{"id":"fizyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/1.2","paper_id":"fizyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"1.2","points":4,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1.2. (0-4)\nTorem ruchu kulki jest fragment paraboli opisanej równaniem:\n𝑦= -0,0125 ⋅𝑥ଶ+ 20 gdzie 𝑥∈[0,40]\nWspółczynniki liczbowe w tym równaniu wyrażone są (domyślnie) w podstawowych\njednostkach układu SI.\nWyprowadź powyższe równanie toru lotu kulki na podstawie równań ruchu rzutu\npoziomego oraz położenia początkowego i końcowego kulki podczas lotu.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 1.2. (0-4)\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda wyprowadzenia równania toru ruchu, z wykorzystaniem\nprawidłowych równań ruchu dla rzutu poziomego oraz otrzymanie poprawnej postaci\nrównania toru\nLUB\n- poprawne udowodnienie, że torem ruchu jest fragment paraboli (tzn. wyprowadzenie\nrównania 𝑦(𝑥) = ℎ-\n𝑔\n2𝑣𝑥2 ⋅𝑥2 z równań ruchu rzutu poziomego) oraz wyznaczenie\nwspółczynników równania paraboli z postaci iloczynowej (lub kanonicznej lub ogólnej).\n3 pkt - poprawna metoda wyprowadzenia równania toru ruchu, z wykorzystaniem\nprawidłowych równań ruchu dla rzutu poziomego (dla poziomej i pionowej składowej\nruchu) oraz związku między zasięgiem rzutu a prędkością początkową i wysokością,\noraz otrzymanie równania:\n𝑦(𝑥) = ℎ-\nℎ\n𝑥𝑚𝑎𝑥\n2\n⋅𝑥2\nLUB\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- poprawna metoda wyprowadzenia równania toru ruchu, z wykorzystaniem\nprawidłowych równań ruchu dla rzutu poziomego (dla poziomej i pionowej składowej\nruchu), otrzymanie równania 𝑦(𝑥) = ℎ-\n𝑔\n2𝑣𝑥2 ⋅𝑥2 oraz wyznaczenie prędkości\npoczątkowej w zależności od zasięgu rzutu oraz wysokości początkowej.\n2 pkt - zapisanie poprawnych równań ruchu rzutu poziomego (dla poziomej i pionowej\nskładowej ruchu): 𝑥(𝑡) = 𝑣𝑥𝑡 oraz 𝑦(𝑡) = ℎ-\n1\n2 𝑔𝑡2 oraz zapisanie związku między\nzasięgiem rzutu a wysokością i prędkością początkową\nLUB\n- założenie (bez dowodu opartego na równaniach ruchu), że torem ruchu jest fragment\nparaboli oraz poprawne wyprowadzenie wzoru toru ruchu z postaci iloczynowej (lub\nkanonicznej lub ogólnej) równania paraboli\nLUB\n- zapisanie prawidłowych równań ruchu dla rzutu poziomego (dla poziomej i pionowej\nskładowej ruchu) oraz otrzymanie równania paraboli: 𝑦(𝑥) = ℎ-\n𝑔\n2𝑣𝑥2 ⋅𝑥2.