{"id":"fizyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"fizyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6.\nSilnik cieplny to urządzenie działające cyklicznie, które w wyniku wymiany ciepła\nz otoczeniem wykonuje pracę. Załóżmy, że T1 jest temperaturą źródła ciepła, z którego silnik\npobiera ciepło w każdym cyklu pracy, a T2 jest temperaturą chłodnicy, do której silnik oddaje\nciepło w każdym cyklu. Zgodnie z zasadami termodynamiki, sprawność η dowolnego silnika\npracującego pomiędzy danymi temperaturami źródła ciepła i chłodnicy nie może przekraczać\nsprawności tzw. silnika idealnego, danej wzorem (temperatury wyrażone są w kelwinach):\n1\n2\n1\nη\nmax\nT\nT\nT\nZaprojektowano dwa różne silniki cieplne S1 oraz S2, w których wykorzystuje się sprężanie\ni rozprężanie ustalonej masy gazu. Każdy z silników w jednym cyklu pracy pobiera po 100 J\nciepła ze źródła o temperaturze 477 °C i oddaje pewną ilość ciepła (inną dla każdego\nz silników) do chłodnicy o temperaturze 17 °C. Do działania każdego z silników wykorzystano\nróżne cykle termodynamiczne, tak aby:\n• w cyklu pracy silnika S1 ilość ciepła oddanego do chłodnicy była możliwie najmniejsza -\ntzn. tak mała, jak na to pozwalają prawa termodynamiki\n• w cyklu pracy silnika S2 praca sił parcia gazu podczas jego rozprężania wynosiła 34,8 J,\na praca podczas sprężania gazu (przeciwko sile parcia) była równa 8,7 J.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"**6.1.a.** ## Poprawna odpowiedź\n\n\\[Q_2 = \\frac{T_2}{T_1} \\cdot Q_1 = \\frac{290}{750} \\cdot 100 \\approx \\boxed{38{,}7 \\, \\text{J}}\\]\n\n## Sposób 1 - Silnik idealny (Carnota): sprawność maksymalna\n\nSilnik \\(S_1\\) ma oddawać jak **najmniej** ciepła do chłodnicy - oznacza to, że pracuje z **maksymalną sprawnością**, czyli jest silnikiem idealnym (silnikiem Carnota).\n\n**Krok 1 - Przelicz temperatury na kelwiny:**\n\\[T_1 = 477 + 273 = 750 \\, \\text{K}, \\quad T_2 = 17 + 273 = 290 \\, \\text{K}\\]\n\n**Krok 2 - Sprawność silnika idealnego:**\n\\[\\eta_{max} = \\frac{T_1 - T_2}{T_1} = \\frac{750 - 290}{750} = \\frac{460}{750} \\approx 0{,}613\\]\n\n**Krok 3 - Praca wykonana w jednym cyklu:**\n\\[W = \\eta_{max} \\cdot Q_1 = \\frac{460}{750} \\cdot 100 \\approx 61{,}3 \\, \\text{J}\\]\n\n**Krok 4 - Zasada zachowania energii (I zasada termodynamiki dla cyklu):**\n\nW cyklu zamkniętym energia wewnętrzna gazu wraca do stanu wyjściowego (\\(\\Delta U = 0\\)), więc:\n\\[Q_1 = W + Q_2 \\implies Q_2 = Q_1 - W\\]\n\\[Q_2 = 100 - 61{,}3 \\approx 38{,}7 \\, \\text{J}\\]\n\n## Sposób 2 - Bezpośredni wzór przez stosunek temperatur\n\nDla silnika idealnego (Carnota) zachodzi warunek:\n\\[\\frac{Q_2}{Q_1} = \\frac{T_2}{T_1}\\]\n\nJest to konsekwencja definicji entropii - w silniku Carnota przyrost entropii w całym cyklu wynosi zero:\n\\[\\frac{Q_1}{T_1} = \\frac{Q_2}{T_2}\\]\n\nStąd bezpośrednio:\n\\[Q_2 = Q_1 \\cdot \\frac{T_2}{T_1} = 100 \\cdot \\frac{290}{750} = \\frac{29000}{750} \\approx 38{,}7 \\, \\text{J}\\]\n\nSposób 2 jest szybszy obliczeniowo i unika błędu zaokrąglenia sprawności pośredniej.