{"id":"fizyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad/1.1","paper_id":"fizyka-2021-maj-matura-rozszerzona","number":"1.1","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1.1. (0-2)\nOblicz iloraz\nv𝟎𝟏\nv𝟎𝟐 - wartości prędkości początkowej kulki K1 i wartości prędkości\npoczątkowej kulki K2. Wynik liczbowy podaj zaokrąglony do dwóch cyfr znaczących.\n𝑦, m\n5 K1\nvሬ⃗଴ଵ\nvሬ⃗଴ଶ\nK2\n2\n𝑔⃗\n𝑥\n𝑃\n𝑑\n0\n0\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 1.1. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 20211\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n1.4) wykorzystuje związki pomiędzy\npołożeniem, prędkością i przyspieszeniem\nw ruchu jednostajnym i jednostajnie zmiennym\ndo obliczania parametrów ruchu;\n1.6) oblicza parametry ruchu podczas\nswobodnego spadku […];\n1.15) analizuje ruch ciał w dwóch wymiarach\nna przykładzie rzutu poziomego.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda obliczenia ilorazu wartości prędkości oraz prawidłowy wynik podany\nw zaokrągleniu do dwóch cyfr znaczących:\n𝑣01\n𝑣02 ≈0,63.\n1 pkt - poprawne zapisanie lub wyprowadzenie wzoru na zasięg (z wyeliminowanym czasem)\nw rzucie poziomym oraz przyrównanie zasięgów obu rzutów (podobnie jak\nw sposobie 1.), np.: 𝑣01√\n2ℎ1\n𝑔= 𝑣02√\n2ℎ2\n𝑔\nLUB\n- wykorzystanie równości zasięgów, np. zapisanie równania 𝑣01𝑡1 = 𝑣02𝑡2 (lub zapisy\nrównoważne, np. 𝑧1 = 𝑧2 oraz 𝑧𝑖= 𝑣0𝑖𝑡𝑖) oraz poprawne zapisanie (lub\nwyprowadzenie) wzorów na czasy trwania rzutów obu kulek K1 oraz K2 (np. podobnie\n/ równoważnie jak w sposobie 2.)\nLUB\n- zapisanie równania 𝑣01𝑡1 = 𝑣02𝑡2 (lub zapisy równoważne, np. 𝑧1 = 𝑧2 oraz\n𝑧𝑖= 𝑣0𝑖𝑡𝑖) oraz poprawne obliczenie czasu trwania ruchu jednej z kulek (np. podobnie\njak w sposobie 2.)\nLUB\n- wykorzystanie wzoru na zasięg w rzucie poziomym z prędkościami: 𝑧=\n𝑣𝑜𝑥⋅𝑣𝑘 𝑦\n𝑔\noraz\npoprawna metoda obliczenia pionowych składowych prędkości końcowych obu kulek\n(np. podobnie jak w sposobie 3.)\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\n1 Załącznik nr 2 do rozporządzenia Ministra Edukacji Narodowej z dnia 20 marca 2020 r. w sprawie\nszczególnych rozwiązań w okresie czasowego ograniczenia funkcjonowania jednostek systemu oświaty\nw związku z zapobieganiem, przeciwdziałaniem i zwalczaniem COVID-19 (Dz.U. poz. 493, z późn. zm.).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nUwagi dodatkowe\n1.\nGdy zdający przyjmie do obliczeń 𝑔= 10 m/s2 (zamiast poleconej do obliczeń wartości\n9,8 m/s2), zastosuje poprawną metodę i otrzyma wynik\n𝑣01\n𝑣02 ≈0,63, to otrzymuje 2 pkt.\n2.\nGdy zdający zastosuje poprawną metodę obliczenia ilorazu wartości prędkości, ale\nzamiast ilorazu\n𝑣01\n𝑣02 obliczy iloraz\n𝑣02\n𝑣01, to otrzymuje 1 pkt (nie są spełnione warunki\nokreślone w zasadach oceniania za 2 pkt).