to różne serie - Brackett (b=4) leży wyżej energetycznie niż Paschen (b=3) w sensie położenia, więc różnice między sąsiednimi poziomami są tam mniejsze. Porównanie \\(\\Delta\\) w tabeli powyżej potwierdza: \\(0{,}0421 < 0{,}0486\\).\n\n**Wniosek:** \\(7 \\rightarrow 4\\) - seria Braketta, podczerwień \\(\\approx 2170\\) nm.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Zasady oceniania (zadanie 13, 0-1 pkt) - wg oficjalnego klucza CKE:**\n> - **1 pkt** - poprawna odpowiedz: przejscie **7 -> 4**.\n> - **0 pkt** - brak spelnienia powyzszego kryterium.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-20):**\n>\n> **Wzór Rydberga** (emisja/absorpcja w atomie wodoru):\n> \\[\n> \\frac{1}{\\lambda} = R_H\\left(\\frac{1}{b^2} - \\frac{1}{a^2}\\right), \\quad R_H = 1{,}097 \\times 10^7 \\text{ m}^{-1}\n> \\]\n> **Energia poziomów Bohra:**\n> \\[\n> E_n = -\\frac{E_1}{n^2}, \\quad E_1 = 13{,}6 \\text{ eV}\n> \\]\n> **Związek energii fotonu z długością fali:**\n> \\[\n> E = h\\nu = \\frac{hc}{\\lambda}\n> \\]\n>\n> Kluczowa strategia: **nie obliczaj \\(\\lambda\\) wprost** - porównaj mianowniki we wzorze Rydberga. Najmniejsze \\(\\left(\\frac{1}{b^2} - \\frac{1}{a^2}\\right)\\) to największe \\(\\lambda\\). Oszczędzasz czas na egzaminie!\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mylenie \"wysoki poziom energetyczny\" z \"dużą energią fotonu\". Elektron na \\(n=7\\) ma energię **bliższą zeru** (słabiej związany), ale energię fotonu wyznacza **różnica poziomów** - nie ich bezwzględna wartość.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Intuicja \"duże \\(a\\) = duży foton\" jest błędna! Przejście \\(4 \\rightarrow 1\\) (mniejsze \\(a=4\\)) daje DUŻO więcej energii niż \\(7 \\rightarrow 4\\) (większe \\(a=7\\)), bo liczy się **poziom docelowy** \\(b\\) - im niższe \\(b\\), tym głębsza \"otchłań energetyczna\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić długości fali z częstotliwością - zadanie pyta o **największą \\(\\lambda\\)** (nie częstotliwość). \\(\\lambda \\propto \\frac{1}{\\Delta E}\\), więc szukamy **minimum energii**, a nie maksimum.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przejście \\(4 \\rightarrow 3\\) wygląda kusząco (małe \\(\\Delta n = 1\\)), ale \\(7 \\rightarrow 4\\) (\\(\\Delta n = 3\\)!) daje mimo wszystko mniejszą energię - bo oba poziomy leżą wysoko (daleko od jądra, gdzie różnice energetyczne są tiny). Reguła \"\\(\\Delta n = 1\\) = małe \\(\\Delta E\\)\" jest fałszywa dla niskich \\(n\\)!","image":"img/fizyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":"Fizyka współczesna","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · czerwiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 13. (0-1)
Emisja fotonu przez atom wodoru następuje wtedy, gdy elektron przechodzi z poziomu
energetycznego n = a na niższy poziom energetyczny n = b (gdzie a > b). Takie przejście
oznaczymy jako a → b. Rozważmy wybrane przejścia elektronu pomiędzy stanami w atomie
wodoru:
3 → 2
7 → 4
4 → 3
4 → 1
Ustal, któremu spośród przedstawionych przejść elektronu pomiędzy stanami w atomie
wodoru towarzyszy emisja fotonu o największej długości fali. Zapisz to przejście poniżej.

","answer_text_html":"

Zadanie 13. (0-1)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
I. Znajomość i umiejętność
wykorzystania pojęć i praw fizyki
do wyjaśniania procesów i zjawisk
w przyrodzie.
Zdający:
2.3) (P) opisuje budowę atomu wodoru, stan
podstawowy i stany wzbudzone;
2.4) (P) wyjaśnia pojęcie fotonu i jego energii;
2.5) (P) interpretuje zasadę zachowania energii
przy przejściach elektronu między poziomami
energetycznymi w atomie z udziałem fotonu.
Zasady oceniania
1 pkt - poprawna odpowiedź.
0 pkt - brak spełnienia powyższego kryterium.
Poprawna odpowiedź
7 → 4

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

Przejście \\(7 \\rightarrow 4\\) - towarzyszy mu emisja fotonu o największej długości fali.

