{"id":"fizyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/4.2","paper_id":"fizyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"4.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"fizyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4.2. (0-1)\nKażdy z boków trójkąta równobocznego zmniejszono dwa razy.\nW odpowiednich wierzchołkach nowego trójkąta umieszczono te\nsame ładunki co poprzednio (zobacz rysunek 2.). Punkt S’ jest\npunktem przecięcia się wysokości tego trójkąta.\nZaznacz poprawne dokończenie zdania wybrane spośród A-D.\nWartość wypadkowego natężenia pola elektrycznego w punkcie S’,\nw sytuacji przedstawionej na rysunku 2., w porównaniu do\nwartości natężenia pola w punkcie S, w sytuacji przedstawionej na\nrysunku 1., jest\nA. dwa razy mniejsza.\nB. dwa razy większa.\nC. cztery razy mniejsza.\nD. cztery razy większa.\nQ\nS\nA\nq\nQ +\na\nRysunek 1.\nRysunek 2.\n+ Q\nS’\nq\nQ\na/2\nMFA_1R","answer":"D","answer_text":"Zadanie 4.2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n7.2) posługuje się pojęciem natężenia pola\nelektrostatycznego;\n7.3) oblicza natężenie pola centralnego\npochodzącego od jednego ładunku\npunktowego;\n7.4) analizuje jakościowo pole pochodzące od\nukładu ładunków.\nZasady oceniania\n1 pkt - poprawna odpowiedź.\n0 pkt - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n**D - czterokrotnie większa**\n\n\\( E_{S'} = 4 \\cdot E_S \\)\n\n## Sposób 1 - Skalowanie odległości i prawo Coulomba\n\n**Krok 1: Odległość od wierzchołka do środka ciężkości trójkąta równobocznego.**\n\nDla trójkąta równobocznego o boku \\(a\\):\n\n\\[\nh = \\frac{a\\sqrt{3}}{2} \\quad \\Rightarrow \\quad r = \\frac{2}{3}h = \\frac{2}{3} \\cdot \\frac{a\\sqrt{3}}{2} = \\frac{a}{\\sqrt{3}}\n\\]\n\nDla trójkąta o boku \\(\\dfrac{a}{2}\\):\n\n\\[\nr' = \\frac{a/2}{\\sqrt{3}} = \\frac{r}{2}\n\\]\n\n**Krok 2: Natężenie pola od każdego ładunku.**\n\nNatężenie pola od jednego ładunku \\(Q_i\\) w odległości \\(r_i\\):\n\n\\[\nE_i = k\\frac{Q_i}{r_i^2}\n\\]\n\nPo przejściu od \\(r\\) do \\(r' = \\dfrac{r}{2}\\):\n\n\\[\nE_i' = k\\frac{Q_i}{(r/2)^2} = k\\frac{Q_i}{r^2/4} = 4 \\cdot k\\frac{Q_i}{r^2} = 4E_i\n\\]\n\n**Krok 3: Wypadkowe natężenie pola - superpozycja.**\n\nWypadkowe natężenie w punkcie \\(S\\):\n\n\\[\n\\vec{E}_S = \\vec{E}_1 + \\vec{E}_2 + \\vec{E}_3\n\\]\n\nKażde \\(\\vec{E}_i\\) ma określoną wielkość i kierunek wynikający z geometrii. Po przeskalowaniu boku przez 2, **geometria trójkąta jest identyczna** (proporcje i kąty niezmienione), więc **kierunki wektorów składowych są takie same** - zmienia się tylko moduł każdego składnika.\n\n\\[\n\\vec{E}_{S'} = 4\\vec{E}_1 + 4\\vec{E}_2 + 4\\vec{E}_3 = 4\\left(\\vec{E}_1 + \\vec{E}_2 + \\vec{E}_3\\right) = 4\\vec{E}_S\n\\]\n\n\\[\n\\boxed{E_{S'} = 4\\,E_S}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Analiza wymiarowa / skalowanie podobieństwa\n\n**Pole elektryczne jest skalarne z punktu widzenia wymiarów:**\n\n\\[\nE \\propto \\frac{Q}{r^2}\n\\]\n\nŁadunki \\(Q, Q, q\\) - **niezmienione**. Boki zmniejszone 2-krotnie → wszystkie odległości (w tym \\(r\\)) zmniejszone **2-krotnie**.\n\n\\[\n\\frac{E_{S'}}{E_S} = \\frac{1/r'^2}{1/r^2} = \\frac{r^2}{r'^2} = \\frac{r^2}{(r/2)^2} = \\frac{r^2}{r^2/4} = 4\n\\]\n\nPonieważ konfiguracja jest **geometrycznie podobna** (te same ładunki, te same kąty), superpozycja zachowuje się identycznie - skalowanie przez 4 działa na wypadkową.