{"id":"fizyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/9.3","paper_id":"fizyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"9.3","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9.3. (0-2)\nOblicz wartość prędkości elektronów padających na anodę.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9.3. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n7.11) analizuje ruch cząstki naładowanej\nw stałym jednorodnym polu elektrycznym;\n2.3) (G) opisuje wpływ wykonanej pracy na\nzmianę energii;\n3.2) oblicza wartość energii kinetycznej ciał […].\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda obliczenia prędkości elektronu i prawidłowy wynik liczbowy\nz jednostką, mieszczący się w przedziale od 2,9∙107 m/s do 3∙107 m/s.\n1 pkt - zapisanie wyrażenia wiążącego zmianę energii kinetycznej elektronu z pracą siły\nelektrycznej, łącznie z zastosowaniem wzorów na energię kinetyczną i pracę w polu\nelektrycznym (np. wystarczy jeden zapis\n1\n2 𝑚𝑚𝑣𝑣2 = 𝑒𝑒𝑒𝑒).\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nSposób 1. (z zastosowaniem wzorów mechaniki klasycznej newtonowskiej)\nZapiszemy związek między energią kinetyczną, którą uzyskał elektron w polu elektrycznym,\na pracą siły elektrycznej działającej na elektron - łącznie z zastosowaniem wzorów na energię\nkinetyczną i pracę w polu elektrycznym. Początkowa energia kinetyczna elektronu wynosiła\nzero, zatem:\n∆𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘= 𝑊𝑊𝐸𝐸 → 1\n2 𝑚𝑚𝑣𝑣2 -1\n2 𝑚𝑚∙02 = 𝑒𝑒𝑒𝑒 → 1\n2 𝑚𝑚𝑣𝑣2 = 𝑒𝑒𝑒𝑒\nPodstawiamy dane i obliczamy prędkość elektronu:\n𝑣𝑣= ඨ2𝑒𝑒𝑒𝑒\n𝑚𝑚 → 𝑣𝑣= ඨ2 ∙1,6 ∙10-19 ∙2,5 ∙103 C∙V\n9,1 ∙10-31 kg\n= ඨ0,2 ∙4 ∙10-15\n9,1 ∙10-31 m\ns = 2,96 ∙107 m\ns\nSposób 2. (z zastosowaniem wzorów mechaniki klasycznej relatywistycznej)\nZapiszemy związek między energią kinetyczną, którą uzyskał elektron w polu elektrycznym,\na pracą siły elektrycznej działającej na elektron - łącznie z zastosowaniem relatywistycznego\nwzoru na energię kinetyczną i pracę w polu elektrycznym.\n𝐸𝐸=\n𝐸𝐸0\nඥ1 -𝛽𝛽2 𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘= 𝐸𝐸-𝐸𝐸0 𝐸𝐸0 = 𝑚𝑚𝑐𝑐2 𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘= 𝑒𝑒𝑒𝑒 →\n𝛽𝛽2 = 1 -൬\n𝐸𝐸0\n𝐸𝐸0 + 𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘\n൰\n2\n→ 𝛽𝛽2 = 1 -൬\n𝐸𝐸0\n𝐸𝐸0 + 𝑒𝑒𝑒𝑒൰\n2\n→\n𝛽𝛽2 = 1 -ቆ\n8,19 ∙10-14 J\n8,19 ∙10-14 J + 0,04 ∙10-14 Jቇ\n2\n= 0,00969691 →\n𝛽𝛽= 𝑣𝑣\n𝑐𝑐= 0,0983 → 𝑣𝑣= 0,0983 ∙3 ∙108 ≈2,95 ∙107 m\ns\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedz\n\n\\[\\boxed{v \\approx 2{,}96 \\times 10^{7} \\, \\tfrac{\\text{m}}{\\text{s}}}\\]\n\n(wynik mieszczacy sie w przedziale \\(2{,}9\\times10^7\\) do \\(3\\times10^7\\,\\tfrac{\\text{m}}{\\text{s}}\\))\n\n## Sposob 1 - Zasada zachowania energii (mechanika klasyczna)\n\n**Zalozenie z treci zadania 9:** predkosci poczatkowe elektronow oderwanych od katody **wynosza zero**, a elektrony sa przyspieszane napieciem \\(U = 2500\\,\\text{V}\\).