\n\n## Sposób 3 - Rozumowanie przez definicję sprawności i bilans\n\nZ definicji sprawności:\n\\[\\eta = 1 - \\frac{Q_2}{Q_1} \\leq \\eta_{max} = 1 - \\frac{T_2}{T_1}\\]\n\nAby \\(Q_2\\) było **najmniejsze**, \\(\\eta\\) musi być **największe**, czyli równe \\(\\eta_{max}\\):\n\\[\\frac{Q_2}{Q_1} = \\frac{T_2}{T_1}\\]\n\\[Q_2 = 100 \\cdot \\frac{290}{750} \\approx 38{,}7 \\, \\text{J}\\]\n\nTen sposób pokazuje **logikę polecenia** - \"możliwie najmniejsza ilość ciepła oddanego\" jest tożsama z \"praca silnika Carnota\".\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Zasady oceniania (zadanie 6.1a, 0-2 pkt) - wg oficjalnego klucza CKE:**\n> - **2 pkt** - poprawna metoda obliczenia ciepla oddanego przez silnik \\(S_1\\) oraz prawidlowy wynik z jednostka (\\(Q_{odd} \\approx 38{,}7\\,\\text{J}\\)).\n> - **1 pkt** - przyrownanie sprawnosci \\(S_1\\) do sprawnosci silnika idealnego z zastosowaniem wzorow (ciepla i temperatury) i prawidlowa identyfikacja wielkosci LUB poprawne obliczenie sprawnosci idealnej \\(\\eta_{max} \\approx 0{,}61\\).\n> - **0 pkt** - brak spelnienia powyzszych kryteriow.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, Termodynamika:**\n> \\[\\eta_{max} = \\frac{T_1 - T_2}{T_1}\\]\n> Podana wprost w treści zadania (informacja wspólna), więc nie trzeba jej szukać - wystarczy zastosować.\n>\n> Wzór pomocniczy (I zasada termodynamiki dla procesu cyklicznego, \\(\\Delta U = 0\\)):\n> \\[Q_1 = W + Q_2\\]\n> Wynika z zasady zachowania energii - dostępna jako pojęcie ogólne.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Temperatury MUSZĄ być w kelwinach - obliczenia w °C dają wynik \\(Q_2 = 100 \\cdot 17/477 \\approx 3{,}6 \\, \\text{J}\\), co jest kompletnie błędne i **eliminuje oba punkty**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Silnik \\(S_1\\) = silnik idealny (Carnota) - to wynika ze słów \"możliwie najmniejsza ilość ciepła oddanego\". Nie wolno mylić \\(S_1\\) z \\(S_2\\) i używać danych o pracy rozprężania/sprężania (34,8 J i 8,7 J) - te dane dotyczą \\(S_2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawność \\(\\eta_{max} \\approx 0{,}613\\) nie jest dokładna - lepiej podstawić ułamek \\(\\frac{460}{750}\\) i nie zaokrąglać pośrednio, bo błąd zaokrąglenia sprawności przenosi się na \\(Q_2\\). Sposób 2 (bezpośredni stosunek temperatur) omija ten problem.\n\n**6.1.b.** ## Poprawna odpowiedź\n\nIlość ciepła oddanego przez silnik \\(S_1\\) nie może być mniejsza od wartości \\(Q_{2\\,\\min} = Q_1 \\cdot \\dfrac{T_2}{T_1}\\), ponieważ **żaden silnik cieplny nie może mieć sprawności wyższej niż silnik Carnota** działający między tymi samymi zbiornikami o temperaturach \\(T_1\\) i \\(T_2\\).\n\n## Sposób 1 - Ograniczenie sprawności przez II zasadę termodynamiki\n\n**Krok 1 - Bilans energetyczny jednego cyklu.**\n\nW każdym cyklu silnik pobiera ciepło \\(Q_1\\) ze źródła gorącego, oddaje ciepło \\(Q_2\\) do źródła zimnego i wykonuje pracę:\n\\[\nW = Q_1 - Q_2\n\\]\n\n**Krok 2 - Sprawność silnika.