{"id":"fizyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona/zad/10.3","paper_id":"fizyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona","number":"10.3","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"probna","year":2020,"month":"kwiecien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10.3. (0-3)\nOblicz maksymalną wartość siły sprężystości, jaka działa na ciężarek w tym ruchu\ndrgającym.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10.3. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n1.8) wyjaśnia ruch ciał na podstawie drugiej\nzasady dynamiki Newtona,\n6.1) analizuje ruch pod wpływem sił\nsprężystych (harmonicznych) […].\nSchemat punktowania\n3 p. - prawidłowa metoda i prawidłowy wynik liczbowy z jednostką.\n2 p. - zapisanie wzoru (sposób 1) na maksymalną siłę wypadkową: 𝐹𝐹𝑤𝑤 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝐹𝐹𝑠𝑠 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚-𝐹𝐹𝑔𝑔 oraz\npoprawne obliczenie maksymalnego przyspieszenia lub maksymalnej siły wypadkowej\nze wzoru 𝐹𝐹𝑤𝑤 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚\nlub\n- zapisanie wzoru (sposób 2) na maksymalną wartość siły sprężystości w postaci:\n𝐹𝐹𝑠𝑠 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝑘𝑘(𝑥𝑥0 + 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚) łącznie z uwzględnieniem warunku równowagi sił: 𝑘𝑘𝑥𝑥0 = 𝑚𝑚𝑚𝑚\noraz prawidłowe obliczenie k.\n1 p. - zapisanie wzoru (sposób 1) na wartość maks. siły wypadkowej: 𝐹𝐹𝑤𝑤 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝐹𝐹𝑠𝑠 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚-𝐹𝐹𝑔𝑔\nłącznie z uwzględnieniem związku pomiędzy maksymalnym przyspieszeniem\ni maksymalnym wychyleniem\nlub\n- zapisanie wzoru (sposób 2) na maksymalną wartość siły sprężystości w postaci:\n𝐹𝐹𝑠𝑠 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝑘𝑘(𝑥𝑥0 + 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚) łącznie z uwzględnieniem warunku równowagi sił: 𝑘𝑘𝑥𝑥0 = 𝑚𝑚𝑚𝑚.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nSposób 1\nDrganie ciężarka odbywa się pod wpływem siły wypadkowej (z siły sprężystości oraz siły\ngrawitacji):\n𝐹𝐹⃗𝑤𝑤= 𝐹𝐹⃗𝑠𝑠+ 𝐹𝐹⃗𝑔𝑔\nSiła sprężystości osiąga wartość maksymalną przy najniższym wychyleniu ciężarka (sprężyna\njest wtedy najbardziej rozciągnięta). W tej sytuacji także siła wypadkowa osiąga wartość\nnajwiększą, ponieważ to położenie jest również maksymalnym wychyleniem z położenia\nrównowagi sił. Wartości sił w takim położeniu ciężarka wiąże relacja:\n𝐹𝐹𝑤𝑤 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝐹𝐹𝑠𝑠 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚-𝐹𝐹𝑔𝑔 → 𝐹𝐹𝑠𝑠 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝐹𝐹𝑤𝑤 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚+ 𝐹𝐹𝑔𝑔\nMaksymalną wartość siły wypadkowej możemy wyznaczyć z drugiej zasady dynamiki\ni związku pomiędzy maksymalnym przyspieszeniem w ruchu drgającym i maksymalnym\nwychyleniem:\n𝐹𝐹𝑤𝑤 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚, 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚∙൬2𝜋𝜋\n𝑇𝑇൰\n2\n→ 𝐹𝐹𝑤𝑤 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝑚𝑚𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚∙൬2𝜋𝜋\n𝑇𝑇൰\n2\nPodstawiamy dane do obliczeń: xmax = 6 cm oraz T = 2,5 s.\n𝐹𝐹𝑤𝑤 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚= 0,2 kg ∙0,06 m ∙4 ∙3,142\n2,52 s2 = 7,57 ∙10-2 N\nNa koniec obliczamy wartość maksymalnej siły sprężystości\n𝐹𝐹𝑠𝑠 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝐹𝐹𝑤𝑤 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚+ 𝑚𝑚𝑚𝑚 → 𝐹𝐹𝑠𝑠 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚= 7,57 ∙10-2 N + 1,96 N ≈2,04 N\nSposób 2\nMaksymalna wartość siły sprężystości wynosi:\n𝐹𝐹𝑠𝑠 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝑘𝑘(𝑥𝑥0 + 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚)\ngdzie 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 jest amplitudą drgania, 𝑥𝑥0 to wartość wydłużenia sprężyny ponad jej długość\nswobodną w położeniu równowagi siły grawitacji i siły sprężystości:\n𝑘𝑘𝑥𝑥0 = 𝑚𝑚𝑚𝑚\nWspółczynnik k wyznaczymy ze wzoru na okres:\n𝑇𝑇= 2𝜋𝜋ට𝑚𝑚\n𝑘𝑘 → 𝑘𝑘≈1,26 N/m\nObliczamy 𝑥𝑥0:\n𝑥𝑥0 = 𝑚𝑚𝑚𝑚\n𝑘𝑘≈1,56 m\nObliczamy 𝐹𝐹𝑠𝑠 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚:\n𝐹𝐹𝑠𝑠 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝑘𝑘(𝑥𝑥0 + 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚) ≈1,26 N\nm ∙(1,56 m + 0,06 m) ≈2,04 N","solution":"$F_{s\\ max} \\approx 2,04 \\text{ N}$","image":"img/fizyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona/zad-10.3.webp","solution_image":null,"topics":"Ruch harmoniczny","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura próbna · kwiecień 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"<p>Zadanie 10.3. (0-3)<br>Oblicz maksymalną wartość siły sprężystości, jaka działa na ciężarek w tym ruchu<br>drgającym.