\n\n**Krok 1: Zmiana energii kinetycznej = praca pola elektrycznego.**\n\n\\[\n\\Delta E_{kin} = W_E \\implies \\frac{1}{2}m v^2 - \\frac{1}{2}m\\cdot 0^2 = eU \\implies \\frac{1}{2}m v^2 = eU\n\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz predkosc.**\n\n\\[\nv = \\sqrt{\\frac{2eU}{m}}\n\\]\n\n**Krok 3: Podstaw dane** (\\(e = 1{,}6\\times10^{-19}\\,\\text{C}\\), \\(U = 2{,}5\\times10^{3}\\,\\text{V}\\), \\(m = m_e = 9{,}1\\times10^{-31}\\,\\text{kg}\\)):\n\n\\[\nv = \\sqrt{\\frac{2 \\cdot 1{,}6\\times10^{-19}\\,\\text{C} \\cdot 2{,}5\\times10^{3}\\,\\text{V}}{9{,}1\\times10^{-31}\\,\\text{kg}}}\n= \\sqrt{\\frac{0{,}2\\cdot 4\\times10^{-15}}{9{,}1\\times10^{-31}}}\\,\\tfrac{\\text{m}}{\\text{s}}\n\\]\n\n\\[\nv = \\sqrt{8{,}79\\times10^{14}}\\,\\tfrac{\\text{m}}{\\text{s}} \\approx 2{,}96\\times10^{7}\\,\\frac{\\text{m}}{\\text{s}}\n\\]\n\n\\[\\boxed{v \\approx 2{,}96\\times10^{7}\\,\\tfrac{\\text{m}}{\\text{s}}}\\]\n\n## Sposob 2 - Podejscie relatywistyczne (kontrolne)\n\nPoniewaz \\(v \\approx 0{,}1\\,c\\), efekty relatywistyczne sa male, ale mozna sprawdzic:\n\n\\[\nE_0 = m_e c^2 = 8{,}19\\times10^{-14}\\,\\text{J}, \\quad E_{kin} = eU = 0{,}04\\times10^{-14}\\,\\text{J}\n\\]\n\n\\[\n\\beta = \\frac{v}{c} = \\sqrt{1 - \\left(\\frac{E_0}{E_0 + eU}\\right)^2} \\approx 0{,}0983 \\implies v \\approx 0{,}0983\\cdot 3\\times10^8 \\approx 2{,}95\\times10^{7}\\,\\tfrac{\\text{m}}{\\text{s}}\n\\]\n\nWynik praktycznie identyczny z klasycznym - potwierdza, ze podejscie klasyczne jest wystarczajace.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Zasady oceniania (zadanie 9.3, 0-2 pkt) - wg oficjalnego klucza CKE:**\n> - **2 pkt** - poprawna metoda obliczenia predkosci elektronu i prawidlowy wynik z jednostka, mieszczacy sie w przedziale od \\(2{,}9\\times10^7\\,\\tfrac{\\text{m}}{\\text{s}}\\) do \\(3\\times10^7\\,\\tfrac{\\text{m}}{\\text{s}}\\).\n> - **1 pkt** - zapisanie wyrazenia wiazacego zmiane energii kinetycznej elektronu z praca sily elektrycznej, lacznie z zastosowaniem wzorow na energie kinetyczna i prace w polu elektrycznym (np. wystarczy jeden zapis \\(\\tfrac{1}{2}mv^2 = eU\\)).\n> - **0 pkt** - brak spelnienia powyzszych kryteriow.\n\n## Typowe pulapki\n\n> ⚠️ **Predkosc poczatkowa = 0** (zalozenie z treci zadania 9). Cala energia kinetyczna przy anodzie pochodzi z pracy pola: \\(\\tfrac{1}{2}mv^2 = eU\\). Nie dodawaj zadnej energii poczatkowej z efektu fotoelektrycznego.\n\n> ⚠️ **Uzyj U = 2500 V** (napiecie przyspieszajace z treci zadania 9), a nie zadnej innej wartosci.","image":"img/fizyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-9.3.webp","solution_image":null,"topics":"Fizyka współczesna","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · czerwiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 9.3. (0-2)<br>Oblicz wartość prędkości elektronów padających na anodę.