Zadanie 4.1. (0-2)
Na rysunku 1. narysuj Eሬሬ⃗A - wektor wypadkowego natężenia pola elektrycznego
w punkcie A. Zapisz wzór pozwalający wyznaczyć wartość EA tego wektora tylko poprzez
q, a oraz przez odpowiednie stałe fizyczne.
Zadanie 4.1. (0-2)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Wykorzystanie i przetwarzanie
informacji zapisanych w postaci tekstu,
[…], schematów i rysunków.
Zdający:
7.2) posługuje się pojęciem natężenia pola
elektrostatycznego;
7.3) oblicza natężenie pola centralnego
pochodzącego od jednego ładunku
punktowego;
1.1) rozróżnia wielkości wektorowe od
skalarnych; wykonuje działania na wektorach
(dodawanie […]).
Zasady oceniania
2 pkt - poprawne narysowanie wektora 𝐸𝐸ሬ⃗𝐴𝐴 w punkcie A oraz poprawne zapisanie wzoru na
wartość wektora 𝐸𝐸ሬ⃗𝐴𝐴 (wyrażonego tylko za pomocą odpowiednich stałych oraz 𝑎𝑎 i 𝑞𝑞).
1 pkt - poprawne narysowanie wektora 𝐸𝐸ሬ⃗𝐴𝐴 w punkcie A: wektor musi leżeć na przedłużeniu
wysokości 𝑞𝑞A i mieć odpowiedni zwrot (jak na rysunku w rozwiązaniu)
LUB
0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Przykładowe rozwiązanie
Wysokość trójkąta oznaczymy jako h. Wtedy:
𝐸𝐸𝐴𝐴= 𝑘𝑘𝑘𝑘
ℎ2
𝐸𝐸𝐴𝐴=
𝑘𝑘𝑘𝑘
ቆ√3
2 𝑎𝑎ቇ
2
𝐸𝐸𝐴𝐴= 4
3
𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑎𝑎2
Kierunek $\\vec{E}_A$: prostopadle do boku $QQ$, skierowany na zewnątrz trójkąta (w kierunku od ładunku $q$).
\nWzór na wartość:
\\[
\\boxed{E_A = \\frac{q}{3\\pi\\varepsilon_0\\, a^2}}
\\]
Krok 1: Pola od dwóch ładunków Q wzajemnie się znoszą.
\nPunkt $A$ jest środkiem odcinka łączącego oba wierzchołki z ładunkami $Q$. Każdy ładunek $Q$ jest więc od punktu $A$ oddalony o $\\frac{a}{2}$.
\nPola elektryczne od obu ładunków $Q$ w punkcie $A$:
\\[
E_{Q_1} = E_{Q_2} = \\frac{1}{4\\pi\\varepsilon_0}\\cdot\\frac{Q}{(a/2)^2} = \\frac{4Q}{4\\pi\\varepsilon_0\\, a^2}
\\]
są równe co do wartości i skierowane wzdłuż boku $QQ$, ale w przeciwnych kierunkach (jeden ładunek $Q$ przyciąga pole „ku górze" wzdłuż boku, drugi „ku dołowi"). Wypadkowa składowa od obu ładunków $Q$:
\\[
\\vec{E}{Q_1} + \\vec{E}{Q_2} = \\vec{0}
\\]
Krok 2: Wyznaczenie odległości $d_{qA}$.
\nTrójkąt równoboczny - w trójkącie równobocznym wysokość z każdego wierzchołka opada prostopadle na środek przeciwległego boku. Punkt $A$ jest zatem stopą wysokości opuszczonej z wierzchołka $q$.