**\n\n\\[\n\\eta = \\frac{W}{Q_1} = 1 - \\frac{Q_2}{Q_1}\n\\]\n\n**Krok 3 - Ograniczenie z II zasady termodynamiki (twierdzenie Carnota).**\n\nSprawność **żadnego** silnika działającego między zbiornikami o temperaturach \\(T_1\\) (gorący) i \\(T_2\\) (zimny) nie może przekroczyć sprawności silnika Carnota:\n\\[\n\\eta \\leq \\eta_C = 1 - \\frac{T_2}{T_1}\n\\]\n\n**Krok 4 - Wyznaczenie wartości granicznej \\(Q_2\\).**\n\nPodstawiamy wyrażenie na \\(\\eta\\):\n\\[\n1 - \\frac{Q_2}{Q_1} \\leq 1 - \\frac{T_2}{T_1}\n\\]\n\\[\n\\frac{Q_2}{Q_1} \\geq \\frac{T_2}{T_1}\n\\]\n\\[\n\\boxed{Q_2 \\geq Q_1 \\cdot \\frac{T_2}{T_1} = Q_{2\\,\\min}}\n\\]\n\n**Wniosek:** Wartość graniczna \\(Q_{2\\,\\min} = Q_1 \\cdot \\dfrac{T_2}{T_1}\\) jest osiągalna **tylko** dla silnika Carnota (odwracalnego). Każdy silnik rzeczywisty (nieodwracalny) oddaje więcej ciepła.\n\n## Sposób 2 - Zasada wzrostu entropii (ΔS_układu ≥ 0)\n\n**Krok 1 - Zmiany entropii zbiorników.**\n\nW jednym cyklu:\n- Entropia zbiornika gorącego **maleje**: \\(\\Delta S_1 = -\\dfrac{Q_1}{T_1}\\)\n- Entropia zbiornika zimnego **rośnie**: \\(\\Delta S_2 = +\\dfrac{Q_2}{T_2}\\)\n- Entropia silnika po pełnym cyklu: \\(\\Delta S_{\\text{silnik}} = 0\\) (stan wewnętrzny identyczny)\n\n**Krok 2 - II zasada: entropia układu izolowanego nie maleje.**\n\n\\[\n\\Delta S_{\\text{całk}} = \\Delta S_1 + \\Delta S_2 + \\Delta S_{\\text{silnik}} \\geq 0\n\\]\n\\[\n-\\frac{Q_1}{T_1} + \\frac{Q_2}{T_2} + 0 \\geq 0\n\\]\n\n**Krok 3 - Wyciągnięcie warunku na \\(Q_2\\).**\n\n\\[\n\\frac{Q_2}{T_2} \\geq \\frac{Q_1}{T_1}\n\\]\n\\[\nQ_2 \\geq Q_1 \\cdot \\frac{T_2}{T_1}\n\\]\n\n**Wniosek:** Wynik identyczny jak w Sposobie 1, ale uzasadnienie głębsze - **korzeniem** ograniczenia jest nierówność Clausiusa / zasada wzrostu entropii. Gdyby \\(Q_2 < Q_1 \\cdot \\dfrac{T_2}{T_1}\\), entropia wszechświata by malała - co jest niemożliwe.\n\n## Sposób 3 - Argument przez absurd (redukcja do perpetuum mobile II rodzaju)\n\nZałóżmy, że **możliwe jest** \\(Q_2 < Q_1 \\cdot \\dfrac{T_2}{T_1}\\), tzn. sprawność \\(\\eta > \\eta_C\\).\n\n- Taki silnik działałby wydajniej niż silnik Carnota.\n- Możnaby połączyć go z odwróconą maszyną Carnota (pompą ciepła) zasilaną jego pracą.\n- Układ złożony **sam z siebie pobierałby ciepło ze źródła zimnego i zamieniał je w pracę** - bez żadnego efektu ubocznego.\n- To byłoby **perpetuum mobile II rodzaju** - maszyna naruszająca II zasadę termodynamiki.\n\nPonieważ takie urządzenie jest niemożliwe (cała historia termodynamiki eksperymentalnej to potwierdza), założenie jest **fałszywe** → \\(Q_2 \\geq Q_1 \\cdot \\dfrac{T_2}{T_1}\\).\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Zasady oceniania (zadanie 6.1b, 0-1 pkt) - wg oficjalnego klucza CKE:**\n> - **1 pkt** - pelne wyjasnienie: gdyby cieplo oddane bylo mniejsze od wartosci granicznej, to sprawnosc silnika przekroczylaby maksymalna (teoretyczna) sprawnosc silnika idealnego.\n> - **0 pkt** - brak spelnienia powyzszego kryterium.\n> - **Uwaga CKE:** wyjasnienie typu „bo byloby niezgodne z II zasada termodynamiki\" jest niewystarczajace (brak powiazania zmiany ciepla ze zmiana sprawnosci).