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 9.3. (0-2)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Budowa prostych modeli fizycznych<br>i matematycznych do opisu zjawisk.<br>Zdający:<br>7.11) analizuje ruch cząstki naładowanej<br>w stałym jednorodnym polu elektrycznym;<br>2.3) (G) opisuje wpływ wykonanej pracy na<br>zmianę energii;<br>3.2) oblicza wartość energii kinetycznej ciał […].<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - poprawna metoda obliczenia prędkości elektronu i prawidłowy wynik liczbowy<br>z jednostką, mieszczący się w przedziale od 2,9∙107 m/s do 3∙107 m/s.<br>1 pkt - zapisanie wyrażenia wiążącego zmianę energii kinetycznej elektronu z pracą siły<br>elektrycznej, łącznie z zastosowaniem wzorów na energię kinetyczną i pracę w polu<br>elektrycznym (np. wystarczy jeden zapis<br>1<br>2 𝑚𝑚𝑣𝑣2 = 𝑒𝑒𝑒𝑒).<br>0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.<br>Przykładowe rozwiązanie<br>Sposób 1. (z zastosowaniem wzorów mechaniki klasycznej newtonowskiej)<br>Zapiszemy związek między energią kinetyczną, którą uzyskał elektron w polu elektrycznym,<br>a pracą siły elektrycznej działającej na elektron - łącznie z zastosowaniem wzorów na energię<br>kinetyczną i pracę w polu elektrycznym. Początkowa energia kinetyczna elektronu wynosiła<br>zero, zatem:<br>∆𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘= 𝑊𝑊𝐸𝐸 → 1<br>2 𝑚𝑚𝑣𝑣2 -1<br>2 𝑚𝑚∙02 = 𝑒𝑒𝑒𝑒 → 1<br>2 𝑚𝑚𝑣𝑣2 = 𝑒𝑒𝑒𝑒<br>Podstawiamy dane i obliczamy prędkość elektronu:<br>𝑣𝑣= ඨ2𝑒𝑒𝑒𝑒<br>𝑚𝑚 → 𝑣𝑣= ඨ2 ∙1,6 ∙10-19 ∙2,5 ∙103 C∙V<br>9,1 ∙10-31 kg<br>= ඨ0,2 ∙4 ∙10-15<br>9,1 ∙10-31 m<br>s = 2,96 ∙107 m<br>s<br>Sposób 2. (z zastosowaniem wzorów mechaniki klasycznej relatywistycznej)<br>Zapiszemy związek między energią kinetyczną, którą uzyskał elektron w polu elektrycznym,<br>a pracą siły elektrycznej działającej na elektron - łącznie z zastosowaniem relatywistycznego<br>wzoru na energię kinetyczną i pracę w polu elektrycznym.<br>𝐸𝐸=<br>𝐸𝐸0<br>ඥ1 -𝛽𝛽2 𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘= 𝐸𝐸-𝐸𝐸0 𝐸𝐸0 = 𝑚𝑚𝑐𝑐2 𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘= 𝑒𝑒𝑒𝑒 →<br>𝛽𝛽2 = 1 -൬<br>𝐸𝐸0<br>𝐸𝐸0 + 𝐸𝐸𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘<br>൰<br>2<br>→ 𝛽𝛽2 = 1 -൬<br>𝐸𝐸0<br>𝐸𝐸0 + 𝑒𝑒𝑒𝑒൰<br>2<br>→<br>𝛽𝛽2 = 1 -ቆ<br>8,19 ∙10-14 J<br>8,19 ∙10-14 J + 0,04 ∙10-14 Jቇ<br>2<br>= 0,00969691 →<br>𝛽𝛽= 𝑣𝑣<br>𝑐𝑐= 0,0983 → 𝑣𝑣= 0,0983 ∙3 ∙108 ≈2,95 ∙107 m<br>s<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedz</h4>\n<p>\\[\\boxed{v \\approx 2{,}96 \\times 10^{7} \\, \\tfrac{\\text{m}}{\\text{s}}}\\]</p>\n<p>(wynik mieszczacy sie w przedziale \\(2{,}9\\times10^7\\) do \\(3\\times10^7\\,\\tfrac{\\text{m}}{\\text{s}}\\))</p>\n<h4>Sposob 1 - Zasada zachowania energii (mechanika klasyczna)</h4>\n<p><strong>Zalozenie z treci zadania 9:</strong> predkosci poczatkowe elektronow oderwanych od katody <strong>wynosza zero</strong>, a elektrony sa przyspieszane napieciem \\(U = 2500\\,\\text{V}\\).</p>\n<p><strong>Krok 1: Zmiana energii kinetycznej = praca pola elektrycznego.