\n3.\nGdy zdający stosuje poprawną metodę obliczenia ilorazu wartości prędkości, nie popełnia\nbłędu rachunkowego, ale wynik podaje niezgodnie z poleceniem, czyli ze zbyt dużą liczbą\ncyfr znaczących - np. 0,632 (trzy cyfry znaczące) - lub zbyt małą liczbą cyfr znaczących\n- np. 0,6 (jedna cyfra znacząca) - to otrzymuje 1 pkt.\nPrzykładowe rozwiązanie\nRzut poziomy jest złożeniem ruchu jednostajnego prostoliniowego w poziomie i ruchu\njednostajnie przyśpieszonego bez prędkości początkowej w pionie.\nSposób 1. (wykorzystanie wzoru na zasięg z wysokością)\nWyprowadzimy wzór na zasięg rzutu każdej z kulek:\n𝑧1 = 𝑣01𝑡1 ℎ1 = 1\n2 𝑔𝑡1\n2 → 𝑧1 = 𝑣01√2ℎ1\n𝑔\n𝑧2 = 𝑣02𝑡2 ℎ2 = 1\n2 𝑔𝑡2\n2 → 𝑧2 = 𝑣02√2ℎ2\n𝑔\nPrzyrównamy zasięgi obu rzutów, następnie wyznaczymy i obliczymy iloraz\n𝑣01\n𝑣02:\n𝑣01√2ℎ1\n𝑔= 𝑣02√2ℎ2\n𝑔 → 𝑣01\n𝑣02\n= √ℎ2\nℎ1\n𝑣01\n𝑣02\n= √2\n5 = 0,63245 … → 𝑣01\n𝑣02\n≈0,63\nSposób 2. (wykorzystanie wzoru na zasięg z czasem)\nPrzyrównamy zasięgi rzutu obu kulek, oraz wykorzystamy wzór z czasem na zasięg, zatem:\n𝑧1 = 𝑧2 → 𝑣01𝑡1 = 𝑣02𝑡2\nObliczymy czasy trwania obu ruchów (czas trwania rzutu poziomego z wysokości ℎ jest równy\nczasowi spadku swobodnego z tej wysokości):\n𝑡1 = √2ℎ1\n𝑔 → 𝑡1 = √2 ⋅5\n9,8 s ≈1,01 s\n𝑡2 = √2ℎ2\n𝑔 → 𝑡2 = √2 ⋅2\n9,8 s ≈0,64 s\nObliczymy iloraz wartości prędkości:\n𝑣01\n𝑣02\n= 𝑡2\n𝑡1\n→ 𝑣01\n𝑣02\n≈0,64\n1,01 ≈0,63\nSposób 3. (wykorzystanie wzoru na zasięg z prędkościami)\nWykorzystamy wzór na zasięg w rzucie poziomym - z poziomą składową prędkości 𝑣𝑥 oraz\nz pionową składową prędkości końcowej 𝑣𝑘𝑦:\n𝑧= 𝑣𝑥𝑡 𝑣𝑘𝑦= 𝑔𝑡 → 𝑧= 𝑣𝑥⋅𝑣𝑘𝑦\n𝑔\nPrzyrównamy zasięgi rzutów obu kulek:\n𝑧1 = 𝑧2 → 𝑣01 ⋅𝑣𝑘1𝑦= 𝑣02 ⋅𝑣𝑘2𝑦 → 𝑣01\n𝑣02\n= 𝑣𝑘2𝑦\n𝑣𝑘1𝑦\nWyznaczymy pionowe składowe prędkości końcowych obu kulek. Zastosujemy zasadę\nzachowania energii ograniczoną do składowej pionowej ruchu kulki:\n𝑚𝑣𝑘1𝑦\n2\n2\n= 𝑚𝑔ℎ1 → 𝑣𝑘1𝑦= √2𝑔ℎ1\n𝑚𝑣𝑘2𝑦\n2\n2\n= 𝑚𝑔ℎ2 → 𝑣𝑘2𝑦= √2𝑔ℎ2\nZatem:\n𝑣01\n𝑣02\n= 𝑣𝑘2𝑦\n𝑣𝑘1𝑦\n= √ℎ2\nℎ1\n≈0,63","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n$$\\frac{v_{01}}{v_{02}} = \\sqrt{\\frac{h_2}{h_1}} = \\sqrt{\\frac{2{,}0}{5{,}0}} \\approx \\mathbf{0{,}63}$$\n\n## Sposób 1 - Kinematyka rzutu poziomego: równania ruchu obu kulek\n\nRzut poziomy rozkładamy na dwa niezależne ruchy.\n\n**Ruch pionowy** (swobodny spadek z wysokości \\(h\\)):\n\n$$h = \\frac{1}{2}g t^2 \\quad \\Rightarrow \\quad t = \\sqrt{\\frac{2h}{g}}$$\n\nCzas lotu kulki K₁ (spada z \\(h_1 = 5{,}0\\) m):\n\n$$t_1 = \\sqrt{\\frac{2h_1}{g}} = \\sqrt{\\frac{2 \\cdot 5{,}0}{9{,}8}} \\approx 1{,}01 \\, \\text{s}$$\n\nCzas lotu kulki K₂ (spada z \\(h_2 = 2{,}0\\) m):\n\n$$t_2 = \\sqrt{\\frac{2h_2}{g}} = \\sqrt{\\frac{2 \\cdot 2{,}0}{9{,}8}} \\approx 0{,}639 \\, \\text{s}$$\n\n**Ruch poziomy** (jednostajny z prędkością \\(v_0\\)):\n\n$$d = v_0 \\cdot t$$\n\nObie kulki przelatują tę samą odległość \\(d\\):\n\n$$d = v_{01} \\cdot t_1 = v_{02} \\cdot t_2$$\n\nStąd:\n\n$$\\frac{v_{01}}{v_{02}} = \\frac{t_2}{t_1} = \\frac{0{,}639}{1{,}01} \\approx \\mathbf{0{,}63}$$\n\n## Sposób 2 - Wzór ogólny: eliminacja \\(d\\) przez podstawienie\n\nZ równania \\(d = v_0 \\cdot t\\) i \\(t = \\sqrt{\\frac{2h}{g}}\\) dostajemy:\n\n$$d = v_0 \\cdot \\sqrt{\\frac{2h}{g}} \\quad \\Rightarrow \\quad v_0 = d \\cdot \\sqrt{\\frac{g}{2h}}$$\n\nDla obu kulek:\n\n$$v_{01} = d \\cdot \\sqrt{\\frac{g}{2h_1}}, \\qquad v_{02} = d \\cdot \\sqrt{\\frac{g}{2h_2}}$$\n\nIloraz (wspólne czynniki \\(d\\), \\(g\\), \\(2\\) skracają się):\n\n$$\\frac{v_{01}}{v_{02}} = \\frac{d \\cdot \\sqrt{\\dfrac{g}{2h_1}}}{d \\cdot \\sqrt{\\dfrac{g}{2h_2}}} = \\sqrt{\\frac{h_2}{h_1}} = \\sqrt{\\frac{2{,}0}{5{,}0}} = \\sqrt{0{,}40} \\approx \\mathbf{0{,}63}$$\n\n> **Kluczowy wniosek:** iloraz prędkości zależy wyłącznie od stosunku wysokości - \\(g\\) i \\(d\\) **w ogóle nie są potrzebne** do obliczenia.\n\n## Sposób 3 - Intuicja fizyczna: \"wyższa = wolniej\"\n\nK₁ startuje **wyżej** → spada **dłużej** → ma **więcej czasu** na przebycie odległości \\(d\\).\n\nŻeby obie kulki dotarły do tego samego punktu \\(d\\), kulka z dłuższym czasem lotu musi lecieć **wolniej poziomo**. Dlatego \\(v_{01} < v_{02}\\), co potwierdza wynik \\(0{,}63 < 1\\).\n\nIlościowo: prędkość pozioma skaluje się odwrotnie proporcjonalnie do czasu lotu, a czas lotu rośnie jak \\(\\sqrt{h}\\), więc:\n\n$$\\frac{v_{01}}{v_{02}} = \\frac{t_2}{t_1} = \\frac{\\sqrt{h_2}}{\\sqrt{h_1}} = \\sqrt{\\frac{h_2}{h_1}}$$\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> Oficjalny klucz CKE (zadanie 1.1, 0-2 pkt):\n> - 2 pkt - poprawna metoda obliczenia ilorazu predkosci oraz prawidlowy wynik podany w zaokragleniu do dwoch cyfr znaczacych: \\(\\tfrac{v_{01}}{v_{02}} \\approx 0{,}63\\).\n> - 1 pkt - poprawne wyprowadzenie i przyrownanie wzorow na zasieg obu rzutow (z wyeliminowanym czasem), np. \\(v_{01}\\sqrt{\\tfrac{2h_1}{g}} = v_{02}\\sqrt{\\tfrac{2h_2}{g}}\\); LUB wykorzystanie rownosci zasiegow \\(v_{01}t_1 = v_{02}t_2\\) z poprawnymi wzorami na czasy; LUB obliczenie czasu jednej kulki; LUB wzor na zasieg z predkosciami z poprawna metoda obliczenia pionowych skladowych predkosci koncowych.\n> - 0 pkt - brak spelnienia powyzszych kryteriow.\n>\n> Uwagi: przyjecie \\(g = 10\\,\\text{m/s}^2\\) z poprawna metoda i wynikiem 0,63 = 2 pkt. Obliczenie odwrotnego ilorazu \\(\\tfrac{v_{02}}{v_{01}}\\) = 1 pkt. Wynik z bledna liczba cyfr znaczacych (0,632 lub 0,6) = 1 pkt.