\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-17 karty EM2023):**\n>\n> - **Sprawność silnika cieplnego:** \\(\\eta = \\dfrac{W}{Q_1} = 1 - \\dfrac{Q_2}{Q_1}\\)\n> - **Sprawność Carnota (max sprawność):** \\(\\eta_C = 1 - \\dfrac{T_2}{T_1}\\)\n> - **Bilans energii:** \\(W = Q_1 - Q_2\\)\n>\n> Temperatury \\(T_1\\), \\(T_2\\) odczytujemy z treści zadania 6. (dane liczbowe podane w zadaniu głównym). Karta wzorów daje ci gotowy wzór na \\(\\eta_C\\) - wystarczy podstawić i wyciągnąć warunek na \\(Q_2\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mylenie I i II zasady termodynamiki - I zasada mówi tylko o zachowaniu energii (\\(Q_1 = W + Q_2\\)), nie wyjaśnia, **dlaczego** \\(Q_2\\) ma dolną granicę. Granica pochodzi wyłącznie z II zasady.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Myślenie, że „silnik może oddać zero ciepła\" (\\(Q_2 = 0\\)) i całe \\(Q_1\\) zamienić w pracę - to sprawność 100%, co naruszałoby II zasadę (perpetuum mobile II rodzaju). Możliwe tylko przy \\(T_2 = 0\\,\\text{K}\\), czyli zerze absolutnym, niedosiągalnym w praktyce.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zapominanie, że wzór Carnota wymaga **temperatur bezwzględnych** (kelwinów), nie Celsjuszów. Podstawienie stopni Celsjusza to jeden z najczęstszych błędów na maturze.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W pytaniu „wyjaśnij na podstawie informacji z treści zadania\" - **musisz odwołać się do konkretnych danych** (temperatury \\(T_1\\), \\(T_2\\) podane w treści), a nie tylko do ogólnej zasady. Wylicz \\(Q_{2\\,\\min} = Q_1 \\cdot \\dfrac{T_2}{T_1}\\) z podanych liczb!","image":"img/fizyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · czerwiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 6.
Silnik cieplny to urządzenie działające cyklicznie, które w wyniku wymiany ciepła
z otoczeniem wykonuje pracę. Załóżmy, że T1 jest temperaturą źródła ciepła, z którego silnik
pobiera ciepło w każdym cyklu pracy, a T2 jest temperaturą chłodnicy, do której silnik oddaje
ciepło w każdym cyklu. Zgodnie z zasadami termodynamiki, sprawność η dowolnego silnika
pracującego pomiędzy danymi temperaturami źródła ciepła i chłodnicy nie może przekraczać
sprawności tzw. silnika idealnego, danej wzorem (temperatury wyrażone są w kelwinach):
1
2
1
η
max
T
T
T
Zaprojektowano dwa różne silniki cieplne S1 oraz S2, w których wykorzystuje się sprężanie
i rozprężanie ustalonej masy gazu. Każdy z silników w jednym cyklu pracy pobiera po 100 J
ciepła ze źródła o temperaturze 477 °C i oddaje pewną ilość ciepła (inną dla każdego
z silników) do chłodnicy o temperaturze 17 °C. Do działania każdego z silników wykorzystano
różne cykle termodynamiczne, tak aby:
• w cyklu pracy silnika S1 ilość ciepła oddanego do chłodnicy była możliwie najmniejsza -
tzn. tak mała, jak na to pozwalają prawa termodynamiki
• w cyklu pracy silnika S2 praca sił parcia gazu podczas jego rozprężania wynosiła 34,8 J,
a praca podczas sprężania gazu (przeciwko sile parcia) była równa 8,7 J.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