\n

Sposób 1 - Wzór Rydberga: bezpośrednie obliczenie 1/λ dla każdego przejścia

\n

Długość fali emitowanego fotonu wynika ze wzoru Rydberga-Balmera:

\n

\\[
\\frac{1}{\\lambda} = R_H \\left(\\frac{1}{b^2} - \\frac{1}{a^2}\\right)
\\]

\n

gdzie \\(R_H = 1{,}097 \\times 10^7 \\text{ m}^{-1}\\), \\(a > b\\).

\n

Największa długość fali ↔ najmniejsza wartość \\(\\dfrac{1}{\\lambda}\\) ↔ najmniejsza wartość \\(\\left(\\dfrac{1}{b^2} - \\dfrac{1}{a^2}\\right)\\)

\n

Obliczam \\(\\Delta = \\dfrac{1}{b^2} - \\dfrac{1}{a^2}\\) dla każdego przejścia:

\n
Przejście\\(\\dfrac{1}{b^2}\\)\\(\\dfrac{1}{a^2}\\)\\(\\Delta = \\dfrac{1}{b^2} - \\dfrac{1}{a^2}\\)
\\(3 \\rightarrow 2\\)\\(\\tfrac{1}{4} = 0{,}2500\\)\\(\\tfrac{1}{9} = 0{,}1111\\)0,1389
\\(7 \\rightarrow 4\\)\\(\\tfrac{1}{16} = 0{,}0625\\)\\(\\tfrac{1}{49} = 0{,}0204\\)0,0421 ← minimum
\\(4 \\rightarrow 3\\)\\(\\tfrac{1}{9} = 0{,}1111\\)\\(\\tfrac{1}{16} = 0{,}0625\\)0,0486
\\(4 \\rightarrow 1\\)\\(\\tfrac{1}{1} = 1{,}0000\\)\\(\\tfrac{1}{16} = 0{,}0625\\)0,9375
\n

Przejście \\(7 \\rightarrow 4\\) daje najmniejsze \\(\\Delta\\) → największą \\(\\lambda\\).

\n

Dla orientacji:
\\[
\\lambda_{7 \\to 4} = \\frac{1}{R_H \\cdot 0{,}0421} = \\frac{1}{1{,}097 \\times 10^7 \\times 0{,}0421} \\approx 2170 \\text{ nm} \\quad (\\text{podczerwień, seria Braketta})
\\]

\n

Sposób 2 - Energia poziomów Bohra: szukam najmniejszego skoku energetycznego

\n

W modelu Bohra energia poziomu \\(n\\):
\\[
E_n = -\\frac{13{,}6 \\text{ eV}}{n^2}
\\]

\n

Energia emitowanego fotonu przy przejściu \\(a \\rightarrow b\\):
\\[
\\Delta E = E_b - E_a = 13{,}6 \\left(\\frac{1}{b^2} - \\frac{1}{a^2}\\right) \\text{ eV}
\\]

\n

Ponieważ \\(E = \\dfrac{hc}{\\lambda}\\), mamy \\(\\lambda = \\dfrac{hc}{\\Delta E}\\) - im mniejsza energia, tym dłuższa fala.

\n
Przejście\\(\\Delta E\\) (eV)\\(\\lambda \\approx \\dfrac{1240 \\text{ eV·nm}}{\\Delta E}\\)
\\(3 \\rightarrow 2\\)\\(13{,}6 \\times \\tfrac{5}{36} \\approx 1{,}89\\) eV\\(\\approx 656\\) nm (czerwień, seria Balmera)
\\(7 \\rightarrow 4\\)\\(13{,}6 \\times \\tfrac{33}{784} \\approx 0{,}57\\) eV\\(\\approx 2170\\) nm ← max
\\(4 \\rightarrow 3\\)\\(13{,}6 \\times \\tfrac{7}{144} \\approx 0{,}66\\) eV\\(\\approx 1876\\) nm
\\(4 \\rightarrow 1\\)\\(13{,}6 \\times \\tfrac{15}{16} \\approx 12{,}75\\) eV\\(\\approx 97\\) nm (UV, seria Lymana)
\n

Potwierdzenie: \\(7 \\rightarrow 4\\) - najmniejsza energia fotonu → najdłuższa fala.