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - Kinematyka (sekcja Fizyka, rzut poziomy):**\n>\n> - **Ruch jednostajny poziomy:** \\(x = v_0 \\cdot t\\)\n> - **Swobodny spadek pionowy:** \\(y = \\frac{1}{2}g t^2\\)\n>\n> Oba wzory są na karcie w sekcji kinematyki. Zastosowaliśmy je w Sposobie 1 i 2. W Sposobie 2 skorzystaliśmy z faktu, że \\(g\\) eliminuje się z ilorazu - co jest operacyjną umiejętnością pozwalającą **zaoszczędzić czas** na maturze.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to odwrócenie ilorazu - uczeń liczy \\(\\sqrt{h_1/h_2} \\approx 1{,}58\\) zamiast \\(\\sqrt{h_2/h_1} \\approx 0{,}63\\). Zapamiętaj: **wyżej rzucona = wolniej leci poziomo**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie obliczaj \\(d\\) - nie masz danych (nie znasz ani \\(v_{01}\\), ani \\(v_{02}\\) z osobna). Iloraz wyznaczamy **bez znajomości \\(d\\)**, bo skraca się w mianowniku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(P\\) leży **na poziomym podłożu**, a kulki startują **powyżej** \\(P\\) - wysokości \\(h_1\\), \\(h_2\\) to wysokości nad podłożem, nie nad punktem startu (zgodnie z rysunkiem oś \\(y\\) rośnie ku górze).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zaokrąglenie \"do dwóch cyfr znaczących\": \\(\\sqrt{0{,}40} = 0{,}6325 \\) → **0,63** (nie \"0,6\" - to tylko jedna cyfra znacząca!).","image":"img/fizyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad-1.1.webp","solution_image":null,"topics":"Kinematyka","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 1.1. (0-2)
Oblicz iloraz
v𝟎𝟏
v𝟎𝟐 - wartości prędkości początkowej kulki K1 i wartości prędkości
początkowej kulki K2. Wynik liczbowy podaj zaokrąglony do dwóch cyfr znaczących.
𝑦, m
5 K1
vሬ⃗଴ଵ
vሬ⃗଴ଶ
K2
2
𝑔⃗
𝑥
𝑃
𝑑
0
0
EFAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 1.1. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 20211
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
I. Znajomość i umiejętność
wykorzystania pojęć i praw fizyki
do wyjaśniania procesów i zjawisk
w przyrodzie.
IV. Budowa prostych modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk.
Zdający:
1.4) wykorzystuje związki pomiędzy
położeniem, prędkością i przyspieszeniem
w ruchu jednostajnym i jednostajnie zmiennym
do obliczania parametrów ruchu;
1.6) oblicza parametry ruchu podczas
swobodnego spadku […];
1.15) analizuje ruch ciał w dwóch wymiarach
na przykładzie rzutu poziomego.
Zasady oceniania
2 pkt - poprawna metoda obliczenia ilorazu wartości prędkości oraz prawidłowy wynik podany
w zaokrągleniu do dwóch cyfr znaczących:
𝑣01
𝑣02 ≈0,63.
1 pkt - poprawne zapisanie lub wyprowadzenie wzoru na zasięg (z wyeliminowanym czasem)
w rzucie poziomym oraz przyrównanie zasięgów obu rzutów (podobnie jak
w sposobie 1.), np.: 𝑣01√
2ℎ1
𝑔= 𝑣02√
2ℎ2
𝑔
LUB