6.1.a. ## Poprawna odpowiedź

\n

\\[Q_2 = \\frac{T_2}{T_1} \\cdot Q_1 = \\frac{290}{750} \\cdot 100 \\approx \\boxed{38{,}7 \\, \\text{J}}\\]

\n

Sposób 1 - Silnik idealny (Carnota): sprawność maksymalna

\n

Silnik \\(S_1\\) ma oddawać jak najmniej ciepła do chłodnicy - oznacza to, że pracuje z maksymalną sprawnością, czyli jest silnikiem idealnym (silnikiem Carnota).

\n

Krok 1 - Przelicz temperatury na kelwiny:
\\[T_1 = 477 + 273 = 750 \\, \\text{K}, \\quad T_2 = 17 + 273 = 290 \\, \\text{K}\\]

\n

Krok 2 - Sprawność silnika idealnego:
\\[\\eta_{max} = \\frac{T_1 - T_2}{T_1} = \\frac{750 - 290}{750} = \\frac{460}{750} \\approx 0{,}613\\]

\n

Krok 3 - Praca wykonana w jednym cyklu:
\\[W = \\eta_{max} \\cdot Q_1 = \\frac{460}{750} \\cdot 100 \\approx 61{,}3 \\, \\text{J}\\]

\n

Krok 4 - Zasada zachowania energii (I zasada termodynamiki dla cyklu):

\n

W cyklu zamkniętym energia wewnętrzna gazu wraca do stanu wyjściowego (\\(\\Delta U = 0\\)), więc:
\\[Q_1 = W + Q_2 \\implies Q_2 = Q_1 - W\\]
\\[Q_2 = 100 - 61{,}3 \\approx 38{,}7 \\, \\text{J}\\]

\n

Sposób 2 - Bezpośredni wzór przez stosunek temperatur

\n

Dla silnika idealnego (Carnota) zachodzi warunek:
\\[\\frac{Q_2}{Q_1} = \\frac{T_2}{T_1}\\]

\n

Jest to konsekwencja definicji entropii - w silniku Carnota przyrost entropii w całym cyklu wynosi zero:
\\[\\frac{Q_1}{T_1} = \\frac{Q_2}{T_2}\\]

\n

Stąd bezpośrednio:
\\[Q_2 = Q_1 \\cdot \\frac{T_2}{T_1} = 100 \\cdot \\frac{290}{750} = \\frac{29000}{750} \\approx 38{,}7 \\, \\text{J}\\]

\n

Sposób 2 jest szybszy obliczeniowo i unika błędu zaokrąglenia sprawności pośredniej.

\n

Sposób 3 - Rozumowanie przez definicję sprawności i bilans

\n

Z definicji sprawności:
\\[\\eta = 1 - \\frac{Q_2}{Q_1} \\leq \\eta_{max} = 1 - \\frac{T_2}{T_1}\\]

\n

Aby \\(Q_2\\) było najmniejsze, \\(\\eta\\) musi być największe, czyli równe \\(\\eta_{max}\\):
\\[\\frac{Q_2}{Q_1} = \\frac{T_2}{T_1}\\]
\\[Q_2 = 100 \\cdot \\frac{290}{750} \\approx 38{,}7 \\, \\text{J}\\]

\n

Ten sposób pokazuje logikę polecenia - "możliwie najmniejsza ilość ciepła oddanego" jest tożsama z "praca silnika Carnota".

\n

Schemat oceniania CKE

\n
📋 Zasady oceniania (zadanie 6.1a, 0-2 pkt) - wg oficjalnego klucza CKE:
- 2 pkt - poprawna metoda obliczenia ciepla oddanego przez silnik \\(S_1\\) oraz prawidlowy wynik z jednostka (\\(Q_{odd} \\approx 38{,}7\\,\\text{J}\\)).
- 1 pkt - przyrownanie sprawnosci \\(S_1\\) do sprawnosci silnika idealnego z zastosowaniem wzorow (ciepla i temperatury) i prawidlowa identyfikacja wielkosci LUB poprawne obliczenie sprawnosci idealnej \\(\\eta_{max} \\approx 0{,}61\\).
- 0 pkt - brak spelnienia powyzszych kryteriow.
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, Termodynamika:
\\[\\eta_{max} = \\frac{T_1 - T_2}{T_1}\\]
Podana wprost w treści zadania (informacja wspólna), więc nie trzeba jej szukać - wystarczy zastosować.