\n

Sposób 3 - Jakościowe rozumowanie bez rachunków: gdzie elektron "spada najniżej"?

\n

Kluczowa intuicja fizyczna:

\n
Im wyżej w hierarchii energetycznej są oba poziomy (b i a) i im bliżej siebie, tym mniejsza różnica energii → foton bardziej "czerwony".
\n

Spójrzmy na serie emisyjne:

\n\n

Patrząc na nasze cztery przejścia:

\n\n

Dodatkowo w serii Braketta (\\(b=4\\)) przejście \\(7 \\rightarrow 4\\) jest dalej od progu \\(\\left(\\frac{1}{16}\\right)\\) niż przejście \\(4 \\rightarrow 3\\) z serii Paschena (\\(b=3\\)) jedynie dla bardzo wysokich \\(n\\), ale tu oba to różne serie - Brackett (b=4) leży wyżej energetycznie niż Paschen (b=3) w sensie położenia, więc różnice między sąsiednimi poziomami są tam mniejsze. Porównanie \\(\\Delta\\) w tabeli powyżej potwierdza: \\(0{,}0421 < 0{,}0486\\).

\n

Wniosek: \\(7 \\rightarrow 4\\) - seria Braketta, podczerwień \\(\\approx 2170\\) nm.

\n

Schemat oceniania CKE

\n
📋 Zasady oceniania (zadanie 13, 0-1 pkt) - wg oficjalnego klucza CKE:
- 1 pkt - poprawna odpowiedz: przejscie 7 -> 4.
- 0 pkt - brak spelnienia powyzszego kryterium.
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-20):

Wzór Rydberga (emisja/absorpcja w atomie wodoru):
\\[
\\frac{1}{\\lambda} = R_H\\left(\\frac{1}{b^2} - \\frac{1}{a^2}\\right), \\quad R_H = 1{,}097 \\times 10^7 \\text{ m}^{-1}
\\]
Energia poziomów Bohra:
\\[
E_n = -\\frac{E_1}{n^2}, \\quad E_1 = 13{,}6 \\text{ eV}
\\]
Związek energii fotonu z długością fali:
\\[
E = h\\nu = \\frac{hc}{\\lambda}
\\]

Kluczowa strategia: nie obliczaj \\(\\lambda\\) wprost - porównaj mianowniki we wzorze Rydberga. Najmniejsze \\(\\left(\\frac{1}{b^2} - \\frac{1}{a^2}\\right)\\) to największe \\(\\lambda\\). Oszczędzasz czas na egzaminie!
\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Mylenie "wysoki poziom energetyczny" z "dużą energią fotonu". Elektron na \\(n=7\\) ma energię bliższą zeru (słabiej związany), ale energię fotonu wyznacza różnica poziomów - nie ich bezwzględna wartość.
\n
⚠️ Uwaga: Intuicja "duże \\(a\\) = duży foton" jest błędna! Przejście \\(4 \\rightarrow 1\\) (mniejsze \\(a=4\\)) daje DUŻO więcej energii niż \\(7 \\rightarrow 4\\) (większe \\(a=7\\)), bo liczy się poziom docelowy \\(b\\) - im niższe \\(b\\), tym głębsza "otchłań energetyczna".
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić długości fali z częstotliwością - zadanie pyta o największą \\(\\lambda\\) (nie częstotliwość). \\(\\lambda \\propto \\frac{1}{\\Delta E}\\), więc szukamy minimum energii, a nie maksimum.
\n
⚠️ Uwaga: Przejście \\(4 \\rightarrow 3\\) wygląda kusząco (małe \\(\\Delta n = 1\\)), ale \\(7 \\rightarrow 4\\) (\\(\\Delta n = 3\\)!) daje mimo wszystko mniejszą energię - bo oba poziomy leżą wysoko (daleko od jądra, gdzie różnice energetyczne są tiny). Reguła "\\(\\Delta n = 1\\) = małe \\(\\Delta E\\)" jest fałszywa dla niskich \\(n\\)!
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

7 $\\rightarrow$ 4

"}]}