\n\n

równoważne, np. 𝑧1 = 𝑧2 oraz 𝑧𝑖= 𝑣0𝑖𝑡𝑖) oraz poprawne zapisanie (lub
wyprowadzenie) wzorów na czasy trwania rzutów obu kulek K1 oraz K2 (np. podobnie
/ równoważnie jak w sposobie 2.)
LUB

\n\n

𝑧𝑖= 𝑣0𝑖𝑡𝑖) oraz poprawne obliczenie czasu trwania ruchu jednej z kulek (np. podobnie
jak w sposobie 2.)
LUB

\n\n

𝑣𝑜𝑥⋅𝑣𝑘 𝑦
𝑔
oraz
poprawna metoda obliczenia pionowych składowych prędkości końcowych obu kulek
(np. podobnie jak w sposobie 3.)
0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.
1 Załącznik nr 2 do rozporządzenia Ministra Edukacji Narodowej z dnia 20 marca 2020 r. w sprawie
szczególnych rozwiązań w okresie czasowego ograniczenia funkcjonowania jednostek systemu oświaty
w związku z zapobieganiem, przeciwdziałaniem i zwalczaniem COVID-19 (Dz.U. poz. 493, z późn. zm.).
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Uwagi dodatkowe
1.
Gdy zdający przyjmie do obliczeń 𝑔= 10 m/s2 (zamiast poleconej do obliczeń wartości
9,8 m/s2), zastosuje poprawną metodę i otrzyma wynik
𝑣01
𝑣02 ≈0,63, to otrzymuje 2 pkt.
2.
Gdy zdający zastosuje poprawną metodę obliczenia ilorazu wartości prędkości, ale
zamiast ilorazu
𝑣01
𝑣02 obliczy iloraz
𝑣02
𝑣01, to otrzymuje 1 pkt (nie są spełnione warunki
określone w zasadach oceniania za 2 pkt).
3.
Gdy zdający stosuje poprawną metodę obliczenia ilorazu wartości prędkości, nie popełnia
błędu rachunkowego, ale wynik podaje niezgodnie z poleceniem, czyli ze zbyt dużą liczbą
cyfr znaczących - np. 0,632 (trzy cyfry znaczące) - lub zbyt małą liczbą cyfr znaczących

\n\n

Przykładowe rozwiązanie
Rzut poziomy jest złożeniem ruchu jednostajnego prostoliniowego w poziomie i ruchu
jednostajnie przyśpieszonego bez prędkości początkowej w pionie.
Sposób 1. (wykorzystanie wzoru na zasięg z wysokością)
Wyprowadzimy wzór na zasięg rzutu każdej z kulek:
𝑧1 = 𝑣01𝑡1 ℎ1 = 1
2 𝑔𝑡1
2 → 𝑧1 = 𝑣01√2ℎ1
𝑔
𝑧2 = 𝑣02𝑡2 ℎ2 = 1
2 𝑔𝑡2
2 → 𝑧2 = 𝑣02√2ℎ2
𝑔
Przyrównamy zasięgi obu rzutów, następnie wyznaczymy i obliczymy iloraz
𝑣01
𝑣02:
𝑣01√2ℎ1
𝑔= 𝑣02√2ℎ2
𝑔 → 𝑣01
𝑣02
= √ℎ2
ℎ1
𝑣01
𝑣02
= √2
5 = 0,63245 … → 𝑣01
𝑣02
≈0,63
Sposób 2. (wykorzystanie wzoru na zasięg z czasem)
Przyrównamy zasięgi rzutu obu kulek, oraz wykorzystamy wzór z czasem na zasięg, zatem:
𝑧1 = 𝑧2 → 𝑣01𝑡1 = 𝑣02𝑡2
Obliczymy czasy trwania obu ruchów (czas trwania rzutu poziomego z wysokości ℎ jest równy
czasowi spadku swobodnego z tej wysokości):
𝑡1 = √2ℎ1
𝑔 → 𝑡1 = √2 ⋅5
9,8 s ≈1,01 s
𝑡2 = √2ℎ2
𝑔 → 𝑡2 = √2 ⋅2
9,8 s ≈0,64 s
Obliczymy iloraz wartości prędkości:
𝑣01
𝑣02
= 𝑡2
𝑡1
→ 𝑣01
𝑣02
≈0,64
1,01 ≈0,63
Sposób 3. (wykorzystanie wzoru na zasięg z prędkościami)
Wykorzystamy wzór na zasięg w rzucie poziomym - z poziomą składową prędkości 𝑣𝑥 oraz
z pionową składową prędkości końcowej 𝑣𝑘𝑦:
𝑧= 𝑣𝑥𝑡 𝑣𝑘𝑦= 𝑔𝑡 → 𝑧= 𝑣𝑥⋅𝑣𝑘𝑦
𝑔
Przyrównamy zasięgi rzutów obu kulek:
𝑧1 = 𝑧2 → 𝑣01 ⋅𝑣𝑘1𝑦= 𝑣02 ⋅𝑣𝑘2𝑦 → 𝑣01
𝑣02
= 𝑣𝑘2𝑦
𝑣𝑘1𝑦
Wyznaczymy pionowe składowe prędkości końcowych obu kulek. Zastosujemy zasadę
zachowania energii ograniczoną do składowej pionowej ruchu kulki:
𝑚𝑣𝑘1𝑦
2
2
= 𝑚𝑔ℎ1 → 𝑣𝑘1𝑦= √2𝑔ℎ1
𝑚𝑣𝑘2𝑦
2
2
= 𝑚𝑔ℎ2 → 𝑣𝑘2𝑦= √2𝑔ℎ2
Zatem:
𝑣01
𝑣02
= 𝑣𝑘2𝑦
𝑣𝑘1𝑦
= √ℎ2
ℎ1
≈0,63