Wzór pomocniczy (I zasada termodynamiki dla procesu cyklicznego, \\(\\Delta U = 0\\)):
\\[Q_1 = W + Q_2\\]
Wynika z zasady zachowania energii - dostępna jako pojęcie ogólne.
\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Temperatury MUSZĄ być w kelwinach - obliczenia w °C dają wynik \\(Q_2 = 100 \\cdot 17/477 \\approx 3{,}6 \\, \\text{J}\\), co jest kompletnie błędne i eliminuje oba punkty.
\n
⚠️ Uwaga: Silnik \\(S_1\\) = silnik idealny (Carnota) - to wynika ze słów "możliwie najmniejsza ilość ciepła oddanego". Nie wolno mylić \\(S_1\\) z \\(S_2\\) i używać danych o pracy rozprężania/sprężania (34,8 J i 8,7 J) - te dane dotyczą \\(S_2\\).
\n
⚠️ Uwaga: Sprawność \\(\\eta_{max} \\approx 0{,}613\\) nie jest dokładna - lepiej podstawić ułamek \\(\\frac{460}{750}\\) i nie zaokrąglać pośrednio, bo błąd zaokrąglenia sprawności przenosi się na \\(Q_2\\). Sposób 2 (bezpośredni stosunek temperatur) omija ten problem.
\n

6.1.b. ## Poprawna odpowiedź

\n

Ilość ciepła oddanego przez silnik \\(S_1\\) nie może być mniejsza od wartości \\(Q_{2\\,\\min} = Q_1 \\cdot \\dfrac{T_2}{T_1}\\), ponieważ żaden silnik cieplny nie może mieć sprawności wyższej niż silnik Carnota działający między tymi samymi zbiornikami o temperaturach \\(T_1\\) i \\(T_2\\).

\n

Sposób 1 - Ograniczenie sprawności przez II zasadę termodynamiki

\n

Krok 1 - Bilans energetyczny jednego cyklu.

\n

W każdym cyklu silnik pobiera ciepło \\(Q_1\\) ze źródła gorącego, oddaje ciepło \\(Q_2\\) do źródła zimnego i wykonuje pracę:
\\[
W = Q_1 - Q_2
\\]

\n

Krok 2 - Sprawność silnika.

\n

\\[
\\eta = \\frac{W}{Q_1} = 1 - \\frac{Q_2}{Q_1}
\\]

\n

Krok 3 - Ograniczenie z II zasady termodynamiki (twierdzenie Carnota).

\n

Sprawność żadnego silnika działającego między zbiornikami o temperaturach \\(T_1\\) (gorący) i \\(T_2\\) (zimny) nie może przekroczyć sprawności silnika Carnota:
\\[
\\eta \\leq \\eta_C = 1 - \\frac{T_2}{T_1}
\\]

\n

Krok 4 - Wyznaczenie wartości granicznej \\(Q_2\\).

\n

Podstawiamy wyrażenie na \\(\\eta\\):
\\[
1 - \\frac{Q_2}{Q_1} \\leq 1 - \\frac{T_2}{T_1}
\\]
\\[
\\frac{Q_2}{Q_1} \\geq \\frac{T_2}{T_1}
\\]
\\[
\\boxed{Q_2 \\geq Q_1 \\cdot \\frac{T_2}{T_1} = Q_{2\\,\\min}}
\\]

\n

Wniosek: Wartość graniczna \\(Q_{2\\,\\min} = Q_1 \\cdot \\dfrac{T_2}{T_1}\\) jest osiągalna tylko dla silnika Carnota (odwracalnego). Każdy silnik rzeczywisty (nieodwracalny) oddaje więcej ciepła.

\n

Sposób 2 - Zasada wzrostu entropii (ΔS_układu ≥ 0)

\n

Krok 1 - Zmiany entropii zbiorników.

\n

W jednym cyklu:

\n\n

Krok 2 - II zasada: entropia układu izolowanego nie maleje.