\nOdległość od $q$ do $A$ to właśnie wysokość trójkąta równobocznego o boku $a$:
\\[
d_{qA} = h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}
\\]
Weryfikacja analityczna: przy $q$ w $(a, 0)$ i $A$ w $\\left(\\tfrac{a}{4}, \\tfrac{a\\sqrt{3}}{4}\\right)$:
\\[
d_{qA} = \\sqrt{\\left(\\frac{3a}{4}\\right)^2 + \\left(\\frac{a\\sqrt{3}}{4}\\right)^2}
= \\sqrt{\\frac{9a^2}{16} + \\frac{3a^2}{16}}
= \\sqrt{\\frac{12a^2}{16}}
= \\frac{a\\sqrt{3}}{2} \\checkmark
\\]
Krok 3: Pole od ładunku $q$ w punkcie $A$.
\n\\[
E_A = \\frac{1}{4\\pi\\varepsilon_0}\\cdot\\frac{q}{d_{qA}^2}
= \\frac{1}{4\\pi\\varepsilon_0}\\cdot\\frac{q}{\\left(\\dfrac{a\\sqrt{3}}{2}\\right)^2}
= \\frac{1}{4\\pi\\varepsilon_0}\\cdot\\frac{q}{\\dfrac{3a^2}{4}}
= \\frac{1}{4\\pi\\varepsilon_0}\\cdot\\frac{4q}{3a^2}
= \\frac{q}{3\\pi\\varepsilon_0\\, a^2}
\\]
Krok 4: Kierunek $\\vec{E}_A$.
\nPole od $q$ w punkcie $A$ jest skierowane od ładunku $q$ ku punktowi $A$ i dalej (ładunek dodatni - pole „odpycha"). Ponieważ odcinek $qA$ jest wysokością trójkąta, a więc prostopadły do boku $QQ$, wektor $\\vec{E}_A$ jest prostopadły do boku $QQ$, skierowany na zewnątrz trójkąta (od strony $q$).
\nPrzyjmijmy układ współrzędnych:
| Punkt | Położenie |
| $Q_1$ (lewy dolny) | $(0,\\;0)$ |
| $q$ (prawy dolny) | $(a,\\;0)$ |
| $Q_2$ (górny) | $\\left(\\tfrac{a}{2},\\;\\tfrac{a\\sqrt{3}}{2}\\right)$ |
| $A$ (środek boku $Q_1Q_2$) | $\\left(\\tfrac{a}{4},\\;\\tfrac{a\\sqrt{3}}{4}\\right)$ |
Pole od $Q_1$ w punkcie $A$:
\nWektor $\\overrightarrow{Q_1 A} = \\left(\\tfrac{a}{4},\\,\\tfrac{a\\sqrt{3}}{4}\\right)$, $|\\overrightarrow{Q_1 A}| = \\tfrac{a}{2}$
\n\\[
\\vec{E}{Q_1} = \\frac{Q}{4\\pi\\varepsilon_0(a/2)^2}\\cdot\\hat{r}{Q_1\\to A}
= \\frac{4Q}{4\\pi\\varepsilon_0 a^2}\\cdot\\left(\\frac{1}{2},\\,\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)
\\]
Pole od $Q_2$ w punkcie $A$:
\nWektor $\\overrightarrow{Q_2 A} = \\left(-\\tfrac{a}{4},\\,-\\tfrac{a\\sqrt{3}}{4}\\right)$, $|\\overrightarrow{Q_2 A}| = \\tfrac{a}{2}$
\n\\[
\\vec{E}_{Q_2} = \\frac{4Q}{4\\pi\\varepsilon_0 a^2}\\cdot\\left(-\\frac{1}{2},\\,-\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)
\\]
Suma: $\\vec{E}{Q_1} + \\vec{E}{Q_2} = \\vec{0}$ - potwierdzenie znoszenia się.