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

$$\\frac{v_{01}}{v_{02}} = \\sqrt{\\frac{h_2}{h_1}} = \\sqrt{\\frac{2{,}0}{5{,}0}} \\approx \\mathbf{0{,}63}$$

\n

Sposób 1 - Kinematyka rzutu poziomego: równania ruchu obu kulek

\n

Rzut poziomy rozkładamy na dwa niezależne ruchy.

\n

Ruch pionowy (swobodny spadek z wysokości \\(h\\)):

\n

$$h = \\frac{1}{2}g t^2 \\quad \\Rightarrow \\quad t = \\sqrt{\\frac{2h}{g}}$$

\n

Czas lotu kulki K₁ (spada z \\(h_1 = 5{,}0\\) m):

\n

$$t_1 = \\sqrt{\\frac{2h_1}{g}} = \\sqrt{\\frac{2 \\cdot 5{,}0}{9{,}8}} \\approx 1{,}01 \\, \\text{s}$$

\n

Czas lotu kulki K₂ (spada z \\(h_2 = 2{,}0\\) m):

\n

$$t_2 = \\sqrt{\\frac{2h_2}{g}} = \\sqrt{\\frac{2 \\cdot 2{,}0}{9{,}8}} \\approx 0{,}639 \\, \\text{s}$$

\n

Ruch poziomy (jednostajny z prędkością \\(v_0\\)):

\n

$$d = v_0 \\cdot t$$

\n

Obie kulki przelatują tę samą odległość \\(d\\):

\n

$$d = v_{01} \\cdot t_1 = v_{02} \\cdot t_2$$

\n

Stąd:

\n

$$\\frac{v_{01}}{v_{02}} = \\frac{t_2}{t_1} = \\frac{0{,}639}{1{,}01} \\approx \\mathbf{0{,}63}$$

\n

Sposób 2 - Wzór ogólny: eliminacja \\(d\\) przez podstawienie

\n

Z równania \\(d = v_0 \\cdot t\\) i \\(t = \\sqrt{\\frac{2h}{g}}\\) dostajemy:

\n

$$d = v_0 \\cdot \\sqrt{\\frac{2h}{g}} \\quad \\Rightarrow \\quad v_0 = d \\cdot \\sqrt{\\frac{g}{2h}}$$

\n

Dla obu kulek:

\n

$$v_{01} = d \\cdot \\sqrt{\\frac{g}{2h_1}}, \\qquad v_{02} = d \\cdot \\sqrt{\\frac{g}{2h_2}}$$

\n

Iloraz (wspólne czynniki \\(d\\), \\(g\\), \\(2\\) skracają się):

\n

$$\\frac{v_{01}}{v_{02}} = \\frac{d \\cdot \\sqrt{\\dfrac{g}{2h_1}}}{d \\cdot \\sqrt{\\dfrac{g}{2h_2}}} = \\sqrt{\\frac{h_2}{h_1}} = \\sqrt{\\frac{2{,}0}{5{,}0}} = \\sqrt{0{,}40} \\approx \\mathbf{0{,}63}$$

\n
Kluczowy wniosek: iloraz prędkości zależy wyłącznie od stosunku wysokości - \\(g\\) i \\(d\\) w ogóle nie są potrzebne do obliczenia.
\n

Sposób 3 - Intuicja fizyczna: "wyższa = wolniej"

\n

K₁ startuje wyżej → spada dłużej → ma więcej czasu na przebycie odległości \\(d\\).