\n1 pkt - zapisanie poprawnych równań ruchu rzutu poziomego (dla poziomej i pionowej\nskładowej ruchu): 𝑥(𝑡) = 𝑣𝑥𝑡 oraz 𝑦(𝑡) = ℎ-\n1\n2 𝑔𝑡2\nLUB\n- poprawne obliczenie wartości prędkości początkowej rzutu poziomego:\n𝑣𝑥= 𝑥𝑚𝑎𝑥√𝑔\n2ℎ≈19,8 m/s\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nRzut poziomy jest złożeniem dwóch ruchów: spadku swobodnego w kierunku pionowym oraz\nruchu jednostajnego prostoliniowego w kierunku poziomym. Zapiszemy zależność położenia\nod czasu 𝑦(𝑡) dla składowej pionowej ruchu:\n𝑦(𝑡) = ℎ-𝑠𝑦(𝑡)\ngdzie ℎ jest wysokością, z jakiej rozpoczyna się rzut, a 𝑠𝑦(𝑡) jest drogą przebytą w kierunku\npionowym od chwili 𝑡= 0. Skorzystamy ze wzoru na drogę 𝑠𝑦(𝑡) w ruchu przyśpieszonym:\n𝑦(𝑡) = ℎ-1\n2 𝑔𝑡2\nZapiszemy zależność położenia od czasu 𝑥(𝑡) dla składowej poziomej ruchu:\n𝑥(𝑡) = 𝑣𝑥𝑡\ngdzie 𝑣𝑥 jest wartością prędkości początkowej - jednocześnie wartością składowej prędkości\nw kierunku poziomym. Z powyższych równań wyznaczymy zależność 𝑦(𝑥):\n{\n𝑦(𝑡) = ℎ-1\n2 𝑔𝑡2\n𝑥(𝑡) = 𝑣𝑥𝑡\n→\n{\n𝑦(𝑡(𝑥)) = 𝑦(𝑥) = ℎ-1\n2 𝑔( 𝑥\n𝑣𝑥\n)\n2\n𝑡(𝑥) = 𝑥\n𝑣𝑥\n𝑦(𝑥) = ℎ-𝑔\n2𝑣𝑥2 ⋅𝑥2\nŻeby otrzymać zależność 𝑦(𝑥), wyrażoną poprzez zasięg rzutu i wysokość początkową,\nwyznaczymy wartość składowej 𝑣𝑥 poprzez zasięg i wysokość. Skorzystamy ze związku\nmiędzy zasięgiem 𝑥𝑚𝑎𝑥 a wysokością ℎ rzutu poziomego i prędkością początkową 𝑣𝑥:\n𝑥𝑚𝑎𝑥= 𝑣𝑥𝑡= 𝑣𝑥√2ℎ\n𝑔 → 𝑣𝑥= 𝑥𝑚𝑎𝑥√𝑔\n2ℎ\nZatem:\n𝑦(𝑥) = ℎ-\n𝑔\n2 (𝑥𝑚𝑎𝑥√𝑔\n2ℎ)\n2 ⋅𝑥2\n𝑦(𝑥) = ℎ-\nℎ\n𝑥𝑚𝑎𝑥\n2\n⋅𝑥2 = -\nℎ\n𝑥𝑚𝑎𝑥\n2\n⋅𝑥2 + ℎ\nDo powyższego równania podstawimy dane odczytane z wykresu (wyrażone w metrach):\n𝑦(𝑥) = -20\n402 ⋅𝑥2 + 20 = -0,0125 ⋅𝑥2 + 20","solution":"$y(x) = -0,0125 \\cdot x^2 + 20$","image":"img/fizyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-1.2.webp","solution_image":null,"topics":"Kinematyka","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · czerwiec 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 1.2. (0-4)
Torem ruchu kulki jest fragment paraboli opisanej równaniem:
𝑦= -0,0125 ⋅𝑥ଶ+ 20 gdzie 𝑥∈[0,40]
Współczynniki liczbowe w tym równaniu wyrażone są (domyślnie) w podstawowych
jednostkach układu SI.
Wyprowadź powyższe równanie toru lotu kulki na podstawie równań ruchu rzutu
poziomego oraz położenia początkowego i końcowego kulki podczas lotu.