\n

\\[
\\Delta S_{\\text{całk}} = \\Delta S_1 + \\Delta S_2 + \\Delta S_{\\text{silnik}} \\geq 0
\\]
\\[
-\\frac{Q_1}{T_1} + \\frac{Q_2}{T_2} + 0 \\geq 0
\\]

\n

Krok 3 - Wyciągnięcie warunku na \\(Q_2\\).

\n

\\[
\\frac{Q_2}{T_2} \\geq \\frac{Q_1}{T_1}
\\]
\\[
Q_2 \\geq Q_1 \\cdot \\frac{T_2}{T_1}
\\]

\n

Wniosek: Wynik identyczny jak w Sposobie 1, ale uzasadnienie głębsze - korzeniem ograniczenia jest nierówność Clausiusa / zasada wzrostu entropii. Gdyby \\(Q_2 < Q_1 \\cdot \\dfrac{T_2}{T_1}\\), entropia wszechświata by malała - co jest niemożliwe.

\n

Sposób 3 - Argument przez absurd (redukcja do perpetuum mobile II rodzaju)

\n

Załóżmy, że możliwe jest \\(Q_2 < Q_1 \\cdot \\dfrac{T_2}{T_1}\\), tzn. sprawność \\(\\eta > \\eta_C\\).

\n\n

Ponieważ takie urządzenie jest niemożliwe (cała historia termodynamiki eksperymentalnej to potwierdza), założenie jest fałszywe → \\(Q_2 \\geq Q_1 \\cdot \\dfrac{T_2}{T_1}\\).

\n

Schemat oceniania CKE

\n
📋 Zasady oceniania (zadanie 6.1b, 0-1 pkt) - wg oficjalnego klucza CKE:
- 1 pkt - pelne wyjasnienie: gdyby cieplo oddane bylo mniejsze od wartosci granicznej, to sprawnosc silnika przekroczylaby maksymalna (teoretyczna) sprawnosc silnika idealnego.
- 0 pkt - brak spelnienia powyzszego kryterium.
- Uwaga CKE: wyjasnienie typu „bo byloby niezgodne z II zasada termodynamiki" jest niewystarczajace (brak powiazania zmiany ciepla ze zmiana sprawnosci).
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-17 karty EM2023):

- Sprawność silnika cieplnego: \\(\\eta = \\dfrac{W}{Q_1} = 1 - \\dfrac{Q_2}{Q_1}\\)
- Sprawność Carnota (max sprawność): \\(\\eta_C = 1 - \\dfrac{T_2}{T_1}\\)
- Bilans energii: \\(W = Q_1 - Q_2\\)

Temperatury \\(T_1\\), \\(T_2\\) odczytujemy z treści zadania 6. (dane liczbowe podane w zadaniu głównym). Karta wzorów daje ci gotowy wzór na \\(\\eta_C\\) - wystarczy podstawić i wyciągnąć warunek na \\(Q_2\\).
\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Mylenie I i II zasady termodynamiki - I zasada mówi tylko o zachowaniu energii (\\(Q_1 = W + Q_2\\)), nie wyjaśnia, dlaczego \\(Q_2\\) ma dolną granicę. Granica pochodzi wyłącznie z II zasady.
\n
⚠️ Uwaga: Myślenie, że „silnik może oddać zero ciepła" (\\(Q_2 = 0\\)) i całe \\(Q_1\\) zamienić w pracę - to sprawność 100%, co naruszałoby II zasadę (perpetuum mobile II rodzaju). Możliwe tylko przy \\(T_2 = 0\\,\\text{K}\\), czyli zerze absolutnym, niedosiągalnym w praktyce.
\n
⚠️ Uwaga: Zapominanie, że wzór Carnota wymaga temperatur bezwzględnych (kelwinów), nie Celsjuszów. Podstawienie stopni Celsjusza to jeden z najczęstszych błędów na maturze.
\n
⚠️ Uwaga: W pytaniu „wyjaśnij na podstawie informacji z treści zadania" - musisz odwołać się do konkretnych danych (temperatury \\(T_1\\), \\(T_2\\) podane w treści), a nie tylko do ogólnej zasady. Wylicz \\(Q_{2\\,\\min} = Q_1 \\cdot \\dfrac{T_2}{T_1}\\) z podanych liczb!
"}]}