\n

Żeby obie kulki dotarły do tego samego punktu \\(d\\), kulka z dłuższym czasem lotu musi lecieć wolniej poziomo. Dlatego \\(v_{01} < v_{02}\\), co potwierdza wynik \\(0{,}63 < 1\\).

\n

Ilościowo: prędkość pozioma skaluje się odwrotnie proporcjonalnie do czasu lotu, a czas lotu rośnie jak \\(\\sqrt{h}\\), więc:

\n

$$\\frac{v_{01}}{v_{02}} = \\frac{t_2}{t_1} = \\frac{\\sqrt{h_2}}{\\sqrt{h_1}} = \\sqrt{\\frac{h_2}{h_1}}$$

\n

Schemat oceniania CKE

\n
Oficjalny klucz CKE (zadanie 1.1, 0-2 pkt):
- 2 pkt - poprawna metoda obliczenia ilorazu predkosci oraz prawidlowy wynik podany w zaokragleniu do dwoch cyfr znaczacych: \\(\\tfrac{v_{01}}{v_{02}} \\approx 0{,}63\\).
- 1 pkt - poprawne wyprowadzenie i przyrownanie wzorow na zasieg obu rzutow (z wyeliminowanym czasem), np. \\(v_{01}\\sqrt{\\tfrac{2h_1}{g}} = v_{02}\\sqrt{\\tfrac{2h_2}{g}}\\); LUB wykorzystanie rownosci zasiegow \\(v_{01}t_1 = v_{02}t_2\\) z poprawnymi wzorami na czasy; LUB obliczenie czasu jednej kulki; LUB wzor na zasieg z predkosciami z poprawna metoda obliczenia pionowych skladowych predkosci koncowych.
- 0 pkt - brak spelnienia powyzszych kryteriow.

Uwagi: przyjecie \\(g = 10\\,\\text{m/s}^2\\) z poprawna metoda i wynikiem 0,63 = 2 pkt. Obliczenie odwrotnego ilorazu \\(\\tfrac{v_{02}}{v_{01}}\\) = 1 pkt. Wynik z bledna liczba cyfr znaczacych (0,632 lub 0,6) = 1 pkt.
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - Kinematyka (sekcja Fizyka, rzut poziomy):

- Ruch jednostajny poziomy: \\(x = v_0 \\cdot t\\)
- Swobodny spadek pionowy: \\(y = \\frac{1}{2}g t^2\\)

Oba wzory są na karcie w sekcji kinematyki. Zastosowaliśmy je w Sposobie 1 i 2. W Sposobie 2 skorzystaliśmy z faktu, że \\(g\\) eliminuje się z ilorazu - co jest operacyjną umiejętnością pozwalającą zaoszczędzić czas na maturze.
\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to odwrócenie ilorazu - uczeń liczy \\(\\sqrt{h_1/h_2} \\approx 1{,}58\\) zamiast \\(\\sqrt{h_2/h_1} \\approx 0{,}63\\). Zapamiętaj: wyżej rzucona = wolniej leci poziomo.
\n
⚠️ Uwaga: Nie obliczaj \\(d\\) - nie masz danych (nie znasz ani \\(v_{01}\\), ani \\(v_{02}\\) z osobna). Iloraz wyznaczamy bez znajomości \\(d\\), bo skraca się w mianowniku.
\n
⚠️ Uwaga: Punkt \\(P\\) leży na poziomym podłożu, a kulki startują powyżej \\(P\\) - wysokości \\(h_1\\), \\(h_2\\) to wysokości nad podłożem, nie nad punktem startu (zgodnie z rysunkiem oś \\(y\\) rośnie ku górze).
\n
⚠️ Uwaga: Zaokrąglenie "do dwóch cyfr znaczących": \\(\\sqrt{0{,}40} = 0{,}6325 \\) → 0,63 (nie "0,6" - to tylko jedna cyfra znacząca!).
"}]}