","answer_text_html":"

Zadanie 1.2. (0-4)
Zasady oceniania
4 pkt - poprawna metoda wyprowadzenia równania toru ruchu, z wykorzystaniem
prawidłowych równań ruchu dla rzutu poziomego oraz otrzymanie poprawnej postaci
równania toru
LUB

\n\n

równania 𝑦(𝑥) = ℎ-
𝑔
2𝑣𝑥2 ⋅𝑥2 z równań ruchu rzutu poziomego) oraz wyznaczenie
współczynników równania paraboli z postaci iloczynowej (lub kanonicznej lub ogólnej).
3 pkt - poprawna metoda wyprowadzenia równania toru ruchu, z wykorzystaniem
prawidłowych równań ruchu dla rzutu poziomego (dla poziomej i pionowej składowej
ruchu) oraz związku między zasięgiem rzutu a prędkością początkową i wysokością,
oraz otrzymanie równania:
𝑦(𝑥) = ℎ-
ℎ
𝑥𝑚𝑎𝑥
2
⋅𝑥2
LUB
Zasady oceniania rozwiązań zadań

\n\n

prawidłowych równań ruchu dla rzutu poziomego (dla poziomej i pionowej składowej
ruchu), otrzymanie równania 𝑦(𝑥) = ℎ-
𝑔
2𝑣𝑥2 ⋅𝑥2 oraz wyznaczenie prędkości
początkowej w zależności od zasięgu rzutu oraz wysokości początkowej.
2 pkt - zapisanie poprawnych równań ruchu rzutu poziomego (dla poziomej i pionowej
składowej ruchu): 𝑥(𝑡) = 𝑣𝑥𝑡 oraz 𝑦(𝑡) = ℎ-
1
2 𝑔𝑡2 oraz zapisanie związku między
zasięgiem rzutu a wysokością i prędkością początkową
LUB

\n\n

paraboli oraz poprawne wyprowadzenie wzoru toru ruchu z postaci iloczynowej (lub
kanonicznej lub ogólnej) równania paraboli
LUB

\n\n

składowej ruchu) oraz otrzymanie równania paraboli: 𝑦(𝑥) = ℎ-
𝑔
2𝑣𝑥2 ⋅𝑥2.
1 pkt - zapisanie poprawnych równań ruchu rzutu poziomego (dla poziomej i pionowej
składowej ruchu): 𝑥(𝑡) = 𝑣𝑥𝑡 oraz 𝑦(𝑡) = ℎ-
1
2 𝑔𝑡2
LUB

\n\n

𝑣𝑥= 𝑥𝑚𝑎𝑥√𝑔
2ℎ≈19,8 m/s
0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Przykładowe rozwiązanie
Rzut poziomy jest złożeniem dwóch ruchów: spadku swobodnego w kierunku pionowym oraz
ruchu jednostajnego prostoliniowego w kierunku poziomym. Zapiszemy zależność położenia
od czasu 𝑦(𝑡) dla składowej pionowej ruchu:
𝑦(𝑡) = ℎ-𝑠𝑦(𝑡)
gdzie ℎ jest wysokością, z jakiej rozpoczyna się rzut, a 𝑠𝑦(𝑡) jest drogą przebytą w kierunku
pionowym od chwili 𝑡= 0. Skorzystamy ze wzoru na drogę 𝑠𝑦(𝑡) w ruchu przyśpieszonym:
𝑦(𝑡) = ℎ-1
2 𝑔𝑡2
Zapiszemy zależność położenia od czasu 𝑥(𝑡) dla składowej poziomej ruchu:
𝑥(𝑡) = 𝑣𝑥𝑡
gdzie 𝑣𝑥 jest wartością prędkości początkowej - jednocześnie wartością składowej prędkości
w kierunku poziomym. Z powyższych równań wyznaczymy zależność 𝑦(𝑥):
{
𝑦(𝑡) = ℎ-1
2 𝑔𝑡2
𝑥(𝑡) = 𝑣𝑥𝑡
→
{
𝑦(𝑡(𝑥)) = 𝑦(𝑥) = ℎ-1
2 𝑔( 𝑥
𝑣𝑥
)
2
𝑡(𝑥) = 𝑥
𝑣𝑥
𝑦(𝑥) = ℎ-𝑔
2𝑣𝑥2 ⋅𝑥2
Żeby otrzymać zależność 𝑦(𝑥), wyrażoną poprzez zasięg rzutu i wysokość początkową,
wyznaczymy wartość składowej 𝑣𝑥 poprzez zasięg i wysokość. Skorzystamy ze związku
między zasięgiem 𝑥𝑚𝑎𝑥 a wysokością ℎ rzutu poziomego i prędkością początkową 𝑣𝑥:
𝑥𝑚𝑎𝑥= 𝑣𝑥𝑡= 𝑣𝑥√2ℎ
𝑔 → 𝑣𝑥= 𝑥𝑚𝑎𝑥√𝑔
2ℎ
Zatem:
𝑦(𝑥) = ℎ-
𝑔
2 (𝑥𝑚𝑎𝑥√𝑔
2ℎ)
2 ⋅𝑥2
𝑦(𝑥) = ℎ-
ℎ
𝑥𝑚𝑎𝑥
2
⋅𝑥2 = -
ℎ
𝑥𝑚𝑎𝑥
2
⋅𝑥2 + ℎ
Do powyższego równania podstawimy dane odczytane z wykresu (wyrażone w metrach):
𝑦(𝑥) = -20
402 ⋅𝑥2 + 20 = -0,0125 ⋅𝑥2 + 20

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$y(x) = -0,0125 \\cdot x^2 + 20$

"}]}