\n\n\\[\n\\boxed{E_{S'} = 4\\,E_S}\n\\]\n\n## Sposób 3 - Rachunkowy, przez konkretne wartości\n\nPrzyjmij \\(a = 2\\text{ m}\\), \\(Q_1 = Q_2 = Q\\), \\(Q_3 = q\\).\n\n**Trójkąt 1 (bok \\(a = 2\\)):**\n\n\\[\nr = \\frac{a}{\\sqrt{3}} = \\frac{2}{\\sqrt{3}}\n\\]\n\nSkładowe \\(x\\) i \\(y\\) każdego pola - przez symetrię: komponenty od \\(Q\\) i \\(Q\\) w poziomie znoszą się, wypadkowa jest wzdłuż osi symetrii. Wypadkowe natężenie jest pewną wartością \\(E_S\\).\n\n**Trójkąt 2 (bok \\(a/2 = 1\\)):**\n\n\\[\nr' = \\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{r}{2}\n\\]\n\nKażde \\(E_i\\) wzrasta 4-krotnie (bo \\(r\\) zmalało 2-krotnie), kierunki niezmienione.\n\n\\[\nE_{S'} = 4 E_S \\quad \\checkmark\n\\]\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Zasady oceniania (zadanie 4.2, 0-1 pkt) - wg oficjalnego klucza CKE:**\n> - **1 pkt** - poprawna odpowiedz: **D** (cztery razy wieksza).\n> - **0 pkt** - brak spelnienia powyzszego kryterium.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów EM2023 - sekcja FIZYKA, pole elektryczne:**\n>\n> \\[\n> E = k\\frac{Q}{r^2} = \\frac{1}{4\\pi\\varepsilon_0}\\frac{Q}{r^2}\n> \\]\n>\n> Zasada superpozycji: \\(\\vec{E} = \\vec{E}_1 + \\vec{E}_2 + \\ldots + \\vec{E}_n\\)\n>\n> Kluczowe: jeśli **wszystkie odległości** w układzie zmaleją \\(n\\)-krotnie, a **ładunki** pozostają niezmienione, to wypadkowe natężenie pola wzrośnie \\(n^2\\)-krotnie.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Wariant | Treść (typowy schemat CKE) | Typowy błąd prowadzący ucznia |\n| **A** | dwukrotnie mniejsza | Uczeń myśli: \"boki zmniejszyły się 2×, więc E maleje 2×\" - pomija, że \\(E \\propto 1/r^2\\) |\n| **B** | dwukrotnie większa | Uczeń stosuje \\(E \\propto 1/r\\) zamiast \\(E \\propto 1/r^2\\) - błąd potęgi |\n| **C** | czterokrotnie mniejsza | Uczeń poprawnie liczy potęgę (\\(\\times 4\\)), ale odwraca zależność - myśli, że mniejsze \\(r\\) = mniejsze \\(E\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Natężenie pola elektrycznego \\(E \\propto 1/r^2\\) - **kwadrat odległości**. Dwukrotne zmniejszenie odległości daje **czterokrotny** wzrost, nie dwukrotny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W punkcie S (i S') pole wypadkowe **może być niezerowe** (zależy od wartości Q i q). Kluczem jest tu **stosunek** \\(E_{S'}/E_S\\) - bez względu na to czy \\(E_S = 0\\) czy nie. Jeśli \\(E_S = 0\\), to \\(E_{S'} = 4 \\cdot 0 = 0\\) - i to też jest spójne z odpowiedzią D (0 = 4×0).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Superpozycja jest wektorowa - skoro geometria podobna, kierunki składowych są identyczne, więc skalowanie przez 4 przechodzi na wypadkową bez żadnych poprawek kątowych.","image":"img/fizyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-4.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · czerwiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 4.2. (0-1)
Każdy z boków trójkąta równobocznego zmniejszono dwa razy.
W odpowiednich wierzchołkach nowego trójkąta umieszczono te
same ładunki co poprzednio (zobacz rysunek 2.). Punkt S’ jest
punktem przecięcia się wysokości tego trójkąta.
Zaznacz poprawne dokończenie zdania wybrane spośród A-D.
Wartość wypadkowego natężenia pola elektrycznego w punkcie S’,
w sytuacji przedstawionej na rysunku 2., w porównaniu do
wartości natężenia pola w punkcie S, w sytuacji przedstawionej na
rysunku 1., jest
A. dwa razy mniejsza.
B. dwa razy większa.
C. cztery razy mniejsza.
D. cztery razy większa.
Q
S
A
q
Q +
a
Rysunek 1.
Rysunek 2.

