Zadanie 5. (0-4)
Satelita S początkowo krąży swobodnie (z wyłączonymi silnikami) po
orbicie kołowej o promieniu 𝑟ଵ= 12 000 km dookoła pewnej planety.
Promień tej planety wynosi 𝑅 = 8000 km, a przyśpieszenie
grawitacyjne na jej powierzchni ma wartość 𝑔= 25 m/sଶ. Masa
satelity wynosi 𝑚 = 400 kg. Planeta ma sferycznie symetryczny
rozkład masy.
Oblicz minimalną pracę, jaką musi wykonać siła ciągu
wytworzona przez silniki tego satelity, aby przenieść go na
orbitę kołową o promieniu 𝒓𝟐= 𝟑𝟔 𝟎𝟎𝟎 km, na której będzie
poruszał się z wyłączonymi silnikami.
Pomiń zmianę masy satelity podczas działania silników odrzutowych.
𝑟ଶ
S
𝑟ଵ
𝑅
S
EFAP-R0_100
Zadanie 5. (0-4)
Zasady oceniania
4 pkt - poprawna metoda obliczenia pracy siły ciągu oraz prawidłowy wynik liczbowy
z jednostką.
3 pkt - poprawne wyprowadzenie wyrażenia na pracę siły ciągu: 𝑊𝐹𝑐=
𝐺𝑀𝑚
2
(
1
𝑟1 -
1
𝑟2) oraz
zapisanie związku między masą planety, jej promieniem a przyśpieszeniem
grawitacyjnym na powierzchni planety: 𝑔𝑝=
𝐺𝑀
𝑅2
LUB
w zadaniu: 𝑊𝐹𝑐=
𝑚𝑔𝑝𝑅2
2
(
1
𝑟1 -
1
𝑟2).
2 pkt - zapisanie pracy siły ciągu jako różnicy energii mechanicznych oraz zapisanie energii
mechanicznej jako sumę energii kinetycznej i potencjalnej grawitacji oraz identyfikacja
siły grawitacji jako siły dośrodkowej (lub zapisanie wzoru na prędkość orbitalną)
LUB
mechanicznej jako sumę energii kinetycznej i potencjalnej grawitacji oraz zapisanie
związku między masą planety, jej promieniem a przyśpieszeniem grawitacyjnym na
powierzchni planety
LUB
𝐺𝑀𝑚
2
(
1
𝑟1 -
1
𝑟2)
1 pkt - zapisanie pracy siły ciągu jako różnicy energii mechanicznych oraz zapisanie energii
mechanicznej jako sumę energii kinetycznej i potencjalnej grawitacji
LUB
oraz identyfikacja siły grawitacji jako siły dośrodkowej.
0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Przykładowe rozwiązanie
Praca, jaką wykonała siła ciągu silników podczas przemieszczania sondy z jednej orbity na
drugą, jest równa różnicy energii mechanicznych, jakie ma sonda, gdy porusza się swobodnie
po tych orbitach:
𝑊𝐹𝑐= 𝐸2 -𝐸1
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Wyprowadzimy wyrażenie na energię mechaniczną, gdy sonda porusza się swobodnie
z prędkością 𝑣 po orbicie kołowej, w ogólności o promieniu 𝑟 (tutaj 𝑟1 lub 𝑟2). Energia
mechaniczna jest równa sumie energii kinetycznej i potencjalnej:
𝐸= 𝐸𝑘𝑖𝑛+ 𝐸𝑝𝑜𝑡= 1
2 𝑚𝑣2 + (-𝐺𝑀𝑚
𝑟
)
Ponadto siła grawitacji pełni rolę siły dośrodkowej:
𝑚𝑣2
𝑟
= 𝐺𝑀𝑚
𝑟2
→ 𝑚𝑣2 = 𝐺𝑀𝑚
𝑟
Powyższy związek podstawimy do wzoru na energię mechaniczną:
𝐸= 1
2
𝐺𝑀𝑚
𝑟
-𝐺𝑀𝑚
𝑟
= -1
2
𝐺𝑀𝑚
𝑟
Otrzymany wzór wykorzystamy do obliczenia pracy siły ciągu:
𝑊𝐹𝑐= -1
2
𝐺𝑀𝑚
𝑟2
-(-1
2
𝐺𝑀𝑚
𝑟1
) = 𝐺𝑀𝑚
2
(1
𝑟1
-1
𝑟2
)
Zapiszemy związek między masą planety, jej promieniem a przyśpieszeniem grawitacyjnym
na powierzchni planety:
𝑔𝑝= 𝐺𝑀
𝑅2 → 𝐺𝑀= 𝑔𝑝𝑅2
Zatem:
𝑊𝐹𝑐= 𝑚𝑔𝑝𝑅2
2
(1
𝑟1
-1
𝑟2
)
𝑊𝐹𝑐=
4 ⋅102 kg ⋅25 N
kg ⋅(8 ⋅106)2 m2
2
(
1
12 ⋅106 m -
1
36 ⋅106 m) ≈ 178 ⋅108 J
𝑊𝐹𝑐≈178 ⋅108 J = 17,8 ⋅GJ
$W_{F_c} \\approx 17,8 \\text{ GJ}$
"}]}