</strong></p>\n<p>\\[<br>\\Delta E_{kin} = W_E \\implies \\frac{1}{2}m v^2 - \\frac{1}{2}m\\cdot 0^2 = eU \\implies \\frac{1}{2}m v^2 = eU<br>\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznacz predkosc.</strong></p>\n<p>\\[<br>v = \\sqrt{\\frac{2eU}{m}}<br>\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Podstaw dane</strong> (\\(e = 1{,}6\\times10^{-19}\\,\\text{C}\\), \\(U = 2{,}5\\times10^{3}\\,\\text{V}\\), \\(m = m_e = 9{,}1\\times10^{-31}\\,\\text{kg}\\)):</p>\n<p>\\[<br>v = \\sqrt{\\frac{2 \\cdot 1{,}6\\times10^{-19}\\,\\text{C} \\cdot 2{,}5\\times10^{3}\\,\\text{V}}{9{,}1\\times10^{-31}\\,\\text{kg}}}<br>= \\sqrt{\\frac{0{,}2\\cdot 4\\times10^{-15}}{9{,}1\\times10^{-31}}}\\,\\tfrac{\\text{m}}{\\text{s}}<br>\\]</p>\n<p>\\[<br>v = \\sqrt{8{,}79\\times10^{14}}\\,\\tfrac{\\text{m}}{\\text{s}} \\approx 2{,}96\\times10^{7}\\,\\frac{\\text{m}}{\\text{s}}<br>\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{v \\approx 2{,}96\\times10^{7}\\,\\tfrac{\\text{m}}{\\text{s}}}\\]</p>\n<h4>Sposob 2 - Podejscie relatywistyczne (kontrolne)</h4>\n<p>Poniewaz \\(v \\approx 0{,}1\\,c\\), efekty relatywistyczne sa male, ale mozna sprawdzic:</p>\n<p>\\[<br>E_0 = m_e c^2 = 8{,}19\\times10^{-14}\\,\\text{J}, \\quad E_{kin} = eU = 0{,}04\\times10^{-14}\\,\\text{J}<br>\\]</p>\n<p>\\[<br>\\beta = \\frac{v}{c} = \\sqrt{1 - \\left(\\frac{E_0}{E_0 + eU}\\right)^2} \\approx 0{,}0983 \\implies v \\approx 0{,}0983\\cdot 3\\times10^8 \\approx 2{,}95\\times10^{7}\\,\\tfrac{\\text{m}}{\\text{s}}<br>\\]</p>\n<p>Wynik praktycznie identyczny z klasycznym - potwierdza, ze podejscie klasyczne jest wystarczajace.</p>\n<h4>Schemat oceniania CKE</h4>\n<blockquote>📋 <strong>Zasady oceniania (zadanie 9.3, 0-2 pkt) - wg oficjalnego klucza CKE:</strong><br>- <strong>2 pkt</strong> - poprawna metoda obliczenia predkosci elektronu i prawidlowy wynik z jednostka, mieszczacy sie w przedziale od \\(2{,}9\\times10^7\\,\\tfrac{\\text{m}}{\\text{s}}\\) do \\(3\\times10^7\\,\\tfrac{\\text{m}}{\\text{s}}\\).<br>- <strong>1 pkt</strong> - zapisanie wyrazenia wiazacego zmiane energii kinetycznej elektronu z praca sily elektrycznej, lacznie z zastosowaniem wzorow na energie kinetyczna i prace w polu elektrycznym (np. wystarczy jeden zapis \\(\\tfrac{1}{2}mv^2 = eU\\)).<br>- <strong>0 pkt</strong> - brak spelnienia powyzszych kryteriow.</blockquote>\n<h4>Typowe pulapki</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Predkosc poczatkowa = 0</strong> (zalozenie z treci zadania 9). Cala energia kinetyczna przy anodzie pochodzi z pracy pola: \\(\\tfrac{1}{2}mv^2 = eU\\). Nie dodawaj zadnej energii poczatkowej z efektu fotoelektrycznego.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uzyj U = 2500 V</strong> (napiecie przyspieszajace z treci zadania 9), a nie zadnej innej wartosci.</blockquote>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$v \\approx 2{,}96 \\cdot 10^7 \\text{ m/s}$</p>"}]}