\n\n

S’
q
Q
a/2
MFA_1R

","answer_text_html":"

Zadanie 4.2. (0-1)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
I. Znajomość i umiejętność
wykorzystania pojęć i praw fizyki
do wyjaśniania procesów i zjawisk
w przyrodzie.
Zdający:
7.2) posługuje się pojęciem natężenia pola
elektrostatycznego;
7.3) oblicza natężenie pola centralnego
pochodzącego od jednego ładunku
punktowego;
7.4) analizuje jakościowo pole pochodzące od
układu ładunków.
Zasady oceniania
1 pkt - poprawna odpowiedź.
0 pkt - brak spełnienia powyższego kryterium.
Poprawna odpowiedź
D

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

D - czterokrotnie większa

\n

\\( E_{S'} = 4 \\cdot E_S \\)

\n

Sposób 1 - Skalowanie odległości i prawo Coulomba

\n

Krok 1: Odległość od wierzchołka do środka ciężkości trójkąta równobocznego.

\n

Dla trójkąta równobocznego o boku \\(a\\):

\n

\\[
h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2} \\quad \\Rightarrow \\quad r = \\frac{2}{3}h = \\frac{2}{3} \\cdot \\frac{a\\sqrt{3}}{2} = \\frac{a}{\\sqrt{3}}
\\]

\n

Dla trójkąta o boku \\(\\dfrac{a}{2}\\):

\n

\\[
r' = \\frac{a/2}{\\sqrt{3}} = \\frac{r}{2}
\\]

\n

Krok 2: Natężenie pola od każdego ładunku.

\n

Natężenie pola od jednego ładunku \\(Q_i\\) w odległości \\(r_i\\):

\n

\\[
E_i = k\\frac{Q_i}{r_i^2}
\\]

\n

Po przejściu od \\(r\\) do \\(r' = \\dfrac{r}{2}\\):

\n

\\[
E_i' = k\\frac{Q_i}{(r/2)^2} = k\\frac{Q_i}{r^2/4} = 4 \\cdot k\\frac{Q_i}{r^2} = 4E_i
\\]

\n

Krok 3: Wypadkowe natężenie pola - superpozycja.

\n

Wypadkowe natężenie w punkcie \\(S\\):

\n

\\[
\\vec{E}_S = \\vec{E}_1 + \\vec{E}_2 + \\vec{E}_3
\\]

\n

Każde \\(\\vec{E}_i\\) ma określoną wielkość i kierunek wynikający z geometrii. Po przeskalowaniu boku przez 2, geometria trójkąta jest identyczna (proporcje i kąty niezmienione), więc kierunki wektorów składowych są takie same - zmienia się tylko moduł każdego składnika.

\n

\\[
\\vec{E}_{S'} = 4\\vec{E}_1 + 4\\vec{E}_2 + 4\\vec{E}_3 = 4\\left(\\vec{E}_1 + \\vec{E}_2 + \\vec{E}_3\\right) = 4\\vec{E}_S
\\]

\n

\\[
\\boxed{E_{S'} = 4\\,E_S}
\\]

\n

Sposób 2 - Analiza wymiarowa / skalowanie podobieństwa

\n

Pole elektryczne jest skalarne z punktu widzenia wymiarów:

\n

\\[
E \\propto \\frac{Q}{r^2}
\\]

\n

Ładunki \\(Q, Q, q\\) - niezmienione. Boki zmniejszone 2-krotnie → wszystkie odległości (w tym \\(r\\)) zmniejszone 2-krotnie.