\nPole od $q$ w punkcie $A$:
\nWektor $\\overrightarrow{q A} = \\left(-\\tfrac{3a}{4},\\,\\tfrac{a\\sqrt{3}}{4}\\right)$, $|\\overrightarrow{q A}| = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{2}$
\nWersor: $\\hat{r}_{q\\to A} = \\dfrac{\\left(-\\tfrac{3a}{4},\\,\\tfrac{a\\sqrt{3}}{4}\\right)}{\\tfrac{a\\sqrt{3}}{2}} = \\left(-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2},\\,\\dfrac{1}{2}\\right)$
\nSprawdzenie prostopadłości do boku $Q_1Q_2$: wektor $\\overrightarrow{Q_1Q_2} = \\left(\\tfrac{1}{2}, \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\right)$
\\[
\\hat{r}_{q\\to A}\\cdot\\overrightarrow{Q_1Q_2} = \\left(-\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)\\!\\cdot\\frac{1}{2} + \\frac{1}{2}\\cdot\\frac{\\sqrt{3}}{2} = -\\frac{\\sqrt{3}}{4}+\\frac{\\sqrt{3}}{4} = 0 \\checkmark
\\]
Wartość pola:
\\[
E_A = \\frac{q}{4\\pi\\varepsilon_0\\cdot\\frac{3a^2}{4}} = \\frac{q}{3\\pi\\varepsilon_0 a^2}
\\]
Spostrzeżenie: W trójkącie równobocznym wysokość z wierzchołka opada prostopadle na środek przeciwległego boku.\n
\\[
E_A = \\frac{1}{4\\pi\\varepsilon_0}\\cdot\\frac{q}{\\left(\\dfrac{a\\sqrt{3}}{2}\\right)^2} = \\frac{q}{3\\pi\\varepsilon_0 a^2}
\\]
📋 Zasady oceniania (zadanie 4.1, 0-2 pkt) - wg oficjalnego klucza CKE:\n
- 2 pkt - poprawne narysowanie wektora \\(E_A\\) w punkcie \\(A\\) oraz poprawne zapisanie wzoru na wartosc \\(E_A\\) (tylko przez stale oraz \\(a\\) i \\(q\\)).
- 1 pkt - poprawne narysowanie wektora \\(E_A\\) (na przedluzeniu wysokosci \\(qA\\), z wlasciwym zwrotem) LUB poprawne zapisanie wzoru na wartosc \\(E_A\\).
- 0 pkt - brak spelnienia powyzszych kryteriow.
📖 Karta wzorów CKE - Fizyka, sekcja Elektryczność:\n
Natężenie pola elektrycznego ładunku punktowego:
\\[E = \\frac{1}{4\\pi\\varepsilon_0}\\cdot\\frac{Q}{r^2} = k\\cdot\\frac{Q}{r^2}\\]
gdzie $k = \\frac{1}{4\\pi\\varepsilon_0} \\approx 9{,}0 \\times 10^9\\ \\text{N·m}^2/\\text{C}^2$
Zasada superpozycji: $\\vec{E} = \\vec{E}_1 + \\vec{E}_2 + \\vec{E}_3$
Użyliśmy: wzór na pole ładunku punktowego (trzy razy, dla każdego ładunku) + zasada superpozycji wektorowej.
⚠️ Uwaga: Nie wolno zapomnieć o ładunkach $Q$ - fakt, że ich wkład wynosi zero, musi wynikać z rozwiązania, nie może być pominięty milcząco. Zaznaczenie samego pola od $q$ bez uzasadnienia zerowania się pól $Q$ grozi utratą punktu za rozumowanie.\n
⚠️ Uwaga: Odległość $qA = h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}$ to wysokość trójkąta, nie bok $a$ ani połowa boku. Typowy błąd: podstawienie $r = a$ zamiast $r = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}$.\n
⚠️ Uwaga: Kierunek wektora - pole od ładunku dodatniego skierowane jest od ładunku, czyli od $q$ na zewnątrz trójkąta. Pomylenie zwrotu skutkuje utratą punktu za rysunek.\n
⚠️ Uwaga: W zadaniu wymaga się wzoru z tylko $q$, $a$ i stałymi - wzór z $Q$ jest błędny, bo $Q$ musi się wyzerować."}]}