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 10.3. (0-3)<br>Wymagania ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Budowa prostych modeli fizycznych<br>i matematycznych do opisu zjawisk.<br>Zdający:<br>1.8) wyjaśnia ruch ciał na podstawie drugiej<br>zasady dynamiki Newtona,<br>6.1) analizuje ruch pod wpływem sił<br>sprężystych (harmonicznych) […].<br>Schemat punktowania<br>3 p. - prawidłowa metoda i prawidłowy wynik liczbowy z jednostką.<br>2 p. - zapisanie wzoru (sposób 1) na maksymalną siłę wypadkową: 𝐹𝐹𝑤𝑤 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝐹𝐹𝑠𝑠 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚-𝐹𝐹𝑔𝑔 oraz<br>poprawne obliczenie maksymalnego przyspieszenia lub maksymalnej siły wypadkowej<br>ze wzoru 𝐹𝐹𝑤𝑤 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚<br>lub</p>\n<ul><li>zapisanie wzoru (sposób 2) na maksymalną wartość siły sprężystości w postaci:</li></ul>\n<p>𝐹𝐹𝑠𝑠 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝑘𝑘(𝑥𝑥0 + 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚) łącznie z uwzględnieniem warunku równowagi sił: 𝑘𝑘𝑥𝑥0 = 𝑚𝑚𝑚𝑚<br>oraz prawidłowe obliczenie k.<br>1 p. - zapisanie wzoru (sposób 1) na wartość maks. siły wypadkowej: 𝐹𝐹𝑤𝑤 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝐹𝐹𝑠𝑠 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚-𝐹𝐹𝑔𝑔<br>łącznie z uwzględnieniem związku pomiędzy maksymalnym przyspieszeniem<br>i maksymalnym wychyleniem<br>lub</p>\n<ul><li>zapisanie wzoru (sposób 2) na maksymalną wartość siły sprężystości w postaci:</li></ul>\n<p>𝐹𝐹𝑠𝑠 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝑘𝑘(𝑥𝑥0 + 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚) łącznie z uwzględnieniem warunku równowagi sił: 𝑘𝑘𝑥𝑥0 = 𝑚𝑚𝑚𝑚.<br>0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.<br>Przykładowe rozwiązanie<br>Sposób 1<br>Drganie ciężarka odbywa się pod wpływem siły wypadkowej (z siły sprężystości oraz siły<br>grawitacji):<br>𝐹𝐹⃗𝑤𝑤= 𝐹𝐹⃗𝑠𝑠+ 𝐹𝐹⃗𝑔𝑔<br>Siła sprężystości osiąga wartość maksymalną przy najniższym wychyleniu ciężarka (sprężyna<br>jest wtedy najbardziej rozciągnięta). W tej sytuacji także siła wypadkowa osiąga wartość<br>największą, ponieważ to położenie jest również maksymalnym wychyleniem z położenia<br>równowagi sił. Wartości sił w takim położeniu ciężarka wiąże relacja:<br>𝐹𝐹𝑤𝑤 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝐹𝐹𝑠𝑠 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚-𝐹𝐹𝑔𝑔 → 𝐹𝐹𝑠𝑠 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝐹𝐹𝑤𝑤 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚+ 𝐹𝐹𝑔𝑔<br>Maksymalną wartość siły wypadkowej możemy wyznaczyć z drugiej zasady dynamiki<br>i związku pomiędzy maksymalnym przyspieszeniem w ruchu drgającym i maksymalnym<br>wychyleniem:<br>𝐹𝐹𝑤𝑤 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚, 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚∙൬2𝜋𝜋<br>𝑇𝑇൰<br>2<br>→ 𝐹𝐹𝑤𝑤 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝑚𝑚𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚∙൬2𝜋𝜋<br>𝑇𝑇൰<br>2<br>Podstawiamy dane do obliczeń: xmax = 6 cm oraz T = 2,5 s.<br>𝐹𝐹𝑤𝑤 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚= 0,2 kg ∙0,06 m ∙4 ∙3,142<br>2,52 s2 = 7,57 ∙10-2 N<br>Na koniec obliczamy wartość maksymalnej siły sprężystości<br>𝐹𝐹𝑠𝑠 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝐹𝐹𝑤𝑤 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚+ 𝑚𝑚𝑚𝑚 → 𝐹𝐹𝑠𝑠 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚= 7,57 ∙10-2 N + 1,96 N ≈2,04 N<br>Sposób 2<br>Maksymalna wartość siły sprężystości wynosi:<br>𝐹𝐹𝑠𝑠 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝑘𝑘(𝑥𝑥0 + 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚)<br>gdzie 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 jest amplitudą drgania, 𝑥𝑥0 to wartość wydłużenia sprężyny ponad jej długość<br>swobodną w położeniu równowagi siły grawitacji i siły sprężystości:<br>𝑘𝑘𝑥𝑥0 = 𝑚𝑚𝑚𝑚<br>Współczynnik k wyznaczymy ze wzoru na okres:<br>𝑇𝑇= 2𝜋𝜋ට𝑚𝑚<br>𝑘𝑘 → 𝑘𝑘≈1,26 N/m<br>Obliczamy 𝑥𝑥0:<br>𝑥𝑥0 = 𝑚𝑚𝑚𝑚<br>𝑘𝑘≈1,56 m<br>Obliczamy 𝐹𝐹𝑠𝑠 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚:<br>𝐹𝐹𝑠𝑠 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝑘𝑘(𝑥𝑥0 + 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚) ≈1,26 N<br>m ∙(1,56 m + 0,06 m) ≈2,04 N</p>","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$F_{s\\ max} \\approx 2,04 \\text{ N}$</p>"}]}