\n

\\[
\\frac{E_{S'}}{E_S} = \\frac{1/r'^2}{1/r^2} = \\frac{r^2}{r'^2} = \\frac{r^2}{(r/2)^2} = \\frac{r^2}{r^2/4} = 4
\\]

\n

Ponieważ konfiguracja jest geometrycznie podobna (te same ładunki, te same kąty), superpozycja zachowuje się identycznie - skalowanie przez 4 działa na wypadkową.

\n

\\[
\\boxed{E_{S'} = 4\\,E_S}
\\]

\n

Sposób 3 - Rachunkowy, przez konkretne wartości

\n

Przyjmij \\(a = 2\\text{ m}\\), \\(Q_1 = Q_2 = Q\\), \\(Q_3 = q\\).

\n

Trójkąt 1 (bok \\(a = 2\\)):

\n

\\[
r = \\frac{a}{\\sqrt{3}} = \\frac{2}{\\sqrt{3}}
\\]

\n

Składowe \\(x\\) i \\(y\\) każdego pola - przez symetrię: komponenty od \\(Q\\) i \\(Q\\) w poziomie znoszą się, wypadkowa jest wzdłuż osi symetrii. Wypadkowe natężenie jest pewną wartością \\(E_S\\).

\n

Trójkąt 2 (bok \\(a/2 = 1\\)):

\n

\\[
r' = \\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{r}{2}
\\]

\n

Każde \\(E_i\\) wzrasta 4-krotnie (bo \\(r\\) zmalało 2-krotnie), kierunki niezmienione.

\n

\\[
E_{S'} = 4 E_S \\quad \\checkmark
\\]

\n

Schemat oceniania CKE

\n
📋 Zasady oceniania (zadanie 4.2, 0-1 pkt) - wg oficjalnego klucza CKE:
- 1 pkt - poprawna odpowiedz: D (cztery razy wieksza).
- 0 pkt - brak spelnienia powyzszego kryterium.
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów EM2023 - sekcja FIZYKA, pole elektryczne:

\\[
E = k\\frac{Q}{r^2} = \\frac{1}{4\\pi\\varepsilon_0}\\frac{Q}{r^2}
\\]

Zasada superpozycji: \\(\\vec{E} = \\vec{E}_1 + \\vec{E}_2 + \\ldots + \\vec{E}_n\\)

Kluczowe: jeśli wszystkie odległości w układzie zmaleją \\(n\\)-krotnie, a ładunki pozostają niezmienione, to wypadkowe natężenie pola wzrośnie \\(n^2\\)-krotnie.
\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Wariant | Treść (typowy schemat CKE) | Typowy błąd prowadzący ucznia |
| A | dwukrotnie mniejsza | Uczeń myśli: "boki zmniejszyły się 2×, więc E maleje 2×" - pomija, że \\(E \\propto 1/r^2\\) |
| B | dwukrotnie większa | Uczeń stosuje \\(E \\propto 1/r\\) zamiast \\(E \\propto 1/r^2\\) - błąd potęgi |
| C | czterokrotnie mniejsza | Uczeń poprawnie liczy potęgę (\\(\\times 4\\)), ale odwraca zależność - myśli, że mniejsze \\(r\\) = mniejsze \\(E\\) |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Natężenie pola elektrycznego \\(E \\propto 1/r^2\\) - kwadrat odległości. Dwukrotne zmniejszenie odległości daje czterokrotny wzrost, nie dwukrotny.
\n
⚠️ Uwaga: W punkcie S (i S') pole wypadkowe może być niezerowe (zależy od wartości Q i q). Kluczem jest tu stosunek \\(E_{S'}/E_S\\) - bez względu na to czy \\(E_S = 0\\) czy nie. Jeśli \\(E_S = 0\\), to \\(E_{S'} = 4 \\cdot 0 = 0\\) - i to też jest spójne z odpowiedzią D (0 = 4×0).
\n
⚠️ Uwaga: Superpozycja jest wektorowa - skoro geometria podobna, kierunki składowych są identyczne, więc skalowanie przez 4 przechodzi na wypadkową bez żadnych poprawek kątowych.
"}]}